2022年中考数学几何模型之动点最值之将军饮马模型（讲 练）（解析版）.docx

1、专题11 动点最值之将军饮马模型模型一、两定一动模型 例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB10，AD6，动点P满足SPABS矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为 【解答】解：设ABP中AB边上的高是hSPABS矩形ABCD，ABhABAD，hAD4，动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离在RtABE中，AB10，AE4+48，BE2，即PA+PB的最小值为2故答案为：2【变式训练1】如图，正方形ABEF的面积为4，BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一点P

2、，使PCPE最小，则这个最小值的平方为（ ）A. B. C. 12D. 【答案】B【解析】连接AC、AE，过点C作CGAB，如图所示：正方形ABEF，AEBF,OAOE，即可得：E关于BF的对称点是A，连接AC交BF于P，则此时EPCP的值最小，EPCPAC，正方形ABEF的面积为4，BCE是等边三角形，ABBE2，BEBC2，在RtBCG中，CBG906030，BC2，CG1，即这个最小值的平方为.【变式训练2】如图RtABC和等腰ACD以AC为公共边，其中ACB90，ADCD，且满足ADAB，过点D作DEAC于点F，DE交AB于点E，已知AB5，BC3，P是射线DE上的动点，当PBC的周长

3、取得最小值时，DP的值为（） ABCD【解答】解：连接PB、PC、PA，要使得PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可，PB+PCPA+PBAB，当P与E重合时，PA+PB最小，ADCD，DEAC，AFCF，ACB90，EFBC，AEBEAB2.5，EFBC1.5，ADAB，AEFDEA，DE，故选：B【变式训练3】如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE2，当EFCF取得最小值时，则ECF的度数为多少？ 【答案】ECF30【解析】过E作EMBC，交AD于N，如图所示：AC4，AE2，EC2AE，AMBM2，AMAE，AD是BC边上的中线，

4、ABC是等边三角形，ADBC，EMBC，ADEM，AMAE，E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EFCF的值最小，ABC是等边三角形，ACB60，ACBC，AMBM，ECFACB30.模型二、一定两动 例.如图，AOB30，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为AOB内一点，且OP4，则PMN的周长的最小值为（） A2B4C6D8【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN点P关于OA的对称点为C，PMCM，OPOC，COBPOB；点P关于OB的对称点为D，PNDN，OPOD，DOAPOA，OCODO

5、P4，CODCOB+POB+POA+DOA2POA+2POB2AOB60，COD是等边三角形，CDOCOD4当M、N与M、N重合时，PMN周长最小PM+MN+PNDN+MN+CMCD4，选B【变式训练1】如图，点P是AOB内任意一点，且AOB40，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当PMN周长取最小值时，则MPN的度数为（） A140B100C50D40【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1OPOP2，OP1MMPO，NPONP2O，根据轴对称的性质，可得MPP1M，PNP2N，则PMN的周长的最小值P1P2，P1OP2

6、2AOB80，等腰OP1P2中，OP1P2+OP2P1100，MPNOPM+OPNOP1M+OP2N100，故选：B【变式训练2】如图，在菱形ABCD中，AB，A120，点P,Q,K分别为线段BC,CD，BD上的任意一点，则PKQK的最小值为 . 【解答】【解析】过点C作CEAB，如图所示：菱形ABCD中，AB2，A120，ABC60，BC2，BD平分ABD，BE，CEBE，BD平分ABD，在AB上作点P关于BD的对称点P，PKQKPKKQ，当P,K,Q三点共线且PQAB时，PKQK有最小值，即最小值为平行线AB,CD的距离，则最小值为.【变式训练3】如图所示，在四边形ABCD中，A90，C9

7、0，D60，AD3，AB，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则BMN的周长最小值为（ ）A. B. C. 6D. 3【答案】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B和点B，连接BB交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M和N（不同于点M和N），连接MB，MB，NB和NB，如图1所示：BBMBMNNB，BMBM， BNBN，BMMNBNBB，又BBBMMNNB，MBMB，NBNB，NBNM BM BMMNBN，NBNMBM时周长最小；连接DB，过点B作BHDB于BD的延长线于点H，如图示2所示：在RtABD中，AD3，AB，230，530，DBDB，又A

