第44讲 巧求圆锥曲线中的最值和范围问题（解析版）.pdf

1、1/48第 44 讲巧求圆锥曲线中的最值和范围问题【高考地位】最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会在选择题或填空题中进行考察，在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心.方法一圆锥曲线的定义转化法万能模板内容使用场景圆锥曲线中的最值和范围问题解题模板第一步根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等；第二步利用两点间线段最短，或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件，进而求出最值.例 1.已知点 F 是双曲线221412xy的左焦点，定点(1,4),AP 是双曲线右支上动点，则|PFPA的最小值为.【答案】9【解析】

2、设双曲线右焦点为 F，则|24|4|PFPFaPFPF 所以|4|4|9PFPAPFPAAF 【变式演练 1】抛物线24yx上一点 P 到直线1x 的距离与到点2,2Q的距离之差的最大值为（）A.3B.3C.5D.5下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君2/48方法二切线法万能模板内容使用场景当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线 ykxc的距离的最值时解题模板第一步设出与这条直线平行的圆锥曲线的切线 ykxb，第二步切线方程 ykxb与曲线方程联立，消元得到一个一元二次方程，且0，求出b 的值，即可求出切线方程；第三步两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点.例 2.求椭

3、圆2212xy上的点到直线2 3yx的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.【答案】椭圆上点2 33(,)33到直线2 3yx的距离min62d；椭圆上点 2 33(,)33到直线2 3yx的距离max3 62d3/48【解析】【变式演练 2】如图，设椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点为21,FF，上顶点为 A，点2,FB关于1F对称，且2AFAB（1）求椭圆C 的离心率；4/48（2）已知 P 是过2,FBA三点的圆上的点，若21FAF的面积为3，求点 P 到直线033:yxl距离的最大值【答案】（1）12；（2）4.方法三参数法万能模板内容使用场景圆锥曲线中的最值

4、和范围问题解题模板第一步根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；第二步将目标函数表示成关于参数的函数；第三步把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法.例 3.在平面直角坐标系中，(,)P x y 是椭圆2212xy 上动点，则 Sxy的最大值是_.【答案】2【解析】设 P 点坐标为3 cos(02)sinxy 则3 cossin2sin()3Sxy5/48当6 时，2maxS【变式演练 3】设22,26a bR ab，求2ab的最大值和最小值，并求取得最值时,a b 的值.方法四基本不等式法万能模板内容使用场景圆锥曲线中的最值和范围问题解题模板第一步将所求最值的量用变量

5、表示出来，第二步用基本不等式求这个表达式的最值，并且使用基本不等式求出最值.例 4.【江苏省南通市如皋中学 2020 届高三（创新班）下学期 6 月高考模拟】已知 P 是椭圆2214xy上一动点，2,1A，2,1B，则cosAPB的最大值为_.【答案】624【分析】画出椭圆图形，设 00,P xy，过 P 作 PHAB交 AB 于 H，由正切和角公式用00,xy 表示出 tanAPB，结合椭圆的方程化为0y 的表达式，利用换元法令01ty，将 tanAPB转化为关于t 的函数式，讨论0t 与0,2t 两种情况，结合基本不等式即可求得 tanAPB的最小值，再根据同角三角函数关系式即可求得 co

6、sAPB的最大值.【详解】6/48根据题意，画出椭圆的图形如下图所示：设 00,P xy，过 P 作 PHAB交 AB 于 H，则002tan1xAHAPHPHy，002tan1xBHBPHPHy，由正切和角公式可知tantanAPBAPHBPH tantan1tantanAPHBPHAPHBPH 0000022000000224 1112214111xxyyyxxyxyy而 00,P xy在2214xy上，所以220014xy，则220044xy，代入上式可得00222200004 14 1tan1414yyAPByxyy由椭圆性质可知，01,1y ，令01,0,2tyt，则22244tan

7、3844 1ttAPBtttt，0,2t，当0t 时，tan0APB，此时,cos1APBAPB ，当0,2t 时，由基本不等式可知44tan2344 3838APBtt，7/48当且仅当43tt，即2 33t 时取等号，此时 cosAPB的值最大，因而22sin23cossincos1APBAPBAPBAPB，化简可得223cos4APB，所以62cos4APB，综上所述，可知 cosAPB的最大值为624，故答案为：624.【变式演练 4】（2020山西大同高三月考（理）已知 P 为椭圆214xy 上任意一点，1F，2F 是椭圆的两个焦点.则2212PFPF的最小值为_.【答案】8【分析】

8、运用重要不等式，结合椭圆的定义可以直接求解即可.【详解】由222222121222121228222PFPFPFPFPFPFPFaaPF（当且仅当12PFPF时取等号）.故答案为：8【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了重要不等式的应用，考查了数学运算能力.【变式演练 5】已知点 A（0，-2），椭圆 E：22221(0)xyabab的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为 2 33，O 为坐标原点.()求 E 的方程；（）设过点 A 的直线l 与 E 相交于,P Q 两点，当 OPQ的面积最大时，求l 的方程.8/48当且仅当2t，72k 等号成立，且满足0，所以当 OPQ 的面

9、积最大时，l 的方程为：722yx或722yx.方法五函数法万能模板内容使用场景圆锥曲线中的最值和范围问题解题模板第一步把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；第二步通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.例 5.已知抛物线24yx的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于,A B 两点.（1）若3AFFB，求直线 AB 的斜率；9/48（2）设点 M 在线段 AB 上运动，原点O 关于点 M 的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值.【答案】（1）3 或3；（2）4【解析】试题分析：（1）首先根据条件设出直线 AB 的方程，然后联立抛物线的方程，利用韦达定理结合3AFFB求得

10、直线的斜率；（2）首先利用弦长公式求得四边形OACB 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求得其最小值试题解析：（1）依题意可设直线:1AB xmy，将直线 AB 与抛物线联立214xmyyx2440ymy，设11(,)A x y，22(,)B xy，由韦达定理得121244yymy y，1233AFFByy 213m，斜率为3 或3（2）2212121212122()4161642OACBAOBSSOF yyyyyyy ym，当0m 时，四边形OACB 的面积最小，最小值为 4考点：1、直线的斜率；2、直线与抛物线的位置关系；3、弦长公式【变式演练 6】【湖南省五市十校 2020-2021

