新课标高中数学知识点归纳(共47页).pdf

1、1/47新课标高中数学知识总结归纳1、集合的基本概念(1)集合的概念：把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）；(2)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；(3)集合的三种表示方法：自然语言法、列举法、描述法2、集合的运算（1）子集：若集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素，则AB；真子集：若AB，且AB，则 A B；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集（2）交集：AB=且x xAxB（3）并集：AB=或x xAxB3、集合的常用运算性质(1)A=；=AAA；(2)=AA；=AAA；(3)UAC A()=；UAC A()=U；UUCC A()=A；(4)补集：若U 为全集，AU

2、，则UC A=,且x xUxA；(5)ABAB=AAB=B；(6)UCAB()=UUC AC B()()；UCAB()=UUC AC B()()；(7)如图所示，用集合 A、B 表示图中、四个部分所表示的集合分别是AB；ACAB()；BCAB()；UCAB()(8)=+card ABcard Acard Bcard AB()()()()4、常见数集及其表示符号N：自然数集；N N+：正整数集；Z：整数集；Q：有理数集；R：实数集 C：复数集5、已知集合 A 有n n(1)个元素，则它有n2 个子集，它有n21个真子集，它有n21个非空子集，它有n22非空真子集.6、函数的概念7、函数的定义域、

3、值域（1）定义域：函数(),=yf x xA 中，x 叫做自变量，自变量 x 的取值集合叫做函数的定义域；（2）值域：所有函数值构成的集合(),=y yf x xA叫做这个函数的值域显然，值域是集合 B 的子集公众号：一枚试卷君2/47（3）两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同(1)单调性定义：给定区间 D8、函数的三要素：定义域、值域和对应法则9、函数的表示方法主要有：列表法、解析法和图象法公众号：一枚试卷君10、分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因定义域不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数注意：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值

4、域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数11、求函数解析式的方法主要有：来源:学,科,网 Z,X,X,K代入法；换元法；待定系数法；图象法；列方程组法；配凑法等.12、求函数值域的方法主要有：直接(观察)法；配方法（针对二次函数）；换元法；分离常数法；反解法；判别式法等.13、函数的单调性上的函数=yf x()，若对任意 x x,12 D，当xx12 时，都有 f x1()f x2()，则 f x()为区间 D 上的增函数；当xx12 时，都有 f x1()f x2()，则 f x()为区间 D 上的函数单调性的一般步骤是：减函数注意：单调性与单调区间密不可分

5、，单调区间是定义域的子区间(2)证明函数单调性的步骤：公众号：一枚试卷君证明函数的单调性一般从定义入手（以后将会学习用“求导”的方法证明函数单调性），利用定义证明设元（取量）：任取,12 x xD，且令xx12；作差：计算f xf x12()()并化简整理；判号（判断整理结果的符号）；结论（利用单调性定义判断.14、与单调性有关的结论(1)若 f x g x(),()均为某区间上的增(减)函数，则+f xg x()()为某区间上的增(减)函数；(2)若 f x()为增(减)函数，则 f x()为减(增)函数；(3)=yf g x()是定义在 M 上的函数，若 f x()与 g x()的单调性相

6、同，则=yf g x()是增函数，若f x()与 g x()的单调性相反，则=yf g x()是减函数(同增异减的原则)；(4)若函数 f x()在闭区间,a b上是减函数，则 f x()的最大值为 f a()，最小值为 f b()，值域为f bf a(),()15、函数的最值设函数=yf x()的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意 xI，都有()f xM，存在x0I，使得0()=f xM，那么称 M 是函数=yf x()的最大值；类比定义=yf x()的最小值16、函数的奇、偶性：（对于函数 f x()，其定义域关于原点对称）(1)如果对于函数定义域内任意一个 x，都有 fx()

7、=f x()，那么函数 f x()是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个 x，都有 fx()=f x()，那么函数 f x()是偶函数；3/47也就是说：=+0)()(xfxf函数是奇函数，=0)()(xfxf函数是奇函数.17、奇、偶函数的性质(1)奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 y 轴对称；(2)若奇函数在0=x处有意义，则=)0(f0；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性相同；若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性相反；(4)奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇.18、函数的周期性(1)周期函数定义：对于函数()yf

8、x=，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有()()f xTf x+=，那么就称函数()yf x=为周期函数，称T 为这个函数的周期；(2)最小正周期：如果在周期函数()yf x=的所有周期中存在一个最小的的正数，那么这个最小正数就叫做)(xf的最小正周期19、函数的图象（1）利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象（2）利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换0,0,|()()hhhhyf xyf xh=+左移 个

9、单位右移|个单位0,0,|()()kkkkyf xyf xk=+上移 个单位下移|个单位伸缩变换01,1,()()yf xyfx=伸缩 01,1,()()AAyf xyAf x=缩伸对称变换()()xyf xyf x=轴 ()()yyf xyfx=轴()()yf xyfx=原点 1()()y xyf xyfx=直线()(|)yyyyf xyfx=去掉 轴左边图象保留 轴右边图象，并作其关于 轴对称图象()|()|xxyf xyf x=保留 轴上方图象将 轴下方图象翻折上去（3）识图4/47对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、

10、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（4）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法（5）有关函数对称性的几个重要结论 函数自身的对称性 函数)(xfy=的图像关于点),(baA对称的充要条件是bxafxf2)2()(=+函 数)(xfy=的 图 像 关 于 直 线ax=对 称 的 充 要 条 件 是)()(xafxaf=+，即)2()(xafxf=两个函数的对称性函数)(xfy=与)2(2xafby=的图像关于点),(baA成中心对称函数)(xfy=与)2(xay=的图像关于直线ax=成

11、轴对称指数函数)1,0(=aaayx且图像与对数函数0(log=axya，且)1a图像关于直线xy=对称三角函数的图像对称问题详见必修 4第一章三角函数必修 1第二章 基本初等函数1、根式的概念：一般地，如果ax n=，那么 x 叫做a 的n 次方根，其中n 1，且n N*负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作00=n当 n 是奇数时，aann=，当n 是偶数时，=)0()0(|aaaaaann2、分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,0(*=nNnmaaanmnm，)1,0(11*=nNnmaaaanmnmnm注意：0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义3、有

12、理数幂的运算性质(1)=sr aasra+；(2)=sra)(rsa；(3)=rab)(rrba(其中Qsrba,0,）4、指数函数及其性质 （1）指数函数的概念5/47一般地，函数)1,0(=aaayx且叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围:),1()1,0(+a（2）指数函数的图象和性质1a 01a定义域 R定义域 R值域),0(+值域),0(+在 R 上单调递增在 R 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点)1,0(函数图象都过定点)1,0(注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：在ba,上，)1,0()(=aaaxfx且值

