专题3.3 解三角形（分层练）（解析版）.pdf

1、专题验收评价专题 3.3 解三角形内容概览A常考题不丢分题型一 正弦余弦定理基本应用题型二 解三角形三线问题题型三 解三角形中周长面积问题题型四 解三角形中范围问题C挑战真题争满分一、单选题1（2023江西赣州统考一模）在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差数列，2CAB，则 ba（）A 75B 32C 53D 74【答案】C【分析】根据题意和等差数列等差中项的应用可得23C、2bac，利用余弦定理化简计算即可求解.【详解】由2,CABABC，得23C，由,a b c 成等差数列，得2bac，由余弦定理，得222cos2abcCab，即2221(2)2

2、2abbaab，整理，得2530abb，由0b 得530ab，题型一正弦余弦定理基本应用由0a 得53ba.故选：C.2（2023 下安徽滁州高三校考开学考试）在三角形 ABC 中，记S 为 ABC的面积，已知0AB ACS，则2sin 2cosAA（）A35-B1C 1D 32【答案】A【分析】先根据三角形的面积公式结合0AB ACS 求出角 A，再根据二倍角的正弦公式及同角三角函数的关系即可得解.【详解】1sin2SbcA，coscos AAB ACcCbAB AA ，因为0AB ACS，即1cossin02bcAbcA，又0bc，则 tan2A ，所以222222sincoscos2ta

3、n14 13sin 2cossincostan155AAAAAAAAA .故选：A3（2023陕西西安市西光中学校联考一模）在 ABC中，角 ABC，的对边分别为 abc，且coscossinsinBCAbcC，则b 的值为（）A1B3C32D2【答案】A【分析】根据余弦定理与正弦定理角化边求解即可.【详解】解：因为 coscossinsinBCAbcC，所以，由正弦定理与余弦定理得22222222acbabcaabcabcc，化简得1b .故选：A4（2021 下广东东莞高一东莞高级中学校考阶段练习）已知 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ABC的面积为 3 32，且

4、22226abcbc，则 tan A 的值为（）A33B1C3D 23【答案】C【分析】根据余弦定理、三角形的面积公式求得 A，进而求得 tan A.【详解】依题意，22226abcbc，由余弦定理得2222226cosbcAbcbcbc，3cosbcAbc，由三角形的面积公式得 13 33 3sin,22sinbcAbcA，代入得3 33 3coss3sininAAA，sin3 cos3AA，32sin3,sin332AA，由于40,333AA，所以2,tan3333AAA.故选：C一、单选题1（2023 上江苏苏州高三常熟中学联考）ABC的内角,A B C 的对边分别是,a b c，且1c

5、os2ACB，边 AB 上的角平分线CD 的长度为t，且2ADBD，则 ct （）A 3 72B 32C3D 32 或 3【答案】A【分析】根据题意，在ADC和 BDC中，利用正弦定理求得2ba，在由余弦定理求得7ca，再由ABCADCBDCSSS，结合面积公式，求得23ta，即可求解.【详解】由1cos2ACB，因为(0,)ACB，可得23ACB，又由边 AB 上的角平分线CD，所以3ACDBCD，在ADC中，可得 sinsinbADADCACD，在 BDC中，可得 sinsinaBDBDCBCD,因为sinsin,sinsinADCBDCACDBCD，且2ADBD，题型二解三角形中三线问题

6、所以2bADaBD，即2ba，在 ABC中，由余弦定理可得2222222cos7cababACBababa，所以7ca，又由ABCADCBDCSSS，即 1211sinsinsin232323abbtat，因为2ba，可得233322222aatat，即223aat，可得23ta，所以73 7223cata.故选：A.2（2023全国河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形 ABC 中，3BC ，角 A 的平分线交 BC 于点 D，若12BDDC，则三角形 ABC 面积的最大值为（）A1B2C3D4【答案】C【分析】先根据正弦定理可得12ABAC，再建立平面直角坐标系求解 A 的轨迹方程，进而可

7、得 ABC 面积的最大值.【详解】在ABD中 sinsinABBDADBBAD，在ABD中 sinsinACDCADCCAD，故sinsinABADBBDBAD，sinsinACADCDCCAD，因为180ADBADC，故sinsin 180sinADBADCADC ，又角 A 的平分线交 BC 于点 D，则BADCAD，故 ABACBDDC.故12ABBDACDC.以 D 为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为3BC ，12BDDC，故1,0B，2,0C，设,A x y，则22221122xyxy，即2222412xyxy，故222484344xxyxx，化简可得2240 xxy，即222

