2022年一模几何压轴题（解析版）.docx

1、2022年一模几何压轴题1已知：在ABC中，ABC=90，点D为直线BC上一点，连接AD并延长，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E（1）如图1，若BAC=60，CE=AC，AB=1，求线段AE的长度；（2）如图2，若AC=EC，点F是线段BA延长线上一点，连接EF与BC交于点H，且BAD=ACF，求证：AF=2BH；（3）如图3，AB=2，BC=6，点M为AE中点，连接BM，CM，当|CM-BM|最大时，直接写出BMC的面积【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，求得,根据已知条件求得,根据勾股定理即可求得；（2）作，证明，进而可得，由已知可得

2、是等腰直角三角形，进而证明，即可证明（3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，当三点共线时，取得最大值为的长，进而勾股定理求得,根据三角形的面积公式可得，在中，勾股定理求得，进而求得，根据三角形面积公式求解即可求得BMC的面积【详解】（1）ABC=90，BAC=60，AB=1， CE=AC，中，；（2）如图，作，在和中，是等腰直角三角形，即，在与中，；（3）为的中点，当三点共线时，取得最大值为的长，如图，在中，在中，解得，【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解直角三角形，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形两边之差小于第三边的应用等知识，掌

3、握以上知识是解题的关键2在中，点为线段上一点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，延长交延长线于点(1)如图1，当点与点重合时，连接，若，求线段的长；(2)如图2，当时，过点作交于点，过点作，垂足为点，与交于点，求证：；(3)如图3，当点与点重合且时，将沿着边翻折到同一平面内得到，点、点分别为线段、线段上的动点，且，连接，当取得最小值时，请直接写出的值【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）作交于，勾股定理求得，证明，进而求得即可求得，中，勾股定理求解即可；（2）过点作于点，设，则，根据，可得，即可求得，进而即可得证；（3）根据题意可得， 过点作，使得，连接，当取得最小值时，三点共线

4、，如图，连接,设交于点，设，则，证明是等腰直角三角形，则，设 ，则，根据=，即可求解(1)如图，作交于，中，中，(2)如图，过点作于点，四边形是矩形，是等腰直角三角形S是等腰直角三角形，设，则设，则， 解得(3)如图，根据题意可得， 过点作，使得，连接，是等边三角形在与中，当取得最小值时，三点共线，如图，连接,设交于点设，则，又四边形是平行四边形，折叠是等边三角形是等腰直角三角形,四边形是平行四边形四边形是菱形是等腰直角三角形设 =，又即当取得最小值时时，的值为【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等，

5、利用对称性求线段和最短是解题的关键3在等边中，点D在AB上，点E在BC上，将线段DE绕点D逆时针旋转60得到线段DF，连接CF(1)如图（1），点D是AB的中点，点E与点C重合，连接AF若，求AF的长；(2)如图（2），点G在AC上且，求证：；(3)如图（3），连接AF过点F作AF的垂线交AC于点P，连接BP、DP将沿着BP翻折得到，连接QC当的周长最小时，直接写出的面积【答案】(1)AF=3(2)见解析(3)，详见解析 【分析】（1）由旋转知DCF为等边三角形，再证明BCDACF得AF=BD，求解即可；（2）将线段CF绕C顺时针旋转60得CH，连接EF、EH、FH，证明CDFEFH得CD=E

6、H；再在AC上截取QP=BE，证明ECHCPD，得CH=DP，由全等及等量代换得DPG=DGP，即DP=DG，等量代换即可；（3）过D作DHBC于H，利用三角函数得EH=AD，证明DEHDAF，得DAF=90，设CE=x，利用勾股定理得到ADP周长的表达式为6+，求出最小值时对应的x值，用三角形面积公式求值即可（1）解：ABC为等边三角形，BC=AC，BCA=60，由旋转知，CDF=60，CD=CF，DCF为等边三角形，CD=CF，DCF=60，DCB=ACF，BCDACF，AF=BD，D为AB中点，AB=6，BD=3，AF=3（2）解：将CF绕C顺时针旋转60得CH，连接CH，FH，EF，E

7、H，CD，在AC上截取AP=BE，连接DP，设CD交EH于M，如图所示，由旋转知，DEF、CFH为等边三角形，DF=EF，CF=FH，DFE=CFH=60，DFC=EFH，DCFBHF，EH=CD，DCF=EHF，由三角形内角和知，HMC+EHF=DCF+HFC，HMC=HFC=60，DCE+HEC=60，DCP+DCE=60，CEH=DCP，AC=BC，AP=BE，CP=CE，ECHCPD，CH=DP，DPC=HCE，又HCE=60+2，DPC=60+2，由1+FCG=2+FCG=60，知1=2，又AGD=60+1，AGD=DPG，DP=DG，CH=CF，CF=DG（3）：过D作DHCB于H

