五类概率与统计-高考数学大题秒杀技巧（新高考专用）（解析版）.pdf

1、五类概率与统计题型-高考数学大题秒杀技巧概率与统计问题一般分为五类：类型 1：独立性检验问题；类型 2：线性回归及非线性回归问题；类型 3：超几何分布问题；类型 4：二项分布问题 类型 5：正态分布问题。下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.类型 1：独立性检验问题1.分层抽样一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的。注：求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比

2、例式进行计算分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比=样本容量总体容量=各层样本数量各层个体数量”2.频率分布直方图(1)频率、频数、样本容量的计算方法 频率组距 组距=频率频数样本容量=频率，频数频率=样本容量，样本容量 频率=频数频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 1.3.频率分布直方图中数字特征的计算(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的设中位数为 x，利用 x 左(右)侧矩形面积之和等于0.5，即可求出 x(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和

3、，即有 x=x1p1+x1p1+xnpn，其中 xn为每个小长方形底边的中点，pn为每个小长方形的面积4.独立性检验(1)定义：利用独立性假设、随机变量 K 2来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验1(2)公式：K 2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中 n=a+b+c+d 为样本容量(3)独立性检验的具体步骤如下：计算随机变量 K 2的观测值 k，查下表确定临界值 k0：p K 2 k00.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7

4、063.8415.0246.6357.87910.828如果 k k0，就推断“X 与 Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过 p K 2 k0；否则，就认为在犯错误的概率不超过 p K 2 k0的前提下不能推断“X 与 Y 有关系”独立性检验问题专项训练1 为提升学生实践能力和创新能力，某校在高一，高二年级开设“航空模型制作 选修课程为考察课程开设情况，学校从两个年级选修该课程的学生中各随机抽取 20 名同学分别制作一件航空模型并根据每位同学作品得分绘制了如图所示的茎叶图若作品得分不低于 80，评定为“优良”，否则评定为“非优良”高一同学作品高二同学作品883265796543221071

5、38799622182345677899539078(1)请完成下面的 2 2 列联表；优良非优良合计高一高二合计(2)判断是否有 90%的把握认为作品是否“优良”与制作者所处年级有关?附：K 2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+dP K 2 k0.1500.1000.0100.001k2.0722.7066.63510.828【答案】(1)答案见解析；(2)有 90%的把握认为作品是否“优良”与制作者所处年级有关【分析】(1)根据茎叶图完成列联表即可；(2)求出 K 2，再对照临界值表即可得出结论.【详解】(1)由茎叶图可知高一优良的有 7 个，非优良的有 13 个

6、，高二优良的有 13 个，非优良的有 7 个，完成的 2 2 列联表如下：2优良非优良合计高一71320高二13720合计202040(2)K 2=40 7 7-13 13220 20 20 20=3.6 2.706，有 90%的把握认为作品是否“优良”与制作者所处年级有关2 4 月 15 日是全民国家安全教育日以人民安全为宗旨也是“总体国家安全观”的核心价值.只有人人参与，人人负责，国家安全才能真正获得巨大的人民性基础，作为知识群体的青年学生，是强国富民的中坚力量，他们的国家安全意识取向对国家安全尤为重要.某校社团随机抽取了 600 名学生，发放调查问卷 600 份(答卷卷面满分 100 分

7、)回收有效答卷 560 份，其中男生答卷 240 份，女生答卷 320 份.有效答卷中 75 分及以上的男生答卷 80 份，女生答卷 80 份，其余答卷得分都在 10 分至 74 分之间同时根据 560 份有效答卷的分数，绘制了如图所示的频率分布直方图(1)求频率分布直方图中 m 的值，并求出这 560 份有效答卷得分的中位数和平均数 n(同一组数据用该组中点值代替).(2)如果把 75 分及以上称为对国家安全知识高敏感人群，74 分及以下称为低敏感人群，请根据上述数据，完成下面 2 2 列联表，并判断能否有 95%的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关高敏感低敏感总计男生80女生80总计

8、560附：独立性检验临界值表PK 2 k00.10.050.010.0050.001K 22.7063.8416.6357.87910.828公式：K 2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d，其中 n=a+b+c+d【答案】(1)m=0.02，中位数 62，平均数 60.23(2)列联表见解析，有【详解】(1)因为 10m=1-10 0.003+2 0.006+0.009+2 0.012+2 0.016，所以 m=0.02又 10(0.003+0.006+0.009+0.012+0.016)=0.46 3.841,故有 95%的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关3 某学生兴趣小组随

9、机调查了某市 200 天中每天的空气质量等级和当天到江滨公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级0,200200,400400,6001(优)1220442(良)1519303(轻度污染)1616144(中度污染)752(1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；并求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”根据所给数据，完成下面的 2 2 列联表，并根据列联表，判断是否有 99.9的把

10、握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次 400人次 400空气质量好空气质量不好附：K 2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d【答案】(1)0.38,0.32,0.23,0.07，340(2)列联表见解析，有【详解】(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为 1 的概率为 12+20+44200=0.38，等级为 2 的概率为 15+19+30200=0.32，等级为 3 的概率为 16+16+14200=0.23，4等级为 4 的概率为 7+5+2200=0.07，由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为 100 50+300 60+500 90

11、200=340.(2)2 2 列联表如下：人次 400人次 400空气质量好6674空气质量不好4416K 2=200 (66 16-74 44)2110 90 140 60 11.640 10.828，因此，有 99.9%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关4 某市阅读研究小组为了解该城市中学生阅读与语文成绩的关系，在参加市中学生语文综合能力竞赛的各校学生中随机抽取了 500 人进行调查，并按学生成绩是否高于 75 分(满分 100 分)及周平均阅读时间是否少于 10 小时，将调查结果整理成列联表.现统计出成绩不低于 75 分的样本占样本总数的 30%，周平均阅读时间少

