专题05 分类打靶函数应用与函数模型（6大核心考点）（讲义）（解析版）.docx

1、专题05 分类打靶函数应用与函数模型【目录】122310考点一：二次函数与幂模型10考点二：分段函数模型12考点三：对勾函数模型14考点四：指数函数模型17考点五：对数函数模型18考点六：函数模型的选择20本节内容，常以其他学科或与社会生活息息相关的背景来命题，如现实中的生产经营、企业盈利与亏损等热点问题中的增长、减少问题，在这些背景中发现、选择、建立数学模型，如二次函数、指数函数、对数函数模型，对现实问题中数据进行处理以解决问题，体现数学知识的实用性考点要求考题统计考情分析二次函数模型，分段函数模型2021年北京卷第8题，4分2020年上海卷第19题，14分【命题预测】预测2024年高考，可

2、能结合函数与生活应用进行考察，对学生建模能力和数学应用能力综合考察指数函数、对数函数模型2023年I卷第10题，5分2021年甲卷（文）第6题，5分2020年山东卷第6题，5分1、几种常见的函数模型：函数模型函数解析式一次函数模型，为常数且反比例函数模型（为常数）二次函数模型，为常数且指数函数模型，为常数，对数函数模型，为常数，幂函数模型，为常数，2、解函数应用问题的步骤：（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型；（3）解模：求解数学模型，得出结论；（4）还原：将数学问题

3、还原为实际问题3、解答函数应用题应注意的问题首先，要认真阅读理解材料应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它其次，建立函数关系根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读

4、”与“精读”之分这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率1（2021甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则

5、其视力的小数记录法的数据约为A1.5B1.2C0.8D0.6【答案】【解析】在中，所以，即，解得，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8故选：2（2021北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：24 降雨量的等级划分如下：等级降雨量（精确到小雨中雨大雨暴雨在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨量器若一次降雨过程中，该雨量器收集的的雨水高度是 如图所示），则这降雨量的等级是A小雨B中雨C大雨D暴雨【答案】【解析】圆锥的体积为，因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，所以圆锥内积水部分的半径为，将，代

6、入公式可得，图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，平底上积水的体积为，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，所以，则平地上积水的厚度，因为，由题意可知，这一天的雨水属于中雨故选：3（2020山东）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为A1.2天B1.8天C2.5天D3.5天【答案】【解析】把，

7、代入，可得，当时，则，两边取对数得，解得故选：4（2019新课标）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：设由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为ABCD【答案】【解析】，满足方程：，把代入，得：，故选：5（多选题）（2023新高考）噪声污染问题越来越受

8、到重视用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则ABCD【答案】【解析】由题意得，可得，正确；，错误；，正确；，正确故选：6（2018浙江）我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，则，当时，【答案】8；11【解析】，当时，化为：，解得，故答案为：8；117（2020上海）在研究某市交通情

9、况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，交通流量（1）若交通流量，求道路密度的取值范围；（2）已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值【解析】（1）按实际情况而言，交通流量随着道路密度的增大而减小，故是单调递减函数，所以，当时，最大为85，于是只需令，解得，故道路密度的取值范围为（2）把，代入中，得，解得，当时，当时，是关于的二次函数，对称轴为，此时有最大值，为综上所述，车辆密度的最大值为8（2023上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴

10、露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示）（2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数” 最小【解析】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：，所以（2）由题意可得，所以，令，解得，所以在，单调递减，在，单调递增，所以的最小

11、值在或7取得，当时，当时，所以在时，该建筑体最小9（2021上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长（1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？【解析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项，公差，即营业额前20季度的和为31.5亿元（2）解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的，则，令，即要解，则当时，令，解得：，即当时，递减；当时，递增，由于（1），因此的解只能在时取得，经检验，所以今年第一季度往后的第25个