8、，连接EF，如图所示，ABC为等边三角形，DBH=60，BDH=30，BD=2BH，DH=，BD=2CE，BH=CE，设BH=CE=x，则BD=2x，EH=62x，AD=62x，由旋转知，DEF为等边三角形，EDF=60，1+3=90，DE=DF，又1+2=90，2=3，ADFHED，DAF=DHE=90，PAF=30，AF=DH=，AFP=90，PF=x，AP=2x，过P作PMAD于M，则AM=x，DM=63x，PM=，在RtPDM中，由勾股定理得：PD=，故ADP周长=AD+AP+PD=62x+2x+=6+，当x=时，周长取最小值，最小值为9，此时DP=3，BD=AP=3，即D为AB中点，

9、P为AC中点，直线BP是等边ABC对称轴，如图所示，BDP沿BP折叠后，Q点落在BC中点处，则PCQ面积=ABC面积=【点睛】本题考查了等边三角形性质与判定、全等三角形证明、配方法求最值、勾股定理等知识点，利用题干画出辅助线，创造三角形全等条件，是解题难点题目综合性很强，将题目中的角度关系转化为线段间的关系是常用的解题思路4在ABC中，点D在边AB上，于F交BC于E，(1)如图1，若ACE为等边三角形，求AB的长；(2)如图2，作，求证：；(3)如图3，作，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出的值【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）求出BAE15，CBA45，过点A作ANBC于

10、点N，则ABN为等腰直角三角形，求出AN的长，则AB的长可求出；（2）过点C作CMAB于点M，设EAB，得出AMDMAD，ACCDAE，证明ACMEAG（AAS），得出EGAM，证出EBG为等腰直角三角形，可得出BEEGAMAD则结论得证（3）过点F作FHAB于点H，过点C作CMAB于点M，设BDa，由（2）可知DEa，AD2a，AMDMa，证出BECEa，求出BFa则可得出答案（1）ACE为等边三角形，CAEACBCEA60，CAE+90，CAE+2BAE90，BAE15，CBACEABAE601545，如图，过点A作ANBC于点N，ABN为等腰直角三角形，在等边ACE中，AN60AE，AB

11、AN（2）证明：如图，过点C作CMAB于点M，设EAB，CAE+2BAE90，CAE902，AECD，ACD2，CAB902+90，ACM，CM平分ACD，AMDMAD，ACCDAE，在ACM和EAG中，ACMEAG（AAS），EGAM，AD2AM2EG，ACAE，CAE902，CEA45+，又CEAB+EAG，B45，EGAB，EBG为等腰直角三角形，BEEGAMADADBE（3）如图，BF与EC之间的数量关系为过点F作FHAB于点H，过点C作CMAB于点M，设BDa，由（2）可知DEa，AD2a，AMDMa，DECM，BDDM，BECEa，DEa，AD2a，ADE90，AEa，CDAE，D

12、EAB，EFDADE90EDFDAE，DEFAED，EFa，AFaaa，FHDE，AFHAED，FHa，DH2aaa，BHa+a，BFa【点睛】本题是三角形综合题，涉及特殊三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的运用，解题的关键是针对每一小问的条件构造合适的辅助线利用图形的性质和判定去证明5在中，D，E分别是AB，AC的中点，连接BE并延长至F，且使，连接DF交AC于点G(1)如图1，连接AF，求证：；(2)如图2，若H是CE的中点，连接BH求证：；(3)在（2）的条件下，连接FH，改变的大小，当四边形BDFH是正方形时，直接写出的值【答案】(1)见解析(2

13、)见解析(3) 【分析】（1）取BE中点M，连接CM，根据全等三角形的性质，推导得，根据等腰三角形三线合一的性质，推导得，再根据直角三角形斜边中线的性质分析，即可完成求解；（2）延长CB至点P，使，连接EP，根据全等三角形的性质，得，根据三角形中位线的性质，得，且，从而完成求解；（3）根据相似三角形的性质，推导得四边形BDFH是平行四边形，结合正方形的性质，得，结合题意，根据勾股定理计算，即可得到答案(1)取BE中点M，连接CMM为BE中点，E为AC的中点，在和中，M为BE中点， D为AB的中点，(2)延长CB至点P，使，连接EP在和中 ，H是CE的中点，即，且由（1）可得，；(3)根据题意，

