直线与圆的综合应用（学生版）.pdf

1、直线与圆的综合应用【题型归纳目录】题型一：距离的创新定义题型二：切比雪夫距离题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题题型四：圆的包络线问题题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题题型六：圆中的垂直问题题型七：圆的存在性问题【典例例题】题型一：距离的创新定义例1.(2022全国高三专题练习)数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与x-a2+y-b2 相关的代数问题，可以转化为点 A(x，y)与点B(a，b)之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程x2+6x+10-x2-6x+10=4 的解是()A.3010B

2、.305C.2 305D.4 305例2.(2022安徽阜阳高三期末(理)闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为 A=a1,a2,an和 B=b1,b2,bn，这两组数据间的闵氏距离定义为 dAB(q)=nk=1ak-bkq1q，其中 q 表示阶数.现有下列四个命题：若 A=(1,2,3,4),B=(0,3,4,5)，则 dAB(1)=4；若 A=(a,a+1),B=(b-1,b)，其中 a,b R，则 dAB(1)=dAB(2)；若 A=(a,b),B=(c,d)，其中 a,b,c,d R，则 dAB(1)dAB(2)；若 A=a,a2,B=(b,b-1)，其

3、中 a,b R，则 dAB(2)的最小值为 3 28.其中所有真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4例3.(2022全国高三专题练习(文)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小 120 时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为 120.根据以上性质，已知 A(-2,0)，B(2,0)，C(0,4)，P 为 ABC 内一点，记 f P=PA+PB+PC，则 f P的最小值为()A.2 3B.4+2 3C.4+3D.2+3例4.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)在 直 角 坐 标 系 xOy 中，已 知

4、 点 A x1,y1，B x2,y2，记 d p A,B=x1-x2p+y1-y2p，其中 p 为正整数，称 dp A,B为点 A，B 间的 M 距离下列说法正确的是()A.若 d1 O,A=1，则点 A 的轨迹是正方形B.若 d1 A,B=d2 A,B，则 A 与 B 重合C.d1 A,B2d2 A,BD.d2 A,B d1 A,B例5.(2022北京牛栏山一中高三期中)如图，平面内两条直线 l1和 l2相交于点 O，构成的四个角中的锐角为 60.对于平面上任意一点 M，若 p，q 分别是 M 到直线 l1和 l2的距离，则称有序非负实数对 p,q是点 M 的“距离坐标”，给出下列四个命题：

5、1,0点有且仅有两个；2,3点有且仅有 4 个；若 p=2q，则点 M 的轨迹是两条过 O 点的直线；满足 p2+q2=1 的所有点 p,q位于一个圆周上.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4例6.(多选题)(2022河北廊坊高三阶段练习)闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义设两组数据分别为 A=a1,a2,an和 B=b1,b2,bn，这两组数据间的闵氏距离定义为 d AB q=nk=1ak-bkq1q，其中 q 表示阶数下列命题中为真命题的是()A.若 A=1,2,3,4，B=0,3,4,5，则 dAB 1=4B.若 A=a,a+1，B=b-1,b，其中 a，b

6、 R，则 dAB 1=dAB 2C.若 A=a,b，B=c,d，其中 a，b，c，d R，则 dAB 1 dAB 2D.若 A=a,a2，B=b,b-1，其中 a，b R，则 dAB 2的最小值为 3 28例7.(多选题)(2022全国高三专题练习)定义点 P x0,y0到直线 l:Ax+By+C=0 A2+B2 0的有向距离为 d=Ax0+By0+CA2+B2.已知点 P1，P2到直线 l 的有向距离分别是 d1，d2，给出以下命题，其中是假命题的是()A.若 d1-d2=0，则直线 P1P2与直线 l 平行B.若 d1+d2=0，则直线 P1P2与直线 l 平行C.若 d1+d2=0，则直