12、于 10 小时的人数占样本总数的一半，而不低于 75 分且周平均阅读时间不少于 10 小时的样本有 100 人.周平均阅读时间少于 10 小时周平均阅读时间不少于 10 小时合计75 分以下s不低于 75 分t100合计500(1)根据所给数据，求出表格中 s 和 t 的值，并分析能否有 99.9%以上的把握认为语文成绩与阅读时间是否有关；(2)先从成绩不低于 75 分的样本中按周平均阅读时间是否少于 10 小时分层抽样抽取 9 人进一步做问卷调查，然后从这 9 人中再随机抽取 3 人进行访谈，记抽取 3 人中周平均阅读时间不少于 10 小时的人数为X，求 X 的分布列与均值.参考公式及数据：

13、2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d.0.010.0050.001x6.6357.87910.828【答案】(1)s=150,t=50，有 99.9%的把握认为语文成绩与阅读时间有关(2)分布列见解析，数学期望为 2【详解】(1)根据已知条件，列联表如下：周平均阅读时间少于 10 小时周平均阅读时间不少于 10 小时合计75 分以下200150350不低于 75 分50100150合计2502505005所以 s=150,t=50，由表知 2=500 (200 100-150 50)2350 150 250 250 23.8 10.828，所以有 99.9%的把握

14、认为语文成绩与阅读时间有关.(2)依题意，成绩不低于 75 分的学生中周平均阅读时间少于 10 小时和不少于 10 小时的人数比是 1:2，按分层抽样抽取 9 人，则周平均阅读时间少于 10 小时有 3 人，不少于 10 小时的有 6 人，从这 9 人中再随机抽取 3 人进行访谈，则 X 可能的取值为 0,1,2,3，P X=0=C33C39=184,P X=1=C23C16C39=314,P X=2=C13C26C39=1528，P X=3=C36C39=521.分布列如下：X0123P1843141528521 E X=1 314+2 1528+3 521=2.5 一个航空航天的兴趣小组，

15、对 500 名男生和 500 名女生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，情况如下表所示男生女生感兴趣380220不感兴趣120280P(K 2 k)0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828附：K 2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d(1)是否有 99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联?(2)一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，左边有 2 艘“Q2 运输船”和1 艘“M1 转移塔”，右边有 3 艘“M1 转移塔”假设两艘飞行器模型间的“交会对接”重复了 n

16、次，记左边剩余 2 艘“Q2 运输船”的概率为 Pn，剩余 1 艘“Q2 运输船”的概率为 qn，求 2pn+qn与 2pn-1+qn-1的递推关系式；(3)在(2)情况下，求 Xn的分布列与数学期望 E Xn【答案】(1)有 99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联(2)2pn+qn-1=13 2pn-1+qn-1-1(3)分布列见解析，E Xn=1+13n，n N*【详解】(1)解：K 2=1000 380 280-120 2202500 500 600 400 106.67 10.828 有 99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联(2)p1=C11C13 C

17、13C13=13，q1=C12C13 C13C13=23，6p2=C11C13 C13C13 p1+C12C13 C13C13 q1+0 1-p1-q1=13 p1+29 q1=727，q2=C12C13 C13C13 p1+C12C13 C12C13+C11C13 C11C13 q1+C13C13 C12C13 1-p1-q1=-19 q1+23=1627 当 n 2 时 pn=C11C13 C13C13 pn-1+C12C13 C11C13 qn-1+0 1-pn-1-qn-1=13 pn-1+29 qn-1，qn=C12C13 C13C13 pn-1+C12C13 C12C13+C11C

18、13 C11C13 qn-1+C13C13 C12C13 1-pn-1-qn-1=-19 qn-1+23，2 +，得 2pn+qn=23 pn-1+49 qn-1-19 qn-1+23=13 2pn-1+qn-1+23 从而 2pn+qn-1=13 2pn-1+qn-1-1(3)由(2)得 2p1+q1-1=13，2pn+qn-1=13 2pn-1+qn-1-1，数列 2pn+qn-1是首项为 13，公比为 13 的等比数列，2pn+qn-1=13 13n-1=13n，即 2pn+qn=1+13n，n N*，联立得 qn-35=-19 qn-1-35，又 q1-35=115，则数列 qn-35

19、是首项为 115，公比为-19 的等比数列，qn=115 -19n-1+35，n N*由得 pn=12 1+13n-qn=310 -19n+12 13n+15，n N*1-pn-qn=310 -19n-12 13n+15，n N*Xn的概率分布列为：Xn012P1-pn-qnqnpn则 E Xn=0 1-pn-qn+1 qn+2 pn=1+13n，n N*类型 2：线性回归及非线性回归问题线性回归线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系(相关关系)的方法对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归方程 y=bx+a 的求法为b=ni=1(x

20、i-x)(yi-y)ni=1(xi-x)2=ni=1xiyi-nxyni=1xi2-nx2a=y-bx其中，x=1nni=1xi，y=1nni=1yi，(x，y)称为样本点的中心非线性回归建立非线性回归模型的基本步骤(1)确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(是否存在非线性关系)；(3)由经验确定非线性回归方程的类型(如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、7指数函数、对数函数、幂函数模型等)；(4)通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；(5)按照公式计算线性回归方程中的参数(如最

21、小二乘法)，得到线性回归方程；(6)消去新元，得到非线性回归方程；(7)得出结果后分析残差图是否有异常若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等线性回归及非线性回归问题专项训练6 某旅游公司针对旅游复苏设计了一款文创产品来提高收益该公司统计了今年以来这款文创产品定价 x(单位：元)与销量 y(单位：万件)的数据如下表所示：产品定价 x(单位：元)99.51010.511销量 y(单位：万件)1110865(1)依据表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请计算相关系数并加以说明(计算结果精确到 0.01)；(2)建立 y 关于 x 的回归方程，预测当产品定价为