14、得 在和中 ，即 四边形BDFH是平行四边形当时，四边形BDFH是正方形， ， 又 【点睛】本题考查了全等三角形、直角三角形斜边中线、勾股定理、相似三角形、正方形、等腰三角形、三角形中位线的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、正方形的性质，从而完成求解6如图，在ABC中，点D，E分别在BC，AC上，连接AD，ADDC，点E为AC中点，连接BE交AD于点N，BNNE(1)如图1，若ANE90，AE4，求DC的长；(2)如图2，延长BA至点M，连接ME，ANME，若ABC45，求证：AM+NEAN；(3)如图3，延长BA至点M，连接ME，ME3，ADCMEB90，点T为AB中点，连接TE，将BT

15、E沿TE翻折得到BTE，点F，G分别为TE，EB上的动点（不与端点重合），连接AF，FG，连接MG交直线AE于点H，当AF+FG取得最小值时，直接写出的值【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）连接DE，先证明ABDAED，在求出EAD的度数，利用三角函数求解；（2）连接DE，利用面积法证明CD=2BD，取CD中点H，证明ABDBEH，再取AB中点T，证明MET为等腰直角三角形，等量代换得到结论；（3）首先根据垂线段最短及两点之间线段最短得到当DGAE时，取最小值；其次根据三角函数解直角三角形，得到GE、AE、DE、AT等线段的长度，过A作ASEQ，利用相似三角形对应边成比例得到AS、

16、GQ、AH的长度，最后代入求值(1)解：连接DEAD=CD，E为AC中点DEAC，C=DACBN=NE，ANBEAD为线段BE的垂直平分线ABDAEDABD=AED=90，BAD=DAEC+BAD+DAE=90即C=BAD=DAE=30AE=AD=AEcosDAE=；(2)解：连接DEAD=CD，E为AC中点DEAC，SADE=SCDEN为BE中点SABN=SANESBDE=SNDESABD=SADE，SABD=SADE= SCDE，SACD=2SABD即CD=2BD取CD中点H，连接EH则EH为直角三角形CDE斜边的中线EH=DH=CHEH=BD则D为BH中点AD=CD=BHEH是ACD中位

17、线EHADBDA=BHEABDBEHAB=BE取AB中点T，连接ET则ET为ABC中位线EHBC，BC=2ETMTE=ABC=45设BD=x，则CD=2x，AD=2x，EH=x，BC=3xDN是BEH中位线DN=，AN=而BC=2ET=3xET=ANM=MTE=45即TEM=90MTE为等腰直角三角形MT=ME即AM+AT=MEAN=ME，AT=AB=AE=NEAM+ NE =AN.(3)解：如图，连接DF，由题意知，ET是ABC中位线，ETBCADC=90ETAD，故ET是AD的垂直平分线，AF=DFAF+FG=DF+GF当D、F、G共线且DGBE时，取最小值，如图所示，由折叠及平行线性质知

18、，BET=BET=EBP，由MEA+AEB=90，BED+AEB=90知，MEA=BED由AET=45知，MEA+BET=45，而AEB+TEB=45MEA=AEB由（2）知，BEPBAD，BD=DP=PC=PE，设BET=BET=BAD=，MEA=AEB=，设EB交AT于Q，ETBCATE=ABCABD+BAD=90，BAD=TEQATE+TEQ=90即EQMQ过E作EPCD于Ptan=，BEM=902+2=90+=45tan=（见下面模型图）则tan2=（见下图）在RtMEQ中，MEQ=2，设MQ=3x，则EQ=4x，ME=5x=3MQ=，EQ=在RtAEQ中，AEQ=AQ=EQ=AM=，

19、AE=DE=AE=DEG+AEQ=90，DEG+EDG=90AEQ=EDG=设EG=y，则DG=3y，DE=y=EG=QG=QE-GE=过A作ASGE交MH于SAMSQMG，即，解得：AS=，AH=【点睛】本题考查了垂直平分线、轴对称、全等三角形、直角三角形斜边中线性质、勾股定理、三角函数、相似三角形等知识点，综合性很强，作出辅助线并灵活使用三角函数是解题关键.7在ABC中，点D在边BC上，连接AD(1)如图1，已知ABAC，点D为BC中点，CEAD于点E若AD7，CE4，求AE的长度：(2)如图2，当B45，ACAD时，过点C作CEAD交AD于点E，交AB于点F，连接DF，求证：DC(3)如

20、图3，当B45，AC12，点D是边BC中点时，过点D作DNAC交AC于点N，当线段DN取最大值时，请直接写出的值【答案】(1)6(2)证明见解析(3) 【分析】（1）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，在中，由勾股定理得求出的值，进而根据求解即可；（2）如图2，作于，于，由可得，设，则，有，证明，由，可得；（3）如图3，以为斜边作等腰直角三角形， 则，由，可知在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，由为中点，可知，则在以为直径的圆上运动，圆心为，当过圆心时，线段取最大值，求出、的值，中，由勾股定理得，计算求解即可(1)解：ABAC，点D为BC中点是斜边的中线CEAD在中，由勾股定理得的长为