7、线 P1P2与直线 l 垂直D.若 d1d2 0)到点 P(a,a)的距离为 3 22，则实数 a 的值为 _例11.(2022上海模拟预测)记 =ax0+by0+ca2+b2到点 P x0,y0与直线 l：ax+by+c=0 的“有向距离”(1)分别求点 A-1,2与 B 2,3到直线 l：2x-y+1=0 的“有向距离”，由此说明直线 l 与两点 A、B 的位置关系(2)求证：到两条相交定直线 bx ay=0(a，b 不同时为零)的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线(3)利用上述(2)结论证明：曲线 4x2-3xy+3=0 为双曲线，并求其虚轴长题型二：切比雪夫距离例12.(

8、2022全国高三专题练习(文)在平面直角坐标系中，定义 d A,B=maxx1-x2,y1-y2为两点A x1,y1、B x2,y2的“切比雪夫距离”，又设点 P 及 l 上任意一点 Q，称 d P,Q的最小值为点 P 到直线 l 的“切比雪夫距离”，记作 d P,l，给出四个命题，正确的是 _.对任意三点 A、B、C，都有 d C,A+d C,B d A,B；到原点的“切比雪夫距离”等于 1 的点的轨迹是正方形；已知点 P 3,1和直线 l:2x-y-1=0，则 d P,l=43；定点 F1-c,0、F2 c,0，动点 P x,y满足 d P,F1-d P,F2=2a 2c 2a 0，则点

9、P 的轨迹与直线y=k(k 为常数)有且仅有 2 个公共点.例13.(2022全国高三专题练习(文)在平面直角坐标系中，定义 d(A,B)=max|x1-x2|,|y1-y2|为两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)的“切比雪夫距离”，又设点 P 及直线 l 上任一点 Q，称 d(P,Q)的最小值为点 P 到直线 l 的“切比雪夫距离”，记作 d(P,l).(1)求证：对任意三点 A、B、C，都有 d(A,C)+d(C,B)d(A,B)；(2)已知点 P(3,1)和直线 l:2x-y-1=0，求 d(P,l)；(3)定点 C(x0,y0)，动点 P(x,y)满足 d(C,P)=r(r 0)，

10、请求出点 P 所在的曲线所围成图形的面积.例14.(2022全国高三专题练习(文)在平面直角坐标系中，定义 d(A,B)=max|x1-x2|,|y1-y2|为两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)的“切比雪夫距离”，又设点 P 及 l 上任意一点 Q，称 d(P,Q)的最小值为点 P 到直线 l 的“切比雪夫距离”，记作 d(P,l)，给出下列三个命题：对任意三点 A、B、C，都有 d(C,A)+d(C,B)d(A,B)；已知点 P(3,1)和直线 l:2x-y-1=0，则 d(P,l)=43；定点 F1(-c,0)、F2(c,0)，动点 P(x,y)满足|d(P,F1)-d(P,F2)|

11、=2a(2c 2a 0)，则点 P 的轨迹与直线 y=k(k 为常数)有且仅有 2 个公共点；其中真命题的个数是A.0B.1C.2D.3例15.(2022全国高三专题练习(文)在平面直角坐标系中，定义 d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|为两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)的“切比雪夫距离”，又设点 P 及直线 l 上任意一点 Q，称 d(P,Q)的最小值为点 P 到直线 l 的“切比雪夫距离”，记作 d(P,l)，给出下列三个命题：对任意三点 A、B、C，都有 d(C,A)+d(C,B)d(A,B)；已知点 P(3,1)和直线 l:2x-y-1=0，则 d(P,l)=43；定义

12、 O(0,0)，动点 P(x,y)满足 d(P,O)=1，则动点 P 的轨迹围成平面图形的面积是 4；其中真命题的个数()A.0B.1C.2D.3例16.(2022全国高三专题练习(文)在平面直角坐标系中,定义 d A,B=maxx1-x2，y1-y2为两点A x1,y1、B x2,y2的“切比雪夫距离”，又设点 P 及 l 上任意一点 Q,称 d P,Q的最小值为点 P 到直线 l 的“切比雪夫距离”记作 d P,l，给出下列四个命题:对任意三点 A,B,C，都有 d C,A+d C,B d A,B；已知点 P(3,1)和直线 l:2x-y-1=0，则 d P，l=43；到原点的“切比雪夫距