11、学年高三上学期第二次大联考】已知椭圆2222:10 xyEabab的右焦点为 2,0F，顺次连接椭圆 E 的四个顶点恰好构成一个边长为6 的菱形.（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）设2 4,3 3M，O 为坐标原点，A、B 是椭圆 E 上两点，且 AB 的中点在线段 OM（不含端点O、M）上，求 AOB面积 S 的取值范围.【答案】（1）22142xy；（2）0,2.【分析】（1）根据题意可得出关于 a、b 的方程组，解出2a、2b 的值，由此可得出椭圆 E 的标准方程；（2）设点11,A x y、22,B xy，利用点差法可求得直线 AB 的斜率为14，设直线 AB 的方程为10/4814

12、yxm，与椭圆 E 的方程，由0 得出294m，列出韦达定理，计算出 AB 以及原点O 到直线 AB的距离，可得出 S 关于 m 的表达式，进而可求得 S 的取值范围.【详解】（1）依题意：2222226422abaabb，因此，椭圆 E 的标准方程为22142xy；（2）设11,A x y、22,B xy，则 AB 的中点1212,22xxyy在线段 OM 上，且2OMk，则12122yyxx，又22112222142142xyxy，两式相减得：12121212042xxxxyyyy，可得1212121212yyyyxxxx，易知：120 xx，120yy，121214yyxx，设直线 AB

13、 的方程为14yxm，联立2214142yxmxy 得229816320 xmxm.所以，222644 91632128 940mmm ，可得294m，由韦达定理可得1289mxx，21216329mx x，又12420,293xxm，所以302m，11/4822121212 349414169mABxxx x，原点O 到直线 AB 的距离为417md，2244112 34944 294229917mmSAB dmm224 298149816m，302m，则2999888m，所以，224 298140,29816Sm.【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：（1）韦达定理法：联立直线与曲

14、线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.【高考再现】1（2021全国高考真题）已知1F，2F 是椭圆C：22194xy的两个焦点，点 M 在C 上，则12MFMF的最大值为（）A13B12C9D6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MFMFa，借助基本不等式212122MFMFMFMF 即可得到答案【详解】由题，229,4ab，则1226MFMFa，12/48所以2121292MFMFMFMF（当且仅当123MFMF时，

15、等号成立）故选：C【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.2（2021全国高考真题）已知点 P 在圆225516xy上，点 4,0A、0,2B，则（）A点 P 到直线 AB 的距离小于10B点 P 到直线 AB 的距离大于 2C当PBA最小时，3 2PB D当PBA最大时，3 2PB【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线 AB 的距离，可得出点 P 到直线 AB 的距离的取值范围，可判断 AB 选项的正误；分析可知，当PBA最大或最小时，PB 与圆 M 相切，利用勾

16、股定理可判断 CD 选项的正误.【详解】圆225516xy的圆心为5,5M，半径为 4，直线 AB 的方程为142xy，即240 xy，圆心 M 到直线 AB 的距离为2252 541111 545512 ，所以，点 P 到直线 AB 的距离的最小值为11 5425，最大值为11 54105，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA最大或最小时，PB 与圆 M 相切，连接 MP、BM，可知 PMPB，13/4822052534BM，4MP，由勾股定理可得223 2BPBMMP，CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为 r 的圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离

17、为 d，则圆C 上一点 P 到直线l 的距离的取值范围是,dr dr.3（2021北京高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyEabab过点(0,2)A，以四个顶点围成的四边形面积为 4 5（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）过点 P(0，-3)的直线 l 斜率为 k，交椭圆 E 于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 交 y=-3 于点 M、N，直线AC 交 y=-3 于点 N，若|PM|+|PN|15，求 k 的取值范围【答案】（1）22154xy；（2）3,1)(1,3【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b，从而可求椭圆的标准方程.（2）设 1122,B

18、x yC xy，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得 PMPN，联立直线 BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简 PMPN，从而可求k 的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过 0,2A，故2b，因为四个顶点围成的四边形的面积为 4 5，故 1224 52ab，即5a，故椭圆的标准方程为：22154xy.（2）14/48设 1122,B x yC xy，因为直线 BC 的斜率存在，故120 x x，故直线112:2yAB yxx，令3y ，则112Mxxy，同理222Nxxy.直线:3BC ykx，由2234520ykxxy可得224530250kxkx

19、，故22900100 450kk，解得1k 或1k.又1212223025,4545kxxx xkk，故120 x x，所以0MNx x又1212=22MNxxPMPNxxyy2212121222212121222503024545=5253011114545kkkx xxxxxkkkkkkxkxk x xk xxkk故515k 即3k，综上，31k 或13k.4（2021浙江高考真题）如图，已知 F 是抛物线220ypx p的焦点，M 是抛物线的准线与 x 轴的交点，且2MF，（1）求抛物线的方程；（2）设过点 F 的直线交抛物线与 AB 两点，斜率为 2 的直线 l 与直线,MA MB A

20、B，x 轴依次交于点 P，Q，15/48R，N，且2RNPNQN，求直线 l 在 x 轴上截距的范围.【答案】（1）24yx；（2）,74 374 3,11,.【分析】（1）求出 p 的值后可求抛物线的方程.（2）设:1AB xty，1122,A x yB x y，,0N n，联立直线 AB 的方程和抛物线的方程后可得12124,4y yyyt，求出直线,MA MB 的方程，联立各直线方程可求出,PQRyyy，根据题设条件可得222134121ntnt，从而可求 n 的范围.【详解】（1）因为2MF，故2p，故抛物线的方程为：24yx.（2）设:1AB xty，1122,A x yB x y，

21、,0N n，所以直线:2yl xn，由题设可得1n 且12t.由214xtyyx可得2440yty，故12124,4y yyyt，因为2RNPNQN，故21111+1+1+444RPQyyy，故2RPQyyy.又11:11yMA yxx，由11112yyxxyxn 可得1112122Pnyyxy，同理2222122Qnyyxy，由12xtyyxn 可得2121Rnyt，所以2212211212121=212222nnynytxyxy，整理得到 2212221112112222y yntnxyxy，22221214 212222tyyyy16/482222222121212112214 2121

22、34+2+442ttty yyyyyy yy yyy故222134121ntnt，令21st，则12st且0s，故22222234242411331+444421tsssssst，故213141nnn 即214101nnn ，解得74 3n 或 74 31n 或1n.故直线l 在 x 轴上的截距的范围为74 3n 或 74 31n 或1n.【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.5（2021全国高考真题（理）已知抛物线2:20

