安徽省合肥市第六中学2020届高三数学最后一卷 理（PDF）参考答案.pdf

1、第1页，共 8 页 合肥六中 2020 届高三最后一卷数学（理）参考答案（附解析和评分细则）第卷（选择题 每题 5 分 共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。123456789101112BCBDAAACBBDA1.,6|,30|=xxBxxA6|=xxBA，选 B2.iziz+=1,1，选 C3.10,1,0cba，选 B4.1624)(41=+aa，得74=a，选 D5.332322131,3,5=VABPB,选 A6.)42sin()2(21sin2sin=xxyxy，选 A7.)(xfy=为奇函数

2、，)1,0(x时，0)(xf,选 A8.设圆心为 M，20)4(3684)6()6(22222+=+=+=+=xxxxxyxPM当4=x时，52min=PM，152min=PQ，选 C9.根据空间点线面的位置关系，选 B10.16944332414=ACC,选 B11.)21(=xmxe x，结合图像设切点为),(00 yx，则000 xexy=，)21(00=xmy，)1()(,)(+=xexfxexfxx，mxex=+)1(00，联立方程解得：10=x，em2=，选 D12.新数列 nb为周期数列：1,1,2,3,1,0,1,1，2,3,1,0，201920202020344233,.,b

3、bcbbcbbc=，120202202021202021.bbbbbbccc+=+=+34463362020=+bbb，4.120202202021202021=+=+=+bbbbbbccc，选 A第2页，共 8 页 第卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.10214.215.3010 3+16.2 1013.)1,3(=c，b 在上的投影为：210105|=ccb14.255525511)1()(rrrrrrrxaCaxxCT+=，取1,3=rr，得,1115335aCaC=2=a15.在BCD中，1012045=CDBCDBDC，由正弦

4、定理得：2622015sin45sin10=BC，在ABC中，3103032622060tan+=BCAB16.在21FAF中，,4,821=MFMF由角平分线性质得22121=MFMFAFAF,设,221xAFxAF=由双曲线定义得：,6=x,6,1221=AFAF在21AMFAMF和中，mAM=，由余弦定理得：0426482128222222=+mmmm，解得：102=m三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）在ABC中，1cos3A=，sin2 cosBC=.（1）求 tan B 的值；（2）若ABC的面积为2，

5、求ABC的周长.解：（1）22 20 sin1cos3AAA=1 分12 2sin2 cos2 cos()2(cossin)33BCABBB=+=sin2 cos tan2BBB=5 分（2）63tan2,0 sin,cos33BBBB=sin3sin2 cos cos32BBCC=6sin3C=8 分不妨设 ABC、所对的边分别为 abc、，则:sin:sin:sin2:3:3a b cABC=.第3页，共 8 页 令2ax=，则3bcx=，又1sin2 12ABCSbcAx=11 分22 3ABC+的周长为.12 分18.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满500 元的顾客，可以

6、获得一次抽奖机会，有两种方案.方案一：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的 2 个黑球，3个白球，顾客一次性摸出 2 个球，规定摸到 2 个黑球奖励50 元，1个黑球奖励 20 元，没有摸到黑球奖励15元.方案二:在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的 2 个黑球，3个白球，顾客不放回地每次摸出一个球，直到将所有黑球摸出则停止摸奖，规定 2 次摸出所有黑球奖励50 元，3次摸出所有黑球奖励 30 元，4 次摸出所有黑球奖励 20 元，5次摸出所有黑球奖励10 元.（1）记 X 为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数，求随机变量 X 的数学期望；（2）若你为一名要摸奖的顾客，请问你选择哪种方案进行抽奖，

7、说明理由.解：（1）易知 X 符合超几何分布，(2,2,5)XH，故22()0.85E X=.另解：22251(2)10CP XC=，11232563(1)105CCP XC=，0223253(0)10CCP XC=，133()2100.810510E X=+=4 分（2）方案一：记 为1名顾客选择方案一进行摸奖获得的奖金数额，则 可取50，20，15.22251(50)10CP XC=，11232563(20)105CCP XC=，0223253(15)10CCP XC=，133()50201521.510510E X=+=.7 分方案二：记 为1名顾客选择方案二进行摸奖获得的奖金数额，则

8、可取50，30，20，10.22251(50)10APA=，112232351(30)5CCAPA=，123233453(20)10CCAPA=，1424552(10)5CAPA=.10 分1132()5030201021105105E=+=.11 分因此，我会选择方案一进行摸奖.12 分19.在四棱锥 PABCD中，平面 PAD 平面 ABCD，平面 PCD 平面 ABCD.（1）证明：PD 平面 ABCD；（2）若 E 为 PC 的中点，DEPC，四边形 ABCD 为菱形且60BAD=，求二面角DBEC的余弦值.解：（1）过 B 作 BFCD于 F，过 B 作 BGAD于G.平面 PCD

9、平面 ABCD，平面 PCD平面=ABCD CD，BF 平面 ABCD，BFCDBF 平面 PCDBFPD.同理可得 BGPD，又BGBFB=，PD 平面 ABCD.4 分第4页，共 8 页 （2）以 DC 所在方向为 y 轴，DP 所在方向为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系，PD 平面 ABCD，PDCD，又 DEPC，E 为 PC 的中点，PDDC=5 分不妨假设2PD=,则(0,0,0)D，(3,1,0)B，(0,1,1)E，(0,2,0)C.可知(3,0,1)BE=，(3,0,1)DB=，(3,1,0)BC=.7 分设(,)mx y z=为平面 BDE 的法向量，则00m BEm D

