广东省广州市2022届高三数学三模试题（PDF版附解析）.pdf

1、21942516)*n nan(a3a22a4 1a11an333221313cos 23coscos1xyxya3022a3z3iz 1 iz1,32,65,63ABU UAB1,2,3,4,5,6,2,3,6,1,3,41 本试卷共 5 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的

2、钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，则ABCD2.若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3.设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4.已知，则ABCD5.等比数列中，且，成等差数列，则N

3、的最小值为A.B.C.1D.2022 届广州市高三年级第三次模拟考试试卷类型：B秘密 启用前数 学26.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满 80 元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有 5 名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有 3 人领取的礼品种类相同的概率是A 140243B 40243C 2081D 40817.在正方体ABCDA B C D中，用空间中与该正

4、方体所有棱所成角都相等的平面 去截正方体，在截面边数最多时的所有多边形中，多边形截面的面积为 S，周长为l，则A.S 为定值，l 不为定值B.S 不为定值，l 为定值C.S 与l 均为定值D.S 与l 均不为定值8.对于任意0 x 都有ln0 xxaxx，则 a 的取值范围为A.0,eB.11 ee,eC.11 e,ee,)D.(,e二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.已知向量3,1a，1,2b，则下列结论中正确的是A5a bB5abC,4a bDa b10.在 AB

5、C 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，下面四个结论正确的是A若2a，30A，则 ABC 的外接圆半径是 4B若 cossinabAB，则45A C若222abc，则 ABC 一定是钝角三角形D若 AB，则coscosAB311.已知双曲线)0(1222bbyx的左，右焦点分别为)0,(),0,(21cFcF，直线)(33cxy与双曲线左，右两支分别交于,A B 两点，M 为线段 AB 的中点，且4AB,则下列说法正确的是A.双曲线的离心率为332B.21222F F F MF A F M C.212121F F F MFF FM D.12F MF A12.已知函数 f x22,

6、21,ln1,1e,xxxx 若关于 x 的方程 f xm恰有两个不同解1212,x xxx，则212xxf x的取值可以是A.3B.1C.0D.2三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.若函数 22xxaf x 是偶函数，则 1f _.14.若2880128111xaaxaxax，则3a _.15.已知点 P 是抛物线24yx上的一个动点，则点 P 到点0,3 的距离与 P 到 y 轴的距离之和的最小值为_.16.将一个半径为 5cm的水晶球O 放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆 PAPBPC 组成，它们两两成 60角，则水晶球的球心到点 P 的距离是_cm.

7、四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（10 分）在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c，且满足2223abcbc,1 cossinsin2CAB.（1）求 A；（2）若4a，求的面积 S ABC418.（12 分）已知递增等差数列 na满足1510aa，2421a a，数列 nb满足22log1nnba，nN*（1）求 nb的前 n 项和nS；（2）若121nnTnbnbb，求数列 nT的通项公式19.(12 分)为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 10 件零件，度量其内径尺寸（单位：mm

8、）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布2,N （1）假设生产状态正常，记 X 表示某一天内抽取的 10 个零件中其尺寸在3,3 之外的零件数，求2P X 及 X 的数学期望；（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：计算这一天平均值 与标准差；一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5 个零件，度量其内径分别为（单位：mm）：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据：220 9544PX，330 9974PX，100.99740.9743，4099740

9、99，309544087，90 026 099740 0254，20 04560 002，35 25 9330520.（12 分）如图甲是由正方形 ABCD，等边ABE和等边BCF组成的一个平面图形，其中6AB，将其沿 AB，BC，AC 折起得三棱锥 PABC，如图乙.（1）求证：平面 PAC 平面 ABC；（2）过棱 AC 作平面 ACM 交棱 PB 于点 M，且三棱锥 PACM和 BACM的体积比为1:2，求直线 AM 与平面 PBC 所成角的正弦值.21.(12 分)已知椭圆:C22221(0)xyabab的右焦点为(1,0)F，且点31,2P在椭圆C 上，O 为坐标原点（1）求椭圆C

10、的方程；（2）设过点 0,2T的直线l 与椭圆C 交于不同的两点 A,B，且AOB为锐角，求直线l的斜率 k 的取值范围.22.（12 分）已知函数 1exf xaxa aR（1）讨论 fx 的单调性；（2）当0 x 时，1ln11f xx，求实数 a 的取值范围C32BA6AB0ABcos()1ABABcoscossinsin1 ABCAB2sinsin1cos1cos()ABCsinsin1cos2A6A0Abcabcbcbc222cos232322223bcabcabcbc22()(23),5 356251评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试

11、题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号12345678答案CABACDBB二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分9.ABC 10.BC 11.BD 12.BC三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13