23、C xpy p的焦点为 F，且 F 与圆22:(4)1Mxy上点的距离的最小值为 4（1）求 p；（2）若点 P 在 M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB面积的最大值【答案】（1）2p；（2）20 5.【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于 p 的等式，即可解出 p 的值；（2）设点 11,A x y、22,B xy、00,P xy，利用导数求出直线 PA、PB，进一步可求得直线 AB 的方程，将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，求出 AB 以及点 P 到直线 AB 的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得PAB面积的最大值.【详解】（1）抛

24、物线C 的焦点为0,2pF，42pFM，所以，F 与圆22:(4)1Mxy上点的距离的最小值为4 142p ，解得2p；（2）抛物线C 的方程为24xy，即24xy，对该函数求导得2xy，17/48设点 11,A x y、22,B xy、00,P xy，直线 PA 的方程为1112xyyxx，即112x xyy，即11220 x xyy，同理可知，直线 PB 的方程为22220 x xyy，由于点 P 为这两条直线的公共点，则1 0102020220220 x xyyx xyy，所以，点 A、B 的坐标满足方程00220 x xyy，所以，直线 AB 的方程为00220 x xyy，联立002

25、2204x xyyxy，可得200240 xx xy，由韦达定理可得1202xxx，1204x xy，所以，222222001212000001414164422xxABxxx xxyxxy，点 P 到直线 AB 的距离为2002044xydx，所以，23002222000002041114442224PABxySAB dxxyxyx，2222000000041441215621xyyyyyy ，由已知可得053y ，所以，当05y 时，PAB的面积取最大值3212020 52.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求

26、最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值6.【2020 年高考全国卷文数 9】设 O 为坐标原点，直线ax 与双曲线2222:10,0 xyCabab的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为（）A4B8C16D32【答案】B18/48【思路导引】2222:10,0 xyCabab，可得双曲线的渐近线方程是byxa，与直线 xa联立方程求得 D，E 两点坐标，即可求得|ED，根据 ODE的面积为8，可得 ab 值，根据2222cab，结合均值不等式，即可求得答

27、案【解析】2222:1(0,0)xyCabab，双曲线的渐近线方程是byxa，直线 xa与双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两条渐近线分别交于 D，E 两点，不妨设 D 为在第一象限，E 在第四象限，联立xabyxa，解得 xayb，故(,)D a b，联立xabyxa，解得 xayb，故(,)E ab，|2EDb，ODE面积为：1282ODESabab 双曲线2222:1(0,0)xyCabab，其焦距为22222 22 168cabab，当且仅当2 2ab取等号，C 的焦距的最小值：8，故选 B【专家解读】本题的特点是注重双曲线的基本应用，本题考查了双曲线的定义、标准方程及其几何

28、性质，考查数学运算、直观想象等学科素养解题关键是解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立7【2020 年高考江苏卷 14】在平面直角坐标系 xOy 中，已知3(,0)2P，AB、是圆C：221()362xy上的两个动点，满足 PAPB，则 PAB面积的最大值是_【答案】10 5【解析】如图，作 PC 所在直径 EF，交 AB 于点 D，则：PAPB，6CACBR，PCAB，EF 为垂径要使面积PABS最大，则 PD、位于C 两侧，并设CDx，计算可知1PC ，故1PDx，222 36ABBDx，故21(1)362PABAB PDxSx

29、，令6cosx，2(1)36(16cos)6sin6sin18sin2PABSxx，02q，19/48记函数()6sin18sin2f，则2()6cos36cos26(12coscos6)f，令2()6(12coscos6)0f，解得2cos3（3cos04 舍去）显然，当20cos3时，()0f，()f 单调递减；当 2cos13时，()0f，()f 单调递增；结 合 cos 在(0,)2递 减，故2cos3 时()f 最 大，此 时25sin1cos3，故max552()63610 5333f，即PAB面积的最大值是10 5（注：实际上可设BCD，利用直角 BCD可更快速计算得出该面积表达

30、式）8.【2020 年高考江苏卷 18】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆22:143xyE的左、右焦点分别为1F、2F，点A 在椭圆 E 上且在第一象限内，212AFF F，直线1AF 与椭圆 E 相交于另一点 B（1）求12AF F的周长；（2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点Q，求OP QP 的最小值；（3）设点 M 在椭圆 E 上，记 OAB与 MAB的面积分别为12,S S，若213SS，求点 M 的坐标20/48【答案】见解析【解析】（1）12AF F的周长226lac（2）由椭圆方程得3(1,)2A，设点(,0)P t，则直线 AP 方程为3

31、2()1yxtt，令24axc得361232 12(1)Qttytt，即123(4,)22tQt，123(4,)22tQPtt，224(2)44OP QPttt ，即OP QP 的最小值为 4（3）设 O 到直线 AB 的距离为1d，M 到直线 AB 的距离为2d，若213SS，则2111|322ABdABd，即213dd，由（1）可得直线 AB 方程为3(1)4yx，即3430 xy，135d，295d 由题意得，M 点应为与直线 AB 平行且距离为 95的直线与椭圆的交点，设平行于 AB 的直线l 为340 xym，与直线 AB 的距离为 95，|3|95916m，即6m 或12 当6m

32、时，直线l 为3460 xy，即3(2)4yx，联立223(2)4143yxxy可得(2)(72)0 xx，即20MNxy或27127MNxy，(2,0)M或212(,)77当12m 时，直线l 为34120 xy，即3(4)4yx，联立223(4)4143yxxy可得221182404 xx，9(3656)0，无解综上所述，M 点坐标为(2,0)或212(,)7721/48【专家解读】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养解题关键是椭圆定义的应用9【2020 年高考浙江卷 21】如图，

33、已知椭圆221:12xCy，抛物线22:2(0)Cypx p，点 A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆1C 于点 B，交抛物线2C 于 M（B，M 不同于 A）（）若116p，求抛物线2C 的焦点坐标；（）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值【答案】（）1(,0)32；（）1040【思路导引】（）将 p 代入方程求得抛物线方程即可得到焦点坐标；（）设 112200,:A x yB xyMmlxyxy，联立直线与椭圆方程得到根与系数的关系，进一步得到 M 的坐标，进一步得到关于,p m的方程，联立直线与抛物线方程得到2122222

34、mxpm，再联立抛物线与椭圆方程得到21242xpp，即可建立方程，再利用基本不等式求最值即可【解析】（）当116p时，2C 的方程为218yx，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（）设 112200,:A x yB xyMmlxyxy由22222222220 xyymymxym 1200022222,222mmmyyyxym由 M 在抛物线上，222222244222mpmmp22/4822222()220ypxypymyp ypmxym 12101021202222222yypxxymympmmxpm由2222142,22xyxpxypx 即2420 xpx22141682422p