22、8.5 元时，销量可达到多少万件参考公式：r=ni=1xi-xyi-yni=1xi-x2ni=1yi-y2,b=ni=1xi-xyi-yni=1xi-x2,a=y-bx参考数据：65 8.06【答案】(1)r-0.99，说明 y 与 x 的线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系(2)12.8 万件【详解】(1)由题条件得 x=15(9+9.5+10+10.5+11)=10，y=15(11+10+8+6+5)=85i=1xi-xyi-y=(9-10)(11-8)+(9.5-10)(10-8)+(10-10)(8-8)+(10.5-10)(6-8)+(11-10)(5-8)=-

23、8，5i=1xi-x2=(9-10)2+(9.5-10)2+(10-10)2+(10.5-10)2+(11-10)2=2.5，5i=1yi-y2=(11-8)2+(10-8)2+(8-8)2+(6-8)2+(5-8)2=26 r=ni=1xi-xyi-yni=1xi-x2ni=1yi-y2=-865-0.99 y 与 x 的相关系数近似为-0.99，说明 y 与 x 的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合 y与 x 的关系(2)b=5i=1xi-xyi-y5i=1xi-x2=-82.5=-3.2,a=y+3.2x=40，y 关于 x 的线性回归方程为 y=-3.2x+408当 x=8.5

24、 时，y=12.8 当产品定价为 8.5 元时，预测销量可达到 12.8 万件7 2023 年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年 14 月份接到的订单数量.月份 t1234订单数量 y(万件)5.25.35.75.8附：相关系数，r=ni=1(xi-x)(yi-y)ni=1(xi-x)2ni=1(yi-y)2回归方程 y=a+bx 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b=ni=1(xi-x)(yi-y)ni

25、=1(xi-x)2，a=y-bx，1.3 1.14.(1)试根据样本相关系数 r 的值判断订单数量 y 与月份 t 的线性相关性强弱(0.75|r|1，则认为 y 与 t的线性相关性较强，|r|0.75，订单数量 y 与月份 t 的线性相关性较强；(2)b=4i=1(ti-t)(yi-y)4i=1(ti-t)2=1.15=0.22，a=y-bt=5.5-0.22 2.5=4.95，线性回归方程为 y=0.22t+4.95，9令 t=5，y=0.22 5+4.95=6.05(万件)，即该企业 5 月份接到的订单数量预计为 6.05 万件.8 据统计，某城市居民年收入(所有居民在一年内收入的总和，

26、单位：亿元)与某类商品销售额(单位：亿元)的 10 年数据如下表所示：第 n 年12345678910居民年收入 x32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0商品销售额 y25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0依据表格数据，得到下面一些统计量的值.10i=1xi10i=1yii=110 xi-x2i=110yi-y2i=110 xi-xyi-y379.6391247.624568.9m(1)根据表中数据，得到样本相关系数 r 0.95.以此推断，y 与 x 的线性相关程度是否很强？(2)根据统计量的值与样本相关系数

27、 r 0.95，建立 y 关于 x 的经验回归方程(系数精确到 0.01)；(3)根据(2)的经验回归方程，计算第 1 个样本点 32.2,25.0对应的残差(精确到 0.01)；并判断若剔除这个样本点再进行回归分析，b 的值将变大还是变小？(不必说明理由，直接判断即可).附：样本 xi,yii=1,2,n的相关系数 r=ni=1xi-xyi-yni=1xi-x2ni=1yi-y2，2.297 1.516，b=ni=1xi-xyi-yni=1xi-x2，a=y-bx.【答案】(1)线性相关程度很强(2)y=1.44x-15.56(3)-5.81，变小【详解】(1)根据样本相关系数 r 0.95

28、，可以推断线性相关程度很强.(2)由 r=ni=1xi-xyi-yni=1xi-x2ni=1yi-y2 0.95 及 b=ni=1xi-xyi-yni=1xi-x2，可得 br=ni=1xi-x2ni=1yi-y2ni=1xi-x2=ni=1yi-y2ni=1xi-x22.297，所以 b=r 2.297 0.95 1.516 1.440，又因为 x=37.96,y=39.1，所以 a=y-bx-15.56，所以 y 与 x 的线性回归方程 y=1.44x-15.56.(3)第一个样本点 32.2,25.0的残差为：25.0-1.44 32.2-15.56=-5.808-5.81，10由于该点

29、在回归直线的左下方，故将其剔除后，b 的值将变小.9 数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为 2018-2022 年中国车载音乐市场规模(单位：十亿元)，其中年份 2018-2022 对应的代码分别为 1-5年份代码 x12345车载音乐市场规模 y2.83.97.312.017.0(1)由上表数据知，可用指数函数模型 y=a bx拟合 y 与 x 的关系，请建立 y 关于 x 的回归方程(a，b 的值精确到 0.1)；(2)综合考虑 2023 年及 2024 年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得 y 关于 x 的回归方

30、程后，通过修正，把 b-1.3 作为 2023 年与 2024 年这两年的年平均增长率，请根据 2022 年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测 2024 年的中国车载音乐市场规模参考数据：v5i=1xi vie0.524e0.4721.9433.821.71.6其中 vi=lnyi，v=155i=1vi 参考公式：对于一组数据 u1,v1,u2,v2,un,vn，其回归直线 v=a+u 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 =ni=1uivi-nu vni=1u2i-nu2,a=v-u【答案】(1)y=1.7 1.6x(2)28.73 十亿元【详解】(1)解：因为 y=a bx，