13、域是)(),(bfaf或)(),(afbf；若0 x，则1)(xf；)(xf取遍所有正数当且仅当Rx；对于指数函数)1,0()(=aaaxfx且，总有af=)1(.5、对数的概念：一般地，如果Na x=)1,0(aa，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：Nxalog=（其中a 叫底数，N 叫真数，Nalog叫对数式）说明：注意底数的限制：0a且1a；xNNaax=log；注意对数的书写格式6、两个重要对数：常用对数：以 10 为底的对数Nlg；自然对数：以无理数71828.2=e为底的对数的对数Nln7、指数式与对数式的互化:若Nab=，则)1,0,0(log=aaNNba 8、对

14、数恒等式logaaN N (a0 且 a1，N0)；baba=log(a0 且 a1，bR)9、对数运算法则)0,0,1,0(NMaaNMNMaaaloglog)(log+=NMNMaaaloglog)(log=654321-1-4-224601654321-1-4-2246016/47NnNanalog)(log=10、换底公式：)0,1,0,0,0(logloglog=NbbaabNNaab推 论：1loglog=abba ccbabalogloglog=bbananloglog=bmnbanamloglog=11、对数函数及其性质（1）对数函数的概念函数0(log=axya，且)1a叫做

15、对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是),0(+，值域是R.注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：xy2log2=，5log5 xy=都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制：0(a，且)1a；对数函数对真数 x 的限制：0 x.（2）对数函数的性质1a 01a定义域),0(+定义域),0(+值域为 R值域为 R在 R 上递增在 R 上递减函数图象都过定点)0,1(函数图象都过定点)0,1(12、幂函数（1）幂函数的概念一般地，形如xy=)(Ra 的函数称为幂函数，其中 为常数（2）幂函数性质归纳所有的幂函数在),0(+都有定义并且图象都过点

16、)1,1(；0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0+上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10 时，幂函数的图象上凸；0时，幂函数的图象在区间),0(+上是减函数在第一象限32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1123456780117/47内，当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于+时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴必修 1第三章 函数的应用1、方程的根与函数的零点（1）函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy=，把使0)(

17、=xf成立的实数 x 叫做函数)(Dxxfy=的零点.（2）函数零点的意义：函数)(xfy=的零点就是方程0)(=xf实数根，亦即函数)(xfy=的图象与 x 轴交点的横坐标.即：方程0)(=xf有实数根 函数)(xfy=的图象与 x 轴有交点 函数)(xfy=有零点（3）函数零点的求法（代数法）求方程0)(=xf的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy=的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点2、二次函数的零点：二次函数)0(2+=acbxaxy（1）0，方程02=+cbxax有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点（2）0=，方程0

18、2=+cbxax有两相等实根，二次函数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3）0，方程02=+cbxax无实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次函数无零点3、函数零点的判定（零点存在定理）如果函数)(xf在闭区间ba,上连续，且)(af与)(bf异号（即0)()(bfaf），那么在开区间),(ba内至少有函数的)(xf一个零点，即至少有一点)(00bxax使0)(0=xf.推论：若函数)(xf在闭区间ba,上严格单调，且)(xf图象是连续不断的一条曲线，则0)()(bfaf函数)(xf在ba,上只有一个零点（唯一零点的证明依据）。注意：若函数)(xf在闭区间ba,

19、上连续，且函数)(xf在闭区间ba,上不单调，则()()0f af b 无法说明函数)(xf在ba,上没有零点。8/47必修 2第一章 空间几何体1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；以侧棱是否垂直于底面作为分类标准分为直棱柱和斜棱柱。表示：用各顶点字母，如五棱柱EDCBAABCDE 或用对角线的端点字母，如五棱柱AD。几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截

20、面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。表示：用各顶点字母，如五四棱锥ABCDS。几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其面积比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如四棱台DCBAABCD。几何特征：上下底面是相似的平行多边形；侧面是梯形；侧棱交于原棱锥的顶点。（4）圆柱

21、：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分。几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径

22、。9/472、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点（横不变、纵减半）：原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变；原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行，长度为原来的一半。3、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，h 为斜高，l 为母线）chS=直棱柱侧面积 hcS=21正棱锥侧面积 rlS=圆锥锥侧面积 hccS+=)2121（正棱台侧面积 lRrS)+=（圆台侧面积)2lrrS+=（圆柱表 )lrrS+=（圆锥表 )222121rlrlrrS+=（圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公

23、式VSh=柱 2VShr h=圆柱 13VSh=锥hrV231=圆锥1()3VSS SS h=+台 2211()()33VSS SS hrrRR h=+=+圆台（4）球体的表面积和体积公式：S 球面=24 R 334 RV=球必修 2第二章 点、线、面的位置关系1、平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)公理 2 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线

24、有且只有一个平面 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面2、空间中两直线的位置关系10/47(1)位置关系的分类：共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，b b，把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)；范围：2,0(3)平行公理（公理 4）和等角定理公理 4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3、空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内

25、三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况4、直线与平面平行的判定与性质判定性质来源:学科网来源:Zxxk.Com来源:学科网 ZXXK 定义来源:Zxxk.Com定理图形条件=aa ，b ，a ba a ，a ，b=结论a b =aa b5、面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件 =，b ，a bp=，a ，b ，a，b ，a 结论 a ba 11/47 6、直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果直线l 与平面 内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面 互相垂直，记作l.(2)直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，

26、则该直线与此平面垂直若babll,，且Pba=，则l7、直线与平面所成的角(1)如图，一直线 PA 和一平面 相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点 A 叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 PO，过垂足O 和斜足 A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角(2)一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直线在平面内或一条直线和平面平行，称它们所成的角是 0 的角，于是，直线与平面所成角的范围是 90,08、二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫

27、做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面如右图：可记为 l，或PABQ.9、二面角的平面角在二面角的棱上任取一点O，以点O 为垂足，在两个半平面内分别作垂直棱的射线，则两条射线构成的角叫做二面角的平面.如图：平面角AOB，范围：180,0规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做直二面角10、平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平12/47面 与 垂直，记作.(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.11、直线与平面垂直的性质定理垂直于同

28、一个平面的两条直线平行.12、平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.必修 2第三章 直线与方程1、直线的倾斜角（1）倾斜角的定义：当直线l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角 叫做直线l 的倾斜角特别地，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.（2）倾斜角的范围：90,02、直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90 的直线，它的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即)()=180,9090,0,tank.（2）过两点的直线的斜率公式：直线经过两点),(111yxP，),(222yxP