35、pxpp 222222182422228162ppppmppp 24218pp，21160p，1040p，p 的最大值为1040，此时2 105(,)55A【专家解读】本题考查了椭圆标准方程及其几何性质，考查直线与椭圆、抛物线位置关系，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养解题关键是椭圆定义的应用【反馈练习】1【湖南省长郡中学、湖南师大附中、长沙市一中联合体 2020-2021 学年高三上学期 12 月联考】已知 A B分别为椭圆C：2214xy 的左右顶点，P 为椭圆C 上一动点，PA，PB 与直线3x 交于 M，N 两点，PMN与PAB的外接圆的周长分

36、别为1L，2L，则12LL 的最小值为（）A54B34C24D 14【答案】A【分析】容易知道14PAPBkk，设 PAl：2yk x，PBl：124yxk，求出 M，N 两点坐标，则154MNkk，设 PMN与PAB的外接圆的半径分别为 1r，2r，由正弦定理得：1sin2NPrMM N，22sinABrAPB，可知11122222LrrMNLrrAB，再利用基本不等式求值.23/48【详解】由已知得(2,0)A、(2,0)B，设椭圆C 上动点(,)P x y，则利用两点连线的斜率公式可知02PAykx，02PAykx，22222100142222444 PAPBxyyyykkxxxxxx设

37、直线 PA 方程为：2yk x，则直线 PB 方程为：124yxk，根据对称性设0k，令3x 得5Myk，14Nyk，即3,5Mk，13,4kN，则154MNkk设 PMN与PAB的外接圆的半径分别为 1r，2r，由正弦定理得：1sin2NPrMM N，22sinABrAPB，又180 QMPNAPB，sinsinMPNAPB111222112 5525442444kkLrrMNkkLrrAB，当且仅当154kk，即510k时，等号成立，即12LL 的最小值为54故选：A【点睛】结论点睛：本题考查椭圆的基本性质，解题的关键是要熟记椭圆的基本性质：若 A、B 分别为椭圆22221xyab 的左、

38、右顶点，P 为椭圆C 上一动点，则直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为定值，即22PAPBbkka，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于较难题.2【安徽省名校学术联盟 2020 届高三下学期押题卷】如图，已知1F，2F 分别是椭圆C：2216432xy的左、右焦点，过1F 的直线 1l 与过2F 的直线 2l 交于点 N，线段1F N 的中点为 M，线段1F N 的垂直平分线 MP 与2l 的交点 P（第一象限）在椭圆上，若O 为坐标原点，则2OMOF的取值范围为（）24/48A20,2B10,2C0,2D0,1【答案】D【分析】利用三角形的中位线、线段的中垂线、椭圆的定义对 OM 转

39、化，用 P 点的坐标表示，通过 P 点在第一想象的范围，求出范围.【详解】如图所示，点 P 在 y 轴右边，因为 PM为1F N 的垂直平分线，所以1F MMN由中位线定理可得212OMF N设点 00,P xy000,0 xy由两点间的距离公式，得222220100021xPFxcyxcba22200022c xcxaaexa，同理可得20PFaex，所以21202F NPFPFex，故0OMex，因为8a，4 2c，所以22e，故022OMx，所以0022284 2xOMxOF25/48因为00,8x，所以010,18 x 故2OMOF的取值范围为0,1 故选：D3【四川省泸县第四中学 2

40、020-2021 学年高三上学期开学考试】已知 3,0A，3,0B，P 为圆221xy上的动点，APPQ，过点 P 作与 AP 垂直的直线l 交直线QB 于点 M，若点 M 的横坐标为x，则 x 的取值范围是（）A1x B1x C2x D2x【答案】A【分析】由题意得2MBMABQOP，即可得点 M 的轨迹为以 A，B 为左、右焦点，1a 的双曲线，根据双曲线的性质即可得解.【详解】如图，连接 OP，AM，由题意得22MBMABQOP，点 M 的轨迹为以 A，B 为左、右焦点，1a 的双曲线，1x.故选：A.4（多选）【湖北省十一校考试联盟 2020-2021 学年高三上学期 12 月联考】已

41、知 F 是椭圆2212516xy 的右焦点，M 为左焦点，P 为椭圆上的动点，且椭圆上至少有 21 个不同的点1,2,3,iP i ，1FP，2FP，26/483FP，组成公差为 d 的等差数列，则（）A FPM的面积最大时，24tan7FPMB1FP 的最大值为 8C d 的值可以为 310D椭圆上存在点 P，使2FPM【答案】ABC【分析】由椭圆上点 P 与焦点 F、M 所成三角形中，以该点为顶点的角最大时是点在短轴顶点上，且此时 FPM的面积最大；由题意iP 可在长轴的两端即有1FP 的最大值为 8，8221 1d，综上即可判断各选项的正误.【详解】由椭圆2212516xy，当点 P 为

42、短轴顶点时，FPM最大，FPM的面积最大，此时24tan7FPM，此时角为锐角，故 A 正确、D 错误；椭圆上的动点 P，1acPFac，即有128PF，又椭圆上至少有 21 个不同的点1,2,3,iP i ，1FP，2FP，3FP，组成公差为 d 的等差数列，所以1FP 最大值 8，B 正确；设1FP，2FP，3FP，组成的等差数列为 na，公差0d，则12a，8na，又11naadn，所以663121 110dn，所以3010d，所以 d 的最大值是 310，故 C 正确.故选：ABC5（2021四川省资阳中学高三月考）已知1F，2F 是椭圆22:14xEy 的左右焦点，P 是 E 上在第

43、一象限内一点，1F 关于直线2PF 的对称点为 A，2F 关于直线1PF 的对称点为 B，则 AB 的最大值为（）A 4 2B5C 92D4【答案】D【分析】由题意知1PFPA，2PFPB，故ABPAPB，即可求解【详解】由题意知1PFPA，2PFPB，4ABPAPB，27/48当且仅当 A，P，B 三点共线时取“=”.故选：D6（2021长沙市湖南师大第二附属中学有限公司高三开学考试）P 为椭圆2211615xy 上任意一点，EF 为圆22:14Nxy的任意一条直径，则PE PF 的取值范围是A0,15B5,15C5,21D5,21【答案】C【详解】试题分析：PE PFPNNEPNNFPNN