21、6(2)证明：如图2，作于，于，设则，在和中，(3)解：如图3，以为斜边作等腰直角三角形， 在以为圆心，为半径的圆上运动连接为中点在以为直径的圆上运动，圆心为当过圆心时，线段取最大值，在中，由勾股定理得的值为【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，90的圆周角所对的弦为直径，圆于三角形综合等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用8如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分BAC，交BC于点E作DFAE于点H，分别交AB，AC于点F，G(1)判断的形状并说明理由；(2)求证：BF2OG；(

22、3)如图2：连结EF，当BEF的面积为矩形ABCD面积的时，求的值【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）证明即可得到答案；（2）过O作交DF于点I，证明，再利用即可证明；（3）设，分别表示出AB、AD、AC的长度，再根据求出a、k之间的关系，求出BE即可得出答案(1)解：是等腰三角形，理由如下： AE平分BAC，是等腰三角形；(2)如图，过O作交DF于点I，则，四边形ABCD是矩形，；(3)设，即，的面积为矩形ABCD面积的，即，【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定及性质，解题的关键是利用参数构建方程解决问题9如图，中，中，(1)图

23、1中，点D是上一点，若，求的长；(2)图2中，点D是上一点，点M是的中点，求证：；(3)图3中，点N是的中点，点D是平面内一个动点，若，当的度数最大时，的长是多少？【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可（2）连接CE根据三角形内角和定理和等边对等角确定ABC=DBE=45，根据直角三角形的边角关系和比例的性质确定，根据角的和差关系确定ABD=CBE，根据相似三角形的判定定理和性质确定BCE=90，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半确定EB=2CM，进而得到BD与CM的关系（3）以C为圆心，以为半径画圆，过点N作的切线与交于点F和点G，连接CG根据相似三角形

24、的性质确定点E在上，进而确定当点E与点F或点G重合时，CNE的度数最大；根据勾股定理求出NC的长度，根据切线的性质定理和勾股定理即可求出NE的长度(1)解：BAC=90，AB=4，AD=1，DB=DE，BDE=90，(2)证明：如下图所示，连接CEAB=AC，BAC=90，DB=DE，BDE=90，ABC=DBE，ABC-DBC=DBE-DBC，即ABD=CBEBAD=BCEBAC=90，即BAD=90，BCE=90点M是BE的中点，EB=2CM(3)解：如下图所示，以C为圆心，以为半径画圆，过点N作的切线与交于点F和点G，连接CG由（2）可知AD=1，点E在以C为圆心，以为半径的上当NE与相

25、切时，CNE的度数最大当点E与点F或点G重合时，CNE的度数最大，此时CNF=CNG，NG=NFAB=4，点N是AB的中点，BAC=90，AC=4，NG是的切线，的半径是，NGC=90，【点睛】本题考查勾股定理，三角形内角和定理，等边对等角，角的和差关系，解直角三角形，比例的性质，相似三角形的判定定理和性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，切线的性质定理，正确应用数形结合思想确定点E的位置是解题关键10如图，在ABC和DEF中，BC、EF交于点M，且点M为BC、EF的中点，将DEF绕点M旋转(1)如图1，当DEF旋转至点A在FD延长线上时，若，求线段BF的长；(2)如图2，当DEF旋转至点

26、A在FD延长线上，点B在DE延长线上时，求证：；(3)如图3，在DEF旋转过程中，直线AD与直线CF交于点N，连接BN，P为BN的中点，连接AP，若，请直接写出线段AP的最大值【答案】(1)3.(2)见解析.(3)+. 【分析】（1）根据，过B作AF垂线，构造直角三角形，理由勾股定理求解；（2）连接CF，根据易知条件得ABDACF，BEMCFM，再利用等腰直角三角形边的关系得到证明；（3）首先根据“手拉手”全等得到N点轨迹，根据“瓜豆原理”得到P点轨迹为圆弧，点与弧上一点最大距离为通过圆心的一条线段，利用勾股定理求解即可.(1)解：如图，过B作BHAF于H，在RtABH中，tanBAH=，设A

27、H=x，则BH=，由勾股定理得：5x2+x2=AB2又ABC为等腰直角三角形，AB=AC=BC=35x2+x2=9解得：AH=x=，BH=FH=在RtBFH中，BF=3.(2)如图，连接CFM时BC中点，M是EM中点EM=MF，BM=CMBME=CMFBEMCFMBE=CF，EBM=MCFBECFB、E、D共线，A、D、F共线BDCFAFC=BDA=90AB=AC，CAF+BAD=BAD+ABD=90CAF=BADABDCAFCF=ADCF=AD=BEAF=AD+DF=BE+EFAF=BE+EF.(3)连接DM，AM，延长AD交CF于NM是等腰直角三角形DEF和ABC斜边的中点DMF，AMC均

