2022届广东省深圳市光明区高级中学高三模拟测试（二）数学试题.docx

1、深圳市光明区高级中学2022届高三年级模拟试卷（二）数 学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，集合A中至少有2个元素，则ABCD2设等比数列的首项为，公比为q，则“，且”是“对于任意都有”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不

2、充分又不必要条件3现有5个小朋友站成一排照相，如果甲、乙两人必须相邻，而丙、丁两人不能相邻，那么不同的站法共有A12种B16种C24种D36种4已知，则ABCD5中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为1：25，则ABCD6设数列满足，点对任意的，都有则数列的前n项和为ABCD7抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A、B两点，若ABF为等边三角形，则A3B6C4 D88设函数恰有两个极值点（其中e为自然对数的

3、底数，），则实数t的取值范围是AB CD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9设复数，则下列命题中正确的是ABCz的虚部是D若，则正整数n的最小值是310如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，10，用X表示小球落入格子的号码，则A BC D11已知P是椭圆C：上

4、的动点，过点的直线与椭圆交于M，N两点，则A椭圆C的焦距为B椭圆C的离心率为C当Q为MN中点时，直线MN的斜率为D若，则的面积为112截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点做平行于底面的截面得到的所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法正确的有A该截角四面体的表面积为 B该截角四面体的体积为C该截角四面体的外接球的表面积为 D该截角四面体中，二面角A-BC-D的余弦值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13写出一个具有性质的函数 的定义域为；当时，14已知是棱长为a的正方体，M、N分别是

5、下底面的棱、的中点，P是上底面的棱AD上的点，过P、M、N的平面交上底面于PQ，点Q在棱CD上，则 15设直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，则实数m的值是 16已知函数，e为自然对数的底数，），当时，函数在点处的切线方程为 ；若对成立，则实数a的最大值为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知数列的前n项和为，（1）求数列的通项公式；（2）若，则在数列中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数列？若存在，请举例写出此三项；若不存在，请说明理由18（本小题满分12分）某商场准备在五一期间举行促销活动，根据

6、市场调查，该商场决定从2种服装，2种家电，3种日用品这3类商品中，任意选出3种商品进行促销活动（1）试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；（2）商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为m元的奖金假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是，请问：商场应将每次中奖奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？19（本小题满分12分）在三棱柱中，四边形是菱形，ABAC，平面平面ABC，平面与平面的交线为l（1）证明：；（2）已知，l上是否存在点P，使与平面ABP所成角

7、为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由20（本小题满分12分）一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABCD，它的宽为1米（1）若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设，试用表示平板车的长度；（2）要想平板车能顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米？21（本小题满分12分）已知双曲线C：的右焦点为，O为坐标原点，点A，B分别在C的两条渐近线上，点F在线段AB上，且，（1）求双曲线C的方程：（2）过点F作直线l交C于P，Q两点，问；在x轴上是否存在定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，说明理由22（本小题满分12分）已知函数（1）

8、若，比较与的大小；（2）讨论函数的零点个数数学参考答案一、二、选择题题号123456789101112答案DACDCABCABDADBDABC1D 【解析】因为集合中至少有2个元素，所，解得2A 【解析】若，且，则等比数列单调递增，可得；反之，若，则，且或，且，所以“，且”是“对于任意，都有”的充分不必要条件3C 【解析】先考虑甲乙两个小朋友，将甲乙相绑在一起，内部有种排列；将甲乙与第五个小朋友排列有种方法；然后将丙丁插入三个空，有种方法：共有方法种4D 【解析】，即A错误；，即BC都错误，D正确5C 【解析】如图，由题意得，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，故选：C6A 【解析

9、】，是公差为2的等差数列由，得，7B 【解析】因为ABF为等边三角形，所以由题意，代入方程得8C 【解析】由知，因为函数恰有两个极值点，所以方程在恰有两个不同的解注意到是它的一个解，则另一个解由方程确定，且这个解不等于1记，则，得在上单调递增，从而，且，于是，且9ABD 【解析】对任意的复数z，则A正确；，则B正确；z的虚部是，则C错误；若，得正整数n的最小值是3，则D正确10AD 【解析】设事件A表示小球向右下落，设X等于事件A发生的次数，则X等于落入格子的号码，而小球在下落过程中共碰撞小木钉10次，所以，则，1，2，10，故AD正确11BD 【解析】由题知，所以，故焦距为，故A选项错误；对