44、EPNNE 2PN2NE24PN.因为 acPNac，即35PN，所以 PE PF 的范围是5,21.故选 C.考点：椭圆和定义及性质、圆的性质、向量运算.7（2021江苏盐城高三）设双曲线2222:1,0 xyCa bab的焦距为 2，若以点,P m nma为圆心的圆 P过C 的右顶点且与C 的两条渐近线相切，则OP 长的取值范围是（）A10,2B0,1C 1,12D 1 1,4 2【答案】B【分析】由题可判断 P 在 x 轴正半轴上，求出圆心,0P m到渐近线的距离和圆半径，可得 ambm，进而得出2211mb ，利用0,1b可求.【详解】由题可得渐近线方程为byxa，1c ，由于圆 P

45、与两条渐近线都相切，则 P 在 x 轴或 y 轴上，又圆 P 过C 的右顶点，则 P 在 x 轴正半轴上，即,00P mma，圆心,0P m到渐近线的距离为22bmbmab，又圆半径为 am，则由题可得 ambm，即1amb，又221ab，则2222211211111abbmbbbb ，0,1b，20,1m，0,1m，28/48则OP 长的取值范围是0,1.故选：B.【点睛】关键点睛：解题的关键是得出 P 在 x 轴正半轴上，根据圆心,0P m到渐近线的距离等于半径得出ambm.8（2021湖北汉阳一中高三）设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为 3 24，A，B 是双曲线 C

46、 上关于原点对称的两个点，M 是双曲线 C 上异于 A，B 的动点，直线,MA MB 斜率分别12,k k，若11,23k ，则2k 的取值范围为（）A 24,4B31,816C4,24D13,16 8【答案】D【分析】首先利用点差法求得1218k k，再根据11,23k 求得2k 的取值范围.【详解】设00(,)M xy11(,)A x y，则11(,)Bxy，那么2200221xyab，2211221xyab两式相减得：22220101220 xxyyab，整理得：222010101222010101()()()()yyyyyybxxxxxxa即2122bk ka，又因为双曲线2222:1

47、(0,0)xyCabab的离心率为 3 24，所以3 24cea，所以2218ba，故1218k k，其中11,23k ，所以21113,816 8kk故选：D.【点睛】本题主要考查点差法化简直线的斜率之间的关系，在求解过程需要掌握这种技巧.9（2021浙江高三）设双曲线222210,0 xyabab的右焦点为,0F c，右顶点为 A，过 F 作 AF 的垂线29/48与双曲线交于 B、C 两点，过 B、C 分别作 AC、AB 的垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于ac，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A1,00,1B,11,C 2,00,2D,22,【答案】A【分析】依次求

48、解各点坐标，设出点 D 坐标，并利用垂直关系得斜率之积为 1 的等量关系，解点 D 坐标，再由 D 到直线 BC 的距离小于 ac，建立不等式求解.【详解】设(c,0)F，直线:BC xc，代入双曲线方程解得2bya，不妨设22(,),(,)bbB cC caa，由双曲线对称性知，点 D 在 x 轴上，且位于点 F 左侧，设0(,0)D x，由 BDAC得，2201bbaacxca，即402|()bFDcxacaca，422222()ba caa b，则221ba ，即1ba ，双曲线渐近线的斜率范围为：(1,0)(0,1).故选：A.【点睛】与双曲线有关的范围问题解题思路：（1）若条件中存在

49、不等关系，则借助关系直接转化求解；（2）若条件中没有给出不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如双曲线上点的坐标的范围、方程有解情况、离心率范围、几何图形中的不等关系等等.10（2021河南高三开学考试（文）已知过3,04P的直线与抛物线230yx x交于 A，B 两点，M 为弦 AB 的中点，O为坐标原点，直线 OM 与抛物线的另一个交点为 N，则两点 N、M 纵坐标的比值范围是30/48（）A2,B3,C2,D3,【答案】A【分析】首先设出直线3:(0)4AB myxm，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得中点 M 的坐标，并求出直线 OM的方程，与抛物线联立，求得点 N 的纵坐标，即可求得N

50、Myy的范围.【详解】设直线3:(0)4AB myxm，代入23(0)yx x得29304ymy，12322Myyym，2333424MMxmym，2221MOMMymKxm，直线22:21mOMyxm，代入23(0)yx x得23 212Nmmy，2122NMyym.故选：A11(多选)（2021沙坪坝重庆八中高三月考）已知抛物线2:4E xy与圆22:116C xy的公共点为 A，B，点 P 为圆 C 的劣弧 AB 上不同于 A，B 的一个动点，过点 P 作垂直于 x 轴的直线 l 交抛物线 E 于点 N，则下列四个命题中正确的是（）A2 3AB B点 P 纵坐标的取值范围是3,5C点 N

51、 到圆心 C 距离的最小值为 1D若 l 不经过原点，则 CPNV周长的取值范围是8,10【答案】BCD【分析】根据题意画出图形，联立圆与抛物线的方程可得 A，B 的坐标，求得 AB 可判断 A；由 A，B 的纵坐标可判断 B；由抛物线的定义和图形可知点 N 到圆心 C 距离的最小值判断 C；利用转化思想可知5pPCPNNCy结合py 的范围可判断 D，进而可得正确选项.【详解】31/48圆22:116C xy的圆心为0,1C，半径4r，与 y 轴正半轴交于点0,5，抛物线2:4E xy的焦点0,1F与C 重合，准线为1y ，对于选项 A：联立2224116xyxy可得22150yy，解得2

52、33xy 或2 33xy ，即 2 3,3A，2 3,3B，所以4 3AB，故选项 A 不正确；对于选项 B：点 P 为圆C 的劣弧 AB 上不同于 A，B 的一个动点，所以点 P 纵坐标的取值范围是3,5，故选项 B 正确；对于选项 C：抛物线2:4E xy的焦点0,1F与圆心C 重合，抛物线上的点到焦点的距离最小值为12p ，所以点 N 到圆心 C 距离的最小值为 1，故选项 C 正确；对于选项 D：直线 l 不经过原点，3,5py 则 CPNV周长为158,10ppPCPNNCryy 的取值范围是8,10，故选项 D 正确；故选：BCD.12【四川省绵阳市绵阳南山中学 2020-2021

53、 学年高三上学期 11 月月考】已知1,0F为抛物线 P：220ypx p的焦点，过点 F 且斜率为 k 的直线l 与曲线 P 交于 B，C 两点，过O 与 BC 中点 M 的直线与曲线 P 交于 N 点，则OMCOBNSS的取值范围是_.【答案】10,2.【分析】32/48由焦点坐标得到抛物线的方程24yx，与直线l 的方程联立求得 M 的坐标，得到直线OM 的方程，与抛物线方程联立求得 N 的纵坐标，得到OMON 关于 k 的函数表达式，求得取值范围，即为所求面积比值的取值范围.【详解】因为1,0F为抛物线 P：220ypx p的焦点，1,22pp,抛物线2:4P yx,，过点 F 且斜率

