2022版新教材高中数学 第三章 圆锥曲线的方程 1.docx

1、椭圆及其标准方程1.（2020北京交大附中东校区高二期末）已知椭圆x2k+y2=1 的一个焦点是(2，0) ，那么实数k= ( )A.3 B.5 C.3D.5答案：D2.若方程x2m+y22m-1=1 表示椭圆，则实数m 满足的条件是( )A. m|m12 且m1 B. m|m12 或m0 C.m|m12 D.m|0m12答案：A3.（2021北京丰台高二期末）已知点P 是椭圆C:x2100+y264=1 上一点，M ，N 分别是圆(x-6)2+y2=1 和圆(x+6)2+y2=4 上的点，那么|PM|+|PN| 的最小值为( )A.15B.16C.17D.18答案：C4.（2021陕西西安长

2、安第一中学高二期末）设P(x,y) ，若x2+(y-23)2+x2+(y+23)2=8 ，则点P 的轨迹方程为( )A.x216+y24=1 B.x24+y216=1C.x24-y28=1 D.x28-y24=1答案：B5.（2021辽宁沈阳郊联体高二期中）在平面直角坐标系中，已知ABC 的顶点为A(0,4) ，C(0,-4) ，顶点B 在椭圆x29+y225=1 上，则sin(A+C)sinA+sinC= ( )A.35 B.53 C.45 D.54答案：C6.（2021河南郑州高二期末）设F1、F2 分别是椭圆C ：x225+y29=1 的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上且满

3、足|OP|=4 ，则PF1F2 的面积为( )A.3B.33 C.6D.9答案：D7.（2021山东济南高二月考）设定点F1(0,-3) 、F2(0,3) ，动点P 满足|PF1|+|PF2|=a+9a(a0) ，则点P 的轨迹是( )A.圆B.射线C.椭圆或线段D.不存在答案：C8.已知AB 是过椭圆x2a2+y2b2=1 中心的弦，F(c,0) 为椭圆的右焦点，则AFB 面积的最大值是( )A.b2 B.bc C.ab D.ac答案：B解析：已知SABF=SAOF+SBOF=12|OF|yA-yB| ，当A、B 为短轴的两个端点时，|yA-yB| 最大，最大值为2b ，ABF 面积的最大值

4、为bc .素养提升练9.（2021辽宁抚顺高二期中）已知F1 ，F2 分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0b1) 的左、右焦点，过点F1 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF1|=3|BF1| ，AF2x 轴，则椭圆E 的标准方程为( )A.x2+3y22=1 B.x23+3y22=1C.x23+y22=1 D.x22+y23=1答案：A解析：由题意可得，F1(-c,0) ，F2(c,0) ，又AF2x 轴，|AF2|=b2 ， 点A 的坐标为(c,b2) ，设B(x，y) ，由|AF1|=3|BF1| 得AF1=3F1B ，(-c-c,-b2)=3(x+c,y) ，B(-53c,-13

5、b2) ，代入椭圆方程得(-53c)2+(-13b2)2b2=1 ，1=b2+c2 ，b2=23 ，c2=13 ，x2+3y22=1 .10.（2021吉林长春外国语学校高二月考）已知椭圆的焦点在x 轴上，且过点(32,3) ，焦距为25 ，设P 为椭圆上的一点，F1、F2 是该椭圆的两个焦点，若F1PF2=60 ，求：（1）椭圆的标准方程；（2）PF1F2 的面积.答案：（1）设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0) ，由已知得2c=25, 94a2+3b2=1,a2=b2+c2, 解得a=3 ，c=5 ，b=2 ，故椭圆的标准方程为x29+y24=1 .（2）由椭圆的定义可得|P

6、F1|+|PF2|=6 ，由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60=20 ，整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=20 ，又|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=36 ，所以|PF1|PF2|=163 ，故SPF1F2=12|PF1|PF2|sin60=1216332=433 .创新拓展练11.设F1 ，F2 分别是椭圆x24+y2=1 的左、右焦点，B(0,-1) 为椭圆上的点.（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求|PF1|PF2| 的最大值；（2）若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF1=CF1 ，求 的值；（3）设M 是该椭圆上的

7、一个动点，求MBF1 的周长的最大值.命题分析 本题考查了椭圆的标准方程、定义的应用以及转化化归思想.答题要领 （1）根据椭圆定义、标准方程、基本不等式求解；（2）根据已知向量等式求出C 点的坐标，然后代入椭圆方程求解；（3）根据椭圆定义求解.详细解析（1）因为椭圆的方程为x24+y2=1 ，所以a=2 ，b=1 ，c=3 ，即|F1F2|=23 ，又因为|PF1|+|PF2|=2a=4 ，所以|PF1|PF2|(|PF1|+|PF2|2)2=(42)2=4 ，当且仅当|PF1|=|PF2|=2 时取“=”，所以|PF1|PF2| 的最大值为4.（2）设C(x0,y0) ，已知B(0,-1) ，F1(-3,0) 由BF1=CF1 得x0=3(1-) ，y0=-1 .又x024+y02=1 ，所以2+6-7=0 ，解得=-7 或=1 ，因为C 异于B 点，所以=1 舍去，所以=-7 .（3）因为|MF1|+|MB|=4-|MF2|+|MB|4+|BF2| ，所以MBF1 的周长的最大值为4+|BF2|+|BF1|=8 ，当且仅当M 点为直线BF2 与椭圆的另一个交点时，取等号，此时MBF1 的周长最大，最大值为8.解题感悟 椭圆的定义是题目的隐含条件，解决椭圆问题时要注意挖掘此条件.