2022版新教材高中数学 第4章 数列 专题强化练9 数列的求和方法（含解析）苏教版选择性必修第一册.docx

1、专题强化练9数列的求和方法一、选择题1.(2021陕西西安交大附中、龙岗中学高三联考,)已知数列an的前n项和是Sn,且满足a1=3,a2k=8a2k-1,a2k+1=12a2k,kN*,则S2 021=()A.42 021-1B.322 021-3C.341 011-9D.541 010-22.()定义np1+p2+pn为n个正数p1,p2,pn的“均倒数”.若已知数列an的前n项的“均倒数”为13n+1,且bn=an+26,则1b1b2+1b2b3+1b9b10=()A.111B.1011C.910D.11123.(多选)(2020海南天一大联考高三第四次模拟,)已知数列an的首项为4,且

2、满足2(n+1)an-nan+1=0(nN*),则()A.ann为等差数列B.an为递增数列C.an的前n项和Sn=(n-1)2n+1+4D.an2n+1的前n项和Tn=n2+n24.()已知数列an满足a1+2a2+3a3+nan=(2n-1)3n.设bn=4nan,Sn为数列bn的前n项和.若Sn(为常数),nN*,则的最小值是()A.32B.94C.3112D.3118二、填空题5.()已知f(x)=ex-12-e12-x+1,数列an满足an=f(0)+f1n+f2n+fn-1n+f(1),则a2 017=.6.(2020吉林长春实验中学高一期末,)已知数列an满足a1=1,an+1=

3、3an+1(nN*),则数列an的前n项和Sn=.7.(2021湖南长沙长郡中学高三月考,)已知数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前48项和为.8.(2020江苏南通高三一模,)定义数列an:先给出a1=1,接着复制该项,再添加1的后继数2,于是a2=1,a3=2,接下来再复制前面所有的项,然后添加2的后继数3,如此继(1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,).设Sn是an的前n项和,则S2 020=.三、解答题9.(2021江苏南通平潮高级中学高二期中,)在S5=35,3a1+a3=10,an+1=3n+a1这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.已知

4、an是各项均为正数的等差数列,其前n项和为Sn,且a1,12a4,a9成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=(-1)nan,求i=1nbi.10.(2020江苏南通高二期末,)在S3=12,2a2-a1=3,a8=24这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.已知an是公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且a1,a2,a4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn是各项均为正数的等比数列,且b2=a1,b4=a4,求数列an+bn的前n项和Tn.专题强化练9数列的求和方法一、选择题1.C依题意知,a1=3,a2k=8a2k-1,a2k+1=12a2k,故

5、a2k+1=4a2k-1,a2k=4a2k-2,a2=8a1=24,故数列a2k-1(kN*)是首项为3,公比为4的等比数列,数列a2k(kN*)是首项为24,公比为4的等比数列.所以S2021=(a1+a3+a2021)+(a2+a4+a2020)=3(1-41011)1-4+24(1-41010)1-4=341011-9.故选C.易错警示本题易因审题不清而错把数列an的整体看成以3为首项,4为公比的等比数列.在数列的问题中一定要注意数列项数的变化.2.C由题意得na1+a2+an=13n+1,所以a1+a2+an=n(3n+1)=3n2+n.记数列an的前n项和为Sn,则Sn=3n2+n.

6、当n=1时,a1=S1=4;当n2时,an=Sn-Sn-1=3n2+n-3(n-1)2+(n-1)=6n-2.经检验,a1=4也符合此式,所以an=6n-2,nN*,则bn=an+26=n,所以1b1b2+1b2b3+1b9b10=112+123+1910=1-12+12-13+19-110=1-110=910.故选C.3.BD由2(n+1)an-nan+1=0得an+1n+1=2ann,所以ann是以a11=4为首项,2为公比的等比数列,故A错误;易得ann=42n-1=2n+1,所以an=n2n+1,显然an为递增数列,故B正确;易得Sn=122+223+n2n+1,2Sn=123+224

