小学数学讲义秋季五年级超常第12讲燕尾模型超常体系.pdf

1、1第 9 级下超常体系教师版第 12 讲五年级秋季鸟头模型五年级秋季蝴蝶模型五年级秋季燕尾模型五年级寒假长方体与正方体五年级寒假圆与扇形初步简单的燕尾模型；会利用辅助线构造燕尾.漫画释义知识站牌第十二讲 燕尾模型2第 9 级下超常体系 教师版燕尾模型是共边模型中的一个模型.由于它形状像燕子的尾巴，为了便于记忆，就起名为燕尾模型.我们看下图，像不像一只在天空飞翔的燕子？1.认识燕尾模型，会从不同角度看出燕尾；2.会利用燕尾的特征构造出燕尾；3.能够将复合的燕尾分拆.既然燕尾模型是共边模型的一种，那么它也符合面积比例模型：3412123412132412:SSllSSSSllSSSSll 后面这个

2、式子，就是我们燕尾模型中的常用公式.l2l1S4S3S2S1GFEDCBA在三角形 ABC 中，有SABG:SAGC SBGE:SEGC BE:EC；SBGA:SBGC SAGF:SFGC AF:FC；SAGC:SBCG SADG:SDGB AD:DB.经典精讲课堂引入教学目标3第 9 级下超常体系教师版第 12 讲燕尾模型为三角形中的面积与对应底边之间提供了相互联系的途径，可以帮助我们解决很多几何问题.1.已知:36510,求 36_5 10,63_105.答案:35,352.已知:3926,求 39_26,93_62答案:32,323.已知:(0,1)bkb kkaka,求_bkbaka,

3、_bkbaka.答案:ba,ba4.在下图中,利用“高相同时,三角形的面积比等于底的比”,可知:131242SSlSSl,且3142SlSl,利用上面题的结论可知:12_SSl2l1S4S3S2S1答案:12ll5.在下图中,利用“高相同时,三角形的面积比等于底的比”,可知:12SAOSOC,且34SAOSOC,所以1324_SSSS知识点回顾4第 9 级下超常体系 教师版ODCBAS4S3S2S1答案:AOOC模块 1：例 1，2：塞瓦定理及其应用模块 2：例 3，4，5：燕尾的应用模块 3：例 6，7，8：燕尾综合（1）如图（1）（3），1S，2S 代表所在小三角形的面积，其他数代表所对应

4、线段的长度，分别求出每个图中12SS 的值.（2）如图（4），则_AOBAOCSS，_BOCAOBSS，将上两式两边分别相乘，即可得到_BOCAOCSS（3）如图（5），则_AOBAOCSS，_BOCAOBSS，_AOCBOCSS.（4）如图（6），则_acebdfS2S163S2S132S2S1106图（1）图（2）图（3）例题思路例 15第 9 级下超常体系教师版第 12 讲OEDCBA5253OEDCBAF423234fedcbaOEDCBAF图（4）图（5）图（6）【分析】（1）燕尾模型的直接应用.分别为 12，32，53（2）35，52，32（3）43，32，12（4）AOBAOCS

5、abS，BOCAOBScdS，AOCBOCSefS，三式相乘，得1acebdf。这也叫塞瓦定理。【巩固】如图，已知ABD的面积是 15，ACD的面积是 20，BCD的面积是 14.求CDE的面积是多少？142015DECBA【分析】1533444820443477CDEABDBDECDEBCDACDCDEBCDSSSBESSSCESS如图，ABC中，:2:3BD DC,:5:3AE EC,则:AF FB.（学案对应：超常 1）GFEDCBA【分析】法 1：根据燕尾模型有:2:310:15ABGACGSSBD DC,:5:310:6ABGBCGSSAE EC,（都有AGB的面积要统一，所以找最小

6、公倍数）例 26第 9 级下超常体系 教师版所以:15:65:2ACGBCGAF FBSS.法 2：直接应用塞瓦定理：23135AFFB，则52AFFB.【巩固】如右图，三角形 ABC 中，:3:4BD DC，:5:6AE CE，求:AF FB.OFEDCBA【分析】根据燕尾模型得:3:415:20AOBAOCSSBD CD:5:615:18AOBBOCSSAE CE（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOCBOCSSAF FB如图，E 在 AC 上，D 在 BC 上，且:2:3AE EC,:1:2BD DC，AD 与 BE 交于点 F四边形 DFEC的面积等

