2023年中考数学综合压轴题突破——待定系数法求二次函数解析式.docx

1、2023年中考数学综合压轴题突破待定系数法求二次函数解析式一、综合题1已知抛物线经过、两点（1）求抛物线的表达式（用一般式表示）和顶点坐标；（2）当-1x，求y的取值范围.2已知二次函数的图象与x轴交于A(2，0)、B(4，0)两点，且函数经过点(3，10).（1）求二次函数的解析式；（2）设这个二次函数的顶点为P，求ABP的面积；（3）当x为何值时，y0.(请直接写出结果)3已知二次函数的图象经过点.（1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标.4已知抛物线 （1）该抛物线的对称轴为直线 ；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；（3）设点 ， ，在该抛物线上，

2、若 ，求n的取值范围 5如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点O，且经过点 ，一次函数的图象经过点A和点 （1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E， ，求点D的坐标； （3）当点D在直线AC上的一个动点时，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由6某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标

3、系（1）求这条抛物线的解析式；（2）求运动员落水点与点C的距离7如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 ， ， ，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N. （1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与 相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程.（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰

4、？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.8在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ，交 轴于点 ， （1）如图 ，求抛物线的解析式； （2）如图 ，点 在抛物线上，且点 在第二象限，连接 交 轴于点 ，若 ，求点 的坐标； （3）如图 ，在 的条件下，点 在抛物线上，且点 在第三象限，点 在 上， ，过点 作 轴的垂线，点 为垂足，连接 并延长交 于点 ，若 ，求 的长 9抛物线yax2+4x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其顶点为M，且经过点B、C的直线解析式为yx+5（1）求抛物线的解析式（2）点D为抛物线对称轴上一点，点E为抛物线上

5、一点，且以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标（3）直线ykx2k+4（k0）与抛物线交于点P、Q，若MPQ的面积等于15，求k的值10如图，抛物线 过点A（6，0）.点B是抛物线的顶点，点D是x轴上方抛物线上的一点，连接OB，OD. （1）求抛物线的解析式.（2）如图1，当BOD30时，求点D的做坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合）连接EF.将BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B，EFB与OBE的重叠部分为EFG，在第一象限内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩

6、形？若存在，请求出点H的坐标，若不存在，请说明理由.11在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点.（1）求二次函数解析式；（2）连接，试判断的形状，并说明理由；（3）点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标；（4）在线段上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.12如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴的交点（1）求抛物线的解析式；（2）点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为S，求S关于的函数表达式指出自变量的取值范围和S的最大值；（3）点在抛物线上运动，点在轴上运动，

7、是否存在点、点使得CMN90，且与相似，如果存在，请求出点和点的坐标13综合与探究如图，已知抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，顶点为D.（1）求抛物线的解析式及点D坐标；（2）在直线l上是否存在一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在x轴上取一动点 ， ，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线， ， 于点E，F，G. 判断线段 与 的数量关系，并说明理由连接 ， ， ，当m为何值时，四边形 的面积最大？最大值为多少？14如图，已知抛物线与x轴交于点A，B；与y轴交于点C，且OCOB2OA，对称轴为直线x1（1

8、）求抛物线的解析式（2）若点M，N分别是线段AC，BC上的点，且MNAB，当MN2时，求点M，N的坐标（3）D是抛物线的顶点，在抛物线上是否存在不与点D重合的点E，使得BCE与BCD的面积相等？若存在，请求点E的坐标；若不存在，请说明理由15已知二次函数yax2+bx的图象过点A（1，3）和点B（4，0），顶点为M.（1）求这个二次函数解析式；（2）求ABM的面积；（3）若m，n均为常数，设Q（m，n）是抛物线对称轴上的定点，P为抛物线上的动点，当PQ的最小值为1时，求点Q的坐标.16在平面直角坐标系中，抛物线解析式为 ，直线l：y=x1与x轴交于点A，与y轴交于点B. （1）如图1，当抛物线

9、经过点A且与x轴的两个交点都在y轴右侧时，求抛物线的解析式.（2）在（1）的条件下，若点P为直线l上方的抛物线上一点，过点P作PQl于Q，求PQ的最大值.（3）如图2，点C（2，0），若抛物线与线段AC只有一个公共点，求m的取值范围.17如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，抛物线的对称轴是直线 ，且经过 、 两点的直线 . （1）求抛物线 的函数表达式；（2）若将抛物线 沿 轴翻折，得到新抛物线 ，抛物线 上是否存在一点 使得 ，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.18如图1，已知直线y x1与x轴交于点B，与