8、4xy，故点,A x y 的轨迹是以2,0为圆心，2 为半径的圆（除去 4,0,0,0）.故当 A 纵坐标最大，即2,2A 时 ABC面积取最大值为13 232ABCS.故选：C二、填空题3（2023 下河南周口高三期末）在锐角 ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，G 为 ABC的重心，AGBC，则cos B 的取值范围为 【答案】30,3【分析】记 BC 的中点为 D，利用重心的性质先得到32ADa，再由向量的知识可得2225abc，2coscaBac，再利用锐角 ABC可得23ca，最后利用函数的单调性可得cos B 的取值范围【详解】记 BC 的中点为 D，由 AGB

9、C，G 为 ABC的重心，可得32ADa又由12ADABAC，有222124ADABAB ACAC，即222912cos44acbcAb2222229acbcab，化简可得2225abc又由 ABC为锐角三角形，故222222222bcaacbabc，即2222222255acacaacc，化简可得23ca又由2222222225242cos222acacacbcacaBacacacac令23ctta ，由函数 223f tttt 单调递增，可得 2 33022333f t，可得30cos3B故答案为：30,3.三、解答题4（2023 上湖北武汉高三华中师大一附中校考期中）记 ABC的内角,A

10、 B C 的对边分别为,a b c，已知2 sin6bcaC.(1)求 A 的值；(2)若BAC的平分线与 BC 交于点,2 3D AD，求 ABC面积的最小值.【答案】(1)3A(2)4 3【详解】（1）因为2 sin6bcaC，由正弦定理可得sinsin2sinsin6BCAC，则sinsinsinsinsincoscossinsinBCACCACACC，312sinsin2sinsincos3sinsinsincos622ACACCACAC，即sincoscossinsin3sinsinsincosACACCACAC，可得 3sinsincossinsinACACC，因为0,C，则sin

11、0C，则 3sincos1AA，整理得1sin62A，又因为0,A，则 5,666A，可得66A，所以3A.（2）因为 AD 平分BAC且2 2AD，所以6BADCAD，由ABCABDACDSSS，可得 1311112 32 3222222bccb，整理得24bcbcbc，则16bc，当且仅当bc时，等号成立，故 ABC面积的最小值为 13164 3225（2023 上湖北高三鄂南高中联考期中）在 ABC中，角 A，B，C 的对边分别为,a b c，且cos2cos0aCbcA.(1)求角 A 的大小；(2)若 D 是线段 BC 的中点，且2,4ADAC，求 ABC的面积.【答案】(1)34(

12、2)4【详解】（1）cos2cos0aCbcA，由正弦定理可得sin cos2sin cossin cos0ACBACA，整理sin2sin cos0ACBA，即sin2sin cos0BBA，又0,B，则sin0B，2cos2A，又30,4AA.（2）法一：如图，取 AC 中点 E，连接 DE，D是线段 BC 的中点，/,12DE AB DEAB,在ADEV中，,2,24AEDAEAD,由余弦定理可得22 220,2,2 2DEDEDEAB,1sin42ABCSAB ACA.法二：因为 D 是线段 BC 的中点，2ADABAC，22242ADABAB ACAC ，即22282|4|2ABAB

13、AC，2 2AB，1sin42ABCSAB ACA.1（2023湖南校联考模拟预测）ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知coscos2abbBAc(1)求 tan A；(2)若17a，ABC的面积为2 2，求 ABC的周长【答案】(1)tan2 2A (2)517【详解】（1）因为 coscos2abbBAc，所以由正弦定理可得sincos2sincossinsinABBABC又sinsinsincoscossinCABABAB，所以 3sincossinBAB因为sin0B，所以1cos3A 又0,A，所以2 2sin3A，tan2 2A （2）ABC的面积n122 22

14、si3ASbcbc，则6bc 由余弦定理：22222c23s2oabcbcbcbcA，得224253bcabc，所以5bc，故 ABC的周长为5172（2023四川绵阳四川省绵阳南山中学校考一模）记 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sin()sin2BCaABc(1)求 A；(2)已知3c ，1b ，边 BC 上有一点 D 满足3ABDADCSS，求 AD题型三解三角形中周长面积问题【答案】(1)3A(2)3 34AD（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】（1）sin()sin2BCaABc，即sinsin()sinsin2BCAABC由正弦定理，