10、B=即3030 xzxy+=+=，令1x=，得3y=，3z=可知平面 BDE 的一个法向量(1,3,3)m=，同理可得平面 BEC 的一个法向量(1,3,3)n=1cos,7m nm nm n=，11 分又二面角 DBEC为钝角，二面角 DBEC的余弦值为17.12 分20.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为 12，过焦点且垂直于长轴的弦长为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)的直线 l 交椭圆C 于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在定点 P，使得 PA PB为定值？若存在，求出点 P 的坐标和 PA PB的值；若不存在，请说明理由.解（1）椭圆C 的离心率为

11、 12，12ca=,2234ba=过焦点且垂直于长轴的弦长为3,223ba=,解得2243ab=椭圆C 的方程为22143xy+=.4 分（2）假设存在.设(),0P t，()11,A xy，()22,B xy，当直线 l 与 x 轴不重合时，设 l 的方程：1xmy=+.第5页，共 8 页 由221431yxmyx=+=得()2234690mymy+=，易知0，且122634myym+=+，122934y ym=+；6 分12121211()2xxmymym yy+=+=+，212121212(1)(1)()1x xmymym y ym yy=+=+，11222121212221212222

12、(,)(,)()(1)()()21(615)9 2134PA PBxt yxt yx xt xxty ymy ymmtyytttmttm=+=+=+8 分当 615934t=，即118t=时，PA PA的值与 m 无关，此时13564PA PB=.10 分当直线 l 与 x 轴重合且118t=时，11111352,02,08864PA PB=+=.11 分存在点011,8P，使得 PA PB为定值13564.12 分21.（本小题满分 12 分）已知函数2()ln(1)f xaxx=+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0 x 时，21()xexf x 恒成立.求 a 的取值范围.解：（

13、1）()f x 的定义域为()1,+，2221()211axxfxxxx+=+，1 分令2()221g xxx=+，则48a=+且()fx 与()g x 的符号相同.当0 即12a 时，()0g x，此时()0fx；2 分当0 即12a 时，令()0g x=得11122ax+=，21122ax+=，易知21x 3 分a 当11x 即0a 时，当()21,xx 时，()0g x，此时()0fx；第6页，共 8 页 当()2,xx+时，()0g x，此时()0fx；4 分b 当11x 即102a时，当()()121,xxx+时，()0g x，此时()0fx；当()12,xx x时，()0g x，此

14、时()0fx；综上，当12a 时，()f x 的单减区间为()1,+，无单增区间；当0a 时，()f x 的单减区间为112,2a+，单增区间为1121,2a+；当102a时，()f x 的单减区间为1121,2a+和112,2a+，单增区间为112112,22aa+.5 分（2）21()xexf x 即1ln(1)0 xeax+；令()1ln(1)xh xeax=+，则(0)0h=，()1xah xex=+；6 分当0a 时，()0h x，此时()h x 在)0,+上单增，()(0)0h xh=，符合题意；7 分当 01a 时，由xye=和1ayx=+都是增函数可知()h x 也为增函数，故

15、()(0)10h xha=，此时()h x 在)0,+上单增，()(0)0h xh=，符合题意；9 分当1a 时，同理()h x 也为增函数，(0)10ha=，当 x +时，()0h x，()h x在)0,+上有唯一零点，不妨假设为0 x，当)00,xx时，()0h x，此时()h x 单减，当0(0,)xx时，()(0)0h xh=，不合题意.11 分综上所述，a 的取值范围为(,1.12 分第7页，共 8 页 请考生在第 22-23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为22121xtyt=（t 为参数），以直角坐标系的

16、原点O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为(2sincos)m=.（1）求曲线C 的普通方程；（2）若l 与曲线C 有且仅有一个公共点，且l 与坐标轴交于,A B 两点，求以 AB 为直径的圆的直角坐标方程.解：（1）由21yt=，得12yt+=，221212()12yxt+=，即2(1)2(1)yx+=+，故曲线C 的普通方程为2(1)2(1)yx+=+5（2）由(2sincos)m=，得 2yxm=，联立2(1)2(1)2yxyxm+=+=得22210yym+=，因为l 与曲线C 有且仅有一个公共点，所以44(21)0m=，1m=，所以l 的方程为 2

17、1yx=，不妨假设1(0,)2A，则(1,0)B，线段 AB 的中点为1 1(,)2 4所以52AB=，故以 AB 为直径的圆的直角坐标方程为2221155()()()24416xy+=10 分23.已知()12f xxxa=+.（1）当1a=时，求不等式()3f x 的解集；（2）若函数()f x 的最小值为 3，求实数 a 的值.解：（1）当1a=时，()121f xxx=+，当12x 时，()3f xx=，此时解()3f x 得1x ；当112x 时，()2f xx=+，此时解()3f x 得无解；当1x 时，()3f xx=，此时解()3f x 得1x .综上，不等式()3f x 的解集为|11x xx 或.5 分第8页，共 8 页 （2）()12 122 122 1(1)()0)222 1()22f xxxaaxxaaxxxaaaxxxaax=+=+=+=当且仅当时等号成立当且仅当时等号成立可以知道2ax=当时，()f x 有最小值 12a+，由 132a+=得84a=或.10 分