7、于222 cm，则三角形 ABC 的面积ABCDEFABCDEF2.41.62ABCDEF12【分析】连接 CF,根据燕尾模型，12ABFACFSBDSDC，23ABFCBFSAESEC,设1BDFS份，则2DCFS份，2ABFS份，4AFCS份，241.623AEFS份,342.423EFCS 份,如图所标,所以22.44.4EFDCS份,2349ABCS 份所以2224.4945(cm)ABCS【铺垫】如图所示，在ABC中，:3:1BE EC，D 是 AE 的中点，那么:AF FC FEDCBAFEDCBA例 37第 9 级下超常体系教师版第 12 讲【分析】连接 CD由于:1:1ABDB

8、EDSS，:3:4BEDBCDSS，所以:3:4ABDBCDSS，根据燕尾模型，:3:4ABDBCDAF FCSS【拓展】如右图，ABC中，G 是 AC 的中点，D、E、F 是 BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于 M，AF 与 BG 交于 N，已知ABM的面积比四边形 FCGN 的面积大7.2 平方厘米，则ABC的面积是多少平方厘米？NMGABCDEFNMGABCDEF【分析】连接CM、CN 根据燕尾模型，:1:1ABMCBMSSAG GC，:1:3ABMACMSSBD CD，所以15ABMABCSS；再根据燕尾模型，:1:1ABNCBNSSAG GC，所以:4:3ABNFBNCBNFB

9、NSSSS，所以:4:3AN NF，那么1422437ANGAFCSS，所以2515177428FCGNAFCABCABCSSSS根据题意，有 157.2528ABCABCSS，可得336ABCS(平方厘米)塞瓦定理塞瓦（Giovanni Ceva，16481734）意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于 1678 年发表的直线论，塞瓦定理是塞瓦的重大发现。8第 9 级下超常体系 教师版如右图，三角形 ABC 中，:3:2AF FBBD DCCE AE，且三角形 ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为_，三角形 AGE 的面积为_，三角形 GHI 的面积为_（学案对应：超常 2）I

10、HGFEDCBAIHGFEDCBA【分析】连接 AH、BI、CG 由于:3:2CE AE，所以25AEAC，故2255ABEABCSS；根据燕尾模型，:2:3ACGABGSSCD BD，:3:2BCGABGSSCE EA，所以:4:6:9ACGABGBCGSSS，则419ACGS，919BCGS；那么2248551995AGEAGCSS；同样分析可得919ACHS，则:4:9ACGACHEG EHSS，:4:19ACGACBEG EBSS，所以:4:5:10EG GH HB，同样分析可得:10:5:4AG GI ID，所以5521101055BIEBAESS，55111919519GHIBIE

11、SS【拓展】如右图，三角形 ABC 中，:4:3AF FBBD DCCE AE，且三角形 ABC 的面积是 74，求三角形GHI 的面积IHGFEDCBAIHGFEDCBA【分析】连接 BG，AGCS 12 份根据燕尾模型，:4:312:9AGCBGCSSAF FB，:4:316:12ABGAGCSSBD DC得9BGCS(份)，16ABGS(份)，则9121637ABCS(份)，因此1237AGCABCSS,同理连接 AI、CH 得1237ABHABCSS,1237BICABCSS,所以3712121213737GHIABCSS例 49第 9 级下超常体系教师版第 12 讲三角形 ABC 的

12、面积是 74,所以三角形 GHI 的面积是174237如图，三角形 ABC 被分成6 个三角形，已知其中 4 个三角形的面积，问三角形 ABC 的面积是多少?（学案对应：超常 3，带号 1）35304084OFEDCBA【分析】设BOFSx，由题意知:4:3BD DC 根据燕尾模型,得:4:3ABOACOBDOCDOSSSS,所以33(84)6344ACOSxx，再 根 据:ABOBCOAOECOESSSS，列 方 程3(84):(4030)(6335):354xx解 得56x 因为:35(5684):(4030)AOES，所以70AOES所以三角形 ABC 的面积是8440303556703

13、15如图所示，在四边形 ABCD 中，3ABBE，3ADAF，四边形 AEOF 的面积是 12，那么平行四边形 BODC 的面积为.（学案对应：带号 2）OFEDCBA684621OFEDCBA【分析】连接,AO BD,根据燕尾模型:1:2ABOBDOSSAF FD,:2:1AODBODSSAE BE,设1BEOS,则其他图形面积，如图所标，所以22 1224BODCAEOFSS.【铺垫】ABCD是边长为12 厘米的正方形，E、F 分别是 AB、BC 边的中点，AF 与CE 交于 G，则四边形 AGCD的面积是_平方厘米例 6例 510第 9 级下超常体系 教师版GFEDCBAGFEDCBA【