13、离”等于 1 的点的轨迹是正方形；其中真命题的是()A.B.C.D.题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题例17.(多选题)(2022全国高三专题练习)“出租车几何”或“曼哈顿距离”(Manhattan Distance)是由十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语在平面直角坐标系 xOy 内，对于任意两点 A x1,y1、B x2,y2，定义它们之间的“欧几里得距离”AB=x1-x22+y1-y22，“曼哈顿距离”为 AB=x1-x2+y1-y2，则下列说法正确的是()A.若点 P 为线段 x+y=3 x,y 0上任意一点，则 OP为定值B.对于平面上任意

14、一点 P，若 OP=2，则动点 P 的轨迹长度为 4C.对于平面上任意三点 A、B、C，都有 AB AC+BCD.若 A、B 为椭圆 x2+4y2=4 上的两个动点，则 AB最大值为 2 3例18.(多选题)(2022山东省实验中学模拟预测)对于平面直角坐标系内的任意两点 P x1,y1，Q x2,y2，定义它们之间的一种“距离”为PQ=x1-x2+y1-y2已知不同三点 A，B，C 满足AC+BC=AB，则下列结论正确的是()A.A，B，C 三点可能共线B.A，B，C 三点可能构成锐角三角形C.A，B，C 三点可能构成直角三角形D.A，B，C 三点可能构成钝角三角形例19.(多选题)(202

15、2江苏金陵中学高三阶段练习)对于直角坐标平面内的任意两点 A x1,y1，B x2,y2，定义它们之间的一种“距离”：AB=x1-x2+y1-y2，则下列说法正确的是()A.若点 C 是线段 AB 的中点，则AB=2ACB.在 ABC 中，若 C=90，则AC2+CB2=AB2C.在 ABC 中，AC+CB ABD.在正方形 ABCD 中，有AB=BC例20.(多选题)(2022湖北十堰市教育科学研究院高三期末)“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语在平面直角坐标系中，点 P x1,y1，Q x2,y2的曼哈顿距离为 LPQ=x1-x2+y1-y2若

16、点 P-2,1，Q 是圆 M:x-12+y-12=1 上任意一点，则 LPQ的取值可能为()A.4B.3C.2D.1例21.(多选题)(2022江苏无锡高三期末)已知平面直角坐标系中两点 A(x1,y1)和 B(x2,y2)，用以下方式度量A,B 两点距离：d(A,B)=x1-x2+y1-y2，则下列说法正确的是()A.在平面直角坐标系中，A(-3,0)，N(2,0)，满足 d(A,N)=d(A,C)+d(N,C)的点 C 的横坐标范围为-3,2B.在平面直角坐标系中，任意取三点 A,B,C，d(A,B)d(A,C)+d(B,C)恒成立C.在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，则满足 d(O

17、,P)=1 的点 P(x,y)所形成的图形是圆D.在平面直角坐标系中，点 M 在 y2=4x 上，N(2,0)，则满足 d(M,N)=3 的点 M 共有 4 个例22.(多选题)(2022江苏苏州高三阶段练习)在平面直角坐标系中，已知点 A x1,y1 B x2,y2，定义 d(A,B)=x1-x2+y1-y2为两点 A，B 的“折线距离”，又设点 P 及直线 l 上任意一点 Q，称 d(P,Q)的最小值为点P 到直线 l 的“折线距离”，记作 d(P,l)，下列说法正确的是()A.对任意的两点 A，B，都有 d(A,B)|AB|B.对任意三点 A B C，都有 d(A,C)+d(B,C)d(