7、+(n-1)2n+1+n2n+2,所以-Sn=122+23+2n+1-n2n+2=22(1-2n)1-2-n2n+2,故Sn=(n-1)2n+2+4,故C错误;因为an2n+1=n2n+12n+1=n,所以an2n+1的前n项和Tn=n(1+n)2=n2+n2,故D正确.4.Ca1+2a2+3a3+nan=(2n-1)3n,当n2时,a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=(2n-3)3n-1,-,得nan=4n3n-1,即an=43n-1(n2).当n=1时,a1=3,不适合此式,an=3,n=1,43n-1,n2,bn=43,n=1,n3n-1,n2,Sn=43+23+332+n3n-1

8、=13+130+23+332+n3n-1,13Sn=19+13+232+333+n-13n-1+n3n,-,得23Sn=29+130+13+132+133+13n-1-n3n=29+1-13n1-13-n3n,Sn=3112-6n+943n3112,Sn(为常数),nN*,的最小值是3112,故选C.二、填空题5.答案2018解析由题意得f(1-x)=e12-x-ex-12+1,所以f(x)+f(1-x)=ex-12-e12-x+1+e12-x-ex-12+1=2.因为an=f(0)+f1n+f2n+fn-1n+f(1),an=f(1)+fn-1n+f2n+f1n+f(0),+,得2an=2(

9、n+1),所以an=1+n,所以a2017=2018.6.答案14(3n+1-2n-3)(nN*)解析由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12,所以数列an+12是以3为公比的等比数列,其首项为a1+12=1+12=32,所以an+12=323n-1=123n,所以an=123n-12,所以Sn=a1+a2+a3+an=12(31+32+3n)-12n=14(3n+1-2n-3)(nN*),故答案为14(3n+1-2n-3)(nN*).7.答案1176解析由an+1+(-1)nan=2n-1,得a2=1+a1,a3=3-a2=2-a1,a4=5+a3=7-a1,a5=7-a4=a1

10、,a6=9+a5=9+a1,a7=11-a6=2-a1,a8=13+a7=15-a1,可知相邻奇数项的和为2,偶数项中,每隔一项构成公差为8的等差数列.故(a1+a3)+(a5+a7)+(a45+a47)=212=24,a2+a4+a6+a8+a46+a48=(a2+a6+a10+a46)+(a4+a8+a48),而a2+a6+a10+a46=(1+a1)+(9+a1)+(89+a1)=540+12a1,a4+a8+a48=(7-a1)+(15-a1)+(95-a1)=612-12a1,所以数列an的前48项和为24+(540+12a1)+(612-12a1)=1176.8.答案3990解析根

11、据题意,设每操作一次形成的数列的各项之和为bn,bn的前n项和为Tn,故b1=1,bn+1=Tn+n+1,bn=Tn-1+n(n2),-,得bn+1=2bn+1,即bn+1+1=2(bn+1),故bn+1是首项为2,公比为2的等比数列,故bn=2n-1(n2),经验证,当n=1时,此式成立,故bn=2n-1,Tn=2n+1-n-2.设第n次操作形成的数列的项数构成的数列为cn,其前n项和为Kn,故c1=1,cn+1=Kn+1,故cn=Kn-1+1(n2),-,得cn+1=2cn,故cn=2n-1(n2),经验证当n=1时,满足上式,所以cn=2n-1.故Kn=cn+1-1=2n-1,又210-

12、120200.若选,则an=2n,故b2=a1=2,b4=a4=8=b2q2,所以q2=4,所以q=2(负值舍去).又b2=b1q=2,所以b1=1,所以bn=2n-1,所以Tn=n(n+1)+1-2n1-2=n2+n+2n-1.若选,则an=n,故b2=a1=1,b4=a4=4=b2q2,所以q2=4,所以q=2(负值舍去).又b2=b1q=1,所以b1=12,所以bn=2n-2,所以Tn=n(n+1)2+12(1-2n)1-2=n2+n+2n-12.若选,则an=3n,故b2=a1=3,b4=a4=12=b2q2,所以q2=4,所以q=2(负值舍去).又b2=b1q=3,所以b1=32,所以bn=322n-1,则Tn=3n(n+1)2+32(1-2n)1-2=3(n2+n+2n-1)2.