29、，其斜率1212xxyyk=)(21xx.3、直线方程的五种形式名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式)(11xxkyy=),(11 yx是直线上一定点，k 是斜率不垂直于 x 轴斜截式bkxy+=k 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距（纵截距）不垂直于 x 轴两点式),(1212121121yyxxxxxxyyyy=),(),(2211yxyx是直线上两定点不垂直于 x 轴和 y 轴截距式)0(1=+abbyaxa 是直线在 x 轴上的非零截距，b 是直线在 y轴上的非零截距不垂直于 x 轴和 y 轴，且不过原点一般式)0(022+=+BACByAxA，B，C 为系数任何直线4、两条直线

30、平行与垂直的判断1l：0111=+CyBxA11,(BA不同时为0）；2l：0222=+CyBxA22,(BA不同时为0）.（1）当21/ll时01221=BABA且01221CBCB(或01221CACA).13/47（2）当 1l 与 2l 重合时01221=BABA且01221=CBCB(或01221=CACA).（3）当21ll 时02121=+BBAA.5、两点间的距离公式若),(111yxP),(222yxP，则22122121)()(yyxxPP+=6、点到直线的距离公式：点),(00 yxP到直线l：0=+CByAx的距离2200BACByAxd+=7、两条平行直线的距离公式两

31、平行直线01=+CByAx与02=+CByAx间的距离2221BACCd+=必修 2第四章 圆与方程1、圆的标准方程设圆心坐标为),(ba，半径为r，则圆的标准方程为：222)()(rbyax=+特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为：222ryx=+2、圆的一般方程（1）当0422+FED时，方程022=+FEyDxyx叫做圆的一般方程，其中圆心为)2,2(ED 半径为2422FED+.（2）用待定系数法求圆的方程的大致步骤根据题意选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于rba,或FED,的方程组；解出rba,或FED,，代入标准方程或一般方程.3、点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，

32、半径为r.rd 点 P 在圆内 rd=点 P 在圆上 rd 点 P 在圆外4、直线与圆的位置关系（1）代数法：直线与圆的方程联立消去 y（或 x）得到关于 x（或 y）的一元二次方程，此方程的判别式为，则直线与圆相交0 直线与圆相切0=直线与圆相离014/47（2）几何法：设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与圆相交rd 直线与圆相切rd=直线与圆相离rd 5、圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含6、圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为21,rr，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d 与21

33、,rr的关系21rrd+21rrd+=2121rrdrr+21rrd=210rrd(2)代数法联立两圆的方程组成方程组则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：7、过圆上一点),(00 yx的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为k1，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程0yy=或0 xx=.8、过圆外一点),(00 yx的切线方程的求法设切线方程为)(00 xxkyy=，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为0 xx=，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一

34、点的切线有两条一般不用联立方程组的方法求解9、求切线长最小值的两种方法(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题 10、一般地过直线0=+CByAx与圆0:22=+FEyDxyxC交点的圆系方程可设为：0)(22=+CByAxFEyDxyx，然后再由其他条件求出，即可得圆的方程11、一般地过圆1C：011122=+FyExDyx与圆2C：022222=+FyExDyx的交点的15/47圆的方程可设为+11122FyExDyx)1(0)(22222=+FyExDyx，然后再由其他条件求出，即可得圆的方程

35、12、两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆1C：011122=+FyExDyx与圆2C：022222=+FyExDyx相交，则两圆公共弦所在直线的方程为0)()(212121=+FFyEExDD.13、公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解 14、求弦长的两种方法涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种：由于半径长r，弦心距d，弦长l 的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理222)2(rld=+求解联立直线与圆的方程，消元得到关于 x(或 y)的一元二

36、次方程，利用根与系数的关系得到两交点横1.简单随机抽样（1）总体和样本 总体：在统计学中,把研究对象的全体叫做总体个体：把每个研究对象叫做个体总体容量：把总体中个体的总数叫做总体容量为了研究总体 x 的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：nxxxx,321研究，我们称它为样本其中个体的个数称为样本容量。（1）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才

37、采用这种方法。（3）简单随机抽样常用的方法：抽签法；随机数表法；计算机模拟法；使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：总体变异情况；允许误差范围；概率保证程度。2、系统抽样（1）系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，16/47说明样本在总体中的

38、分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。（2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。3、分层抽样（1）分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。（2）分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别

39、代表该子总体，所有的样本进而代表总体。（3）分层的比例问题：按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。4、用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）本均值：nxxxxn+=21（2）样本标准差：nxxxxxxssn222212)()()(+=（3）用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么

40、样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。说明：如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k，标准差变为原来的 k 倍一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间)3,3(sxsx+的应用；“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理必修 3第三章 概率1、随机事件的概率及概率的意义（1）必然事件：在条件 S

41、下，一定会发生的事件，叫相对于条件 S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件 S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件；（4）随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件 S 的随机事件；17/47（5）频数与频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件A 出现的次数 n（A）为事件 A 出现的频数；称事件 A 出现的比例 fn(A)=Ann为事件 A 出现的概率：对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(

42、A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P（A），称为事件 A 的概率。（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数 n（A）与试验总次数 n 的比值Ann，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率2、概率的基本性质概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若 AB 为不可能事件，即 AB=，那么称事件 A 与事件 B 互斥；（3）若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件

43、 A 与事件 B 互为对立事件；（4）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(AB)=P(A)+P(B)；若事件 A 与 B 为对立事件，则AB 为必然事件，所以 P(AB)=P(A)+P(B)=1，于是有 P(A)=1P(B)基本性质：（1）必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0，因此 0P(A)1；（2）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(AB)=P(A)+P(B)；（3）若事件 A 与 B 为对立事件，则 AB 为必然事件，所以 P(AB)=P(A)+P(B)=1，于是有 P(A)=1P(B)；（4）互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一

44、次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：事件 A 发生且事件 B 不发生；事件 A 不发生且事件 B 发生；事件 A 与事件 B 同时不发生，而对立事件是指事件 A与事件 B 有且仅有一个发生，其包括两种情形：事件 A 发生 B 不发生；事件 B 发生事件 A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。3、古典概型及随机数的产生（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。（2）古典概型的解题步骤；求出总的基本事件数；求出事件 A 所包含的基本事件数，然后利用公式 P（A）=A包含的基本事件数总的基本事件个数4、几何概型（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事

45、件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：18/47P（A）=A构成事件 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）；（3）几何概型的特点：试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；每个基本事件出现的可能性相等必修 4第一章 三角函数1、角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角第一象限角的集合：36036090,kkk+第二象限角的集合：36090360180,kkk+第三象限角的集合：360180360270,kkk+第四象限角的集合：36027036036

46、0,kkk+2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在坐标轴上，则称 为轴线角终边在 x 轴上的角的集合：180,kk =终边在 y 轴上的角的集合：18090,kk =+终边在xy=上的角的集合：Zkk+=,45180或Zkk+=,225180终边在xy=上的角的集合：Zkk=,45180或Zkk+=,135180终边在坐标轴上的角的集合：90,kk =终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：Zkk=,453、已知角 终边的象限，求 2 终边所在象限（八卦图解决）第一象限2 为第一、三象限角 第二象限2 为第一、三象限角 第三象限2 为第二、四象限角 第四象限2

