2022年中考数学几何模型之全等三角形的五种模型（讲 练）（解析版）.docx

1、专题06 全等三角形的五种模型全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复。模型一、截长补短模型 截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。如图所示，在BF上截取BM=DF，易证BMCDFC（SAS），则MC=FC=FG，BCM=DCF，可得MCF为等腰直角三角形，又可证CFE=45，CFG=90，CFG=MCF，FGCM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证CDFBCN（SAS

2、），可得CF=FG=BN，DFC=BNC=135，又知FGC=45，可证BNFG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG. 例1.如图，ABC中，B=2A，ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（）A6B7C8D9【答案】【详解】解：如图，在上截取 连接 平分 故选：【变式训练1】如图，在ABC中，ABBC，ABC60，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点（1）若DAE15，求证：ABD是等腰直角三角形；（2）连CE，求证：BEAE+CE【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明：（1）在

3、ABC中，ABBC，ABC60，ABC是等边三角形，ACABBC，BACABCACB60，线段AC与AD关于直线AP对称，CAEDAE15，ADAC，BAEBAC+CAE75，BAD90，ABACAD，ABD是等腰直角三角形；（2）在BE上取点F，使BFCE，连接AF，线段AC与AD关于直线AP对称，ACEADE，ADAC，ADACAB，ADBABD=ACE，在ABF与ACE中，ABFACE（SAS），AFAE，ADAB，DABD，又CAEDAE，在AFE中，AFAE，AEF60，AFE是等边三角形，AFFE，BEBF+FECE+AE【变式训练2】如图，在ABC中，ACB=ABC=40o，BD

4、是ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则ECA=_【答案】40【详解】解：在BC上截取BF=AB，连接DF，ACB=ABC=40，BD是ABC的角平分线，A=100，ABD=DBC=20，ADB=60，BDC=120，BD=BD，ABDFBD， DE=DA， DF=AD=DE，BDF=FDC=EDC=60，A=DFB=100，DC=DC，DECDFC，；故答案为40【变式训练3】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如

5、图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 (3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长【答案】（1）见解析；（2）；（3）3【详解】（1）证明：如图，延长到使，连接AG，四边形ABCD是正方形，在与中， ，在与中， ，又，；（2），理由如下：如图，在BM上取一点G，使得，连接AG，四边形ABCD是正方形，在与中， ，又，在与中， ，又，故答案为：；（3）如图，在DN上取一点G，使得，连接AG，四边形ABCD是正方形，在与中， ，又，在与中， ，设，解得：，在与中， ，CP的长为3模型二、平移全等模型 例.如图

6、，在ABC和DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB / DE，AB = DE，A = D（1）求证：；（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长【答案】（1）见解析；（2）BE=3【详解】（1）证明：ABDE，ABCDEF，在ABC和DEF中 ABCDEF（ASA）；（2）解：ABCDEF，BCEF，BCECEFEC，即BECF，BF11，EC5，BFEC6BECF6BE3【变式训练1】如图，AB/CD，AB=CD点E、F在BC上，且BF=CE（1）求证：ABEDCF（2）求证:AE/DF【答案】（1）见详解；（2）见详解【详解】证明：（1）ABCD，BF=CE，AB=CD，（SA

7、S）；（2）由（1）可得：，【变式训练2】如图，已知点是的中点，且（1）求证：ACDCBE（2）若，求B的度数【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据SAS证明ACDCBE；（2）根据三角形内角和定理求得ACD，再根据三角形全等的性质得到B=ACD【详解】（1）C是AB的中点，ACCB，CD/BE，在ACD和CBE中，；（2） ，又，模型三、对称全等模型 例.如图，已知CF90，ACDF，AEDB，BC与EF交于点O，（1）求证：RtABCRtDEF；（2）若A51，求BOF的度数【答案】（1）见解析；（2）78【详解】（1）证明：AEDB，AEEBDBEB，即ABDE又CF90，ACD

8、F，RtABCRtDEF（2）C90，A51，ABCCA905139由（1）知RtABCRtDEF，ABCDEFDEF39BOFABCBEF393978【变式训练1】如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，EF90，BC，AEAF，给出下列结论：12；BECF；ACNABM；CDDN其中正确的结论有（）A4个B3个C2个D1个【解答】B【解析】EF90，BC，AEAF，ABEACF，BECF，BAECAF，BAEBACCAFBAC，12，ABEACF，BC，ABAC，又BACCAB，ACNABM，CDDN不能证明成立，共有3个结论正确【变式训练2】如图，ABAC，BEAC于E，CFA