31、所以两边同时取常用对数，得 lny=lna+xlnb，设 v=lny，所以 v=lna+xlnb，设 =lna,=lnb，因为 x=3,v=1.94，所以 =5i=1xivi-5x v5i=1x2i-5x2=33.82-5 3 1.9455-5 32=0.472,=v-x=1.94-0.472 3=0.524，所以 lna=0.524,lnb=0.472所以 a=e0.524=1.7,b=e0.472=1.6所以 y=1.7 1.6x(2)由(1)知 2023 年与 2024 年这两年的年平均增长率 1.6-1.3=0.3，2022 年中国车载音乐市场规模为 17，11故预测 2024 年的中

32、国车载音乐市场规模 17 1+0.32=28.73(十亿元).10 某新能源汽车公司对其产品研发投资额 x(单位：百万元)与其月销售量 y(单位：千辆)的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.x12345y0.691.611.792.082.20(1)通过分析散点图的特征后，计划用 y=ln bx+a作为月销售量 y 关于产品研发投资额 x 的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出 y 关于 x 的回归方程；(2)公司决策层预测当投资额为 11 百万元时，决定停止产品研发，转为投资产品促销.根据以往的经验，当投资 11 百万元进行产品促销后，月销售量 的分布列为：345P32 p2pp+16

33、结合回归方程和 的分布列，试问公司的决策是否合理.参考公式及参考数据：b=ni=1xi-xyi-yni=1xi-x2=ni=1xi yi-nx yni=1x2i-nx2，a=y-bx，ln7 1.95.y0.691.611.792.082.20ey(保留整数)25689【答案】(1)y=ln 1.7x+0.9；(2)公司的决策合理.【详解】(1)因为 y=ln bx+a，令 z=bx+a，所以 z=ey.由题可得 x=15 1+2+3+4+5=3，z=15 2+5+6+8+9=6，则 b=5i=1xi zi-5x z5i=1x2i-5x2=107-5 3 655-5 9=1710=1.7，a=

34、z-bx=6-1.7 3=0.9，所以 z=1.7x+0.9，所以回归方程为 y=ln 1.7x+0.9.(2)当 x=11 时，y=ln 1.7 11+0.9=ln19.6=ln 2 495=ln2+2ln7-ln5=2.98.12因为 32 p2+p+p+16=1 且 0 p 2.98,所以公司的决策合理.类型 3：超几何分布问题超几何分布(1)在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则事件 X=k发生的概率为 P(X=k)=CkMCn-kN-MCnN，k=0，1，2，m，其中 m=min M，n，且 n N，M N，n，M，N N*，称分布列为超几何分布列

35、如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布X01mPC0MCn-0N-MCnNC1MCn-1N-MCnNCmMCn-mN-MCnN超几何分布和二项分布的区别(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；(2)超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取(独立重复)，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.超几何分布专项训练11 某校举行“强基计划”数学核心素养测评竞赛，竞赛以抽盲盒答题的形式进行，现有甲、乙两个盲盒箱，甲中有 4 个选择题和 2 个填空题，乙中有 3 个选择题和 3 个填空题，竞赛可以以

36、不同的方式进行.(1)若已知 A 班选择了甲箱，且派出 5 人参赛，每个人盲抽一个题作答，答完后仍放回甲箱.每个人答对选择题的概率为 34，答对得 3 分，答错得 0 分，每个人答对填空题的概率为 23，答对得 5 分，答错得 0 分，求 A班总得分 X 的数学期望.(2)若已知 A 班班长先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后 B 班班长再从乙箱中抽取一道题目，已知 B 班班长从乙箱中抽取的是选择题，求 A 班班长从甲箱中取出的是两道选择题的概率.【答案】(1)23518(2)613【详解】(1)A 班在甲箱抽取时，每个人抽到选择题的概率为 46=23，抽到填空题

37、的概率为 26=13，每个人得分的平均值=23 34 3+13 23 5=4718，A 班得分的数学期望=4718 5=23518；(2)设 A 班班长抽取 0 道、1 道、2 道选择题的事件为 A0,A1,A2，B 班班长抽到的是选择题的事件为B1,则 P B1=P A0B1+P A1B1+P A2B1=C22C26 38+C12 C14C26 12+C24C26 58=1324,13则 P A2 B1=P A2B1P B1=141324=613.12 乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣亲近自然寻味乡愁的美好追求.某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了

38、 8 家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：民宿点甲乙丙丁戊己庚辛普通型民宿16812141318920品质型民宿6164101110912(1)从这 8 家中随机抽取 3 家，在抽取的这 3 家的普通型民宿的房间均不低于 10 间的条件下，求这 3 家的品质型民宿的房间均不低于 10 间的概率；(2)从这 8 家中随机抽取 4 家，记 X 为抽取的这 4 家中普通型民宿的房间不低于 15 间的家数，求 X 的分布列和数学期望.【答案】(1)15(2)32【详解】(1)由题可知这 8 家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于 10 间的有 6 家，品质型民宿和普通型民宿的房间均不低于 1

39、0 间的有 4 家.记“这 3 家的普通型民宿的房间均不低于 10 间”为事件 A，“这 3 家的品质型民宿的房间均不低于 10间”为事件 B，则 P A=C36C38=514,P AB=C34C38=114，所以 P B A=P ABP A=15.(2)这 8 家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于 15 间的有 3 家，故 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P X=0=C03 C45C48=570=114,P X=1=C13 C35C48=3070=37，P X=2=C23 C25C48=3070=37,P X=3=C33 C15C48=570=114，所以 X 的分布列如下表：X0123