47、为第二、四象限角4、与角 终边相同的角 的集合2,kk=+即任一与角 终边相同的角,都可以表示成角 与整数个周角的和.5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度（rad）19/47一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.6、弧度制与角度制的换算公式2360=；180=；902=；1180=；180157.3=7、若扇形的圆心角为()为弧度制，半径为 r，弧长为l，周长为C，面积为 S则弧长lr=；周长2Crl=+；扇形面积21122Sl rr=8、特殊角的三角函数值表(2,0内的特殊角）角度函数030456090120135150180270360角

48、的弧度06432233456322sin02122231232221010cos12322210212223101tan033133133009、单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点)0,0(O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.10、设 是一任意角，的终边上任意一点(非顶点),(yxP，点),(yxP到原点的距离为 r，()220rxy=+其中，则ry=sin,rx=cos,xy=tan.11、三角函数在各象限的符号：一象限全为正，二象限正弦为正，三象限正切为正，四象限余弦为正12、三角函数线：sin=MP（正弦线），cos=OM（余弦线），tan=AT （正切线）13、同角三角函数的基本

49、关系平方关系：22sincosaa+=1 2sin1 cos=2cos1 sin=商的关系：),2(tancossinZkkaaaa+=倒数关系：cot1tan=Pvx y A O M T 三角函数线：MP、OM、AT 20/4715、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyx=cosyx=tanyx=图象定义域RR,2x xkk+值域1,11,1R最值当22xk=+()k 时，max1y=；当22xk=()k 时，min1y=当()2xkk=时，max1y=；当2xk=+()k 时，min1y=既无最大值也无最小值周期性2=T2=T=T奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在 2,222k

50、k+()k 上是增函数；在32,222kk+()k 上是减函数在()2,2kkk上是增函数；在()2,2kkk+上是减函数在,22kk+()k 上是增函数对称性对称中心(,0)k()k 对称轴()2xkk=+对称中心(),02kk+对称轴 x=k()k 对称中心(),02kk无对称轴注意：sinyx=周期为 2；|sin|yx=周期为；|sin|yxk=+周期为 2；sin|yx=不是周期函数.14、函数的诱导公式（公式一公式六）（口诀：奇变偶不变，符号看象限）：公式一：=+)2sin(ksin，()cos 2k+=cos，()tan 2k+=tan)kZ（.公式二：=+)sin(sin，()

51、cos+=cos，()tan+=tan 函 数性质21/47公式三：=)sin(sin，()cos=cos，()tan=tan 公式四：=)sin(sin，()cos=cos，()tan=tan 公式五：=)2sin(cos，cos 2=sin，=)2tan(cot 公式六：=+)2sin(cos，cos 2+=sin，=+)2tan(cot 另：cos)23sin(=+sin)23cos(=cot)25tan(=+16、得到函数 ysin(x)A=+图像的方法y=sinxy=sin(x+)ysin(x)ysin(x)A=+=+平移变换周期变换振幅变换|y=sinxysinxysin(x)ys

52、in(x)A=+=+向左或向右平移个单位周期变换振幅变换17、简谐运动解析式：)+=,0),sin(xxAy；振幅：A 就是这个简谐运动的振幅（0A)；周期：2=T频率：21=Tf；相位和初相：+x称为相位，0=x时的相位 称为初相.说明：为 x 前面的系数；在物理学上它叫角频率)0(2=f.必修 4第二章 平面向量1、向量的有关概念(1)向量的定义：既有大小又有方向的量；(2)向量的长度（向量的模）：向量的大小（起点与终点的距离）；(3)零向量：长度等于零的向量；(4)单位向量：长度等于 1 个单位的向量(5)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量；(6)相等向量：长度相等方向相同的

53、向量；(7)相反向量：长度相等方向相反的向量2、向量运算(1)加减法法则（如右图）：(2)BCAB+AC，BAAB+0，ACAB CB，A1A2A2A3An1AnAnA10，bababa+22/473、共线向量定理：向量ba/存在唯一一个实数，使得(0)ab b=4、平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数21,使1 122aee=+.5、向量的夹角（共起点）：,0,180a b（,a b 表示ab与 的夹角）；6、平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，对任

54、一向量a，有唯一一对实数,x y，使得：axiy j=+，那么(,)x y 叫做向量a 的直角坐标，记作(,)ax y=；7、向量共线的坐标表示：设1122(,),(,)ax ybxy=，其中0b，则,a b 共线12120 xyy x=.8、数量积的有关概念：两个非零向量a 与b(1)过 O 点作OAa，OBb，则AOB=叫做向量a 与b 的夹角；夹角 范围是0,180.(2)a 与b 的夹角为=2 时，叫ba.(3)若 a 与b 的夹角为，则 ab|a|b|cos.(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则2121yyxxba+=(5)a 在b 的方向上的投影为：cos,aa b；b

55、 在a 的方向上的投影为：cos,ba b.(6)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，夹角为，则 a 2211xy+，cos121222221122xxyya ba bxyxy+=+(7)ba 12120 x xyy+=；ba/01221=yxyx；(8)aaaa=22；22222)(bbaababa+=9、数量积满足的运算律已知向量 a、b、c 和实数，则向量的数量积满足下列运算律：23/47(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc必修 4第三章 三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）sin()sincoscossin+；（2）cos()s

56、insincoscos；（3）tan()tantan1tantan+；（4）sincoscossinsin()；（5）coscossinsincos()；（6）tantan1tantan tan()2、辅助角公式asinbcos a2b2sin()，（其中 sin22bab+，cos22baa+）；3、二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin22sincos；(2)cos222cossin22cos1 21 2sin；(3)tan2 2tan1tan2(k2 4且 k2)4、半角公式(1)sin21 cos2；(2)cos21 cos2+；(3)tan21 cos1 cos+sin1cos1c

57、ossin.5、万能公式（了解）222tan1tan2cossincossin22sin+=+=222222tan1tan1cossinsincos2cos+=+=必修 5 第一章 解三角形1、正弦定理及性质sinAa sinbB sinCc2R.（其中 R 为ABC 外接圆半径）常用变形：a 2 sinAR，b 2 sinBR，c 2 sinCR;sinA2aR 2aR,sinB 2bR,sinC 2cR;abcsinA sinBsinC；2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABC+=+.24/472、余弦定理及变形2222cosabcbcA=+；2222cosBbac