14、分析】连接 AC、GB，设1AGCS份，根据燕尾模型得1AGBS份，1BGCS份，则1 1 126S正方 形（）份，3 14ADCGS 份，所以22126496(cm)ADCGS如图，等腰直角三角形 DEF 的斜边在等腰直角三角形 ABC 的斜边上，连接 AE、AD、AF，于是整个图形被分成五块小三角形图中已标出其中三块的面积，那么ABC 的面积是_（学案对应：带号 3）【分析】如图（1）延长 AD 交 BC 于 G；如图（2）根据燕尾模型，得到F:2:30.4:0.6DEGD GSS；如图（3）；:0.4:2.41:6GD GA，由于 EDBA，那么:1:6EG GB，同理:1:6FG GC

15、，那么ABC 的面积为（123）636。本题使用了燕尾模型、相似三角形等性质，学生不需要进行严格地证明，知道结论并会使用它解题即可。【铺垫】如图，线段 AB 与 BC 垂直，已知 AD=EC=4，DB=BE=6，那么图中阴影部分面积是多少？例 711第 9 级下超常体系教师版第 12 讲EDCBAOEDCBA【分析】这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，我们不妨连接这个图形的对称轴看看.作辅助线 BO，则图形关于 BO 对称，设ADO 的面积为 2 份，则DBO 的面积为 3 份，直角三角形 ABE 的面积为 8 份.因为6 10230ABES，而阴影部分的面积为 4 份，所以阴影部分的面积

16、为 308415 如图，三角形 ABC 的面积是 1，BDDEEC，CFFGGA，三角形 ABC 被分成 9 部分，请写出这 9 部分的面积各是多少？（学案对应：超常 4，带号 4）GFEDCBANMQPGFEDCBA【分析】设 BG 与 AD 交于点 P，BG 与 AE 交于点 Q，BF 与 AD 交于点 M，BF 与 AE 交于点 N连接 CP，CQ，CM，CN根 据 燕 尾 模 型，:1:2ABPCBPSSAG GC，:1:2ABPACPSSBD CD，设1ABPS(份)，则1225ABCS(份)，所以15ABPS同理可得，27ABQS,12ABNS,而13ABGS，所以2137535A

17、PQS，1213721AQGS同理，335BPMS121BDMS,所以1239273570PQMNS四 边形，13953357042MNEDS四边形,1151321426NFCES四边形,1115321642GFNQS四 边形.例 812第 9 级下超常体系 教师版燕尾模型：l2l1S4S3S2S1 3412123412132412:SSllSSSSllSSSSll 塞瓦定理：fedcbaOEDCBAF结论：1acebdf知识点总结只移动 3 根火柴棒，你能使小燕子向相反的方向飞行吗？答案：13第 9 级下超常体系教师版第 12 讲1.右图的大三角形被分成 5 个小三角形，其中 4 个的面积已

18、经标在图中，那么，阴影三角形的面积是4321【分析】法 1：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：2:13:4S阴影，解得2S阴影.法 2：回顾下燕尾模型，有 2:41:3S阴影（），解得2S阴影.2.如图，ABC中，:3:4BD DC,:5:4AE EC,则:AF FB.GFEDCBA【分析】由塞瓦定理1BDCEAFDCAEFB 得：34145AFFB，所以53AFFB3.如图，已知3BDDC，2ECAE，BE 与 CD 相交于点O,则ABC被分成的 4

19、部分面积各占ABC面积的几分之几？OEDCBA13.54.59211213OEDCBA【分析】连接 CO,设1AEOS份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABCS 份，所以四部分按从小到大各占ABC面积的 124.51393 13.59,303060 301030204.如图，在ABC中，13DCEAFBDBECFA,求GHIABC的面积的面积 的值家庭作业14第 9 级下超常体系 教师版IHGFEDCBAIHGFEDCBA【分析】连接 BG,设BGCS 1 份，根据燕尾模型:3:1AGCBGCSSAF FB,:3:1ABGAGCSSBD DC,得3AGCS(份)，9ABGS(份)