40、P1143737114所以 E X=0 114+1 37+2 37+3 114=32.13 已知某排球特色学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为 7 人、6 人、2人(1)若从该校队随机抽取 3 人拍宣传海报，求抽取的 3 人中恰有 1 人来自高三年级的概率(2)现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这 3 个动作技术进行训练，且在训练阶段进行了多轮测试，规定：在一轮测试中，这 3 个动作至少有 2 个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”已知在某一轮测试的 3 个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为 12，乙同学每个动作达到“优秀”的概率均为 23，且14每位同

41、学的每个动作互不影响，甲、乙两人的测试结果互不影响记 X 为甲、乙二人在该轮测试结果为“优秀”的人数，求 X 的分布列和数学期望【答案】(1)1235(2)分布列见解析；期望为 6754【详解】(1)设事件 A 为“抽取的 3 人中恰有 1 人来自高三年级”，则有 P A=C213C12C315=1235(2)设甲同学在一轮测试中 3 个动作“优秀”的个数为 Y，则有 Y B 3,12；设乙同学在一轮测试中 3 个动作“优秀”的个数为 Z，则有 ZB 3,23；所以甲同学在一轮测试结果为优秀的概率P Y 2=P Y=2+P Y=3=C23122121+C33123120=12，乙同学在一轮测试

42、结果为优秀的概率P Z 2=P Z=2+P Z=3=C23232131+C33233130=2027 由题意，得 X 可取 0，1，2；则有 P X=0=1-12 1-2027=754；P X=1=12 1-2027+1-12 2027=12；P X=2=12 2027=1027 所以 X 的分布列为：X012P754121027因此 X 的数学期望 E X=0 754+1 12+2 1027=6754 14 为了丰富农村儿童的课余文化生活，某基金会在农村儿童聚居地区捐建“悦读小屋”.自 2018 年以来，某村一直在组织开展“悦读小屋读书活动”.下表是对 2018 年以来近 5 年该村少年儿童

43、的年借阅量的数据统计：年份20182019202020212022年份代码 x12345年借阅量 y(册)y1y23692142(参考数据：5i=1yi=290)(1)在所统计的 5 个年借阅量中任选 2 个，记其中低于平均值的个数为 X，求 X 的分布列和数学期望E X；(2)通过分析散点图的特征后，计划分别用 y=35x-47 和 y=5x2+m 两种模型作为年借阅量 y 关于年份代码 x 的回归分析模型，请根据统计表的数据，求出模型的经验回归方程，并用残差平方和比较哪个模型拟合效果更好.【答案】(1)分布列见解析，E X=6515(2)y=5x2+3；模型的拟合效果更好【详解】(1)由题

44、知，5 年的借阅量的平均数为：2905=58，又 y1+y2=290-36-92-142=20，则 y1,y2 P2.(i)求 p 的取值范围；(ii)证明数列 Pn单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.【答案】(1)分布列见解析，52(2)(i)12 p 0，得 12 p 1.(ii)由(i)知 12 p 0因此 Pn+1 Pn，即数列 Pn单调递增.该结论的实际意义是：比赛局数越多，对实力较强者越有利.17 为进一步加强学生的文明养成教育，推进校园文化建设，倡导真善美，用先进人物的先进事迹来感动师生，用身边的榜样去打动师生，用真情去发现美，分享美，弘扬美，某校以争做最美青年为主题，

45、进行“最美青年”评选活动，最终评出了 10 位“最美青年”，其中 6 名女生 4 名男生。学校准备从这 10 位“最美青年”中每次随机选出一人做事迹报告.(1)若每位“最美青年”最多做一次事迹报告，记第一次抽到女生为事件 A，第二次抽到男生为事件 B，求P B，P B|A；(2)根据不同需求，现需要从这 10 位“最美青年”中每次选 1 人，可以重复，连续 4 天分别为高一、高二、高三学生和全体教师做 4 场事迹报告，记这 4 场事迹报告中做报告的男生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望.【答案】(1)P(B)=25；P B|A)=49(2)分布列见解析；E(X)=85【详解】(1)解：由题

46、意得，第二次抽到男生的概率为 P(B)=610 49+410 39=25，“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，而 P(A)=35，P(AB)=610 49=415，所以 P(B|A)=P(AB)P(A)=49.(2)解：被抽取的 4 次中男生人数 X 的取值为 0，1，2，3，4 且 X B 4,25.可得 P(X=0)=C04354 250=81625；P(X=1)=C14 353 251=216625；P(X=2)=C24352 252=216625；P(X=3)=C34351 253=96625；P(X=4)=C44350

47、254=16625，所以随机变量 X 的分布列为：X01234P81625216625216625966251662519所以随机变量 X 的期望为：E(X)=4 25=85.18 某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放 8 个大小相同的小球，其中 4个为红色，4 个为黑色抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数 X 的分布列和数学期望(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数

48、 Y 的分布列和数学期望(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由【答案】(1)分布列见解析；期望为 67(2)分布列见解析；期望为 67(3)答案见解析【详解】(1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为 p=C24+C24C28=37，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数 X 服从二项分布，即 X B 2,37，所以 X 的所有可能取值为0,1,2，则P(X=0)=C02370 472=1649，P(X=1)=C12 371 471=2449，P(X=2)=C22372 470=949，所以 X 的分布列为X012P164

49、92449949所以 X 的数学期望 E x=2 37=67(2)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数 Y 的所有可能取值为 0,1,2，则P(Y=0)=C14C14C28 C13C13C26=1235，P(Y=1)=C24+C24C28 C12C14C26+C14C14C28 C23+C23C26=1635，P(Y=2)=C24+C24C28 C22+C24C26=15，所以 Y 的分布列为Y012P123516351520所以 Y 的数学期望为 E X=0 1235+1 1635+2 15=67.(3)因为(1)(2)两问的数学期望相等，第(1)问中两次奖的概率比第