10、于B选项，椭圆的离心率为，故B选项正确；对于C选项，设M，N的坐标分别为，若M、N的中点为，则，由、得故C选项错误；对于D选项，则，即，代入数据得，所以的面积为，故D选项正确12ABC 【解析】将该截角四面体补形为正四面体S-NPQ，如图所示，题中截角四面体由4个边长为a的正三角形，4个边长为a的正六边形构成，故其表面积，故A正确可求得棱长为a的正四面体的高为，该截角四面体的体积，B正确设外接球的球心为O，半径为R，ABC的中心为，NPQ的中心为因为截角四面体上下底面的距离为，所以，所以，所以,所以，所以，所以外接球的表面积为，C正确注意到二面角S-BC-A为锐角，所以二面角A-BC-D的余弦

11、值为负值，D错误三、填空题13（答案不唯一）【解析】由知，对数函数形式的函数满足要求，又由知，在定义城上是增函数，故符合题意，故答案为：（答案不唯一）14 【解析】如图所示，连接AC，易知平面ABCD，又平面平面，又，又，15 【解析】由条件可知圆心到直线的距离，即，解得16 【解析】由题意当时，则，所以函数在点处的切线方程为因为，即，则，令，故，在上恒成立，故在上单调递减，故，得，即，记，则，当时，当时，故函数在单调递减，在单调递增，故的最小值是，故，即实数a的最大值是e四、解答题17【解析】（1）当时，可得；1分当时，所以，即，2分因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以5分（

12、2）由，6分当，显然不适合；7分，适合，即，构成公差为的等差数列10分另解：由，6分当，显然不适合；7分当，适合，即，构成公差为的等差数列10分18【解析】 （1）从2种服装，2种家电，3种日用品中，任选出3种商品一共有种选法，选出的3种商品中没有日用品的法法有种，所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为5分公众号：一枚试卷君（2）顾客在3次抽奖中所获得的奖全总额是一个随机变量，设为X，其所有可能值为0，m，2m，3m当时，表示顾客在3次抽奖中都没有获奖，所以，7分同理可得，9分所以顾客在3次抽类中所获得的奖金总额的期望值要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提

13、价数额。所以，即11分故商场应将中奖奖金数额最高定为100元，才能使促销方案对商场有利12分19【解析】 （1）因为四边形为菱形，所以，1分平面平面ABC，平面平面，平面ABC，又，所以平面，又平面，所以，3分又，所以平面，又平面，所以5分（2）l上不存在点P，使与平面ABP所成角为606分理由如下：取中点D，连接AD，因为，所以，又，所以为等边三角形，所以，7分因为，所以，又平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面ABC，8分以A为原点，以，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系A-xyz，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），9分因为，平面，平面，所以平面，假

14、设l上存在一点P，使与平面ABP所点角为60，设，则，所以，设为平面ABP的一个法向量，则即，令，则，可取，10分又，所以即，此方程无解，11分因此l上不存在点P，使与平AP所成角为6012分20【解析】（1）延长CD直角走廊的边PA，PB分别相交于E，F，则，其中，容易得到，3分又，于是，其中6分（2）设，则，于是又，因此8分因为恒成立，因此函数在上是减函数，所以10分故平板车被此走廊卡住的最小长度为，从而平板车长不大于，能在此走廊转弯，平板车的长度大于，则不能在此走廊转弯故要想平板车能顺利通过此走廊，其长度不能超过米12分21【解析】（1）不妨设点A在第一象限，则因为，则，2分由已知，即，

15、即因为，则，即4分因为为渐近线OA的倾斜角，则，即又，则，所以双曲线C的方程是5分（2）解法一：设点，当轴时，直线l的方程为，代入，得不妨设点，则6分当轴时，直线l的方程为，代入，得不妨设点，则7分令，得，8分当直线l不与坐标轴垂直时，设直线l的方程为，代入，得，即设点，则，9分对于点，11分所以存在定点，使为定值12分解法二：当直线l不与x轴重合时，设l的方程为，代入，得，即设点，则，7分在中，由金定理，得，7分设点，则，9分令，得，此时，10分当直线l与x轴重合时，则点P，Q为双曲线的两顶点，不妨设点，对于点，11分所以存在定点，使为定值12分22【解析】（1）因为，则，1分当时，则，从而在内单调递增2分因为，所以4分（2），所以5分若，即，则，单调递增因为，则为的唯一零点6分若，即，则因为，则在内仅有个零点，记为n7分因为，设，则当时，所以在内单调递增，从而，即，所以在内仅有一个零点，记为m8分于是，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增9分因为，则，在内有唯一零点因为，则在内有唯一零点因为，则在内有唯一零点所以在内有3个零点11分综上分析，当时，有1个零点；当时，有3个零点.12分