20、,则13ABCS(份)，因此313AGCABCSS,同理连接 AI、CH 得13ABHABCSS,313BICABCSS,所以1333341313GHIABCSS5.如图，ABC被分成 6 个三角形，已知其中 4 个三角形的面积，问 ABC的面积是多少?O2462FEDCBA【分析】很明显的燕尾模型问题.其中两块面积未知，可用方程的方法.设AOFSx，COESy，根据燕尾模型,得:ABOACOBDOCDOSSSS,:ABOBCOAOECOESSSS即(2):(6)2:4xy，(6):(24):2yx，即 2(2)62(6)6xyyx，解得46xy，所以三角形 ABC 的面积是 22446624

21、.6.如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米，2ECDE，F 是 DG 的中点阴影部分的面积是多少平方厘米?GFEDCBA33GFEDCBA213【分析】设1DEFS份，则根据燕尾模型其他面积如图所示551212BCDSS阴影平方厘米.7.三角形 ABC 的面积为 15 平方厘米，D 为 AB 中点，E 为 AC 中点，F 为 BC 中点，求阴影部分15第 9 级下超常体系教师版第 12 讲的面积FEDCBANMFEDCBA【分析】令 BE 与 CD 的交点为 M，CD 与 EF 的交点为 N，连接 AM，BN在ABC中，根据燕尾模型，:1:1ABMBCMSSAE CE,:1:1ACM

22、BCMSSAD BD,所以13ABMACMBCNABCSSSS由于1122AEMAMCABMSSS，所以:2:1BMME 在EBC中，根据燕尾模型，:1:1BENCENSSBF CF，:1:2CENCBNSSME MB.设1CENS(份)，则1BENS(份)，2BCNS(份)，4BCES(份)，所以1124BCNBCEABCSSS,1148BNEBCEABCSSS，因为:2:1BMME,F为 BC 中点,所以221133812BMNBNEABCABCSSSS,11112248BFNBNCABCSSS,所以1155153.1251282424ABCABCSSS阴影(平方厘米)8.如图，面积为 1

23、 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形面积.IGHFEDCBASRINMQPGHFEDCBA【分析】设深黑色六个三角形的顶点分别为 N、R、P、S、M、Q，连接 CR在ABC中根据燕尾模型，:.2:1ABRACRSSBG CG,:1:2ABRCBRSSAI CI所以27ABRABCSS,同理27ACSABCSS,27CQBABCSS所以222117777RQSS 同理17MNPS根据容斥原理，及超常 123 班学案 4 的结论可知：11131777010S六边形16第 9 级下超常体系 教师版【超常班学案 1】如图，已知:2:3BD

24、DC,:5:3AE EC,BDG的面积是 12.求ABC的面积.GFEDCBA【分析】25:2:33032BDGBCGBDGCDGSBD DCSSS555:5:33050333ABGABGBGCBGCSAE CESSS23:2:37532ABGACGABGACGSBD DCSSS503075155ABGACGBCGSSS【超常班学案 2】如图，ABC中 BD2DA，2CEEB，2AFFC，那么ABC的面积是阴影三角形面积的倍ADCFEBGIHADCFEB【分析】如图，连接 AI 根据燕尾模型，:2:1BCIACISSBD AD，:1:2BCIABISSCF AF，所以，:1:2:4ACIBCI

25、ABISSS，那么，221247BCIABCABCSSS同理可知ACG和 ABH的面积也都等于 ABC面积的 27，所以阴影三角形的面积等于ABC面积的211377，所以 ABC的面积是阴影三角形面积的 7 倍【超常班学案 3】如图，ABC被分成 6 个三角形，己知其中 4 个三角形的面积，问,BOFAOE的面积是多少?超常班学案17第 9 级下超常体系教师版第 12 讲OABCDEF458040216【分析】设AOESx，BOFSy，根据燕尾模型,得:ABOACOBDOCDOSSSS,:ABOBCOAOECOESSSS即(216):(45)80:40yx，(216):(8040):45yx，

26、即 2162(45)45(216)120yxyx，解得135144xy，所以144,135BOFAOESS【超常班学案 4】如右图，面积为 1 的ABC中，:1:2:1BD DE EC，:1:2:1CF FG GA，:1:2:1AH HI IB，求阴影部分面积IHGFEDCBAPNMABCDEFGHI【分析】设IG 交 HF 于 M，IG 交 HD 于 N，DF 交 EI 于 P 连接 AM，IF:3:4AI AB，:3:4AF AC，916AIFABCSS:2:1FIMAMFSSIH HA，:2:1FIMAIMSSFG GA，19464AIMAIFABCSSS:1:3AHAI 364AHMA