10、y轴交于点A，将直线AB向下平移，分别与x轴、y轴交于D、C两点，且OCOA，以点B为顶点的抛物线经过点A，点M是线段AB（不含端点）上的一个动点 （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，M1，M2分别是点M关于直线CA，CB的对称点，连接CM1，CM2，M1M2，求证：CM1M2CDB； （3）如图2，作MEOB分别交抛物线和直线CD于P，E两点点Q是DE上一动点，当线段PE长最小且EPQCDO时，求点Q的坐标 答案解析部分1【答案】（1）解：将点A（-1，0）及B（3，0）分别代入y=x2-bx+c， 得 解得抛物线表达式为yx22x3，顶点坐标为（1，4）.（2）解：a=10，抛物

11、线开口向上，对称轴为直线x1， 当x1时，y随x的增大而减小，当x1时，y随x的增大而增大，当-1x1时，当x-1时，y有最大值为0，当x1时，y有最小值为4，当1x4时，当x4时，y有最大值为5，当x1时，y有最小值为4，当-1x4时，4y5.2【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+2）（x4）， 把（3，10）代入得5（1）a=10，解得a=2，所以抛物线解析式为y=2（x+2）（x4），即y=2x2+4x+16；（2）解：y=2x2+4x+16=2（x1）2+18， 顶点P的坐标为（1，18），ABP的面积= （4+2）18=54（3）解：x2或x4. 3【答案】（1）解：二次函

12、数的图象经过点，.解得：.二次函数的表达式为：；（2）解：令，则，解得，二次函数的图象与x轴的交点坐标为，.4【答案】（1）-1（2）解：抛物线顶点在x轴上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 将顶点坐标代入二次函数解析式得： 整理得： ，解得： 或 抛物线解析式为 或 （3）解：抛物线的对称轴为直线 ， 关于直线 的对称点为 根据二次函数的性质分类讨论（i）当 时，抛物线开口向上，若 ，即点M在点N或 的上方，则 或 ；（ii）当 时，抛物线开口向下，若 ，即点M在点N或 的上方，则 5【答案】（1）解：设二次函数的解析式为 ，把 代入得 ， 二次函数的解析式为 ；设一次函数的解析式为 ，把 ， 分

13、别代入得， ， ，解得 ， ， 一次函数的解析式为 ；（2）解： 轴， ， ， ，即 ，设D点的坐标为 ，那么点E的坐标为 ， ， ，又 由直线 与y轴交于点C， 点C的坐标为 ， ， ，解得 （不合题意，舍去）， ， 点D的坐标为 ；（3）解：以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形理由如下： 若 ，以点O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，当点D在点E上方， ，得 ， （舍去）， ， 当点D在E下方， ，得 当 ， ；当 ， 所以当D点坐标为： 或 或 6【答案】（1）解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A坐标为（2，3），设抛物线的解

14、析式为ya（x3）24，将点A坐标（2，3）代入得：3a（23）24，解得：a1，这条抛物线的解析式为y（x3）24；（2）解：y（x3）24， 令y0得：0（x3）24，解得：x11，x25，起跳点A坐标为（2，3），x11，不符合题意，x5，运动员落水点与点C的距离为5米7【答案】（1）解： ， ， ， ，设二次函数的解析式为 ，代入点C的坐标可得： ，解得： ，二次函数的解析式为 ，即为 （2）解：存在以点P、C、M为顶点的三角形与MNB相似，理由如下： 由（1）可得抛物线的解析式为 ，则有对称轴为直线 ，设直线BC的解析式为 ，代入点B、C坐标可得： ，解得： ，直线BC的解析式为 ，

15、点 ， ，由两点距离公式可得 ，若使以点P、C、M为顶点的三角形与MNB相似，则有 ，当 时，则有 轴，如图所示：点 ，当 时，如图所示： ， ，点 （3）解：由题意得：动点G从点D出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C.根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知要使点G走过的路程最短则有作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，如图所示： OC=8，点D为CO的中点，OD=4， ，抛物线的对称轴为直线 ， ，设直线HI的解析式为 ，则把点

16、H、I坐标代入得： ，解得： ，直线HI的解析式为 ，当y=0时，则有 ，解得： ，当x=1时，则有 ，点 ，点G走过的最短路程为 （4）解：存在以点Q为直角顶点的等腰 ，理由如下： 设点 ，则有：当点Q在第二象限时，存在等腰 时，如图所示：过点Q作QLx轴于点L，过点C作CKQL，交其延长线于点K，如图所示， ，四边形COLK是矩形，CK=OL，等腰 ， ， ， ， ， ， ，点 ， ，解得： （不符合题意，舍去）， ；当点Q在第一象限时，存在等腰 时，如图所示：同理可得 ，解得： （不符合题意，舍去）， ；综上所述：当以点Q为直角顶点的等腰 时，点 或 8【答案】（1）解： 二次函数 ，当