50、(2)问的小，即 949 15，第(1)问中不中奖的概率比第 2问小，即 1649 1235，回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第(2)问方式进行抽；回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第(1)问方式进行抽奖19 某种抗病毒疫苗进行动物实验，将疫苗注射到甲乙两地一些小白鼠体内，小白鼠血样某项指标 X值满足 12.2 X 21.8 时，小白鼠产生抗体从注射过疫苗的小白鼠中用分层抽样的方法抽取了 210 只进行 X 值检测，其中甲地 120 只小白鼠的 X 值平均数和方差分别为 14 和 6，乙地 90 只小白鼠的 X 值平均数和方差分别为 21 和 17，这

51、210 只小白鼠的 X 值平均数与方差分别为，2(与 2均取整数)用这 210只小白鼠为样本估计注射过疫苗小白鼠的总体，设 X N,2(1)求，2；(2)小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，已知注射过疫苗的 N 只小白鼠中有 102 只产生抗体，试估计 N 的可能值(以使得 P(K=102)最大的 N 的值作为 N 的估计值)；(3)对这些小白鼠进行第二次疫苗注射后，有 99.1%的小白鼠产生了抗体，再对这些小白鼠血样的 X 值进行分组检测，若每组 n(n 50)只小白鼠混合血样的 X 值在特定区间内，就认为这 n 只小白鼠全部产生抗体，否则要对 n 只小白鼠逐个检测已知单独检验一只小白鼠血

52、样的检测费用为 10 元，n 只小白鼠混合血样的检测费用为 n+9 元试给出 n 的估计值，使平均每只小白鼠的检测费用最小，并求出这个最小值(精确到 0.1 元)附：若 X N,2，则 P(|X-|)=0.68，P(|X-|2)=0.95参考数据：21 4.6，22 4.7，23 4.8，24 4.9【答案】(1)17，23(2)N 的估计值为 149 或 150(3)每只小白鼠平均检测费用的最小值约为 2.8 元，n 的估计值为 10【详解】(1)法 1：记甲地小白鼠样本 X 值的平均数为 x，方差为 s21；记乙地小白鼠样本 X 值的平均数为 y，方差为 s22，则x=14，y=21，s2

53、1=6，s22=17，所以=120 x+90y210=120 14+90 21210=17 2=120 s21+(x-)2+90 s22+(y-)2210=4 6+(14-17)2+3 17+(21-17)27 23,法 2：记甲地小白鼠样本的 X 值为 x1，x2，x120，平均数为 x，方差为 s21；记乙地小白鼠样本的 X 值为 y1，y2，y90，平均数为 y，方差为 s22因为 x=14，y=21，s21=6，s22=17所以 =120 x+90y210=120 14+90 21210=17由120k=1xk-x2=120s21，120k=1xk-x=0，可得120k=1xk-2=1

54、20k=1xk-x+x-2=120k=1xk-x2+2 xk-x(x-)+(x-)2=120k=1xk-x2+2(x-)120k=1xk-x+120k=1(x-)2=120s21+120(x-)2=30 6021同理90k=1yk-2=90s22+90(y-)2=30 99，于是s2=1210120k=1xk-2+90k=1yk-2=30 60+30 99210 23(2)法 1：因为 =23=4.8，所以 P(12.2 X 21.8)=P(-X -)0.68从注射过疫苗的小白鼠取出 N 只，其中产生抗体的有 K 只，则 KB(N，0.68)，P(K=k)=C102N 0.32N 178k(k

55、=0,1,2,N)当 N 102 时，P(K=102)=0；当 N 102 时，P(K=102)=178102C102N 0.32N记(N)=178102C102N 0.32N，则(N)(N+1)=C102N0.32C102N+1=N-1010.32(N+1)由(N)(N+1)1 等价于 N-101 0.32(N+1)，当且仅当 N 101.320.68=149，知当 103 N 148 时，(N)149 时，(N)(N+1)；故 N=149 或 N=150 时，(N)最大，所以 N 的估计值为 149 或 150法 2：因为 =23=4.8，所以 P(12.2 X 21.8)=P(-X -)

56、0.68从注射过疫苗的小白鼠取出 N 只，其中产生抗体的有 K 只，则 KB(N，0.68)，P(K=k)=C102N 0.32N 178k(k=0,1,2,N)当 N 102 时，P(K=102)=0；当 N 102 时，P(K=102)=178102C102N 0.32N若 N=102，则 P(K=102)=178 102 P(K=101)P(K=101)若 N 103，则178102C102N 0.32N178102C102N+10.32N+1,178102C102N 0.32N C102N-10.32N-1.化简得 0.32(N+1)N-101,0.32N N-102.解得 149 N

57、 150综上，N 的估计值为 149 或 150(3)记 n 只小白鼠检测费用为 Y 元，当 n 只小白鼠全部产生抗体时，Y=n+9，当 n 只小白鼠不都产生抗体时，Y=11n+9，则P(Y=n+9)=0.991n，P(Y=11n+9)=1-0.991n因此 E(Y)n=(n+9)0.991n+(11n+9)1-0.991nn=11-10 (1-0.009)n+9n 因为 n 50，所以(1-0.009)n=1-C1n0.0091+C2n0.0092-C3n0.0093+1-0.009n故 E(Y)n=0.09n+9n+1 20.09n 9n+1=2.8，当且仅当 n=10 时取等号于是每只小