58、ac=+；2222cosCcabab=+cosAbcacb2222+；cosBacbca2222+；cosC2222abcab+；sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA.3、三角形常用面积公式S12aha(ha 表示 a 边上的高);S12absinC12acsinB12bcsinAabc4R;S12r(abc)(r 为内切圆半径)必修 5第二章 数 列1、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，后一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2、等差中项(1)前提：三个数bAa,成等差数列；(2)

59、结论：A 叫做ba,的等差中项；(3)满足的关系式：=A2ba+3、等差数列递推公式和通项公式递推公式通项公式)(1+=Nnddaann为常数)()1(1+=Nndnaan4、等差数列的性质（1）两项关系：),()(+=Nnmdmnaamn.（2）多项关系：若),(+=+Nqpnmqpnm，则=+nmaaqpaa+，特别地，若pnm2=+，则pnmaaa2=+.(3)若 na是公差为 d 的等差数列，则下列数列：cna(c 为任一常数)是公差为 d 的等差数列；nac(c 为任一常数)是公差为 cd 的等差数列.(4)若 na，nb分别是公差为21,dd的等差数列，则数列panqbn(p，q

60、是常数)是公差为 pd125/47qd2 的等差数列；特别地，na，nb分别是公差21,dd的等差数列，则nnba+是公差为21dd+的等差数列5、等差数列前n 项和公式：Sn2)(1naan+dnnna+2)1(1（d 为等差数列 na的公差）.6、数列前n 项和nS 与na 的关系(1)Sn 记法：数列an中，前 n 项和记为 Sna1a2a3an1an.(2)an 与 Sn 的关系：若数列的前 n 项和为 Sn，则通项公式 anS1 （n1）SnSn1 （n2）.7、等差数列的前n 项和的主要性质（1）,232nnnnnSSSSS成等差数列(等差数列中依次n 项和成等差数列)；（2）若n

61、n TS,分别为等差数列 nnba,的前 n 项和，则nnnnbaTS=1212.8、等比数列的定义 定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，后一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示)0(q 9、等比中项(1)前提：三个数bGa,成等比数列；(2)结论：G 叫做ba,的等比中项；(3)满足的关系式：abG=210、等比数列递推公式和通项公式递推公式通项公式)(1+=Nnqqaann为非零常数)(11=Nnqaann11、等比数列的通项公式与指数函数 等比数列的通项公式11=nnqaa可以看作是指数型函数xqcy=.等比数

62、列的增减性：当0,11 aq或0,101 aq时，等比数列 na是递增数列;当0,11 aq或0,101 aq时，等比数列 na是递减数列;当1=q时，等比数列 na是常数列;26/47当0q时，等比数列 na是摆动数列 12、等比数列的性质 若数列 na是公比为q)0(q的等比数列，则 ),(=Nnmqaamnmn；若),(2=+=+Nkqpnmkqpnm，则2kqpnmaaaaa=；等比数列 na的奇数项同号，偶数项同号；)0(cacn是公比为q 的等比数列；na是公比为 q 的等比数列；若 nnba,分别是公比为21,qq的等比数列，则数列nn ba 是公比为21qq的等比数列.13、等

63、比数列前 n 项和公式111(1)(1)(1)11nnnna qSaaqaqqqq=（q 为等比数列 na的公比）.14、等比数列的前n 项和的主要性质（1）,232nnnnnSSSSS成等比数列(等比数列中依次n 项和成等比数列)；（2）当等比数列 na公比1q时，则nnnqqaqaqqaS=111)1(111，所以若nnqBAS+=，则0=+BA.必修 5第三章 不等式1、两个实数比较大小的方法（1）作差法：0abab；0abab=；0abab),(Rba.（2）作商法：),(1+RbRababa；),(1+=RbRababa),(1+RbRababa.2、不等式的性质1.双向性：abba

64、；abacbc+2.单向性：（1）传递性：,ab bcac；27/47（2）同向可加性：,ab cdacbd+（3）同向可乘性：,0ab cacbc，,0ab cacbc；0,0abcdacbd；()0,1nnababnn；()0,1nnabab nn3、不等式的一些常用结论（1）倒数性质：baabba110,；baba110.（2）分数性质：若0,0mba，则)0(+mbmambbbmamb（“糖水”不等式）4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：舍去或加上一

65、些项，如：22)21(43)21(+aa.将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k 211,(1)kk k+2212,21kkkkkk=+*12(,1)1kNkkkk+等.5、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系（三个“二次”）：判别式24bac=0 0=0 二次函数2yaxbxc=+)0(a的图象一元二次方程2axbx+0c+=()0a 的根有两个相异实数根 1,22bxa=()12xx有两个相等实数根122bxxa=没有实数根28/47一元二次不等式的解集20axbxc+()0a 12x xxxx或2bx xa R20axbxc+()0a 12x xxx

66、6、一元二次不等式的解法求一元二次不等式02+cbxax（或0）)04,0(2=acba解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数；二判：判断对应方程的根；三求：求对应方程的根；四画：画出对应函数的图象；五解集：根据图象写出不等式的解集；规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.7、含参数的不等式的解法解形如02+cbxax且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：（1）讨论a 与 0 的大小；（2）讨论 与 0 的大小；（3）讨论两根的大小.8、高次不等式的解法：穿根法（了解）分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶不穿），结合原式不等号的方向，写出不等式

67、的解集.9、分式不等式的解法（了解）：先移项通分标准化则()0()()0()()()0()0()0()f xf xg xg xf xg xf xg xg x （“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.10、无理不等式的解法（了解）：转化为有理不等式求解2()0()(0)()f xf xa af xa 2()0()(0)()f xf xa af xa 2()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或 2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x29/47()0()()()0()()f xf xg xg xf xg

68、 x规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.11、指数不等式的解法：当1a 时,()()()()f xg xaaf xg x；当01a 时,()()()()f xg xaaf xg x规律：根据指数函数的性质转化.12、对数不等式的解法当1a 时,当01a 时,()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x ()0log()log()()0.()()aaf xf xg xg xf xg x规律：根据对数函数的性质转化.13、恒成立问题（1）不等式20axbxc+的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0=a时0,0=cb 当0a

69、时00a（2）不等式02+cbxax的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0=a时0,0=cb 当0a时00a（3）axf)(恒成立axfmax)(，axf)(恒成立axfmax)(（4）axf)(恒成立axfmin)(，axf)(恒成立axfmin)(14、基本不等式若 aR，bR，则222abab+，即222abab+（当且仅当ba=时等号成立）若0a，0b，则2abab+，即2abab+（当且仅当ba=时等号成立）变形公式：()22222ababab+（请重视它们的变形使用）30/47平均不等式（了解）：0,(2211222+bababaabba，当且仅当ba=时等号成立）从左往右依次