28、为等腰直角三角形DM=MF，AM=CM，AMD=CMFADMCFMMAD=MCFAMC=CND=90故N点轨迹为以AC为直径圆（圆O，半径为）的一部分，P为BN中点，故P的轨迹是以BO中点O为圆心的圆的一部分，半径为圆O半径的一半，即为如图所示，则AP的最大值位置为：连接AO交圆O于P，P为所求，最大值为AP的长度AP=AO+OP=+=+=+.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、手拉手全等、平行线性质来证明几何命题，并确定动点轨迹，以及三角函数、勾股定理求解线段长度，综合性较强，难度较大,证明ANC=90度是关键.11已知等腰RtABC和等腰RtAEF中，ACB=AFE=90，AC=BC，

29、AF=EF，连接BE，点Q为线段BE的中点(1)如图1，当点E在线段AC上，点F在线段AB上时，连接CQ，若AC=8，求线段CQ的长度(2)如图2，B、A、E三点不在同一条直线上，连接CE，且点F正好落在线段CE上时，连接CQ、FQ，求证：CQ=FQ(3)如图3，AC=8，以线段BE为斜边，在BE的右侧作等腰RtBEP，在边CB上取一点M，使得MB=2，直接写出线段PM的长最大值【答案】(1)(2)见解析(3)线段PM的长最大值为 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，根据勾股定理可得出，由点Q为线段BE的中点，即可求解；（2）如图1，延长至点，使，连接KC、KB，则，得出，根

30、据等量代换得出，根据全等三角形的判定定理可证得，得出，进而证得为等腰直角三角形，则可证得CQFQ；（3）如图2，以构造正方形ACBO，连接PO，根据等腰三角形的性质，总有，由相似三角形的性质得出，则可求出，则说明P点是在以O为圆心，4为半径的圆上运动，当P运动至图3位置时，PM的值最大，求出PM即可（1）解：ABC和AEF均为等腰直角三角形，在中，点Q为线段BE的中点，；（2）如图1，延长至点，使，连接KC、KB，在和中，又，在中，在和中，（SAS），即为等腰直角三角形，点Q为线段FK的中点，也为等腰直角三角形，CQFQ（3）如图2，以构造正方形ACBO，连接PO，为等腰直角三角形，又为等腰直

31、角三角形，又，又，由题知：，即，则说明P点是在以O为圆心，4为半径的圆上运动，当P运动至图3位置时，PM的值最大，即PM的最大值为【点睛】此题主要考查了三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的相关性质以及等腰三角形的性质和判定等知识，熟练掌握基本知识，作出相应的辅助线是解题关键12如图，在ANC和CMB中，ACBC，ANBC，点B、点N在AC同侧，点A，M，C共线，BM，CN交于点D，且ANCBMC(1)如图1，当NAC90时，点E、M分别为NB、AC中点，DM1，求DE的长(2)如图2，当NAC90时，点P、Q分别是MN、BC中点，连接PQ，与NC

32、、BM分别交于点S、T，求证：DSDT(3)如图3，在（2）问的条件下，当NAC60时，将BMC沿着MC翻折到B1MC，连接AB1.若tanMBC，请直接写出的值【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）根据题意证明CANBCN，进而得出AC2AN，进而得出CD，CM，CN，BM的长，进而得出BD和DN，进而求得结果；（2）由题意以B为圆心，BC为半径画弧交AC的延长线于E，连接BE，可证得ACNEMB，从而CNBE，取CM的中点，进而根据三角形中位线性质进一步命题得证；（3）根据题意设CM2a，解三角形BCM，解三角形ACB1，求得AB1，通过角之间的关系推出PEQ60，从而得出PEQ

33、是等边三角形，从而得出PQEQ，进而求得结果（1）解：ANBC，NAC90，BCM180NAC90，NACBCM，在CAN和BCN中，CANBCN（AAS），ANCM，BMCN，点M是AC的中点，AC2CM，AC2AN，tanBMCtanANC2，tanBMC2，DC2DM2，CM，AC2CM2，ANCM，CN5，BMCN5，DNCNDC523，BDBMDM514，A90，ANC+ACN90，ANCBMC，BMC+ACN90，BDNCDM90，BM5，E是BN的中点，DE；（2）证明：如图1，以B为圆心，BC为半径画弧交AC的延长线于E，连接BE，BEBC，EBCE，ACBC，ACBE，ANB