15、有sinsinsincos 2AACC又sin0C，即有sincos 2AA，2sincoscos222AAA，(0,)22A，cos02A，所以1sin 22A，26A，故3A（2）设BDA，ADC，由（1）知3A，在ABC 中，由余弦定理2222cosabcbcA，可知219123 12BC ，7BC 又3ABDADCSS，可知3 734BDDC，在ABD 中，2222cosABBDADBD AD，即2633 79cos162ADAD，在ACD 中，2771cos()162ADAD，即2771cos162ADAD，联立解得3 34AD.3（2023 上四川成都高二四川省成都市新都一中校联考

16、）如图，在四边形 ABCD 中，DAB与DCB互补，6,4,4,2ABBCCDAD(1)求 AC；(2)求四边形 ABCD 的面积【答案】(1)2 7AC(2)8 3【分析】（1）连接 AC，在,ADCABC中，利用余弦定理分别求出,cos ADC,cos ABC,利用两值相反，建立等式，解出即可；（2）分别求出,ADCABC的面积，相加即可.【详解】（1）连接 AC，如图，DAB与DCB互补，ADC与ABC互补，在ADC中，2222cosACADCDAD CDADC，即2416224cosACADC ，得220cos16ACADC，在 ABC中，2222cosACABBCAB BCABC，即

17、23616264cosACABC ，得252cos48ACABC，又ADC与ABC互补，coscos0ADCABC，故2 7AC；（2）由（1）得13cos,sin22ADCADC，1sin2 32ADCSAD CDADC，由（1）得13cos,sin22ABCABC，1sin6 32ABCSAB BCABC，8 3ABCACDABCDSSS四边形1（2023广西南宁南宁二中校考模拟预测）已知 ABC中，角,A B C 对应的边分别为,a b c，D 是 AB 上的三等分点（靠近点 A）且1CD ，()sin()(sinsin)abAcbCB，则2ab 的最大值是（）A2 3B2 2C2D4【

18、答案】A【分析】先利用正弦定理的边角变换与余弦定理可求得ACB，再设ACD，利用正弦定理与正弦函数的和差角公式得到22 3sin()3ab，从而得解.【详解】因为()sin()(sinsin)abAcbCB，由正弦定理得()()()a abcb cb，则222aabcb，即222abcab，所以2221cos22abcACBab，(0,)ACB，则3ACB，设ACD，则3BCD，且03，又223cBDAD，即(sin2sin)sinsin()33cAB，又由正弦定理知2 sin3cRACBR（R 为 ABC的外接圆半径），所以3113(sin2sin)sincossinsincossin()3

19、223223ABR，则(2 sin4 sin)sin()363RARB，即22 3sin()3ab，又 2333，故当32，6 时，max(2)2 3ab.故选：A题型四解三角形中范围问题2（2023 上福建高三校联考期中）已知 ABC中，内角,A B C 所对的边分别为,a b c，且满足sinsinsinAcbBCb.(1)若3C，求 B；(2)求 acb的取值范围.【答案】(1)6(2)1,5【详解】（1）解法一：因为sinsinsinAcbBCb，由正弦定理得acbbcb，可得22abcb，即22cabb，又因为3C，由余弦定理得2222cos 3cabab，即222cabab，联立方

20、程组22222cabbcabab，可得22aab，即2ab，所以3cb，由余弦定理定理得2222263cos224 3acbbBacb，因为(0,)B，所以6B.解法二：因为sinsinsinAcbBCb，由正弦定理得sinsinsinsinsinsinACBBCB，整理得22sinsinsinsinABCB，又因为3C，可得23sinsinsin34BBB，所以2333cossinsin224BBB，即333sin 21cos2444BB，可得3 13sin 2cos20222BB，即sin 203B，因为203B，所以233B，所以203B ，所以6B.（2）由（1）知22cbab，可得2

21、2cbab，且cb，所以222221accbbcccbbbb，由三角形三边关系，可得abcbca，可得2bcb，令1,2cxb，可得 21f xxx，其中12x，所以函数 2151,524f xx，所以2211,5ccbb，所以 acb的取值范围是1,5.3（2023 上湖北高三湖北省天门中学校联考期中）记 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sin3 cos3bAaBc.(1)求 A；(2)求 2bca的最大值.【答案】(1)3A(2)2 213.【详解】（1）方法 1：由 sin3 cos3bAaBc及正弦定理可得：sinsin3sincos3sin3sinBAABCA