70、是正数ba,的调和平均数，几何平均数，算数平均数，平方平均数15、利用基本不等式求最值问题设 x、y 都为正数，则有 若 xys+=（和为定值），则当 xy=时，积 xy 取得最大值24s 若 xyp=（积为定值），则当 xy=时，和 xy+取得最小值2p 注意：在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能取得”，这三个方面缺一不可.选修 2-1第一章 常用逻辑用语1、命题 充分条件、必要条件若 pq，则 p 是q 的充分条件，q 是 p 的必要条件若 pq，则 p 是q 的充要条件（充分必要条件）2、全称命题和特称命题（1）全称量词和存在量词

71、量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等（2）全称命题和特称命题名称形式 全称命题特称命题结构对 M 中任意一个 x，有)(xp成立存在 M 中的一个0 x，使)(0 xp成立简记)(,xpMx)(,00 xpMx 否定)(,00 xpMx)(,xpMx（3）记准两类否定:)()()(qpqp )()()(qpqp选修 2-1第二章 圆锥曲线方程1、曲线方程31/47求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 建立适当的直角坐标系；设动点(),M x y 及其他的点；找出满足限制条件的等式；将点的坐标代入等式；化简方

72、程，并验证（查漏除杂）。2、椭圆的定义平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数：(1)若 ac，则集合 P 为椭圆；(2)若 ac，则集合 P 为线段；(3)若 ab0)y2a2x2b21(ab0)图形性质范围axa bybbxb aya对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴 A1A

73、2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b焦距|F1F2|2c离心率ace=221ab=)10(ea，b，c 的关系222cba+=（a 最大）准线方程2axc=2ayc=4、点),(00 yxP和椭圆的关系(1)点 P(x0，y0)在椭圆内x20a2y20b21.5、椭圆第二定义（了解）设 是椭圆上任一点，点 到1F 对应准线的距离为1d，点 到2F 对应准线的距离为2d，则1212FFedd=32/476、焦半径（了解）椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1 与右(上)焦点 F2 之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径，分别记作 r1|PF1|，r2|PF2|.x2a2y2b21(

74、ab0)，r1a ex0，r2aex0；y2a2x2b21(ab0)，r1aey0，r2aey0；焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)7、椭圆的焦点三角形椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2 叫作焦点三角形r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2 的面积为 S，2tan221bSFPF=，则在椭圆x2a2y2b21(ab0)中：当 r1r2 时，即点 P 的位置为短轴端点时，最大；Sb2tan 2c|y0|，当|y0|b 时，即点 P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc.8、焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)

75、最短，弦长 lmin2b2a.9、AB 为椭圆x2a2y2b21(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则弦长 l 1k2|x1x2|2122124)(1xxxxk+（弦长公式）或弦长 l11k2|y1y2|2122124)(11yyyyk+=（弦长公式）直线 AB 的斜率 kABb2x0a2y0.10、双曲线的定义平面内与两定点21,FF的距离差的绝对值等于常数)220(221cFFaa=的点的轨迹叫双曲线.两定点21,FF是焦点，两焦点间的距离21FF是焦距，用 c2 表示，常数用 a2 表示.11、双曲线定义的集合表示cFFaaMFMFMP22,22

76、121=12、双曲线的标准方程、图象和性质焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上33/47 双曲线在 坐标系中的位置标准方程)0,0(12222=babyax)0,0(12222=babxay焦点坐标)0,(),0,(21cFcF),0(),0(21cFcF焦距cFF221=)(222bac+=范围()+,aax()+,aay顶点)0,(a),0(a轴长虚轴长 b2，实轴长 a2对称性对称轴为 x 轴、y 轴，对称中心为原点()0,0离心率)0(122+=eabace渐近线0=byax或)(xaby=0=aybx或)(xbay=准线方程2axc=2ayc=13、等轴双曲线（1）实轴长和虚轴

77、长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：)0(22=yx（2）等轴双曲线 离心率2=e 两条渐近线方程为xy=相互垂直.14、点),(00 yxP和双曲线)0,0(12222=babyax的关系（1）P 在双曲线内（含焦点部分）1220220 byax；（2）P 在双曲线上1220220=byax（3）P 在双曲线外（不含焦点部分）1220220 byax15、双曲线第二定义（了解）设 是双曲线上任一点，点 到1F 对应准线的距离为1d，点 到2F 对应准线的距离为2d，则1212FFedd=34/4716、双曲线焦点三角形：P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2 分别为

78、双曲线的左、右焦点，则 SPF1F2b2 1tan2，其中 为F1PF2.17、重要结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.（2）若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca.（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.（4）设 P，A，B 是双曲线上的三个不同的点，其中 A，B 关于原点对称，直线 PA，PB 斜率存在且不为 0，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为b2a2.18、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线(1)在平面内；(2)动

79、点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相等；(3)定点不在定直线上19、抛物线的标准方程和几何性质标准方程)0(22=ppxy)0(22=ppxy)0(22=ppyx)0(22=ppyxp 的几何意义：焦点 F 到准线l 的距离图形顶点O(0，0)对称轴y0 x0焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF离心率1=e准线方程2px=2px=2py=2py=范围Ryx,0Ryx,0Rxy,0Rxy,0开口方向向右向左向上向下20、关注抛物线中与焦点弦有关的几个常用结论如图，AB 为抛物线)0(22=ppxy的焦点弦，),(11 yxA，),(22 yxB，焦点)0,2(pF

80、，准线l：35/472px=，lBDlAC,，且NM,分别为CDAB,的中点，则：（1）221pyy=，4221pxx=（2）090=CFD，BNANABNF,（3）pxxAB+=21（4）cos1=pAF，cos1+=pBF，2sin2pAB=（为直线l 的倾斜角）（5）pBFAF211=+（定值）（6）以 AB 为直径的圆必与准线相切，以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切（7）直角梯形的对角线交于原点O，且sin24221pyypSSCODAOB=（8）MN 被抛物线平分，即 R 为 MN 的中点 （9）ABMNRF4121=（10）若过抛物线焦点弦的两个端点作抛物线的切线，则两条

81、切线的交点一定在此抛物线的准线上若过抛物线准线上任意一点做抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点（定点）等选修 2-1第三章 空间向量与立体几何1、空间向量的概念（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量（2）向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向（3）向量 的大小称为向量的模（或长度），记作 （4）模（或长度）为0 的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量（5）与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作 a（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的加法和减法（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则

82、即：在空间以同一点 为起点的两个已知向量a、b 为邻边作平行四边形C，则以 起点的对角线C 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则（2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点，作a=，b=，则ab=36/473、实数 与空间向量a 的乘积 a 是一个向量，称为向量的数乘运算当0 时，a 与 a 方向相同；当0 时，a与a 方向相反；当0=时，a为零向量，记为0 a的长度是a 的长度的 倍4、设，为实数，a，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：()abab+=+；结合律：()()aa=5、如果表示空间的有向线段所