9、B于F，BE，CF交于D，则以下结论：ABEACF；BDFCDE；点D在BAC的平分线上正确的是（）ABCD【解答】D【解析】BEAC于E，CFAB于F，AEBAFC90，ABAC，AA，ABEACF（第一个正确），AEAF，BFCE，BEAC于E，CFAB于F，BDFCDE，BDFCDE（第二个正确），DFDE，连接AD，AEAF，DEDF，ADAD，AEDAFD，FADEAD，即点D在BAC的平分线上（第三个正确）.模型四、旋转全等模型 例.如图，ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且点B，D，E在同一条直线上，若CAE+ACE+ADE=130，则ADE的度数为（ ）

10、A50 B65 C70 D75【答案】B【详解】 在和中（ SAS） 故选：B【变式训练1】如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60得到正方形ABCD，线段CD，BC交于点E，若DE1，则正方形的边长等于_【答案】【详解】解：连接AC、AE，延长CB交AC于点F，过点F作GFDC于G，由题意得，AD=AB,D=ABE，BAB=60,CAB=GCB=45，DAB=30，CAB=15在RTADE与RTABE中 ，RTADERTABE（HL），DAE=BAE=DAB=15，DE=EB=1，BAE=CAB在ABE和ABF中 ，ABEABF（ASA），EB=BF=1DEB=360-D-DAB=150，

11、GEF=30在RTEGF中，EG=EFcosGEF=2=，DF=EFsinGEF=2=1 在CGF中，GCF=45，CG=GF=1，DC=DE+EG+GC=2+所以正方形的边长为2+，故答案为2+【变式训练1】如图，求证：（1）；（2） 【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明：，在和中，；如图，设交于，交于，【变式训练2】如图，（1）求证：；（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；（3）若，求的度数【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BDCE；（3）【详解】（1）CAB=EADCAB+BAE=EAD+BAE， CAE=BAD，AB=AC，AE=AD在AEC和ADB中 AECADB

12、（SAS）（2）CE=BD且CEBD，证明如下：将直线CE与AB的交点记为点O，由（1）可知AECADB， CE=BD， ACE=ABD，BOF=AOC，=90， BFO=CAB=90， CEBD （3）过A分别做AMCE，ANBD由（1）知AECADB，两个三角形面积相等故AMCE=ANBDAM=ANAF平分DFC由（2）可知BFC=BAC=DFC=180-CFA=DFC=【变式训练3】如图，在ABC中，A90，ABAC1，BC2，点D、E分别在边AB、AC上，且ADAE1，DE现将ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为（0180）如图，连接CE、BD、CD（1）如图，求证：CEBD；（2）利

13、用备用图进行探究，在旋转的过程中CE所在的直线能否垂直平分BD？如果能，请猜想的度数，画出图形，并将你的猜想作为条件，给出证明；如果不能，请说明理由；（3）在旋转的过程中，当BCD的面积最大时， （直接写出答案即可）【答案】（1）证明见解析；（2）能，=90；（3）【详解】（1）证明：如图2中，根据题意：，在和中，；（2）能，若CE所在直线垂直平分BD，则CD=BC，ABAC1，BC2，ADAE1，DE， AC+AD=CD，即A、C、D在同一条直线上，此时=90，如下图，CE的延长线与BD交于F，与（1）同理可得，且，是线段的垂直平分线；（3）解：中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有

14、最大值，当点在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图中：，于，的面积的最大值为：，旋转角模型五、手拉手全等模型 例.如图，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点（1）求证：；（2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析【详解】解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，即在和中，(SAS)即AE=BD，（2）成立；理由如下：如图2中，、均为等边三角形，即，在和中，【变式训练1】如图，OAB和OCD中，OAOB，OCOD，AOBCOD90，AC、BD交于点M(1) 如图1，求证：AC=BD，判断AC与BD的位置

15、关系并说明理由； (2) 如图2，AOBCOD60时，AMD的度数为_.【答案】(1)答案见解析；（2）【详解】 即：易证 AC=BD ACBD（2）同理可得. 故答案为： 【变式训练2】如图，将两块含45角的大小不同的直角三角板COD和AOB如图摆放，连结AC，BD（1）如图，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图中的COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由（3）将图中的COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关