34、C，ABCE，AE，在ACN和EMB中，ACNEMB（AAS），CNBE，取CM的中点，P是MN的中点，PFCN，PF，DSTFPQ，同理可得：FQBM，FQ，STDPQF，PFFQ，QPFPQF，TSDSTD，DSDT；（3）如图2，延长BC交AB1于G，作MFBG于F，作BLAC与L，ANBC，NAC60，ACGNAC60，ACB1ACB120，GCB160，ACGGCB1，AB12AG，设CM2a，MFCMsinACG2asin60，CFCMa，tanMBC，BF4MF4，ACBCBFCF（1）a，AGACsinACGACsin60a，AB1（41）a，ANBC，ANCBCN，BMCAN

35、C，BMCBCN，BCN120，BCN+ACN120，BMC+ACN120，PENC，QEBM，QECBMC，PEMACN，QEC+PEM120，PEQ60，又PEEQ，PEQ是等边三角形，PQEQ，MFa，BF4，BMa，PQ，【点睛】本题考查等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形13如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC=6，ADBC于点D点G是射线AD上一点过G作GEGF分别交AB、AC于点E、F；（1）如图所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：AE+AF=AD；（2）如图所示

36、，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并说明理由；（3）当点G在线段AD上时，请直接写出AG+BG+CG的最小值 【答案】（1）见解析；（2）AE+AF=AG，理由见解析；（3）AG+BG+CG的最小值为 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理即可求证；（2）过点G作HG上AG交AB延长线于点H，由等腰直角三角形可得DAB=DAC=45，AG=HG，由“ASA”可证AGFHGE，可得AF=BH，可得结论；（3）将ABG绕点A顺时针旋转60得到ABG，连接GG，BC，过点B作BNAC，交CA的延长线于点N，由旋转的性质

37、可得AG+BG+CG=GG+BG+CG，则当点B，点G，点G，点C共线时，AG+BG+CG的值最小，最小值为BC的长，由30角所对直角边是斜边一半和勾股定理可求解【详解】解：（1）在ABC中，BAC=90，AB=AC=6，ADBC于点D，则D也是BC上的中点，即AD是BC的垂直平分线，AD=BD=CD，AB=AD，B=DAC=45，BDE+ADE=90，ADF+ADE=90，BDE=ADF，BDEADF（ASA），ED=FD，BE=AF，AB=AE+BE=AE+AF，AE+AF=AD；（2）AE+AF=AG，理由如下：如图，过点G作HGAG交AB延长线于点H，BAC=90，AB=AC=6，AD

38、BC，DAB=DAC=45，AHG=BAD=45，AG=HG，AH=AG，EGF=AGH=90，AGF=EGH，又AHG=FAG=45，AGFHGE（ASA），AF=BH，AH=AE+BH=AE+AF=AG；（3）如图，将ABG绕点A顺时针旋转60得到ABG，连接GG，BC，过点B作BNAC，交CA的延长线于点N，AB=AB=6，AG=AG，BAB=60，GAG=60，BG=BG，AGG是等边三角形，AG=GG，AG+BG+CG=GG+BG+CG，当点B、G、G、C共线时，AG+BG+CG的值最小，最小值为BC的长，BAC=BAB+BAC=60+90=150，BAN=30，BN=3，AN=BN

39、=3，CN=6+3，BC=，AG+BG+CG的最小值为：【点睛】本题考查了综合运用旋转的知识作辅助线证明的能力，用旋转的知识解决几何最值问题，对于与等腰直角三角形有关的证明题往往要进行图形的90旋转，把要证明的要素集中到一个熟悉的图形中进行，最值问题常常要通过轴对称和旋转60把要求的线段之和或差转化为具有固定端点的折线，然后据两点之间线段最短来解决14已知，正方形ABCD中，M、N分别为AD边上的两点，连接BM、CN并延长交于一点H，连接AH，E为BM上一点，连接AE、CE，ECHMNH90(1)如图1，若E为BM的中点，且DM3AM，求线段AB的长(2)如图2，若点F为BE中点，点G为CF延

40、长线上一点，且EG/BC，CEGE，求证：(3)如图3，在（1）的条件下，点P为线段AD上一动点，连接BP，作CQBP于Q，将BCQ沿BC翻折得到BCl，点K、R分别为线段BC、Bl上两点，且BI3RI，BC4BK，连接CR、IK交于点T，连接BT，直接写出BCT面积的最大值【答案】(1)4(2)证明见解析(3) 【分析】（1）由正方形ABCD的性质，可得到ABM为直角三角形，再由E为BM中点，得到BM=2AE，最后由勾股定理求得AB的长度；（2）过点A作AYBH于点Y，由EGBC，CEGE，F为BE中点，可得GEFCBF，从而得到BCE为等腰三角形，再根据角的关系，易得ECGECH=BCD=