83、在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，()0b b，/ab 的充要条件是存在实数，使ab=7、平行于同一个平面的向量称为共面向量8、向量共面定理：空间一点位于平面C 内的充要条件是存在有序实数对 x，y，使xy C=+；或对空间任一定点，有xy C=+；或若四点，C 共面，则()1xyz C xyz=+=9、已知两个非零向量a 和b，在空间任取一点，作a=，b=，则 称为向量a，b 的夹角，记作,a b 两个向量夹角的取值范围是：,0,a b 10、对于两个非零向量a 和b，若,2a b=，则向量a

84、，b 互相垂直，记作ab11、已知两个非零向量a 和b，则cos,a ba b 称为a，b 的数量积，记作a b即cos,a ba ba b=零向量与任何向量的数量积为0 12、a b等于a 的长度 a 与b 在 a 的方向上的投影cos,ba b 的乘积13、若a，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos,e aa eaa e=；()20aba b=；()3()()a b aba ba b ab=与 同向与 反向，2a aa=，37/47aa a=；()4 cos,a ba ba b=；()5a ba b14、量数乘积的运算律()1 a bb a=；()2()()()aba bab=

85、；()3()abca cb c+=+15、空间向量基本定理若三个向量a，b，c 不共面，则对空间任一向量 p，存在实数组,x y z，使得 pxaybzc=+16、三个向量a，b，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是,p pxaybzc x y zR=+这个集合可看作是由向量a，b，c 生成的，,a b c 称为空间的一个基底，a，b，c 称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底17、设1e，2e，3e 为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e，2e，3e 的公共起点 为原点，分别以1e，2e，3e 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立

86、空间直角坐标系xyz则对于空间任意一个向量 p，一定可以把它平移，使它的起点与原点 重合，得到向量p=存在有序实数组,x y z，使得123pxeyeze=+把 x，y，z 称作向量 p 在单位正交基底1e，2e，3e 下的坐标，记作(),px y z=此时，向量 p 的坐标是点 在空间直角坐标系xyz中的坐标(),x y z 18、设()111,ax y z=，()222,bxyz=，则（1）()121212,abxxyyzz+=+（2）()121212,abxxyyzz=（3）()111,axyz=（4）12121 2a bx xy yz z=+（5）若a、b 为非零向量，则12121 2

87、00aba bx xy yz z=+=（6）若0b，则121212/,ababxxyy zz=（7）222111aa axyz=+（8）12121 2222222111222cos,x xy yz za ba ba bxyzxyz+=+（9）()111,x y z，()222,xyz=，则()()()222212121dxxyyzz=+19、直线l 垂直，取直线l 的方向向量a，则向量a 称为平面 的法向量20、若空间不重合两条直线 a，b 的方向向量分别为a，b，38/47则/abab()abR=，0ababa b=21、若直线a 的方向向量为a，平面 的法向量为n，且a，则/aa0ana

88、n=，/aaanan=22、若 空 间 不 重 合 的 两 个 平 面 ，的 法 向 量 分 别 为 a，b，则/ab ab=，0aba b=23、空间向量与空间角、空间距离角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为ba,，则：bababa=,coscos2,0 直线与平面所成的角设直线l 与平面 所成的角为，l 的方向向量为a，平面 的法向量为 n，则：nanana=,cossin2,0 二面角设二面角l的平面角为，平面，的法向量分别为m，n，则：nmnmnm=,coscos,0点到平面的距离点 P 是平面 外一点，A 是平面 内的一定点，n 为平面 的一个

89、法向量，则点 到平面 的距离为nnPAnPAPAd=,cos选修 2-2第一章 导数及其应用1、函数的平均变化率平均变化率为=xfxyxxfxxfxxxfxf+=)()()()(111212注 1：其中 x 是自变量的改变量，可正，可负，可零。注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念39/47函数在0 xx=处的瞬时变化率是，则称函数在点处 可 导，并 把 这 个 极 限 叫 做在处 的 导 数，记 作或，即=.3、平均变化率和导数的几何意义函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。4、常见的函数导数公式函数导函数yc=y=0nyx

90、=()*nN1nynx=xya=()0,1aalnxyaa=xye=xye=logayx=()0,1,0aax1lnyxa=lnyx=1yx=sinyx=cosyx=cosyx=sinyx=5、常见的导数运算公式若()f x，()g x 均可导（可积），则有：和差的导数运算()()()()f xg xfxg x=积的导数运算()()()()()()f xg xfx g xf x g x=特别地：()()Cf xCfx=商的导数运算2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x=特别地：()()21()g xg xgx=复合函数的导数xuxyyu=6、用

91、导数求函数单调区间的步骤)(xfy=xxfxxfxyxx+=)()(limlim0000)(xfy=0 x)(xfy=0 x)(0 xf0|xxy=)(0 xfxxfxxfxyxx+=)()(limlim000040/47求函数 f(x)的导数()fx令()fx 0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间.令()fx 0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。7、求可导函数 f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求函数 f(x)的导数()fx ；(3)求方程()fx=0 的根；(4)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小

92、开区间，并列成表格，检查/()fx 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值8、利用导数求函数的最值的步骤求)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(xf在ba,上的极值；（2）将)(xf的各极值与(),()f af b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点.选修 2-2第三章 数系的扩充和复数的引入1、复数的概念形如bia+的数叫做复数，其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集

93、|,Cabi a bR=+叫做复数集。规定：abicdi+=+ca=且db=，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。2、数集的关系0000bZaba=实数()复数一般虚数()虚数()纯虚数()3、复数的几何意义答：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。4、复平面根据复数相等的定义，任何一个复数biaz+=，都可以由一个有序实数对),(ba唯一确定。由于有序实数对),(ba与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯

94、虚数。41/475、复数的模与复数 z 对应的向量OZ 的模叫做复数的模(也叫绝对值)记作biaz+或。由模的定义可知：22babiaz+=+=6、复数的加、减法运算及几何意义复数的加、减法法则：12zabicdi=+=+与z，则12()zzacbd i=+。注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。复数的乘法法则：()()()()abi cdiacbdadbc i+=+。复数的除法法则：2222()()()()abiabi cdiacbdbcad icdicdi cdicdcd+=+其中 cdi叫做实数化因子7、共轭复数两复数 abiabi+与互为共轭复数，当0b 时，它们叫做共轭

95、虚数，常见的运算规律。(1);(2)2,2;zzzza zzbi=+=2222(3);(4);(5)z zzzabzzzzzR=+=41424344(6),1,1;nnnnii iii i+=()22111(7)1;(8),112iiiiiiiiii+=+)9(设231i+=是 1 的立方虚根，则012=+，1,332313=+nnn选修 2-3第一章 计数原理1、分类加法计数原理做一件事情，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法在第n 类办法中有nm 种不同的方法。那么完成这件事情共有nmmmN+=21种不同的方法。2、分步乘法计数原理做一