17、 时 ， ， ， ， ， ， ， ，将 ， 代入 ，得： ，解得： ， 抛物线的解析式为 （2）解：如图，过点 作 轴的垂线，点 为垂足 设点 的横坐标为 ，则点 的纵坐标为 ， 点 在第二象限， ， ， ， ，在 中， ， ， ，即 ，解得： （舍去）， ， 点 的纵坐标为： ， 点 的坐标为 （3）解：如图，连接 在 与 中 ， ， ，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ， ， ， 四边形 为矩形， ， 四边形 为正方形，取 的中点 ，连接 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 在 中， ， ， ， ， ，在 与 中 ， ， ， ， ， ， ， ， ，在 中， ， ，由勾股定理得： ， ， ，在

18、中， ， ， 在 中， ， ，在 中，由勾股定理得： ， ， ， 四边形 为正方形， 设 ，则 ， ， ， ， ， ，在 中， ，在 中， ， ， ，解得： （舍去）， ， ，过点 作 轴的垂线，点 为垂足，设点 的横坐标为 ，则点 的纵坐标为 ， 点 在第三象限， ，在 中， ， ， ， ， ，解得： （舍去）， ， ， ，在 中，由勾股定理得： ， 9【答案】（1）解：经过点B、C的直线解析式为y=-x+5， 令x=0，则y=5，令y=0，则0=-x5，x=5，B(5，0)，C(0，5)，代入抛物线y=ax24x+c得，解得抛物线的解析式y=-x2+4x+5；（2）如图，若BC为平行四边形

19、的一边，则DEBC，且DE=BC， y=-x24x5=-(x-2)2+9，抛物线的对称轴为直线x=2，点D的横坐标为2，B(5，0)，C(0，5) ，点E的横坐标为-3或7，点E的横坐标为（-3，-16)或（7，-16)；如图，若BC为平行四边形的一条对角线，则BECD，设BC、DE交于点F，则点F的横坐标为点D的横坐标为2，点E的横坐标为3，E(3，8)，综上，点E的横坐标为（-3，-16）或（7，-16）或(3， 8)；（3）解：如图， 直线y=kx-2k+4（k0)，抛物线的对称轴为直线x=2，直线y=kx-2k+4（k0)与抛物线的对称轴交点N的坐标为（2，4），抛物线的顶点M的坐标为

20、（2，9），设点P、Q的横坐标为m、n(mn) ，则m、n为方程kx-2k+4=-x2+4x+5的两根，化简方程kx-2k+4=-x2+4x+5得x2+(k-4)x-2k-1=0，m+n=4-k，mn=-2k-1，MPQ的面积等于15，5(9-4)(m-n)=15，m-n=6，(m-n)2=36，.(m+n)2-4mn=36，即(4-k)2-4(-2k-1)=36，k=4，k0，k=410【答案】（1）解：把点A 代入 中， 得到 ，解得 ，抛物线的解析式为 .（2）解：如图1中，设抛物线的对称轴交x轴于M. ，顶点 ，M（3，0） ， ， ， 60， 30， 30， ， ，设直线 的解析式为

21、 ， ，解得 直线 的解析式为 ，由 ，解得 或 ， .（3）解：如图2中，当 90时， 此时G，O重合，可得 ， ，四边形AFEH是矩形，利用平移的性质可得 .如图2中，当 90时， 由题意得点G是OB的中点， ， ， ， ，利用平移的性质可得 .如图2中当 90时，点H在对称轴左侧， 由题意 ， ， 30，EF=2， ，点G为OE的中点， ， ，利用平移的性质可得 .综上所述，满足条件的点H的坐标为 或 或 .11【答案】（1）解：设， ，(3)2+(3)b+c=0a+b+c=0c=3，二次函数解析式为：（2）解：为直角三角形，理由： 由（1）可知，过点作轴于，在中，在中，且，为直角三角形

22、.（3）解：设直线解析式为：， ，.过点作轴的垂线交于，设，则.点在第三象限，.当时，此时.（4）解：，.12【答案】（1）解：将，代入，得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：过点P作轴，交于点，如图所示设直线的解析式为，将、代入，得，解得，直线的解析式为点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，点的坐标为，则点的坐标为，当时，面积取最大值，最大值为点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，综上所述，S关于的函数表达式为，S的最大值是；（3）解：存在点、点使得CMN90，且与相似如图，CMN90，当点位于点上方，过点作轴于点，CDMCMN90，DCMNCM，MCDNCM，若与相似，则与相似

23、，设，当时， ，解得，此时，当时， ，解得，M（，），此时N（0，）如图，当点位于点的下方，过点作轴于点，设，同理可得：或，CMN与OBC相似，解得或，M（，）或M（3，0），此时N点坐标为，N（0，）或N（0，）综合以上得，M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，），使得CMN90，且CMN与OBC相似13【答案】（1）解：由抛物线 与x轴交于 ， 两点得 ， 解得 ，故抛物线解析式为 ，由 得点D坐标为 ；（2）解：在直线l上存在一点M，到点B的距离与到点C的距离之和最小. 根据抛物线对称性 ， ，使 的值最小的点M应为直线 与对称轴 的