58、白鼠平均检测费用的最小值约为 2.8 元，n 的估计值为 1020 某公司对新生产出来的 300 辆新能源汽车进行质量检测，每辆汽车要由甲、乙、丙三名质检员各进行一次质量检测，三名质检员中有两名或两名以上检测不合格的将被列为不合格汽车，有且只有一名质检员检测不合格的汽车需要重新由甲、乙两人各进行一次质量检测，重新检测后，如果甲、乙两名质检员中还有一人或两人检测不合格，也会被列为不合格汽车.假设甲、乙、丙三名质检员的检测相互独立，每一22次检测不合格的概率为 p 0 p 1.(1)求每辆汽车被列为不合格汽车的概率 q；(2)公司对本次质量检测的预算支出是 4 万元，每辆汽车不需要重新检测的费用为

59、 60 元，需要重新检测的前后两轮检测的总费用为 100 元，所有汽车除检测费用外，其他费用估算为 1 万元，若 300 辆汽车全部参与质量检测，实际费用是否会超出预算?【答案】(1)-3p5+12p4-17p3+9p2(2)不会【详解】(1)由题意知，每辆汽车第一轮质量检测被列为不合格汽车的概率为 C23p2 1-p+C33p3，每辆汽车重新检测被列为不合格汽车的概率为 C13p 1-p2 1-1-p2，综上可知，每辆汽车被列为不合格汽车的概率为q=C23p2 1-p+C33p3+C13p 1-p2 1-1-p2=-3p5+12p4-17p3+9p2.(2)设每辆汽车质量检测的费用为 X 元

60、，则 X 的可能取值为 60，100，由题意知 P X=100=C13p 1-p2，P X=60=1-C13p 1-p2，所以随机变量 X 的数学期望为E X=60 1-C13p 1-p2+100 C13p 1-p2=60+120p 1-p2(元)，p 0,1，令 f x=60+120 x 1-x2，x 0,1，则 f x=1201-x2-2x 1-x=120 3x-1x-1，所以当 0 x 0；当 x 13,1时，f x 0；所以函数 f x在 0,13上单调递增，在13,1上单调递减，所以 f x f13=60+120 13 1-132=7009，即 E X 7009(元).所以此方案的最

61、高费用为 1+300 7009 10-4=103(万元)，综上可知，实际费用估计不会超过预算.类型 5：正态分布问题(1)随机变量 X 落在区间(a，b 的概率为 P(a X b)=ba,(x)dx，即由正态曲线，过点(a，0)和点(b，0)的两条 x 轴的垂线，及 x 轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是 X 落在区间(a，b 的概率的近似值一般地，如果对于任何实数 a，b(a b)，随机变量 X 满足 P(a 0，P(-a X +a)=+a-a,(x)dx为下图中阴影部分的面积，对于固定的 和 a 而言，该面积随着 的减小而变大这说明 越小，X 落在区间(-a,+a 的概率

62、越大，即X 集中在 周围的概率越大特别地，有 P(-X +)=0.6826；P(-2 X +2)=0.9544；P(-3 X +3)=0.9974由 P(-3 y1，解得 0 x 0.4若选择方案二，假设抽样检测 m m y1，解得 0 x 0.4则 y3-y2=n-mx-0.4，0 x 0.4，且 m n，y3 y2 x 0,0.4，并从工厂盈利的角度应选择方案一、22 某手机 APP 公司对喜欢使用该 APP 的用户年龄情况进行调查，随机抽取了 100 名喜欢使用该APP 的用户，年龄均在 15,65周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计使用该

63、视频 APP 用户的平均年龄的第 85%分位数(小数点后保留 2 位)；(2)若所有用户年龄 X 近似服从正态分布 N,2，其中 为样本平均数的估计值，10.5，试估计喜欢使用该 APP 且年龄大于 61 周岁的人数占所有喜欢使用该 APP 的比例；(3)用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该 APP 的用户中随机抽取 8 名用户，用 P X=k表示这 8名用户中恰有 k 名用户的年龄在区间 25,35岁的概率，求 P X=k取最大值时对应的 k 的值；附：若随机变量 X 服从正态分布 N,2，则：P(-X +)0.6827,P(-2 X +2)0.9545,P(-3 X 61)=P(X +2

64、)=1-0.95452=0.02275 使用该 APP 且年龄大于 61 周岁的人数占所有喜欢使用该 APP 的 2.275%.(3)根据题意 X B 8,0.2，要使 P(X=k)取最大值，则 P X=k PX=k+1P X=k PX=k-1，Ck80.2k0.88-k Ck+180.2k+10.87-kCk80.2k0.88-k Ck-180.2k-10.89-k，解得 45 k 95，因为 k N，所以 k=1.23 锚定 2060 碳中和，中国能源演进“绿之道”，为响应绿色低碳发展的号召，某地在沙漠治理过程中，计划在沙漠试点区域四周种植红柳和梭梭树用于防风固沙，中间种植适合当地环境的特

65、色经济作物，通过大量实验发现，单株经济作物幼苗的成活率为 0.8，红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率均为 p，且已知任取三种幼苗各一株，其中至少有两株幼苗成活的概率不超过 0.896(1)当 p 最大时，经济作物幼苗的成活率也将提升至 0.88，求此时三种幼苗均成活的概率(10.24=3.2)；(2)正常情况下梭梭树幼苗栽种 5 年后，其树杆地径服从正态分布 N 250,52(单位：mm)梭梭树幼苗栽种 5 年后，若任意抽取一棵梭梭树，则树杆地径小于 235mm 的概率约为多少？(精确到0.001)为更好地监管梭梭树的生长情况，梭梭树幼苗栽种 5 年后，农林管理员随机抽取了 10 棵梭梭树，测得其