16、系？请直接写出结论【答案】（1）AC=BD，ACBD，证明见解析；（2）存在，AC=BD，ACBD，证明见解析；（3）AC=BD，ACBD【详解】（1）AC=BD，ACBD， 证明：延长BD交AC于点ECOD和AOB均为等腰直角三角形，OC=OD，OA=OB，COA=BOD=90，AOCBOD（SAS），AC=BD，OAC=OBD，ADE=BDO，AED=BOD=90，ACBD；（2）存在，证明：延长BD交AC于点F，交AO于点GCOD和AOB均为等腰直角三角形，OC=OD，OA=OB，DOC=BOA=90，AOC=DOCDOA，BOD=BOADOA，AOC=BOD，AOCBOD（SAS），A

17、C=BD，OAC=OBD，AGF=BGO，AFG=BOG=90，ACBD； （3）AC=BD，ACBD证明：BD交AC于点H，AO于M，COD和AOB均为等腰直角三角形，OC=OD，OA=OB，DOC=BOA=90，AOC=DOC+DOA，BOD=BOA+DOA，AOC=BOD，AOCBOD（SAS），AC=BD，OAC=OBD，AMH=BMO，AHM=BOH=90，ACBD 【变式训练3】已知：如图1，在和中，（1）证明（2）如图2，连接和，与分别交于点和，求的度数（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数【答案】（1）证明见解析；（2）ACE =62；（3）CBA=6【详解】解：（1）C

18、AE =DAB，CAE +CAD =DAB +CAD，即CAB =EAD，在ABC和ADE中，ABCADE（AAS），（2）ABCADE ，CBA=EDA ,AC=AE ，在MND和ANB中，EDA +MND+DMB =，CBA +ANB +DAB =，又 MND=ANB， DAB=DMB=，CAE =DAB=，AC=AE，ACE =AEC=，ACE =，（3）CBA=，如图所示，连接AM，,CN=EM,CA=EA,(SAS),AM=AN,=即,由(2)可得：,=,CAE =DAB=-= .课后训练1.如图，已知，且，则的度数为（ ）ABCD【答案】C【详解】在ABC和ADE中 ABCADE（

19、SAS）BAC=DAEEAB=BAC+DAE+CAD=120BAC=DAEBAF=BAC+CAD=65在AFB中，AFB=180-B-BAF=90GFD=90在FGD中，EGF=D+GFD=115故选：C2.如图，ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EFAB于F，B1+2，ABCD，BF，则AD的长为_【详解】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DKEB=ET，B=ETB，ETB=1+AET，B=1+2，AET=2，AE=CD，ET=CK，AETDCK(SAS)，DK=AT，ATE=DKC，ETB=DKB，B=DKB，DB=DK，BD=AT，A

20、D=BT，BT=2BF=，AD=，故答案为：3.如图，平分，则_ 【答案】4【详解】解：（1）在BC上截取BEBA，如图，BD平分ABC，ABDEBD，在ABD和BED中，ABDEBD（SAS），DEAD，BEDA，又A2C，BEDC+EDC2C，EDCC，EDEC，ECAD，BCBE+ECAB+AD，BC10，AB6，AD1064；故答案为：44.如图，正方形ABCD，将边CD绕点D顺逆时针旋转（090），得到线段DE，连接AE，CE，过点A作AFCE交线段CE的延长线于点F，连接BF（1）当AEAB时，求的度数；（2）求证：AEF45；（3）求证：AEFB【答案】（1）30；（2）证明见解

21、析；（3）证明见解析【详解】解：(1) 在正方形ABCD中，ABADDC，由旋转可知，DCDE，AEABAEADDEAED是等边三角形，ADE60，ADC90，ADCADE906030（2）证明：在CDE中，DCDE，DCEDEC， 在ADE中，ADED，ADE90，DAEDEAAECDECDEA135AEF45，（3）证明：过点B作BG/CF与AF的延长线交于点G，过点B作BH/GF与CF交于点H， 则四边形BGFH是平行四边形，AFCE，平行四边形BGFH是矩形，AFPABC90，APFBPC，GABBCP， 在ABG和CBH中，ABGCBH(AAS)，BGBH，矩形BGFH是正方形，HF

