数列求和方法汇总及练习.pdf

1、客观题中的数列求和【原题】某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为20dm 12dm的长方形纸,对折 1 次共可以得到10dm 12dm,20dm 6dm两种规格的图形,它们的面积之和21240dmS,对折 2 次共可以得到5dm 12dm,10dm 6dm,20dm 3dm三种规格的图形,它们的面积之和22180dmS,以此类推,则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n 次,那么1nkkS_2dm.【答案】(1).5(2).415 37202nn【解析】（1）由对折 2 次共可以得到5dm 12dm,10dm 6dm,20dm 3dm三

2、种规格的图形,所以对着三次的结果有：5312 5 610 3 2022，；,共 4 种不同规格（单位2dm)；故对折 4 次可得到如下规格：5 124,562,5 3,3102,3204,共 5 种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对着后的图形,不论规格如何,其面积成公比为 12 的等比数列,首项为 120 2 dm,第 n 次对折后的图形面积为111202n,对于第 n 此对折后的图形的规格形状种数,根据（1）的过程和结论,猜想为1n 种（证明从略）,故得猜想1120(1)2nnnS,设012111201120 2120 3120 42222nknknSSL

3、,则1211120 2120 3120120(1)22222nnnnS,两式作差得：2112011111240 12022222nnnS1160 1120122401212nnn112011203120360360222nnnnn,因此,4240315372072022nnnnS.故答案为：5；41537202nn.【就题论题】本题以我国传统文化剪纸艺术为背景,让考生体验探索数学问题的过程.该题有几点创新,一是背景新颖,能有效考查考生灵活运用数学知识分析问题的能力,二是高考首次在客观题中考查错位相减法求和,三是为让部分学生得部分分,设置了两空,这是自 2019 年全国卷首次设置双空题后,时隔两

4、年再次设置双空题.【命题意图】本题以剪纸艺术为背景考查数列求和,考查逻辑推理与数学建模的核心素养.【考情分析】客观题中的数列求和是高考热点与难点，难度一般为中等或中等以上.【得分秘籍】(1)数列求和的常用方法分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和错位相减法求和时的注意点:要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式倒序相加：

5、把数列分别正着写和倒着写再相加，例如，等差数列前 n 项和公式的推导并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成不能转化为等差或等比数列的数列，往往通 过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和（以下所选试题均来自新高考卷地区 2020 年 1-6 月模拟试卷）一、单选题1（2021 广东

6、省东莞市高三 5 月质量检测）在数列 na中，112a 且12nnnana，则它的前30项和30S（）A 3031B 2930C 2829D 1929【答案】A【解析】12nnnana，12nnanan，3211211 1 211112 3 4111nnnaaanaaaaann nnn，因此，3011111301223303131S.故选 A.2（2021 河北省石家庄市高三下学期质检）已知数列 na的通项公式为sin 3nnan，则1232021aaaa（）A1011 3B532C 532D 1011 3【答案】D【解析】由题意，数列 na的通项公式为sin 3nnan，且函数sin 3ny

7、的周期为6n，所以616266(61)(62)(61)sin(62)sin33nnnnnaaann(66)(66)sin3nn2(61)sin(62)sin33nn6(66)sin 3n3333(61)(62)(63)0(64)()(65)()(66)02222nnnnnn 3 3，又因为20216 33656 337 1 ，所以12320216337(3 3)1011 3aaaaa .故选 D.3（2021 湖北省鄂东南省级示范高中高三联考）已知数列 na满足*1111,(1)(2)nnnna aaaanNnn，则nna 的最小值是（）A 25B 34C1D2【答案】C【解析】因为*11(1

8、)nnnna aaanNn n，所以11(1)212111nnnnaaa annnn，即1111112nnaann，则11221111111111nnnnnaaaaaaaa112311111111nnnn11311(2)2122nnnn，当1n 时，上式成立，故2231nnan，22231nnnnna，设22231nnnnb，则222121212261040311313431nnnnnnnnnnnnbb，故数列 nb是单调递增数列，则当1n 时，nb 即nna 的最小值为 1.故选 C.4（2021 江苏省盐城市高三联考）已知数列na满足11a，24a，310a，1nnaa 是等比数列，则数列