41、45，得到HFC为等腰直角三角形，再根据ABYBCF，得到BM=CF，AY=BF，从而转化得到结论；（3）当P、D重合时得到最大面积，以B为原点建立直角坐标系，求出坐标和表达式，联立方程组求解，即可得出答案(1)解：四边形ABCD为正方形，且DM3AM，BAM=90，AD=AB=4AM，ABM为直角三角形，E为BM的中点，BM=2AE=，在RtABM中，设AM=x，则AB=4x，解得，AB=4；(2)过点A作AYBH于点Y，EG/BC，CEGE，G=BCG=ECG，F为BE的中点，GEFCBF（AAS），GE=BC，BCE为等腰三角形，CFBE，CFE=90；ECHMNH90，MNH=CND，

42、CNDNCD=90，ECH=NCD，ECGECH=BCD=45，HFC为等腰直角三角形，CF=HF；ABECBE=90，CBEBCF=90，ABE=BCF，AB=BC，AYB=BFC=90，ABYBCF（AAS），BY=CF，AY=BF，BY=HFBY-FY=HF-FYBF=HY=AY，AHY是等腰直角三角形，,；(3)BQC=90，点Q在以BC为直径的半圆弧上运动，当P点与D点重合时，此时Q点离BC最远，QBC和IBC面积最大，此时BCT面积最大；CQBP，CBQ为等腰直角三角形，由翻折可得，CBI为等腰直角三角形，建立如图直角坐标系，作RSBC，TVBC，由（1）中结论可知：B（0，0），

43、C（4，0），I（2，）,BI3RI，BC4BK，解得RS=,R，K（1，0），直线KI解析式为：，直线CR解析式为：，联立，解得，即T，【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质、全等三角形证明、翻折问题、等腰三角形的性质等，熟练掌握每个性质的核心内容，理清相互之间的联系，属于压轴题15如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，ABD+ADB=ACB（1）填空：BAD与ACB的数量关系为 ；（2）求的值；（3）将ACD沿CD翻折，得到ACD（如图2），连接BA，与CD相交于点P若CD=，求PC的长【答案】（1）BAD+ACB=1

44、80；（2）；（3）1 【分析】（1）在ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：BAD+ACB=180；（2）如图1中，作DEAB交AC于E由OABOED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=x，OA=OE=y，由EADABC，推出，可得，可得4y2+2xy-x2=0，即，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DEAB交AC于E想办法证明PADPBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；【详解】解：（1）如图1中，在ABD中，BAD+ABD+ADB=180，又ABD+ADB=ACB，BAD+ACB=180，故答案为：BAD+ACB=180（2）如图1中，作DEAB交AC于ED

45、EA=BAE，OBA=ODE，OB=OD，OABOED，AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，EDA+DAB=180，BAD+ACB=180，EDA=ACB，DEA=CAB，EADABC， ，4y2+2xyx2=0，（负根已经舍弃）， （3）如图2中，作DEAB交AC于E由（1）可知，DE=CE，DCA=DCA，EDC=ECD=DCA，DECAAB，ABC+ACB=180，EADACB，DAE=ABC=DAC，DAC+ACB=180，ADBC，PADPBC，即 PC=1【点睛】本题考查几何变换综合题、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等

46、知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构造方程解决问题，属于中考压轴题16如图，在RtABC中，BAC90，ABAC，D是BC边上一动点(1)如图，若BC，CAD15，求BD的长；(2)如图，D是BC边的中点，E是BA延长线上一点，连接CE，过点A作AFCE于点F，过点B作BGAF交FA延长线于点G，连接DG请猜想BG、CF、DG的关系，并证明你的结论；(3)如图，若AB，M是ABC内部一点，当CMAMBM取得最小值时，请直接写出ABM的面积【答案】(1)1；(2)CF+BGFG证明见解析部分；(3) 【分析】（1）如图中，过点D作DEAC于点E

47、，在AC上取一点F，使得DFAF，连接DF设ECEDm，则CDm，构建方程求出m即可；（2）结论：CF+BGFG如图中，连接FD，延长FD到T，使得DTDF利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可；（3）如图中，将ABM绕点B逆时针旋转90得到RBQ，连接MQ，CR，过点C作CLRB交RB的延长线于点L由旋转的性质可知，AMRQ，BMBQ，ABBRAC，ABRMBQ90，推出MQBM，可得AM+MCBMCM+MQ+QRCR，解直角三角形，求出CR，当AM+CMBM的取得最小值时C，MQR共线，过点B作BJCR于点J求出BJ，RQ的值，可得结论（1）解：如图中，过点D作DE