22、B，所以sinsin3sincos3sincos3cossinBAABABAB，故sinsin3 cossinBAAB，因为0B，即sin0B，故sin3 cos0AA，所以 tan3A，又0A，所以3A.方法 2：由 sin3 cos3bAaBc及余弦定理可得：2223sin32a acbbAcac，所以2223sin3 cos02bcaAAbc，所以 tan3A，又0A，所以3A.（2）由正弦定理可知 22sinsinsinbcBCaA，即22 322 3532 212sinsinsincossin333223bcBBBBBa，其中3tan52，270,036BB,故当2B时，2bca的最

23、大值为 2 213.一、单选题1（2021全国甲卷）在 ABC中，已知120B，19AC，2AB，则 BC （）A1B2C 5D3【答案】D【分析】利用余弦定理得到关于 BC 长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设,ABc ACb BCa，结合余弦定理：2222cosbacacB可得：21942cos120aac ，即：22150aa，解得：3a （5a 舍去），故3BC .故选：D.二、填空题2（2021全国乙卷）记 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为3，60B ，223acac，则b 【答案】2 2【分析】由三角形面积公式可得4ac，再结合余弦定理即可得解.【详

24、解】由题意，13sin324ABCSacBac，所以224,12acac，所以22212cos122 482bacacB ，解得2 2b（负值舍去）.故答案为：2 2.三、解答题3（2023全国新高考卷）记 ABC的内角,A B C 的对边分别为,a b c，已知 ABC的面积为3，D 为 BC中点，且1AD (1)若3ADC，求 tan B；(2)若228bc，求,b c【答案】(1)35；(2)2bc.【分析】（1）方法 1，利用三角形面积公式求出 a，再利用余弦定理求解作答；方法 2，利用三角形面积公式求出 a，作出 BC 边上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法 1，利用余弦定理求

25、出 a，再利用三角形面积公式求出ADC即可求解作答；方法 2，利用向量运算律建立关系求出 a，再利用三角形面积公式求出ADC即可求解作答.【详解】（1）方法 1：在 ABC中，因为 D 为 BC 中点，3ADC，1AD ，则1113313sin12222822ADCABCSAD DCADCaaS，解得4a，在ABD中，23ADB，由余弦定理得2222coscBDADBD ADADB，即214 1 2 2 1()72c ，解得7c，则74 15 7cos142 72B，225 721sin1 cos1()1414BB，所以sin3tancos5BBB.方法 2：在 ABC中，因为 D 为 BC

26、中点，3ADC，1AD ，则1113313sin12222822ADCABCSAD DCADCaaS，解得4a，在 ACD中，由余弦定理得2222cosbCDADCD ADADB，即214 12 2 132b ，解得3b，有2224ACADCD，则2CAD，6C，过 A 作 AEBC于 E，于是33cos,sin22CEACCAEACC，52BE，所以3tan5AEBBE.（2）方法 1：在ABD与 ACD中，由余弦定理得2222111 21 cos()42111 21 cos42caaADCbaaADC ，整理得222122 abc，而228bc，则2 3a，又133 1 sin22ADCS

27、ADC，解得sin1ADC，而0ADC，于是2ADC，所以222bcADCD.方法 2：在 ABC中，因为 D 为 BC 中点，则 2ADABAC，又CBABAC，于是2222224()()2()16ADCBABACABACbc，即2416a，解得2 3a，又133 1 sin22ADCSADC，解得sin1ADC，而0ADC，于是2ADC，所以222bcADCD.4（2023全国甲卷）记 ABC的内角,A B C 的对边分别为,a b c，已知2222cosbcaA(1)求bc；(2)若 coscos1coscosaBbAbaBbAc，求 ABC面积【答案】(1)1(2)34【分析】（1）根

28、据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出【详解】（1）因为2222cosabcbcA，所以2222cos22coscosbcabcAbcAA，解得：1bc （2）由正弦定理可得coscossincossincossincoscossincossincossinaBbAbABBABaBbAcABBACsinsinsinsin1sinsinsinABABBBABABAB，变形可得：sinsinsinABABB，即 2cossinsinABB，而0sin1B，所以1cos2A ，又0A，所以3sin2A，故 ABC的面积为1133sin