18、A,B)C.已知点 P(3,1)和直线 l:2x-y-1=0，则 d(P,l)=4 55D.已知点 O(0,0)，动点 P(x,y)满足 d(P,O)=1，则动点 P 的轨迹围成平面图形的面积是 2例23.(2022全国模拟预测(文)设点 P x1,y1是 C：x2+y2=1 上的动点，点 Q x2,y2是直线 l：2x+3y-6=0 上的动点，记 LPQ=x1-x2+y1-y2，则 LPQ的最小值是 _例24.(2022江苏南通一模(文)在平面直角坐标系中有两点 A x1,y1、B x2,y2，现定义由点 A 到点 B 的折线距离(A,B)=x2-x1+y2-y1，若已知点 B(1,0)，点

19、 M 为直线 x-2y+2=0 上的动点，则(B,M)取最小值时点 M 的坐标是 _例25.(2022重庆八中高三阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，定义 P x1,y1，Q x2,y2两点间的直角距离为d(P,Q)=x1-x2+y1-y2，将曲线 C:(x-1)2+y2=1(x 1)依次以原点 O 为中心逆时针旋转 90 三次，得到由四段圆弧构成的曲线 E.若点 P 为曲线 E 上任意一点，则 d(O,P)的取值范围为 _.例26.(2022全国高三专题练习(文)在平面直角坐标系中，定义 P x1,y1、Q x2,y2两点间的直角距离为d P,Q=x1-x2+y1-y2，如图，BC是圆 A:

20、x-12+y2=1 当 x 32 时的一段弧，D 是 BC与 x 轴的交点，将 BC依次以原点 O 为中心逆时针旋转 60五次，得到由六段圆弧构成的曲线则 d C,D=_若点 P 为曲线上任一点，则 d O,P的最大值为 _例27.(2022全国高三专题练习)在平面直角坐标系 xOy 中，定义 A(x1,y1)，B(x2,y2)两点的折线距离 d(A,B)=x1-x2+y1-y2.设点 P(m2,n2)，Q(m,n)，O(0,0)，C(2,0)，若 d(P,O)=1，则 d(Q,C)的取值范围 _.例28.(2022上海复旦附中模拟预测)在平面直角坐标系中，两点 P1 x1,y1,P2 x2,

21、y2间的“L-距离”定义为P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|.则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于F1F2的点的轨迹可以是()A.B.C.D.例29.(2022全国高三专题练习)“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是 19 世纪德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若A x1,y1，B x2,y2，则 A，B 两点的“曼哈顿距离”为 x2-x1+y2-y1，下列直角梯形中的虚线可以作为 A，B 两点的“曼哈顿距离”是()A.B.C.D.题型四：圆的包络线问题例30.(20

22、22 重庆月考)设直线系 M:xcos+(y-2)sin=1(0 2)，则下列命题中是真命题的个数是()存在一个直线与所有直线相交；M 中所有直线均经过一个定点；对于任意实数 n(n 3)，存在正 n 边形，其所有边均在 M 中的直线上；M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等A.0B.1C.2D.3例31.(2022 春 鹤岗校级期末)设直线系 M:xcos+(y-2)sin=1(0 2)，对于下列四个结论：(1)当直线垂直于 y 轴时，=0 或；(2)当 =6 时，直线倾斜角为 120；(3)M 中所有直线均经过一个定点；(4)存在定点 P 不在 M 中任意一条直线上其中正确的是()A.B

23、.C.D.例32.(2022 春 朝阳区校级期末)设直线系 M:xcos+(y-2)sin=1(0 0 0)相交，则 r 的取值范围是()A.0 r 1B.0 r 1例35.(多选题)设有一组圆 Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k N*)下列四个命题中真命题的是()A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原点例36.(多选题)(2022 思明区校级月考)已知圆 M:(x-1-cos)2+(y-2-sin)2=1，直线 l:kx-y-k+2=0，下面五个命题，其中正确的是()A.对任意实数 k 与

24、，直线 l 和圆 M 有公共点B.对任意实数 k 与，直线 l 与圆 M 都相离C.存在实数 k 与，直线 l 和圆 M 相离D.对任意实数 k，必存在实数，使得直线 l 与圆 M 相切E.对任意实数，必存在实数 k，使得直线 l 与圆 M 相切例37.(2022 启东市校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，对任意的实数 m，集合 A 中的点(x,y)都不在直线2mx+(1-m2)y-4m-2=0 上，则集合 A 所对应的平面图形面积的最大值为 题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题例38.(2022 赣州期末)如图，在等腰梯形 ABCD 中，CD=2AB=2EF=2a，E，