27、BCSS，:1:4AHAB:3:4AF AC 316AHFABCSS同理316CFDBDHABCSSS716FDHABCSS，33:1:464 16HM HF，:3:4,:3:4AI ABAF AC，IFBC，又:3:4,:1:2IF BCDE BC，:2:3,:2:3DE IFDP PF，同理:2:3HN ND，:1:4HM HF，:2:5HN HD，17710160160HMNHDFABCSSS同理 6 个小阴影三角形的面积均为 7160，所以阴影部分面积72161608018第 9 级下超常体系 教师版【超常 123 班学案 1】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个

28、三角形的面积分别是 3，7，7，则四边形 ADPE 的面积是多少？EDPCBA773yxEDPCBA773EDPCBA773【分析】法 1：如中上图.连结 AP，并设APDSx，APESy.根据比例模型，:1:1BPCEPCBPAEPASSBP EPSS，得出3yx.再由燕尾模型，:3:(7):7(10):7ADPBDPACPBCPxSSAD BDSSyx，解比例方程得，7.5x，阴影部分 ADPE 面积7.5(7.53)18xy.法 2：如右上图.由已知条件，7BPCEPCSS，所以 BPPE，再连结DE 所以三角形DPE 的面积为 3.设三角形 ADE 的面积为 x，则:33:10:10

29、xAD DBx，所以15x，四边形的面积为15318【超常 123 班学案 2】如图，在平行四边形 ABCD 中，BEEC，2CFFD求阴影面积与空白面积的比HABCDEFG【分析】法 1：因为 BEEC，2CFFD，所以14ABEABCDSS四边 形，16ADFABCDSS四边形因为2ADBE，所以2AGGE，所以11312BGEABEABCDSSS四边形，2136ABGABEABCDSSS四边形同理可得，18ADHABCDSS四边形，124DHFABCDSS四边形因为12BCDABCDSS四边形，所以空白部分的面积111112()21224683ABCDABCDSS四边形四边形，所以阴影部

30、分的面积是 13ABCDS四边形 1 2:1:23 3，所以阴影面积与空白面积的比是1:2 法 2：连接 CG、CH、AC,AC 交 BD 于 O，有 AOOC在ABC中，根据燕尾模型可以得到123 班学案19第 9 级下超常体系教师版第 12 讲:1:1ABGACGSSBE CE,:1:1ABGCBGSSAO OC,所以1136BCGACGABCABCDSSSS,所以112BGEAGOABCDSSS,同理在ACD中，根据燕尾模型可以得到1124AHCACDABCDSSS,1148DCHACDABCDSSS,所以1128AHOAHCABCDSSS,11324DFHDCHABCDSSS所以111

31、11()12128243BEGAGOAHODHFABCDABCDSSSSSSS阴 影所以阴影面积与空白面积的比1 2:1:23 3 GHOFEDCBA【超常 123 班学案 3】已知四边形 ABCD，CHFG 为正方形，:1:8SS乙甲，a 与 b 是两个正方形的边长，求:_a b.乙甲baGHOFEDCBA乙甲baNMGHOFEDCBA【分析】观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾模型来求解.连接 EO、AF，根据燕尾模型：:AOEAOFSSa

32、 b，:AOFEOFSSa b所以22:AOEEOFSSab，作 OMAE、ONEF，AE EF22:OM ONab33:1:8SSab乙甲:1:2a b.【超常 123 班学案 4】如图，面积为 1 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA的三等分点,求阴影部分面积.20第 9 级下超常体系 教师版IGHFEDCBAINMQPGHFEDCBA【分析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾模型吧！令 BI 与 CD 的交点为 M，AF 与 CD 的交点为 N，BI 与 AF 的交点为 P,BI 与 CE 的交点为Q,连接 AM、BN、CP求ADMI

33、S四边形：在ABC中，根据燕尾模型，:1:2ABMCBMSSAI CI:1:2ACMCBMSSAD BD设1ABMS(份)，则2CBMS(份),1ACMS(份),4ABCS(份),所以14ABMACMABCSSS，所以11312ADMABMABCSSS,112AIMABCSS,所以111()12126ABCABCADMISSS四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC面积的 16求DNPQES五边形：在ABC中，根据燕尾模型:1:2ABNACNSSBF CF:1:2ACNBCNSSAD BD,所以111133721ADNABNABCABCSSSS,同理121BEQABCSS在ABC中，根据燕尾模型:1:2ABPACPSSBF CF,:1:2ABPCBPSSAI CI所以15ABPABCSS所以1111152121105ABPADNBEPABCABCDNPQESSSSSS五边形同理另外两个五边形面积是ABC面积的 11105所以11113133610570S 阴影