2022-2023学年高中数学湘教版2019选择性必修第一册同步练习 第2章 对称问题的解法 WORD版含解析.docx

1、培优课对称问题的解法A级必备知识基础练1.点A(1,4)关于原点对称的点的坐标是()A.(-1,4)B.(1,-4)C.(-1,-4)D.(-4,-1)2.点A(1,4)关于点M(0,-1)的对称点坐标是()A.12,32B.(-1,2)C.(-1,6)D.(-1,-6)3.点A(1,4)关于x轴的对称点的坐标是()A.(-1,4)B.(1,-4)C.(-1,-4)D.(-4,-1)4.点P(2,5)关于直线x=4的对称点的坐标是()A.(6,5)B.(6,-5)C.(5,6)D.(5,-6)5.点P(2,5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是()A.(5,2)B.(-5,-2)C.(-2,-

2、5)D.(5,-2)6.直线2x-y=2关于直线2x-y+3=0的对称直线方程是.7.直线l与l1关于点(1,-1)中心对称,若直线l的方程是2x+3y-6=0,则直线l1的方程是.8.求直线l:2x-3y+1=0关于y轴对称的直线的方程.B级关键能力提升练9.(2022江苏南京六校高二月考)已知点A(5,7)与点B关于直线l:y=x+1对称,则点B的坐标为()A.(7,6)B.(4,7)C.(6,-7)D.(6,6)10.(2022江西南昌新建一中)一束光线从点M(5,3)射出,经x轴反射后的光线经过点N(7,3),则反射光线所在的直线方程为()A.y=3x-18B.y=-3x-12C.y=

3、3x+12D.y=-3x+1811.光线从A(-3,4)点射出,到x轴上的B点后,被x轴反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射线恰好过点D(-1,6),则BC所在直线的方程是()A.5x-2y+7=0B.3x+y-1=0C.3x-2y+4=0D.2x-y-3=012.(2022重庆育才中学高二月考)很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如,与(x-a)2+(y-b)2相关的代数问题,可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点,对于函数f(x)=x2+2x+2+x2-2x+2,f(x)的最小值为()A.22B.23C.25D.213.(2022福建泉州实验

4、中学高二月考)已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b的方程是.14.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点A(2,0)与点B(-2,4)重合,则与点C(5,8)重合的点的坐标是.15.(2022河南三门峡高二期末)已知点A(0,4)与点B关于直线l0:x+2y-3=0对称.(1)求B点的坐标;(2)一条光线沿直线l:x-y+4=0入射到直线l0后反射,求反射光线所在的直线方程.16.(2022四川绵阳南山中学高二月考)在ABC中,点A(2,-1),AB边上中线所在的直线方程为x+3y-6=0,ABC的内角平分线所在的直线方程为

5、x-y+1=0.(1)求点B的坐标;(2)求ABC的边BC所在直线的方程.C级学科素养创新练17.(2022山东临沂高二期末)如图,光线从P(a,0)(a0)出发,经过直线l:x-3y=0反射到Q(b,0),该光线在Q点被x轴反射,若反射光线恰与直线l平行,且b13,则实数a的最小值是.参考答案培优课对称问题的解法1.C2.D由题意可知,点M是所求点与点A的中点,设所求点为A(x,y),则x+12=0,y+42=-1,解得x=-1,y=-6,即所求点的坐标为(-1,-6).故选D.3.B4.A设点Q(a,b)为所求的对称点,则由题意知b=5,且点Q与点P的中点在直线x=4上,因此2+a2=4,

6、得a=6.故所求对称点是(6,5).5.B设对称点P(m,n),则n-5m-2=1,m+22+n+52=0,解得m=-5,n=-2.故点P关于直线x+y=0的对称点的坐标是(-5,-2).6.2x-y+8=0直线2x-y=2可化为2x-y-2=0,则直线2x-y-2=0与直线2x-y+3=0平行.设所求直线的方程为2x-y+t=0(t-2,且t3),在直线2x-y=2上任取一点M(1,0),设点M关于直线2x-y+3=0的对称点为M(a,b),则ba-12=-1,a+122-b2+3=0,解得a=-3,b=2.即点M的坐标为(-3,2).将点M的坐标代入方程2x-y+t=0,解得t=8.故所求