22、B45，由（2）可知：AEF 45，HFBAEF 45，AEFB 5.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，ABAC，点E是BD上一点，且AEAD，EADBAC（1）求证：ABDACD；（2）若ACB65，求BDC的度数【答案】（1）见解析；（2）50【解析】（1）证明：BACEAD，BACEACEADEAC，即BAECAD，在ABE和ACD中，ABEACD ，ABDACD ；（2）BOC是ABO和DCO的外角，BOCABDBAC，BOCACDBDC，ABDBACACDBDC，ABDACD，BACBDC ，ACB65，ABAC，ABCACB65 ，BAC180ABCACB18065

23、6550 ，BDCBAC506.如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点E在AC上（且不与点A、C重合），在ABC的外部作CED，使CED=90，DE=CE，连接AD，分别以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF（1）求证：EF=AE；（2）将CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE，请判断线段AF、AE的数量关系，并证明你的结论【答案】（1）见解析；（2），见解析【详解】解：（1）如图，四边形ABFD是平行四边形，AB=DF， AB=AC，AC=DF， DE=ECAE=EF；（2），证明：连接EF，设DF交BC于K，四边形ABFD是平行四边形，AB/DFDK

24、E=ABC=45，EKF=180-DKE=135ADE=180-EDC=180-45=135，EKF=ADE，DKC=C，DK=DC，DF=AB=AC，KF=AD在EKF和EDA中，EKFEDA（SAS）EF=EA, KEF=AED，FEA=BED=90，AEF是等腰直角三角形，7.如图，在ABC中，ACB90，ACBC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且ACFCBE，CG平分ACB交BD于点G，（1）求证：CFBG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CPAG交BE的延长线于点P，求证：PBCPCF；（3）在（2）问的条件下，当GAC2FCH时，若SAEG3

25、，BG6，求AC的长【解答】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）证明，ACB90，ACBC，A45，CG平分ACB，ACGBCG45，ABCG，在BCG和CAF中，BCGCAF（ASA），CFBG；（2）PCAG，PCACAG，ACBC，ACGBCG，CGCG，ACGBCG，CAGCBE，PCGPCAACGCAG45CBE45，PGCGCBCBECBE45，PCGPGC，PCPG，PBBGPG，BGCF，PBCFCP；（3）如图，过E作EMAG，交AG于M，SAEGAGEM，由（2）得ACGBCG，BGAG6，6EM，EM，设FCHx，则GAC2x，ACFEBCGAC2x，ACH4

26、5，2xx45，x15，ACFGAC30，在RtAEM中，AE2EM，M是AG的中点，AEEG，BEBGEG6 ，在RtECB中，EBC30，CEBE，ACAEEC8.如图，在ABC中，ABC60，点D，E分别为AB，BC上一点，BDBE，连接DE，DC，ACCD（1）如图1，若AC3，DE2，求EC的长；（2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AEAM，求证：2DEMC；（3）在（2）的条件下，若ACB45，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系【解答】（1）；（2）见解析；（3）【解析】（1）如图，过点C作CGAB于G，ACCD，AGDG，设DGa，B

27、DBE，ABC60，BDE是等边三角形，BDDE，BGBDDG a，在RtBGC中，BCG90ABC30，BC2BG，CGBG6 a，在RtDGC中，CDAC3，根据勾股定理得，CG2DG2CD2，（6 a）2a290，或（舍），BCECBEECBD，ECBD2（BDDG），ECBD2DG；（2）如图在MC上取一点P，使MPDE，连接AP，BDE是等边三角形，BED60，BEDE，DEC120，BEPM，AEAM，AEMAME，AEBAMP，ABEAPM（SAS），APMABC60，APC120DEC，如图，过点M作AC的平行线交AP的延长线于Q，MPQAPC120DEC，ACCD，ADCDA

28、C，CDE180BDEADC18060DAC120DAC，在ABC中，ACB180ABCDAC120DACCDE，MQAC，PMQACB，PMQEDC，MPQDEC（ASA），MQCD，ACMQ，APCQPM（AAS），CPMP，CMMPCP2DE；（3）如图，在MC上取一点P，使PMDE，由（2）知，MC2CP2DE，由（2）知，ABEAPM，ABAP，ABC60，ABP是等边三角形，BPAB，BEBD，PEAD，BCBEPECPDEPEDE2DEADMCAD，过点A作AHBC于H，设BHm，在RtABH中，在RtACH中，ACB45，CAH90ACB45ACB，CHAH，MCADBCBHCH，MCADAC