25、F 分别是底边 AB，CD 的中点，把四边形 BEFC 沿直线 EF 折起，使得平面 BEFC 平面 ADFE 若动点 P 平面 ADFE，设 PB，PC 与平面ADFE 所成的角分别为 1，2(1，2均不为 0)若 1=2，则动点 P 的轨迹围成的图形的面积为()A.14 a2B.49 a2C.14 a2D.49 a2例39.(2022 青羊区校级月考)阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 k(k 0,k 1)的点的轨迹是圆，后人将该圆称为波罗圆若平面内两定点 A、B 间的距离为 2，动点 P 满足|PA|PB|=2，当 P、A、B 不共

26、线时，三角形 PAB 面积的最大值是()A.2 2B.2C.2 23D.23例40.(2022 沙坪坝区校级期中)古希腊数学家波罗尼斯(约公元前 262-190 年)的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k(k 0 且 k 1)的点的轨迹是圆，后人将这个园称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，设 A(-3,0)，B(3,0)，动点 M 满足|MA|MB|=2，则动点 M 的轨迹围成的面积为()A.64B.16C.4D.2例41.(2022 七模拟)阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前 262190 年)的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成

27、果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数 k(k 0,k 1)的点的轨迹是圆，后人把这个圆称为阿波罗尼斯圆已知定点 A(-2,0)，B(2,0)，动点 C 满足|AC|=2|BC|，则动点 C 的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆 P，已知点 D 在圆 P 上(点 D 在第一象限)，AD 交圆 P 于点 E，连接 EB并延长交圆 P 于点 F，连接 DF，当 DFE=30 时，直线 AD 的斜率为()A.3913B.2613C.34D.134例42.(2022 余姚市校级模拟)如图，已知平面 ，=l，A、B 是直线 l 上的两点，C、D 是平面 内的两点，且 DA l，CB l

28、，AD=3，AB=6，CB=6，P 是平面 上的一动点，且直线 PD、PC 与平面 所成角相等，则二面角 P-BC-D 的余弦值的最小值是()A.15B.12C.32D.1例43.(2022 双流区校级一模)已知三棱锥 A-BCD 中，底面 BCD 为等边三角形，AB=AC=AD=3，BC=2 3，点 E 为 CD 的中点，点 F 为 BE 的中点若点 M、N 是空间中的两动点，且 MBMF=NBNF=2，MN=2，则 AM AN=()A.3B.4C.6D.8例44.(2022 春 宝山区校级期末)阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 k(

29、k 0,k 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知 P、Q 分别是圆 C:(x-4)2+y2=8，圆 D:x2+(y-4)2=1 上的动点，O 是坐标原点，则|PQ|+22|PO|的最小值是 2 5-1 例45.(2022 春 新华区校级期末)阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 k(k 0,k 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆若平面内两定点 A、B间的距离为 2，动点 P 满足|PA|PB|=2，则 PA2+PB2的最小值 36-24 2 例46.已知 O 是边长为 2 的正方形 ABCD 的内切圆，P 是 O

30、上任意一点，则 AP+2BP 的最小值为 5 例47.(2022 温州期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 M 与两定点 A、B 的距离之比为(0,1)，那么点 M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆下面，我们来研究与此相关的一个问题已知圆：x2+y2=1 和点 A-12,0，点 B(1,1)，M为圆 O 上动点，则 2|MA|+|MB|的最小值为 10 例48.(2022 春 锡山区校级期中)点 P 为圆 A:(x-4)2+y2=4