54、为 k 的直线l:1yk x,，联立消去 y 并整理得2222220k xkxk,2222,12BCMMMxxkxyk xkk，222MMykxk,22:2kOMyxk,，与联立消去 x，2222 4kyyk,解得222Nkyk,2110,22MNOMyONyk,因为,OMCOBN分别以 OM,ON 为底边，高为 C,B 到直线 OM 的距离，由于 M 为 BC 的中点，所以高相等，OMCOBNSS=OMON,OMCOBNSS10,2,故答案为：10,2.33/48【点睛】本题考查直线与抛物线的相交所得三角形的面积比值问题，涉及抛物线的标准方程，直线与抛物线的交点坐标，中点坐标，属中档题，关键

55、是将两三角形的面积之比转化为底边长|OM|与|ON|的比值，利用直线方程与抛物线的方程联立，求得 M 的坐标，进而求得 N 的纵坐标关于 k 的函数表达式，得到OMON 关于 k 的函数表达式.13（2021宾县第一中学（文）以1F，2F 为焦点作椭圆，椭圆上一点 P 到1F，2F 的距离之和为10，求12|FPPF的最大值_【答案】25【分析】利用基本不等式求解，注意检查等号能否取到.【详解】由题知，12|10PFPF，由基本不等式得21212|252PFPFPFPF，又当12|5PFPF时，12|25PFPF，所以12|FPPF的最大值为 25.故答案为：25.14（2021河南高三月考（

56、理）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆221:14yCx ，双曲线222:124xyC，P，Q 分别为1C，2C 上的动点，且90POQ，则 PQ 的最小值为_【答案】4 33【分析】34/48当直线 OQ 与 x 轴重合时，求得6PQ；当直线OQ 不与 x 轴重合时，设为 ykx，得到直线OP 的方程为1 yxk，分别联立方程组，求得22,OQOP，结合基本不等式，即可求解.【详解】当直线OQ 与 x 轴重合时，2OQ，2OP，此时22|6PQOQOP；当直线OQ 不与 x 轴重合时，设为(|2)ykx k，则直线OP 的方程为1 yxk，联立方程组22,124ykxxy，可得222412k

57、OQk，联立方程组221,14yxkyx，可得2224141kOPk，则222231113|441kOPOQk，所以222222241116|.3|3PQOPOQOPOQOPOQ，当215k 时等号成立，又1663，所以 PQ 最小值为 4 3315（2021山东德州高三）已知1F，2F 是双曲线2214xy 的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，过2F 作12F PF平分线的垂线，垂足为 N，则点 N 到直线2 20 xy 的距离的取值范围是_【答案】1,3【分析】延长2F N 交1PF 于点 M，由角平分线性质可知，1|PFPN，即可列出等式，确定点 M 的轨迹，转化圆周上的点到直线的距离的

58、取值范围【详解】解：如图，延长2F N 交1PF 于点 M，连接 ON，因为 PN 为12F PF的平分线，且2F MPN，所以 N 为2F M的中点，PN 为2F M 的垂直平分线，所以2PFPM，在12F MF中，O、N 分别为12F F、2F M 的中点，所以11211121222ONMFPFPFa，设 N 点坐标为,N x y，所以221xy，圆心为0,0O，半径1r ，圆心O 到直线2 20 xy 的距离222 2211d，所以点 N 到直线2 20 xy 的距离的取值范围是1,3故答案为：1,335/4816【山西省 2021 届高三上学期八校联考】已知椭圆2222:10 xyCa

59、bab经过点13,2P，且两个焦点为13,0F，23,0F（1）求 C 的方程；（2）设圆222:D xyrbra，若直线 l 与椭圆 C，圆 D 都相切，切点分别为 A 和 B，求 AB 的最大值【答案】（1）2214xy；（2）1.【分析】（1）由题可得223ab，再代入点可得2231134bb，即可求出；（2）设:l ykxm，联立直线与椭圆，利用0 可得2214mk，由 l 与圆 D 相切可得2221mrk，进而可得2245ABrr，再利用基本不等式可求出.【详解】（1）由题意3c，所以223ab，C 的方程可化为2222103xybbb因为 C 经过点13,2，所以3231134bb

60、，解得21b 或234b （舍去）36/48所以24a，于是 C 的方程为2214xy（2）设:l ykxm，代入2214xy，得222418440kxkmxm由222222644 414416 410k mkmkm ，得2214mk，设00,A xy，则024441kmkxkm ，001ykxmm因为 l 与圆 D 相切，所以圆心 D 到 l 距离为21mrk，即2221mrk，由得22234rmr，22214rkr所以圆 D 的切线长22222220024145kABxyrrrmmr因为22224424rrrr，当2r 时取等号，因为21,2r，所以 AB 的最大值为 117【江西省名校

61、2021 届高三上学期第二次联考】已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为22，且过点141,2，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）圆2283xy的一条切线l 与椭圆C 相交于 A、B 两点，求：AOB的值；AB 的取值范围.【答案】（1）22184xy；（2）2AOB；46,2 33.【分析】（1）根据题意可得出关于 a、b、c 的方程组，解出2a、2b 的值，即可得出椭圆C 的方程；37/48（2）设 11,A x y、22,B xy，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率存在时，设切线的方程为 ykxm，由切线与圆相切得到223880mk，然后将直线l 的方程与

62、椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，计算OA OB 的值，在切线斜率不存在时，直接求出点 A、B 的坐标，计算OA OB 的值，综合可求得结果；对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l 的斜率存在时，可得出 AB 关于 k 的表达式，利用基本不等式以及不等式的基本性质可得出 AB 的取值范围，在直线l 的斜率不存在时，求出 AB，综合可得出AB 的取值范围.【详解】（1）因为椭圆2222:10 xyCabab的离心率为22，且过点141,2，则22222221712caababc，解得2284ab，故椭圆C 的方程为22184xy；（2）设 11,A x y、22,B xy，当切线斜率存在