29、12224ABCSbcA 5（2022全国新高考卷）记 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,S SS，已知12331,sin23SSSB(1)求 ABC的面积；(2)若2sinsin3AC，求 b【答案】(1)28(2)12【分析】（1）先表示出123,S SS，再由12332SSS求得2222acb，结合余弦定理及平方关系求得ac，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sinsinsinbacBAC，即可求解.【详解】（1）由题意得222212313333,22444SaaSbSc，则2221233333444

30、2SSSabc，即2222acb，由余弦定理得222cos2acbBac，整理得cos1acB ，则cos0B，又1sin3B，则212 2cos133B，13 2cos4acB，则12sin28ABCSacB；（2）由正弦定理得：sinsinsinbacBAC，则223 294sinsinsinsinsin423bacacBACAC，则3sin2bB，31sin22bB.6（2021全国统考卷）记 ABC是内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知2bac，点 D 在边 AC上，sinsinBDABCaC.（1）证明：BDb；（2）若2ADDC，求cosABC.【答案】（1）证明见解析

31、；（2）7cos12ABC.【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBDb，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边 a 与c 的关系，然后利用余弦定理即可求得cosABC的值.【详解】（1）设 ABC的外接圆半径为 R，由正弦定理，得sinsin,22bcRABCCR，因为sinsinBDABCaC，所以22bcBDaRR，即 BD bac又因为2bac，所以 BDb（2）方法一【最优解】：两次应用余弦定理因为2ADDC，如图，在 ABC中，222cos2abcCab，在BCD中，222()3cos23babbaC由得2222223()3babcab，整理得2221120

32、3abc又因为2bac，所以2261130aacc，解得3ca 或32ca，当22,33ccabac时，333ccabc（舍去）当2233,22ccabac时，22233()722cos3122 2ccABCccc所以7cos12ABC方法二：等面积法和三角形相似如图，已知2ADDC，则23ABDABCSS，即21221sinsin2332bacADABBC，而2bac，即sinsinADBABC，故有ADBABC，从而ABDC 由2bac，即 bcab，即 CABACBBD，即 ACBABD，故 ADABABAC，即23bccb，又2bac，所以23ca，则2227cos212cabABCa

33、c方法三：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知 BDbAC，再由2ADDC得21,33ADb CDb在 ADB中，由正弦定理得 sinsinADBDABDA又ABDC，所以s3sinn2iCbAb，化简得2sinsin3CA在 ABC中，由正弦定理知23ca，又由2bac，所以2223ba在 ABC中，由余弦定理，得222222242793cos221223aaaacbABCaca故7cos12ABC方法四：平面向量基本定理因为2ADDC，所以2ADDCuuuruuur 以向量,BA BC 为基底，有2133BDBCBA所以222441999BDBCBA BCBA，即222441cos999ba

34、ccABCa，又因为2bac，所以22944cosacaacABCc由余弦定理得2222cosbacacABC，所以222cosacacacABC联立，得2261130aacc所以32ac或13ac下同解法 1方法六：建系求解以 D 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴，过点 D 垂直于 AC 的直线为 y 轴，DC 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则0,0,2,0,1,0DAC由（1）知，3BDbAC，所以点 B 在以 D 为圆心，3 为半径的圆上运动设,33B x yx，则229xy由2bac知，2BABCAC，即2222(2)(1)9xyxy联立解得74x 或732x（舍去），29

35、516y，代入式得3 6|,|6,32aBCcBAb，由余弦定理得2227cos212acbABCac7（2021全国高考）在 ABC中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，1ba，2ca.（1）若2sin3sinCA，求 ABC的面积；（2）是否存在正整数 a，使得 ABC为钝角三角形?若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由【答案】（1）15 74；（2）存在，且2a.【分析】（1）由正弦定理可得出 23ca，结合已知条件求出 a 的值，进一步可求得b、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由 cos0C 结合三角形三边关系可求得整数 a 的值.【详解】（1）因为2sin3sinCA，则2223caa，则4a，故5b，6c ，2221cos28abcCab+-=，所以，C 为锐角，则23 7sin1cos8CC，因此，113 715 7sin4 52284ABCSabC ；（2）显然cba，若 ABC为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得22222221223cos022121aaaabcaaCaba aa a，解得 13a，则 0 3a，由三角形三边关系可得12aaa，可得1a ，aZ，故2a.