48、AC于点E，在AC上取一点F，使得DFAF，连接DFCAB90，ACAB，BC2，ACABBC，CB45，DEAC，CCDE45，ECED，设ECEDm，则CDm，AFDF，FADFDA15，EFDFAD+FDA30，DFAF2DE2m，EFDEm，mm+2m，m，CDDE1，BDBCCD2（1）1；（2）结论：CF+BGDG理由：如图中，连接FD，延长FD到T，使得DTDFAFEC，BGFG，AFCAGB90，AFC+AGB180，CFGT，CFDT，FDCTDB，DCDB，DFCDTB（AAS），CFBT，DFDT，CABCFAAGB90，CAF+GAB90，GAB+ABG90，CAFAB

49、G，ACAB，CFAAGB（AAS），AFBGCFAG，AGBT，AF+AGBG+BT，即GFGT，GFDT45，GDFT，DFGDGF45，FGDG，CF+BGAG+AFFGDG即CF+BGDG（3）如图中，将ABM绕点B逆时针旋转90得到RBQ，连接MQ，CR，过点C作CLRB交RB的延长线于点L由旋转的性质可知，AMRQ，BMBQ，ABBRAC，ABRMBQ90，MQBM，AM+MCBMCM+MQ+QR，CM+MQ+QRCR，CLRL，LCABAB90，四边形ABLC是矩形，ABAC，四边形ABLC是正方形，CLBLAB，RL2，CR，AM+CMBM，AM+CMBM的最小值为，此时C，M

50、，Q，R共线，过点B作BJCR于点JSBCRBRCLCRBJ，BJ，RJ，BMQ是等腰直角三角形，BJMQ，MJJQBJ，QRJRIQ，SABMSBRQQRBJ【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质与判定，图形的旋转等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考压轴题17如图，为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM(1)如图1，若AB2+2，ABD45，求的面积；(2)如图2，过点M作与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：ADCN；(3)如图3，在（2）的条件下

51、，将沿AM翻折得，连接BN，当BN取得最小值时，直接写出的值【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）过点D作DHAB，根据ABD45，BAC60解三角形求出，可得再结合三角形中学性质即可解得；（2）过点A作AGBC，垂足为G，连接MG，又中位线性质和，得，再通过四点共圆证明，进而可得，从而可证明为等边三角形，延长AM到P，使MP=AM，连接PN，构造，得AD=BP，继而证明（SAS），从而可得，由此即可得出结论；（3）取AC的中点Q，连接BQ，取BQ的中点K，连接KM，通过构造，得出即D为AC的中点时，取最小值，再结合题目条件解三角形即可求解(1)解：如解图1，过点D作DHAB

52、，ABD45，在ABC为等边三角形中，BAC60，又AB2+2，M为BD的中点，；(2)如解图2，过点A作，垂足为G，连接MG，ABC为等边三角形，BG=GC，BM=DM，又，A、M、G、N四点共圆，又MP=AM，又，为等边三角形，如解图2，延长AM到P，使MP=AM，连接PN，BM=DM，（SAS）AD=BP，在和中，（SAS），；(3)取AC的中点Q，连接BQ，取BQ的中点K，连接KM，将ABM沿AM翻折得ABM，又，即：，又，又BM=MD，BK=KQ，又AB=BC，当M点与K点重合时，取最小值，此时取最小值，D点与Q点重合，即D为AC的中点时，取最小值，如解图3-2；设AD=a， 是等边

53、三角形，D点是AC的中点， ，【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等边三角形、全等三角形、相似三角形的性质和判定以及解三角形等知识点，难度大，综合性强，需要平时积累和训练解题关键是根据题目的已知条件添加辅助线构造适当的三角形转化线段和角的关系18在中，点是斜边上的一点，连接，点是上一点，过点分别作，交于点、（1）如图1，若点为斜边的中点，求证：点是线段的中点（2）如图2，在（1）的条件下，将绕点顺时针旋转任意一个角度，连接，请写出线段和线段的数量关系，并说明理由（3）如图3，若点是斜边的三等分点，且靠近点，当时，将绕点顺时针旋转任意一个角度，连接、，请求出的值【答案】（1）证明见解析；（2

54、），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质，得；结合等腰三角形和平行线的性质，得，从而得，即可完成证明；（2）结合题意，根据旋转的性质得：，从而得到；根据（1）的结论，得，；通过证明，即可得到答案；（3）旋转前，根据题意，得，结合旋转性质，旋转后，仍然成立；根据相似三角形性质，通过证明，得；过点作于点，得；设，根据题意得；根据勾股定理，得，通过计算，即可得到答案【详解】（1）在中，点为斜边的中点，点为的中点（2）如图：根据题意，得：，即由（1）可知，；（3）旋转前，根据题意，旋转后，仍然成立又即过点作于点，在中，设，则，点是斜边的三等分点，且靠近点在中，【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线、等腰三角形、平行线、旋转、全等三角形、相似三角形、勾股定理、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线、等腰三角形、平行线、旋转、全等三角形、相似三角形、勾股定理的性质，从而完成求解