9、na的前 8 项和8S （）A376B382C749D766【答案】C【解析】由已知得，213aa，326aa，而1nnaa 是等比数列，故2q=，11221()()()nnnnaaaaaa2363 2n 1133 23 231 2nn ，1naa13 23n，化简得13 22nna，8781281 23(122)2 83161 2Saaa 83 219749 故选 C5（2021 山东省泰安市高三四模）已知等差数列 na的前 n 项和为nS，公差为 13，0na，122391011112a aa aa a，当10nSn取最小值时，n 的值为（）A7B8C9D10【答案】B【解析】122391

10、01223910111111111111113332a aa aa aaaaaaaaa，整理得2113180aa，解得13a 或16a （舍去），即2(1)1173236nn nnnSn，则21017601601766nSnnnnnn当7n 时，数列单调递减，当8n 时，数列单调递增，当7n 时，10387nSn，当8n 时，106512nSn，故当8n 时，10nSn取最小值故选 B二、多选题6（2021 广东省珠海市高三二模）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于

11、递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图 1，在长度为1的线段 AB 上取两个点C、D，使得14ACDBAB，以CD 为边在线段 AB 的上方做一个正方形，然后擦掉CD，就得到图形 2；对图形 2 中的最上方的线段 EF 作同样的操作，得到图形 3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图 1，图 2，图 3，图n，各图中的线段长度和为na，数列 na的前 n 项和为nS，则（）A数列 na是等比数列B106657256SC3na 恒成立D存在正数m，使得nSm恒成立【答案】BC【解析】由题意可得11a，21122aa，322122aa，以此类推可得1122nnnaa ，则12

12、2nnnaa，所以，1213211212221222nnnnaaaaaaaa 121112131212nn，所以，数列 na不是等比数列，A 选项错误；对于 B 选项，1010812 11665723 10261225612S，B 选项正确；对于 C 选项，21332nna恒成立，C 选项正确；对于 D 选项，21302nna恒成立，则数列 nS单调递增，所以，数列 nS无最大值，因此，不存在正数 m，使得nSm，D 选项错误.故选 BC.7.（2021 河北省衡水中学高三下学期三调）已知数列 na满足1211n nnnaan ，其前 n 项和为nS，且20191009mS，则下列说法正确的是

13、（）Am 为定值B1ma为定值C20191Sa为定值D1ma 有最大值【答案】BCD【解析】当2nk kN，由已知条件可得2122121kkkkaak，所以，201912320191234520182019Saaaaaaaaaaa111246820182 50420181010aaa ，则201911010Sa-=-，所以，2019110101009mSma，11ma，由基本不等式可得211124mama，当且仅当112ma时，等号成立，此时1ma 取得最大值 14.故选BCD.8（2021 江苏省南通学科基地高三高考数学全真模拟）在数列 na中，若13nnnaa，则称 na为“和等比数列”设

14、nS 为数列 na的前 n 项和，且11a，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（）A20202020314aB20212020314aC20222021318SD20232021318S【答案】AC【解析】因为13nnnaa，所以1123nnnaa，两式相减得22 3nnnaa ，所以202020202018aaa20202420182018201642231233324aaaaa，故 A正确，B 错误.2022242020202112345202020213113338Saaaaaaa，故 C 正确.D 错误.故选 AC三、填空题9（2021 福建省厦门高三 5 月高考适应性考试）已知

15、x 表示不超过 x 的最大整数，例如：2.32，1.52 .在数列 na中，lg nan，n+N.记nT 为数列 na的前 n 项和，则2021T _.【答案】4956【解析】当19n 时，lg0nan；当1099n时，lg1nan，此区间所有项的和为90.当100999n时，lg2nan，此区间所有项的和为900 21800.当10002021n时，lg3nan，此区间所有项的和为1022 33066.所以202190 180030664956T.10（2021 广东省揭阳市高三下学期教学质量测试）已知数列 na满足：21cos3nna，则 na的前 100 项和为_.【答案】1【解析】因为

16、21cos3nna，所以11a，212a ，312a ，41a ，512a ，612a ，可知数列 na是以 3 为周期的周期数列，且1230aaa，所以100123456979899100Saaaaaaaaaa 123456979899100aaaaaaaaaa10011aa11（2021 湖南省衡阳市高三 1 月月考）已知数列 na满足11a，*12nnna an N，nS 为数列 na的前 n 项和，则2022S _【答案】10113 23【解析】11a，12nnna a ，令1n，122a a 所以22a，当2n 时112nnna a，11 2nnaa，数列 na的奇数项成以1为首项，