66、树杆地径均小于 235mm，农林管理员根据抽检结果，认为该地块土质对梭梭树的生长产生影响，计划整改地块并选择合适的肥料，试判断该农林管理员的判断是否合理？并说明理由附：若随机变量 Z 服从正态分布 N,2，则 P -Z +0.6827，P -2 Z +20.9545，P -3 Z +3 0.9973【答案】(1)0.5632(2)(1)0.001；(2)答案见解析【详解】(1)由题意得，任取三种幼苗各一株，至少有两株幼苗成活，包括恰有两株幼苗成活，三株幼苗均成活两种情况，故概率为1-0.8 p2+2 0.8 p 1-p+0.8 p2 0.896，即 3p2-8p+4.48 0，解得 p 45

67、或 p 2815(舍去)又 p 0，故 p 的取值范围为 0,45，故 p 的最大值为 0.8，26记红柳和梭梭树幼苗均成活为事件 A，经济作物幼苗成活为事件 B，则有 P A=0.8 0.8=0.64，P B A=0.88故所求概率为 P AB=P A P B A=0.64 0.88=0.5632(2)设正常情况下，任意抽取一株梭梭树，树杆地径为 Xmm，由题意可知 X N 250,52，因为 235=250-3 5，所以由正态分布的对称性及“3”原则可知：P X 235=12 1-P 235 X 265 12 0.0027 0.001理由：农林管理员的判断是合理的如果该地块土质对梭梭树的生

68、长没有影响，由(1)可知，随机抽取 10 棵梭梭树，树杆地径都小于 235mm 的概率约为 0.00110，为极小概率事件，几乎不可能发生，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为该地块对梭梭树的生长产生影响，即农林管理员的判断是合理的理由：农林管理员的判断是不合理的由于是随机抽取了 10 棵梭梭树，所以不可控因素比较多，例如有可能这 10 颗树的幼苗栽培深度较浅，也有可能是自幼苗栽种后的浇水量或浇水频率不当所致(答案不唯一，言之有理即可)24 3D 打印即快速成型技术的一种，又称增材制造，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术中国的

69、3D 打印技术在飞机上的应用已达到规模化、工程化，处于世界领先位置我国某企业利用 3D 打印技术生产飞机的某种零件，8 月 1 日质检组从当天生产的零件中抽取了部分零件作为样本，检测每个零件的某项质量指标，得到下面的检测结果：质量指标6,77,88,99,1010,1111,1212,13频率0.020.090.220.330.240.080.02(1)根据频率分布表，估计 8 月 1 日生产的该种零件的质量指标的平均值 x 和方差 s2(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由频率分布表可以认为，该种零件的质量指标 XN,2，其中 近似为样本平均数 x，2近似为样本方差 s2若 P(

70、X a)=0.9772，求 a 的值；若 8 月 1 日该企业共生产了 500 件该种零件，问这 500 件零件中质量指标不少于 7.06 的件数最有可能是多少？附参考数据：6 2.45，若 XN,2，则 P(-X +)=0.6827，P(-2 X +2)=0.9544，P(-3 X +3)=0.9973【答案】(1)x=9.5,s2=1.5(2)7.06；489【详解】(1)由题意可得：x=6.5 0.02+7.5 0.09+8.5 0.22+9.5 0.33+10.5 0.24+11.5 0.08+12.5 0.02=9.5，s2=6.5-9.52 0.02+7.5-9.52 0.09+8

71、.5-9.52 0.22+9.5-9.52 0.33+10.5-9.52 0.24+11.5-9.52 0.08+12.5-9.52 0.02=1.527(2)由(1)可得：=x=9.5,2=1.5,=1.5=36 1.22，即 XN 9.5,1.5.因为 P X -2=12+12 P(-2 X +2)=0.9772，所以 a=-2=9.5-2 1.22=7.06.由可知：P X 7.06=0.9772，设这 500 件零件中质量指标不少于 7.06 的件数为 Y，则 YB 500,0.9772，可得 P Y=k=Ck500 0.9772k 1-0.9772500-k,k=0,1,500，令

72、P Y=k PY=k+1P Y=k PY=k-1，即Ck500 0.9772k 1-0.9772500-k Ck+1500 0.9772k+1 1-0.9772499-kCk500 0.9772k 1-0.9772500-k Ck-1500 0.9772k-1 1-0.9772501-k，解得 488.62 k 489.58，且 k N，则 k=489，即当 k=489 时，概率最大，所以这 500 件零件中质量指标不少于 7.06 的件数最有可能是 489.25 某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校 8000 名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了

73、 100 名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值;(2)若所有学生的初试成绩 X 近似服从正态分布 N,2，其中 为样本平均数的估计值，14初试成绩不低于 90 分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数;(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错不获奖已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为 a，第三道题答对的概率为 b若他获得一等奖的概率为 18，设他获得二等奖的概率为 P，求 P 的最小值附：若随机变昰 X 服从正态分布 N,2，则 P(-X +)0.6827，

74、P(-2 X +2)0.9545,P(-3 X +3)0.9973.【答案】(1)62(2)182(3)38【详解】(1)设样本平均数的估计值为 x则 x=10(40 0.01+50 0.02+60 0.03+70 0.024+80 0.012+90 0.004)解得:x=62所以样本平均数的估计值为 62(2)因为学生的初试成绩 X 近似服从正态分布 N,2，其中 =62,1428所以 +2 62+2 14=90所以 P(x 90)=P(x +2)=12(1-0.9545)=0.02275所以估计能参加复试的人数为 0.02275 8000=182(3)由该学生获一等奖的概率为 18 可知：a2b=18 则 P=a2 1-b+C12a 1-ab=a2+2ab-38=a2+14a-38 令 P=f(a)=a2+14a-38,0 a 1 f(a)=2a-14a2=8a3-14a2=(2a-1)4a2+4a+14a2当 0 a 12 时，f(a)0;当 12 a 0所以 f(a)在区间 0,12上是减函数，在区间12,1上是增函数所以 f(a)min=f12=14+12-38=38 所以 P 的最小值为 38 29