8、DC1260，130，730，DBDB，BDB1257120，DBDBDB，又BDB6180，660，HD，HB3，在RtBHB中，由勾股定理得：BB，NBNMBM6，故选C.【变式训练4】如图，在ABC中，C90，CBCA4，A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是2 【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P，连接CP交AD于点Q，则CQ+PQCQ+PQCP根据对称的性质知APQAPQ，PAQPAQ又AD是A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，PAQBAQ，PAQBAQ，点P在边AB上当CPAB时，线段CP最短在ABC中，C90，CBC

9、A4，AB4，且当点P是斜边AB的中点时，CPAB，此时CPAB2，即CQ+PQ的最小值是2故填：2模型三、两段之差模型例.如图，在ABC中，ABAC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB12，BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PAPB的最大值为（ ）A. 12B. 8C. 6D. 2【解答】B【解析】MN垂直平分AC，MAMC，又BMMCBC20，BMMAAB12，BC20128，在MN上取点P，MN垂直平分AC，如图所示，连接PA、PB、PC，PAPC，PAPBPCPB，在PBC中PCPBBC当P、B、C共线时（PCPB）有最大值，此时PCPBBC8，故选B.【变式训练

10、1】如图，在菱形ABCD中，AB6，ABC60，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN2，点M在BC上且BMBC,P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为 .【解答】2【解析】如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N，连接PN,MN，根据轴对称性质可知，PNPN，PMPNPMPNMN，当P,M,N三点共线时，取“”,在菱形ABCD中，AB6，ABC60，AC6，O为AC中点，AOOC3，AN2，ON1，ON1，CN2，AN4，CMABBM642，PMABCD，CMN60，NCM60，NCM为等边三角形，CMMN2，即PMPN的最大值为2.【变式训练2】如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到

11、MN的距离AC16，B到MN的距离BD10，CD8，点P在直线MN上运动，则|PAPB|的最大值等于10 【答案】10【解答】解：延长AB交MN于点P，PAPBAB，AB|PAPB|，当点P运动到P点时，|PAPB|最大，BD10，CD8，AC16，过点B作BEAC，则BECD8，AEACBD16106，AB10，|PAPB|的最大值等于10，故答案为：10模型四、特殊型例1.如图，矩形ABCD中，AB4，BC8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ3，当CQ时，四边形APQE的周长最小 【解答】解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+

12、EQ最小，PQ3，DECE2，AE2，要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQMQ+EQ，过M作MNBC于N，设CQx，则NQ83x5x，MNQFCQ，MNAB4，CFCE2，CQx，QN5x，解得：x，则CQ故答案为：【变式训练】如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线yx上的一条动线段且PQ（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）A（，）B（，）C（0，0）D（1，1）【解答】解：作点B关于直线yx的对称点B（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线yx，并沿MN向下平移单位后得A（2，0），连接AB交直线yx于点Q，如图理由如下：

13、AAPQ，AAPQ，四边形APQA是平行四边形，APAQAP+PQ+QBBQ+AQ+PQ且PQ，当AQ+BQ值最小时，AP+PQ+QB值最小根据两点之间线段最短，即A，Q，B三点共线时AQ+BQ值最小B（0，1），A（2，0），直线AB的解析式yx+1xx+1，即x，Q点坐标（，），故选：A课后训练1.如图，在锐角ABC中，ACB50；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当PMN的周长最小时，MPN的度数是（）A50B60C70D80【答案】D【解析】PDAC，PGBC，PECPFC90，C+EPF180，C50，D+G+EPF180，D+G50，由对称可知：GGPN，DDP

14、M，GPN+DPM50，MPN1305080，选D2.如图，在四边形ABCD中，DAAB，DA6，BC150，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BPPQ最小值是( )A. 12B. 15C. 16D. 18【答案】D【解析】如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则EBEF，BC150，BEC30，BEF60，BEF是等边三角形，连接BP，PF，PQ，则BPFP，BPQPFPPQ，当F，P，Q在同一直线上且FQEB时，BPPQ的最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A重合，DAAB.DA6，AE ，RtQEF中，FQAE18，BP