17、2 为公比的等比数列，偶数项成以2 为首项，2 为公比的等比数列则10112010111011222 12123 231212S 12（2021 河北省高三联考）已知数列 na满足12a，111nnnaan ，na的前 n 项和为nS，则61S _.【答案】962【解析】由题知，当n 为正奇数时，1nnaan，于是121aa,343aa，565aa，596059aa，所以6060 30135599002S .又因为当 n 为正偶数时，1nnnaa，且11nnaan，所以两式相加可得1121nnaan，于是3123nnaan，两式相减得314nnaa.所以61115 42 15 462aa，故6

18、190062962S.13（2021 湖北省黄冈市高三下学期 5 月适应性考试）将2n 个数排成 n 行 n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以 m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以 m 为公比的等比数列（其中0m）已知112a，13611aa，记这2n 个数的和为S 给出下列结论：3m；76717 3a；1313 jijai；131 314nSnn其中结论正确的是_（填写所有正确答案的序号）【答案】【解析】112a，13611aa，2m22+5m+1，解得 m3 或 m12（舍去），正确；1111 321331 3jjjijiaaimi，正确；当6,7i

19、j时，767163 6 1317 3a，不正确；131 3iiiai，111212122212.nnnnnnSaaaaaaaaa112111 31 31 31 31 31 3nnnnaaa 2311 31.22nnn1=(31)314nnn，正确；故答案为:.14（2021 江苏省徐州市高三下学期 5 月四模）若数列na对任意正整数 n，有n mnaa q(其中*mN，q为常数，0q 且1q)，则称数列na是以 m 为周期，以q为周期公比的类周期性等比数列.已知类周期性等比数列 nb的前 4 项为 1，1，2，3，周期为 4，周期公比为 3，则数列 nb前 21 项的和为_.【答案】1090【

20、解析】由题意可知，4m，3q，且43nnaa，所以21159131721Saaaaaa 652610141837111519481216201 1 31 1 31 31 3aaaaaaaaaaaaaaa552 1 31 33364 12124236310901 31 315（2021 湖南省邵阳市高三月考）定义函数 f xx x ，其中 x 表示不超过 x 的最大整数，例如，1.31，1.52 ，22，当*0,Nxn n时，fx 的值域为nA，记集合nA 中元素的个数为na，则234202111111111aaaa的值为_.【答案】40402021【解析】根据题意得：0,0,11,1,22,2

21、,33,3,44,4,51,1,xxxxxxnxnn，进而得 0,0,1,1,22,2,33,3,44,4,51,1,xx xx xx xx xx xnx xnn，所以 x x 在各区间中的元素个数为：1,1,2,3,4,1n，所以当*0,Nxn n时，fx 的值域为nA，集合nA 中元素的个数为na 满足：21 1121 1 2341122nnnnnan ，所以112nn na 所以12112111nannnn，所以234202111111111aaaa1111111404022 112232020202120212021.16（2021百师联盟高三5月冲刺卷）设nS 为数列 na的前n 项

22、和，满足11S，12nnnSSn，其中 nN，数列 nb的前 n 项和为nT，满足142121nnnabnn，则20211T _.【答案】14043【解析】由题意12nnnSSn，即111nnSnSn，累乘得112121114 31232 12nnnnn nSnnnSnSnSSnS LL，可知12nn nS，2n，当1n 时，11S，所以12nn nS，又2n 时，1nnnaSSn，且当1n 时成立，从而有nan，故11411111212121212121nnnnnnbnnnnnn，所以11121nnTn ，故2021114043T .故答案为1404317（2021 福建省厦门高三月考）已知正项等比数列 na中，426aa，5115aa，则na _，又数列 nb满足112b，111nnbb ；若nS 为数列nnab的前n 项和，那么3nS _.【答案】12n33212nn【解析】设正项等比数列 na的公比为 0q q，则3421145111615aaa qa qaaa qa，解得：11612aq （舍）或112aq，1112nnnaa q；112b，111nnbb ，22b，31b ，412b，52b，则数列 nb是以3为周期的周期数列，nb的前3n 项和312332nnTn bbb，又 na的前3n 项和3331 2211 2nnnR，33333212nnnnnSTR.