12、季度的利润首次超过该季度营业额的解法二：设今年第一季度往后的第季度的利润与该季度营业额的比为，则，数列满足，注意到，今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的考点一：二次函数与幂模型1、二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围2、幂函数模型为（，为常数，），在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题例1（2023江苏南通高三统考开学考试）一个动力船拖动载重量相等的小船若干只

13、，在两个港口之间来回运货.若拖4只小船，则每天能往返16次；若拖7只小船，则每天能往返10次.已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例.为使得每天运货总量最大，则每次拖 只小船.【答案】6【解析】设每日每次拖只小船，每日来回次，每只小船的载重量为，每日的运货总重量为，由题意设，则，解得，所以，所以每日运货总重量为，所以当时，取得最大值，即每次拖6只小船，故答案为：6例2（2023全国高三专题练习）为弘扬“中国女排精神”，加强青少年体育发展.学校在体育课中组织学生进行排球练习，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留时间为 秒（小数点后保留两位有效数字）.（注

14、：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，其中）【答案】【解析】由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，因为，所以，令，可得，即，所以，所以.所以排球能够在抛出点2以上的位置最多停留秒.故答案为：.例3（2023四川泸州四川省泸县第二中学校考模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长

15、率应为（参考值：）（）A10%B20%C22%D32%【答案】B【解析】由题意，设年平均增长率为，则，所以，故年平均增长率为20%.故选：B例4（2023广西统考模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（）ABCD【答案】D【解析】设初始状态为，则，又，即，故选：D考点二：分段函数模型1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别找出来

16、，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏例5（2023全国高三对口高考）已知两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从地前往地，到达地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回地，把汽车离开地的距离（千米）表示为时间（小时）的函数，则下列正确的是（）AB C D 【答案】D【解析】因为两地相距150千米，所以当汽车以60千米/小时的速度从地前往地时，需要小时，此时汽车离开地的距离为：，到达地停留1小时，此时汽车离开地的距离为：，当汽车以50千米/小时的速度从地前往地时，需要小时，此时汽车离开地的距离为：，所以由题意有：故选：D.

17、例6（2023全国高三对口高考）2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税的决定，工薪所得减去费用标准从800元提高到1600元也就是说原来月收入超过800元部分就要纳税，2006年1月1日开始超过了1600元才需要纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表：级数全月应纳税所得额税率1不超过500元525002000元10320005000元15某人2005年9月交纳个人所得税123元，则按照新税法只要交税（）元A43B2280C680D不能确定【答案】A【解析】设工资为元，当，纳税为0元；当，纳税为元；当，纳税为元；当，纳税为元；所以，纳税为，而，令，可得元，由，则按新税法只

18、要交税元.故选：A例7（2023云南统考二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：一次购买件数5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件价格37元32元30元27元25元张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（）A116件B110件C107件D106件【答案】C【解析】设购买的件数为，花费为元，则，当时，当时，所以最多可购买这种产品件，故选：C.考点三：对勾函数模型1、解决此类问题一定要注意函数定义域；2、利用模型求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件例8（2023湖南湖南师大附中校联考一模）某农机合作社于今年

19、初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（）A6年B7年C8年D9年【答案】B【解析】设第年的维修保养费为万元，数列的前项和为，该机的年平均耗费为，据题意，数列是首项为12，公差为4的等差数列.则.当且仅当，即时，取最小值38.所以这台冰激凌机的使用年限是7年.故选:.例9（2023江苏南通高三江苏省如东高级中学校考期中）某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元（包含门窗），房屋侧

20、面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，则最低总造价是（）A57600元B63400元C69200元D元【答案】B【解析】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，则，即，所以.当时，即当时，有最小值，最低总造价为元.故选：B例10（2023全国高三专题练习）某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（）ABCD【答案】B【解析】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万