7、直线方程为2x-y+8=0.7.2x+3y+8=0在直线l1上任取一点A(x,y),则点A关于点(1,-1)的对称点B(2-x,-2-y)一定在直线l:2x+3y-6=0上,故有2(2-x)+3(-2-y)-6=0,整理得2x+3y+8=0.故直线l1的方程为2x+3y+8=0.8.解设M(x,y)是所求直线上的任意一点,则其关于y轴的对称点为M(-x,y)在直线l:2x-3y+1=0上,即为-2x-3y+1=0,整理得2x+3y-1=0.故与直线l:2x-3y+1=0关于y轴对称的直线的方程为2x+3y-1=0.9.D设B(x,y),则AB的中点坐标是5+x2,7+y2,则由题意可得7+y2

8、=5+x2+1,y-7x-5=-1,解得x=6,y=6,即B(6,6).故选D.10.A根据光线的反射原理,入射光线上的点关于反射面对称的点在反射光线的反向延长线上.由题可知,点M(5,3)关于x轴对称的点为M(5,-3),则M(5,-3)在反射光线的反向延长线上.则kMN=3-(-3)7-5=3,所以反射光线所在的直线方程为y-3=3(x-7),即y=3x-18.故选A.11.A根据题意,作出如图所示的光线路径,则点A(-3,4)关于x轴的对称点为A(-3,-4),点D(-1,6)关于y轴的对称点为D(1,6),则BC所在直线的方程即为AD所在直线的方程.由两点式方程,得直线AD的方程为y+

9、46+4=x+31+3,整理得5x-2y+7=0.故选A.12.A由题得,f(x)=x2+2x+2+x2-2x+2=(x+1)2+1+(x-1)2+1=(x+1)2+(1-0)2+(x-1)2+(1-0)2,则f(x)=(x+1)2+(1-0)2+(x-1)2+(1-0)2表示动点P(x,1)到定点A(-1,0)和B(1,0)的距离之和.因为点P(x,1)在直线y=1上运动,作点B(1,0)关于直线y=1的对称点B1,则B1(1,2),故|PA|+|PB|=|PA|+|PB1|AB1|=(2-0)2+(1+1)2=22,当且仅当A,P,B1三点共线时,等号成立,故f(x)的最小值为22,故选A

10、.13.y=-32x+54由题意得,直线AB与直线y=kx+b垂直,且线段AB的中点-12,2在直线y=kx+b上.由kAB=3-11-(-2)=23,可得23k=-1,-12k+b=2,解得k=-32,b=54.故直线方程为y=-32x+54.14.(6,7)由已知得折线为线段AB的垂直平分线,设垂直平分线的方程为y=kx+b,线段AB的中点为(0,2),斜率为kAB=4-0-2-2=-1,则线段AB的垂直平分线的斜率k为1,将点(0,2)代入,可得b=2,故垂直平分线的方程为y=x+2.设点C(5,8)关于直线y=x+2的对称点为P(x0,y0),则y0+82=x0+52+2,y0-8x0

11、-5=-1,解得x0=6,y0=7,因此所求点的坐标是(6,7).15.解(1)设B(a,b),则a2+2b+42-3=0,b-4a=2,解得a=-2,b=0,所以B点坐标为(-2,0).(2)设反射光线所在的直线为l.因为点A在直线l上,所以点B在直线l上.设l与l0的交点为P,联立方程x-y+4=0,x+2y-3=0,解得x=-53,y=73,所以P-53,73.反射光线所在的直线即为直线BP,其直线方程为y=73-53+2(x+2),整理得y=7x+14.故反射光线所在的直线方程为y=7x+14.16.解(1)设点B(x0,y0),则x0-y0+1=0,x0+22+3y0-12-6=0,

12、解得x0=52,y0=72,故点B的坐标为52,72.(2)设点A(2,-1)关于x-y+1=0对称的点为A(m,n),则AA的中点坐标为m+22,n-12,kAA=n+1m-2,解方程组n+1m-2=-1,m+22-n-12+1=0,得m=-2,n=3,则A(-2,3).由(1)知B52,72,所以kAB=72-352+2=19,所以直线BC的方程为y-72=19x-52,整理得x-9y+29=0.故ABC的边BC所在直线的方程为x-9y+29=0.17.5如图,设P关于直线l的对称点为M,则点M一定在第一次反射的反射光线所在直线上,设点M关于x轴的对称点为N,则点N在第二次反射的反射光线所在直线上.设M(x,y),则yx-a=-3,a+x2-3y2=0,解得x=45a,y=35a,即M45a,35a.则点N坐标为45a,-35a.由题意kQN=-35a45a-b=13,整理得b=135a.b13,135a13,解得a5.故a的最小值为5.