15、PQ最小值值为18，故选D.3.如图，已知等边ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（）A3B2CD4【解答】解：如图，作ABC关于AC对称的ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QRER，当点E，R，P在同一直线上，且PEAB时，PR+QR的最小值是PE的长，设等边ABC的边长为x，则高为x，等边ABC的面积为4，xx4，解得x4，等边ABC的高为x2，即PE2，故选：B4.如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作A、B，M，N分别是A、B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（） A5

16、4B1C62D【解答】解：作A关于x轴的对称A，连接BA分别交A和B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，点A坐标（2，3），点A坐标（2，3），点B（3，4），AB5，MNABBNAM53154，PM+PN的最小值为54故选：A5.如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，点P是矩形ABCD内一动点，且，则PCPD的最小值为 .【答案】【解析】如图，作PMAD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC.设AM，四边形ABC都是矩形，AB/CD， AB CD4， BCAD6，2，AM2，DMEM4，在RtECD中，PM垂直平分线段DE，PDPE，PCPDPCPEEC，PDPC，

17、PDPC的最小值为.6.如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为（4，6）【解答】解：如图所示：作点F关于AB的对称点F，作点E关于y轴的对称点E，连接EF交AB与点NC的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，OEOE4，FBCF3，EC12，CF9ABCE，FNBFEC，即，解得BN4，AN4N（4，6）故答案为：（4，6）7.如图，在ABC中，ACB90，以AC为边

18、在ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE（1）说明：AECEBE；（2）若DAAB,BC6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PBPC最小，并求出此时PBPC的值.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】（1）ADC是等边三角形，DFAC，DF垂直平分线段AC，AEEC，ACECAE，ACB90，ACEBCE90CAEB90，BCEB，CEEB，AECEBE；（2）连接PA,PB,PC，如图所示：DAAB，DAB90，DAC60，CAB30，B60，BCAEEBCE6.AB12，DE垂直平分AC，PCAP，PCPBPA，当PBPC最小时，也就是

19、PBPA最小，即P,B,A共线时最小，当点P与点E共点时，PBPC的值最小，最小值为12.8.已知：矩形ABCD中，AD2AB，AB6，E为AD中点，M为CD上一点，PEEM交CB于点P，EN平分PEM交BC于点N.（1）求证：PEEM；（2）用等式表示BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；（3）过点P作PGEN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DKKGPG的最小值.【答案】（1）见解析；（2）BP2NC2PN2；（3）【解析】（1）证明：过P作PQAD于Q，则PQAB，如图所示：AD2AB，E为AD中点，AD2DE，PQDE，PEEM，PQEDPEM90，QPEPEQPEQ

20、DEM90，QPEDEM，PQEEDM（ASA），PEEM；（2）三者的数量关系是：BP2NC2PN2点N与点C重合时，P为BC的中点，显然BP2NC2PN2成立；点P与点B重合时，N为BC的中点，显然BP2NC2PN2成立；证明：连接BE、CE，如图所示：四边形ABCD为矩形，AD2AB，E为AD中点，AABC90，ABCDAEDE，AEB45，DEC45，在ABE和DCE中，ABEDCE（SAS），BEC90，BECE，EBCECB45，EBCECD，又BECPEM90，BEPMEC，EBPECM在BEP和CEM中，BEPCEM（ASA），BPMC，PEME，EN平分PEM，PENMEN45，在EPN和EMN中，EPNEMN（SAS），PNMN，在RtMNC中有：MC2NC2MN2，BP2NC2PN2；（3）连接PM，如图所示：由（2），可得PN MN， PE ME，EN垂直平分PM，PGEN，P、G、M三点共线，且G为PM的中点，K为EM中点，又D90，由（2），可得PEM为等腰直角三角形，根据勾股定理，可得，当ME取得最小值时，DKGKPG取得最小值，即当MEDE6时，DKGKPG有最小值，最小值为.