21、元，则年后的设备维护费用为，所以年的平均费用为（万元），当且仅当时，等号成立，因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为.故选：B.例11（2023黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考三模）如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（）ABCD【答案】B【解析】设，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：，所以，且，所以，又，所以，解得，即，设，则，所以在中，有，令，所以，所以，因为，所以，则要使最大，即要取得

22、最小值，即取得最大值，即在取得最大值，令， ，所以的对称轴为：，所以在单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值，即最大，此时，即，所以，所以，即为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为：.故选：B.考点四：指数函数模型在解题时，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数模型例12（2023浙江绍兴统考模拟预测）人类已进入大数据时代目前，数据量已经从级别跃升到乃至级别国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为2010年增长到若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中均是正的常数，则2023年全

23、球产生的数据量是2022年的 倍.【答案】1.5/【解析】由题意，所以，所以，所以2022年全球产生的数据量为，则2023年全球产生的数据量，所以2023年全球产生的数据量是2022年的倍.故答案为：1.5例13（2023福建龙岩高三上杭一中校考阶段练习）研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明显的影响：当大气中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均温度就要上升0.5.若到2050年，预测大气中二氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约 .（参考数据：）【答案】3【解析】设目前大气中二氧化碳的含量为a，依题意，当二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升0.5，当二氧化碳的含量为时，地球平均

24、温度上升，依次类推，当大气中二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升，令，即，方程两边同时取常用对数，则，所以到2050年，地球平均温度将上升约().故答案为：3例14（2023江西高三校联考阶段练习）研究发现某人的行车速度v（km/h）与行驶地区的人口密度p（人/）有如下关系：，若此人在人口密度为a人/的地区的行车速度为70km/h，则他在人口密度为2a人/的地区的行车速度是 km/h【答案】65.5/【解析】由，得，所以当人口密度为2a人/时，他的行车速度故答案为：65.5考点五：对数函数模型在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图像 求解最值问题

25、例15（2023上海长宁统考一模）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为 .【答案】130【解析】因为，所以其相应的声强级为.故答案为：130.例16（2023云南楚雄高三统考期中）生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已知土壤中某药品的残留量y（mg）与时间t（年）近似满足关系式（），其中a是残留系数，则大约经过 年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的.（参考数据：，答案保留一位小数）【答案】【解析】当时，由，得故答案为：例17（2023山西高三统考阶段练习）科学家以里氏震级来

26、度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为在2021年3月13日下午，江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日，四川自贡发生里氏级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程度是余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，则 【答案】4.3/【解析】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏级地震所散发出来的能量为，则.由已知可得.所以，.故答案为：例18（2023山西晋中高三介休一中校考阶段练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数

27、是其静止时耗氧量的单位数的倍时，它的游速是 .【答案】/【解析】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，则，可得，将代入可得，.故答案为：.考点六：函数模型的选择对于给定模型供选择的问题， 需根据问题对每个模型进行验证，可结合函数图像、性质、函数值等多方面进行验证例19（2023上海奉贤高三校考期中）某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：上市时间天41036市场价元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系（）ABCD；【答案】B【解析】随着时间的增加，的值先减后增，而

28、三个函数中、显然都是单调函数，不满足题意，选择故选：B.例20（2023福建福建师大附中校考模拟预测）视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：小数记录五分记录现有如下函数模型：，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附，）（）ABCD【答案】B【解析】由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为，令，解得.故选：B.例21（2023福建福州统考二模）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（）的数据如下表：4060901001205.268.3251015.6为描述与的关系，现有以下三种模型供选择：，.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是，（单位：）.为使百公里耗油量（单位：）最小，该型号汽车行驶的车道与速度为（）A在外侧车道以行驶B在中间车道以行驶C在中间车道以行驶D在内侧车道以行驶【答案】A【解析】由题意，符合的函数模型需要满足在，都可取，且由表可知，随的增大而增大，则该函数模型应为增函数，不符合，若选择，则，与实际数据相差较大，所以不符合，若选择，则，最符合实际，当时，取得最小值为.故选：A