12、.14.15.116.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分17.（10 分）（1）解：因为所以.1 分则.2 分因为，所以.3 分（2）解:因为，则.4 分所以.5 分得.6 分则.7 分所以，.8 分2022 届广州市高三年级第三次模拟考试 数学试题【参考答案及评分标准】2因为4a，则4ba.9 分所以1sin2SabC4 3.10 分18.（12 分）（1）解:由题意，设等差数列na公差为(0)d d，则1112410()(3)21adad ad，2 分解得192ad（舍去），或112ad，4 分所以12(1)21nann .5 分则22log121 122nnbann ，所以12n

13、nb6 分故数列 nb是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，则122112nnnS7 分（2）解法 1:由（1），可知12(1)nnTnbnbb11212312()()()nbbbbbbbbb8 分123nSSSS23(2 1)(21)(21)(21)n10 分23(2222)nn12212nn122nn12 分解法 2:，8 分2，9 分-得：.12 分19.（12 分）（1）解:由题意知：0010100C1 0 90.0.99749749743P X，1 分119101C1 0 99740 997044.025P X，2 分21011 0 97430.02540 0003P XP XP

14、X ，4 分310,0 0026XB，10 0 00260 026EX 5 分（2）解:97979898 105 106 107 108 108 11610410，6 分22222222222776612344123610 ，7 分所以6 8 分结论：需要进一步调试理由如下：如果生产线正常工作，则 X 服从正态分布2104,6N，9 分33861220 9974PXPX，10 分零件内径在86,122 之外的概率只有0 0026，而8586,122，11 分根据3 原则，知生产线异常，需要进一步调试12 分20.（12 分）（1）证明：如图，取 AC 的中点为O，连接 BO，PO.PAPC，P

15、OAC.1 分6PAPC，90APC，13 22POAC，同理3 2BO.又6PB，222POOBPB，2 分 POOB.3 分 ACOBO，AC，OB 平面 ABC，PO 平面 ABC.4 分又 PO 平面 PAC，平面 PAC 平面 ABC.5 分（2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，3 2,0,0A，3 2,0,0C，0,3 2,0B，0,0,3 2P，3 2,3 2,0CB，3 2,0,3 2CP.7 分三棱锥 PACM和 BACM的体积比为1:2，:1:2PM BM，0,2,2 2M，8 分43 2,2,2 2AM .设平面 PBC 的法向量为,nx y z，则3 23

16、 203 23 20 xyxz，9 分令1x，得1,1,n 1.10 分设直线 AM 与平面 PBC 所成角为，则6 242sincos,72 73AM n.11 分直线 AM 与平面 PBC 所成角的正弦值为427.12 分21.(12 分)（1）解：由题意得1c，所以221ab.1 分因为点31,2P在椭圆C 上，所以221914ab.2 分解得224,3ab.3 分所以椭圆C 的方程为22143xy 4 分（2）设直线l 方程为2ykx，11(,)A x y，22(,)B xy，由221432xyykx得22(43)1640kxkx，5 分因为21230k ，所以214k.6 分又122

17、1643kxxk，122443x xk.7 分因为AOB为锐角，所以0OA OB，即12120 x xy y.8 分所以1212(2)(2)0 x xkxkx，所以21212(1)2()40kx xk xx所以222416(1)2404343kkkkk.5即221216043kk，所以243k 9 分所以21443k.10 分解得2 3132k 或 12 323k.12 分22.（12 分）（1）解:由题知 1xf xeaxa，fx 的定义域为 R，1xfxea1 分当0a 时，0fx在 R 上恒成立，故 fx 在 R 上是增函数；2 分当0a 时，令 0fx得ln1xa，3 分在,ln1a上

18、有 0fx，在ln1,a 上有 0fx，fx 在,ln1a上是减函数，在ln1,a 上是增函数.5 分（2）解:当0 x 时，1ln11f xx，即ln110 xeaxx（*）6 分令 ln110 xg xeaxxx，则 101xgxea xx若2a ，由（1）知，当1a 时，11xf xex 在1,上是增函数故有 1 111 1 1f xfe .7 分即 11 1xf xex，得11 1xex ，故有1xex 则112211xxeexx，得 101xgxeax.8 分函数 g x 在区间0,上单调递增，00g xg，（*）式成立9 分若2a ，令 11xxeax则 222111011xxxexexx，当且仅当0 x 时等号成立函数 x 在区间0,上单调递增6 020a,111110111aaeaaaaaa .10 分00,xa，使得 00 x,则当00 xx时，00 xx，即 0gx函数 g x 在区间00,x上单调递减.000g xg，即（*）式不恒成立11 分综上所述，实数 a 的取值范围是2,12 分