63、时，可设该圆的切线方程为 ykxm，则2|831mk，即223880mk，联立22184ykxmxy，得2228xkxm，即222124280kxkmxm，则222222164 12288 840k mkmkm，即22840km，由韦达定理可得12221224122812kmxxkmx xk，2212121 212y ykxmkxmk x xkm xxm22222222222848121212kmk mmkmkkk，则2222212122222883880121212mmkmkOA OBx xy ykkk，所以2AOB；38/48而当切线的斜率不存在时，切线方程为2 63x ，切线与椭圆221

64、84xy的两个交点为2 6 2 6,33A、2 62 6,33B或2 6 2 6,33A、2 62 6,33B，满足0OA OB，此时2AOB.综上，2AOB；由知22222212121222228 84428441 21 21 2kmkmmxxxxx xkkk ，2222222121212228 84|1112kmABxxyykxxkk422424232 45132 134413441kkkkkkk，当0k 时，2232111344ABkk，因为222211442 448kkkk，所以221101844kk，所以223232111213344kk，所以 462 33AB，当且仅当22k 时，

65、等号成立；当0k 时，4 63AB.当直线l 的斜率不存在时，可得2 6 2 6,33A、2 62 6,33B或2 6 2 6,33A、2 62 6,33B，39/48所以此时4 63AB.综上，AB 的取值范围为 46,2 33.18【湖南师范大学附属中学 2020-2021 学年高三上学期月考（三）】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为1F，2F，离心率为22，过2F 的直线与椭圆 C 交于 P，Q两点，若1F PQ的周长为 8.（1）求椭圆 C 的方程；（2）动直线:(0)l ykxm m交椭圆C 于 A，B 两点，交 y 轴于点 M 点

66、 N 是 M 关于O 的对称点，Ne的半径为|NO 设 D 为 AB 的中点，DE，DF 与Ne分别相切于点 E，F，求EDF的最小值.【答案】（1）22142xy；（2）最小值为 3.【分析】（1）由题意得 48a，可得2a，然后结合离心率为22解出c，则可求出b，从而得到椭圆的标准方程；（2）设 11,A x y，22,B xy，先解出点 M 的坐标，通过对称得出点 N 坐标，得出半径 ON，然后联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理解出12xx，12yy，则可得出点设 D 的坐标，然后连接设 DN，NF，运用两点间的距离公式求出 DN，设NDF，则2EDF，那么运用|sin|ONNFNDN

67、D 可得出sin 关于 k 的表达式，运用函数知识分析最值，并求出取得最值时 的值，从而得出2EDF的值.【详解】解：（1）由椭圆的定义可知，1F PQ的周长为 4a，48a，2a，又离心率为22，2c，222422bac，因此椭圆方程为22142xy.（2）设 11,A x y，22,B xy，联立方程2224ykxmxy得222214240kxkmxm，由0，得2242mk(*)40/48且122421kmxxk，因此122221myyk，所以222,21 21kmmDkk，又(0,)Nm，所以222222|2121kmmNDmkk，整理得：22422241 3|21mkkNDk，因为|N

68、Fm，所以422222222431|831|2121kkNDkNFkk.令283tk，3t，故21214tk，所以222|1616111|(1)2NDtNFttt .令1ytt，所以211yt 当3t 时，0y，从而1ytt 在3,)上单调递增，因此1103tt，等号当且仅当3t 时成立，此时0k，所以22|1 34|NDNF，由(*)得22m且0m，故12NFND，设2EDF，则|1sin|2NFND，所以 的最小值为 6.从而EDF的最小值为 3，此时直线 l 的斜率为 0.综上所述：当0k，(2,0)(0,2)m 时，EDF取得最小值为 3.41/48【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合

69、问题，考查最值问题的求解，比较困难解答的关键在于：（1）将计算EDF的最值转化为计算NDF正弦值的最值，然后在 NDF中，要设法表示出 DF 及 NF的长度，利用222|sin|NFND 来求解；（2）422222222431|831|2121kkNDkNFkk 的最值求解可采用导数，或者通过配凑运用均值不等式来处理19【贵州省贵阳市第一中学 2021 届高考适应性月考卷（三）】已知椭圆椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线交椭圆于 M，N 两点，且MNF2 的周长为 8，椭圆的离心率为 12（1）求椭圆的方程（2）设点 A 为椭圆上任意一点，直线

70、 AF2(斜率存在)与椭圆 C 交于另一点 B.是否存在点 P(0，m)，使1PAPB?若存在，求出 m 的取值范围：若不存在，请说明理由【答案】（1）22143xy；（2）存在，331212m，.【分析】（1）列出关于,a b c 的方程组，解得,a b c 可得椭圆方程；（2）设 AB 的方程为(1)yk x，0k 时，0m，0k 时，设11()A xy，22()B xy，线段 AB 的中点00()D xy，直线方程与椭圆方程联立，消元后用韦达定理求得中点 D 的坐标，利用 PDAB建立 m 关于k 的函数，然后由基本不等式求得 k 的范围，注意分类讨论【详解】42/48（1）由题意：22

71、21248caaabc，2a，1c ，23b ，椭圆C 的方程为22143xy（2）设 AB 的方程为(1)yk x，当0k 时，联立22(1)143yk xxy，得2222(34)84120kxk xk，设11()A xy，22()B xy，线段 AB 的中点00()D xy，212024234xxkxk，120023(1)234yykyk xk，即222433434kkDkk，|PAPB，PDAB，1PDABkk，即2223431443kmkkkk，213434kmkkk，当0k 时，344 3kk，3012m，；当0k 时，344 3kk，3012m，；当0k 时，0m，符合题意，综上，

72、331212m，【点睛】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的范围问题解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程为(1)yk x，设交点坐标为设11()A xy，22()B xy，线段 AB 的中点00()D xy，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理得12xx，从而求得中点 D 坐标，利用垂直得出参数,m k 的关系，再求范围即可20【2020 届山西省太原市高三下学期模拟测试（三）】已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为 2，43/48且过点31,2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知BMN是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为BMN的重心，求点O 到直线 MN

73、 距离的最小值.【答案】（1）22143xy；（2）32.【分析】（1）由题意结合椭圆性质可得221ab，再结合点在椭圆上即可得解；（2）设(,)B m n，记线段 MN 中点为 D，由重心的性质可得点,22mnD，按照0n、0n 分类，结合点差法、点到直线的距离可得239dn，即可得解.【详解】（1）因为椭圆C 的焦距为 2，所以2221cab，因为椭圆C 过点31,2，所以221914ab.解得224,3ab，故椭圆C 的方程为22143xy；（2）设(,)B m n，记线段 MN 中点为 D，因为O 为BMN的重心，所以2BOODuuuruuur，则点 D 的坐标为,22mn，若0n，则