31、上一动点，Q 为圆 B:(x-6)2+(y-4)2=1 上一动点，O 为坐标原点，则|PO|+|PQ|+|PB|的最小值为 例49.(2022 成都模拟)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，已知底面 ABCD 为正方形，P 为 A1D1的中点，AD=2,AA1=3，点 Q 是正方形 ABCD 所在平面内的一个动点，且 QC=2QP，则线段 BQ 的长度的最大值为 例50.(2022 浙江二模)棱长为 36 的正四面体 A-BCD 的内切球球面上有一动点 M，则 MB+13 MC 的最小值为 例51.(2022 春 诸暨市月考)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=3 3，点

32、E，F 在线段 DB1上，且 DE=EF=FB1，点 M 是正方体表面上的一动点，点 P，Q 是空间两动点，若|PE|PF|=|QE|QF|=2 且|PQ|=4，则MP MQ的最小值为 题型六：圆中的垂直问题例52.(2022 蓟县一模)已知圆 T:(x-4)2+(y-3)2=25，过圆 T 内定点 P(2,1)作两条相互垂直的弦 AC 和BD，那么四边形 ABCD 面积最大值为()A.21B.21 3C.212D.42例53.(2022 湖北模拟)过圆 x2+y2=25 内一点 P(15，0)作倾斜角互补的直线 AC 和 BD，分别与圆交于 A、C 和 B、D，则四边形 ABCD 面积的最大

33、值为()A.40 3B.80 33C.40 2D.80 23例54.(2022 西湖区校级模拟)过坐标原点 O 在圆 x2+y2-4x-5=0 内作两条互相垂直的弦 AB，CD，则2|AB|+|CD|的最大值 例55.(2022 武汉模拟)过圆 T:x2+y2=4 外一点 P(2,1)作两条互相垂直的直线 AB 和 CD 分别交圆 T 于 A，B和 C，D 点，则四边形 ABCD 面积的最大值为 例56.过点 P(0,3)作两条相互垂直的直线分别交圆 x2+y2=16 于 A、C 和 B、D 两点，则四边形 ABCD 面积的最大值为 例57.过定点 M(1,2)作两条相互垂直的直线 l1、l2

34、，设原点到直线 l1、l2的距离分别为 d1、d2，则 d1+d2的最大值是 例58.(2022 春 永顺县校级期末)已知圆 C 过点 P(1,1)，且与圆 M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r 0)关于直线 x+y+2=0 对称(1)求圆 C 的方程；(2)直线 l 过点 Q(1,0.5)，截圆 C 所得的弦长为 2，求直线 l 的方程；(3)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A，B，且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线 OP 和 AB 是否平行？请说明理由题型七：圆的存在性问题例59.(2022安徽高二月考)已知圆 C:x-42+y-2 22

35、=6 和两点 A-a,0，B a,0a 0，若圆 C 上存在点 P，使得 APB=90，则实数 a 的取值范围是()A.6,2 6B.1,3C.0,2 6D.6,3 6例60.(2022福建省南安市侨光中学高二月考)已知圆 C：x2+y-52=4 和两点 A-a,0，B a,0a 0，若圆 C 上存在点 M，满足 MA MB，则实数 a 的取值范围是()A.3,5B.3,5C.3,7D.4,7例61.(2022四川阆中中学高二月考(理)已知圆 C：(x-3)2+(y-6)2=1 和两点 A(-t,0),B(t,0),(t 0)，若圆 C 上存在点 P，使得 APB=90，则 t 的最小值为()

36、A.1B.2C.3D.4例62.(2022江西上高二中高二月考(理)已知点 A(1，0)，B(1，6)，圆 C x2+y2-10 x-12y+m=0，若在圆C 上存在唯一的点 P 使 APB=90，则 m=()A.-3 或 3B.57C.-3 或 57D.3 或 57例63.(2022黑龙江哈尔滨三中高二月考)如果圆 C:x-a2+y-a2=8 上总存在两个点到原点的距离均为2，则实数 a 的取值范围是()A.-3,-1 1,3B.-3,-3C.-1,1D.-3,-1 1,3例64.(2022四川成都高二月考(文)已知圆 C:x-12+y-22=9 上存在四个点到直线 l:x-y+b=0 的距