96、件事情，完成它需要n 个步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法做第n 个步骤有nm 种不同的方法。那么完成这件事情共有nmmmN=21种不同的方法。3、排列的定义一般地，从n 个不同的元素中任取()nmm个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的一个排列。rbiaz+=42/474、组合的定义一般地，从n 个不同的元素中任取()nmm个元素并成一组，叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的一个组合。5、排列数（mnA）从n 个不同的元素中任取()nmm个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的排列数.6、组合

97、数(mnC)从n 个不同的元素中任取()nmm个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的组合数.7、排列数公式（1）()()()121+=mnnnnAmn或()!mnnAmn=！；（2）!nAnn=，规定1!0=。8、组合数公式（1）()()()!121mmnnnnC mn+=或()!mnmnC mn=！；（2）mnnmnCC=，规定10=nC。9、排列与组合的区别排列有顺序，组合无顺序。10、排列与组合的联系mmmnmnACA=，即排列就是先组合再全排列。11、排列与组合的性质（1）排列的性质公式：11+=mnmnmnmAAA（了解）（2）组合的性质公式：mnnmnCC

98、=；11+=mnmnmnCCC12、二项式定理()()+=+NnbCbaCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnnnn222110。13、二项展开式的通项43/47()+=NnNrnrbaCTrrnrnr,01。14、()nx+1的展开式()0221101xCxCxCxCxnnnnnnnnn+=+，若令1=x，则有()nnnnnnnCCCC+=+210211。选修 2-3第二章 随机变量及其分布1、随机变量在某试验中，可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示，并且 X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量 X 叫做一个随机变量。离散型随机变量：如果随机变量 X 的所有可能的取

99、值都能一一列举出来，则称 X 为离散型随机变量。2、概率分布列要掌握一个离散型随机变量 X 的取值规律，必须知道：（1）X 所有可能取的值nxxx,21；（2）X 取每一个值ix 的概率nppp,21；我们可以把这些信息列成表格（如此）：X1x2xixnxP1p2pipnp上表为离散型随机变量 X 的概率分布，或称为离散型随机变量 X 的分布列。3、二点分布X01Pp1p44/47其中10 p，则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的二点分布。4、超几何分布一般地，设有总数为 N 件的两类物品，其中一类有 M 件，从所有物品中任取()Nnn件，这n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机

100、变量，它取值为m 时的概率为()nNmnMNmMCCCmXP=（lm 0，l 为n 和 M 中较小的一个）。我们称离散型随机变量 X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称 X 服从参数为nMN,的超几何分布。5、条件概率对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号()ABP来表示。6、事件的交（积）事件 A 和 B 同时发生所构成的事件 D，称为事件 A 和 B 的交（积）。7、相互独立事件事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，即()()BPABP=，这时我们称两个事件 A 和 B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。

101、一般地，当事件 A 和 B 相互独时，A 和 B，A 和B，A 和 B 也相互独立。8、独立重复试验在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它为n 次独立重复试验。9、独立重复试验的概率公式一般地，事件 A 在n 次试验中发生k 次，共有knC 种情形，由试验的独立性知 A 在k 次试验中发生，而在其余kn 次试验中不发生的概率都是()knkpp1，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件 A 发生的概率是 p，那么在n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k 次的概率为()()()nkppCkPknkknn,2,1,01=。10、二项分布45/47在独立重复

102、试验概率公式中，若将事件 A 发生的次数设为 X，事件 A 不发生的概率为pq=1，则在n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k 次的概率为()knkknqpCkXP=，其中nk,2,1,0=。于是得到 X 的分布列X01knPnnqpC00111nnqpCknkknqpC0qpCnnn由于表中的第二行恰好是二项式展开式()022211100qpCqpCqpCqpCqpCqpnnnknkknnnnnnnn+=+各对应项的值，称这样的离散型随机变量 X 服从参数为pn,的二项分布，记作()pnBX,。11、离散型随机变量的数学期望一般地，设一个离散型随机变量 X 所有可能的取值是nxxx,21

103、，这些值对应的概率是nppp,21，则()nn pxpxpxXE+=2211叫做这个离散型随机变量 X 的均值或数学期望（简称期望）。12、二点分布的数学期望 ()pXE=。13、二项分布的数学期望 ()npXE=。14、超几何分布数学期望 ()NnMXE=（了解）。15、离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量 X 所有可能的取值是nxxx,21，这些值对应的概率是nppp,21，则()()()()()()()nnpXExpXExpXExXD2222121+=叫做这个离散型随机变量 X的方差。离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小（离散程度）。16、二点

104、分布的方差 ()pqXD=()pq=1。17、二项分布的方差 ()()pqnpqXD=1。18、标准差()XD的算术平方根()XD叫做离散型随机变量 X 的标准差。19、期望和方差的性质46/47期望的性质：bXaEbaXE+=+)()(；方差的性质：)()(2XDabaXD=+20、正态分布正态变量概率密度曲线函数表达式：()()Rxexfx=,21222，：期望，2：方差，越小，曲线越“瘦高”，越大，曲线越“矮胖”，21、正态分布中的三 原则在正态分布中 代表标准差，代表均值（数学期望）即=x为图象的对称轴6827.0)(=+XP9545.0)22(=+XP9973.0)33(=+XP选修

105、 2-3第三章 统计案例1、回归分析及步骤回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。其步骤：收集数据 作散点图 求回归直线方程 利用方程进行预报.2、线性回归模型与一次函数一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.3、残差（了解）样本值与回归值的差叫残差，即iiiyye=.4、残差分析（了解）通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析.5、建立回归模型的基本步骤（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是

106、否存在线性关系等）；（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程axby+=）；（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。47/476、回归方程中的ab,=niiniiixxyyxxb121)()(=niiniiixnxyxnyxb1221或 ，xbya=7、如何根据观测数据判断两变量的相关性？根据观测数据计算由2K n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd）给出的检验随机变量2K 的值 k，其值越大，

107、说明“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大.当得到的观测数据a，b，c，d 都不小于5 时，可以通过查阅下表来确定断言“X 与 Y 有关系”的可信程度.)(2kKP0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828说明：当观测数据a，b，c，d 中有小于5 时，需采用很复杂的精确的检验方法.8、常用临界值得到2K 的观察值k 常与以下几个临界值加以比较：如果2.706k，就有0 090的把握因为两分类变量 X 和Y 是有关系；如果3.841k，就有0 095的把握因为两分类变量 X 和Y 是有关系；如果6.635k，就有0 099的把握因为两分类变量 X 和Y 是有关系；如果2.706k，就认为没有充分的证据说明变量 X 和Y 是有关系