74、|2m，此时直线 MN 与 x 轴垂直，故原点O 到直线 MN 的距离为 2m，即为 1；若0n，此时直线 MN 的斜率存在，设1122,M x yN xy，则1212,xxm yyn ，又22112222143143xyxy，两式相减得 12121212043xxxxyyyy，可得121234MNyymkxxn.44/48故直线 MN 的方程为3242nmmyxn 即2268340mxnymn，则点O 到直线 MN 的距离为2222343664mndmn，将22143mn 代入得239dn，因为203n，所以min32d；又312 ，故原点O 到直线 MN 距离的最小值为32.21（2021

75、河西天津市新华中学高三月考）已知 A、B 分别是椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点，且|4AB，点S 是椭圆C 上位于 x 轴上方的动点，点 S 与点 S 关于 x 轴对称，且线段 SS 的长度最大为 2，直线 AS，BS与 y 轴分别交于 M，N 两点（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求线段 MN 的长度的最小值【答案】（1）2214xy；（2）2【分析】（1）分别根据|24ABa，max22SSb，解得2a，1b ，进一步即可求得椭圆方程；（2）根据题意，分别求出点 M、点 N 的坐标，再运用基本不等式求解即可.【详解】（1）由题可知：|24ABa，max22SSb，所以2a

76、，1b ，所以椭圆C 的方程为：2214xy；（2）设直线 AS 的方程为(2)(0)yk xk，从而可知 M 点的坐标为(0,2)k，联立方程22(2)14yk xxy，解得点 S 的坐标为222284,1414kkkk，所以222284,1414kkSkk，所以可得 BS的方程为：1(2)4yxk，从而可知 N 点的坐标为10,2k，所以1|222MNkk，当且仅当12k 时取等号，45/48故当12k 时，线段 MN 的长度的最小值为 222（2021武冈市第二中学高三）已知椭圆221169xy，A 是椭圆的右顶点，B 是椭圆的上顶点，直线:0l ykxb k与椭圆交于 M、N 两点，且

77、 M 点位于第一象限（1）若0b，证明：直线 AM 和 AN 的斜率之积为定值；（2）若34k，求四边形 AMBN 的面积的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）12 2【分析】（1）设11(,)M x y，则11(,)Nxy，利用两点的斜率公式以及点在椭圆上可得定值；（2）联立直线与椭圆方程，求出 A 到l 的距离和 B 到l 的距离，利用根与系数的关系可得面积的最大值【详解】（1）证明：设11(,)M x y，则11(,)Nxy，(4,0)A，(0,3)B，114AMykx ，114ANykx，11(,)M x y 在椭圆上，22119(16)16yx2211221116991616161

78、6AMANyxkkxx 为定值（2）设3:4l yxb，依题意：0k，M 点在第一象限，33b 联立：22341169yxbxy得：229128720 xbxb，1243bxx，212889xxb，设 A 到l 的距离为1d，B 到l 的距离为2d，1|124|44|3|(3)555bdbb，2|124|44|3|(3)555bdbb，12245dd又2212121295516|1|()4325 216449MNxxxxx xb（当0b 时取等号），121124|()5 212 2225AMBNSMNdd46/48四边形 AMBN 的面积的最大值为12 223（2021陕西西安中学高三月考（理

79、）已知抛物线2:0yax a的焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 4的直线交抛物线 于 M，N 两点，满足8MN.（1）求抛物线 的方程；（2）过点,0D m且斜率为 1 的直线被抛物线 截得的弦为 AB，若点 F 在以 AB 为直径的圆内，求 m 的取值范围.【答案】（1）24yx，（2）32 3,32 3【分析】（1）根据题意可得抛物线 焦点为(4aF，0)，写出过点 F 的倾斜角为 4 的直线方程，设1(M x，1)y，2(N x，2)y，并联立抛物线的方程，结合韦达定理得1232axx，由抛物线的定义可得12|282aMNxxa，解得 a，即可得出答案（2）设直线 AB 的方程为 yx

80、m，联立抛物线的方程，由0，得1m ，设3(A x，3)y，4(B x，4)y，结合韦达定理可得34yy，34y y，写出 FA，FB 坐标，由点 F 在以 AB 为直径的圆内，得0FA FB，由数量积公式计算，即可得出答案【详解】解：（1）抛物线2(:0)yax a 的焦点为(4aF，0)，则过点 F 的倾斜角为 4 的直线方程为4ayx，联立2yax，得2230216aaxx，设1(M x，1)y，2(N x，2)y，则1232axx，由抛物线的定义可得12|282aMNxxa，解得4a，所以抛物线 的方程为24yx（2）设直线 AB 的方程为 yxm，代入24yx，得2440yym，由1

81、6160m，得1m ，设3(A x，3)y，4(B x，4)y，得344yy，344y ym，47/48又(1,0)F，所以3(1FAx，3)y，4(1FBx，4)y，因为点 F 在以 AB 为直径的圆内，所以AFB为钝角，即0FA FB，得3434(1)(1)0 xxy y，得3434()140 x xxxm，所以223434()2 14016y yyymm ，得2630mm ，解得32 332 3m，又1m ，所以 m 的取值范围为32 3,32 324（2021广东深圳高三月考）已知抛物线2:4C yx，点 F 是C 的焦点，O 为坐标原点，过点 F 的直线l与C 相交于,A B 两点.

82、（1）求向量OA 与OB 的数量积；（2）设 FBAF，若9,16，求l 在 y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）3；（2）388 341515 4，.【分析】（1）设 A，B 坐标为 2112,xyyx，再设直线l 方程1xmy，联立抛物线的方程，结合韦达定理与向量的数量积坐标公式计算即可；（2）由（1），利用韦达定理表达出 和 m 的关系以及l 在 y 轴上截距关于 m 的表达式，再根据9,16 得出 m 的取值范围，进而求得截距范围即可【详解】（1）设 A，B 坐标为 2112,xyyx，由题知直线倾斜角不可能为 0，设直线l 方程为：1xmy.联立214xmyyx得2440ymy，216160m，由韦达定理得121244yymy y.221212121216431616y yOA OBx xy yy y .向量,OA OB 的数量积为 3.（2）由（1）知121244yymy y，FBAF21yy 代入121244yymy y 得 22222112211114116.444ymymmyy .221142.m 12f 在916，为增函数48/482264 22516 2251544 154,.9169648338mmm l 在 y 轴上截距1m的取值范围为3883.41515 4，