37、离等于 2，则实数 b 范围是()A.(-,1-5 2)1+5 2,+B.1-5 2,1+5 2C.(-,1-2)1+2,+D.1-2,1+2例65.(2022四川省武胜烈面中学校高二月考(理)设点 M x0,1，若在圆 O:x 2+y 2=1 上存在点 N，使得OMN=45，则 x0的取值范围是()A.-22,22B.-,-1 1,+C.-2,2D.-1,1例66.(2022黑龙江哈尔滨三中高二月考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C:x-22+y2=9，E,F 是直线l:y=x+2 上的两点，若对线段 EF 上任意一点 P，圆 C 上均存在两点 A,B，使得 cosAPB 0，则线段

38、 EF长度的最大值为()A.2B.14C.2 10D.4例67.(2022重庆高二期中)已知 EF 是圆 C:x2+y2-2x-4y+3=0 的一条弦，且 CE CF，P 是 EF 的中点，当弦 EF 在圆 C 上运动时，直线 l:x-y-3=0 上存在两点 A,B，使得 APB 2 恒成立，则线段 AB 长度的最小值是()A.3 2+1B.4 2+2C.4 3+1D.4 3+2例68.(2022江西南昌大学附属中学高二月考)在平面直角坐标系中，已知点 A(-1,0),B(2,0)，圆 C:(x-2)2+(y-m)2=14(m 0)，在圆上存在点 P 满足|PA|=2|PB|，则实数 m 的取

39、值范围是A.22,62B.54,212C.0,212D.52,212例69.(2022全国高二课时练习)设点 M(3,4)在圆 x2+y2=r2(r 0)外，若圆 O 上存在点 N，使得 OMN=3，则实数 r 的取值范围是()A.52,+B.5 32,+C.5 32,5D.52,5例70.(2022江西余干县第三中学高一月考)已知点 P(3,a)，若圆 O:x2+y2=4 上存在点 A，使得线段 PA 的中点也在圆 O 上，则 a 的取值范围是()A.(-3 3,3 3)B.-3 3,3 3C.(-,-3 3)(3 3,+)D.(-,-3 3 3 3,+)例71.(多选题)(2022江苏苏州

40、中学高二)已知二次函数 y=x2-2x+m m 0交 x 轴于 A,B 两点(A,B 不重合)，交 y 轴于点 C圆 M 过 A,B,C 三点下列说法正确的是()A.圆心 M 在直线 x=1 上B.m 的取值范围是 0,1C.圆 M 半径的最小值为 1D.存在定点 N，使得圆 M 恒过点 N例72.(多选题)(2022江苏南京高二月考)若直线 x+y+m=0 上存在点 P，过点 P 可作圆 O：x2+y2=3 的两条切线 PA，PB，切点为 A，B，且 APB=120，则实数 m 的取值可以为()A.-2 2B.0C.2 2D.3例73.(多选题)(2022辽宁渤海大学附属高级中学高二月考)设

41、圆 O：x2+y2=r2 r N*，点 A 3,4，若圆 O上存在两点到 A 的距离为 2，则 r 的可能取值为()A.3B.4C.5D.6例74.(2022上海奉贤区致远高级中学高二月考)在矩形 ABCD 中，AB=1,BC=a a 0，PA 平面ABCD，且 PA=1若边 BC 上存在两个不同的点 Q1、Q2，使得 PQ1 DQ1,PQ2 DQ2，则 a 的取值范围是_例75.(2022江西九江一中高二月考(理)ABC 中 AB=AC=2，ABC 所在平面内存在点 P 使得 PB 2+PC 2=4，PA2=1，则 ABC 的面积最大值为 _例76.(2022江苏泰州中学高二月考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x+12+y2=2，点 A 2,0，若圆C 上存在点 M，满足 MA2+MO2 10，则点 M 的纵坐标的取值范围是 _.例77.(2022全国高二单元测试)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2+y2-4y+3=0，若直线 x-ty+2=0 上至多存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 相切，则实数 t 的取值范围为 _