24、交点，当 时， ， ，设直线 解析式为直线 ，把 、 分别代入 得 ，解之得： ，直线 解析式为 ，把 代入 得， ， ，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为 ；（3）解： ，理由为：设直线 解析式为 ，把 、 分别代入直线 得 ，解之得： ，直线 解析式为 ，则点F的坐标为 ，同理G的坐标为 ，则 ， ， ； ， ， ，AO=3，DM=2，SACD=SADM+SCDM= . 设点E的坐标为 ， ， ，当m为-2时， 的最大值为1. ，当m为-2时，四边形 的面积最大，最大值为4.14【答案】（1）解：设OAm，则OBOC2m， A（m，0），B（2m，0），C（0，2m），

25、对称轴为直线x1， 1，解得m2，A（2，0），B（4，0），C（0，4），设抛物线的解析式为ya（x+2）（x4），把C（0，4）代入得：48a，解得a ，y （x+2）（x4） x2+x+4，抛物线的解析式为y x2+x+4；（2）解：如图： 由A（2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y2x+4，由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为yx+4，设M（n，2n+4），在yx+4中，令y2n+4得x2n，N（2n，2n+4），MN2，2nn2，解得n ，M（ ， ），N（ ， ）；（3）解：存在不与点D重合的点E，使得BCE与BCD的面积相等，理由如下： 过D作DKBC交y轴于

26、K，交抛物线于E，在C下方的y轴上取T，使CTCK，过T作TEBC，交抛物线于E，E，如图：DKBC，BCE和BCD同底等高，BCE与BCD的面积相等，由y x2+x+4 （x1）2+ 得D（1， ），直线BC解析式为yx+4，DKBC，直线DK解析式为yx+ ，K（0， ），CK ，解 得 或 E（3， ），CTCK，T（0， ），直线DK与BC的距离与直线TE与BC的距离相等，直线TE解析式为yx+ ，E，E都是满足条件的点，解 得 或 E（2 ， + ），E（2+ ， ），综上所述，E的坐标为：（3， ）或（2 ， + ）或（2+ ， ）15【答案】（1）解：二次函数yax2+bx的图象

27、过点A（1，3）和点B（4，0），将坐标代入解析式得 ，解得： ，这个二次函数解析式为 ；（2）将二次函数配方变为顶点式 ， M（2，4），过点A作ACx轴于C，对称轴与x轴交于D，SABM=S梯形ACDM+SMDB-SACB= ， ， ， ；（3）点Q在抛物线的对称轴上， m=2，当点Q在二次函数上方，点P为顶点时距离最近，n-1=4，n=5，点Q（2，5）当点Q在二次函数图象下方对称轴上，设点P（x，y），过P作PG对称轴于G，GQ= ，PG= 根据勾股定理PQ2= ， ， ，解得 ，当 时， n为定值，y=3时 值最小，此时x=1或3， =0n=3点Q（2，3），综合当PQ的最小值为1时

28、，点Q的坐标为（2，5）或（2，3）.16【答案】（1）解：由y=x1=0，解得：x=1，所以 ， 由y=2x24mx2m22=2（xm）22=0，解得：x1=m1，x2=m1，抛物线经过点A，且抛物线与x轴的交点在y轴的右侧，m1m1，m1=1，解得：m=2，抛物线的解析式为y=2x28x6（2）解：如图，作PM y轴交直线l于点M， 当x=0时，y=x1=1，所以 ，OA=OB.AOB=90，OAB=OBA=45，PMQ=OBA=45，PQl于Q，PQ=PMsinPMQ=PMsin45= PM设点P的横坐标为n，则点P的纵坐标为2n28n6，点M的纵坐标为n1，PM=（2n28n6）（n1

29、）=2（n ）2 ，PQ= PM= （n ）2 ，由2x28x6=x1，解得：x1=1，x2= .点P在直线l上方的抛物线上，1n ， 0，1 ，当n= 时，PQ取最大值为 ；（3）解： ，AC=3， 由（1）可知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（m1，0），（m1，0）m1m1，（m1）（m1）=23，当抛物线与线段AC只有一个公共点时，这两个交点只能有1个在线段AC上，如图，当只有点（m1，0）在线段AC上时， m11，m+11 ，解得：0m2，如图，当只有点（m1，0）在线段AC上时， m12，m+12 ，解得：3m1，综上可知：当抛物线与线段AC只有一个公共点时3m1或0m2.17【答案

30、】（1）解：经过 、 两点的直线为 ，且点 在 轴上， 点 的坐标为 .抛物线 的对称轴是直线 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，设抛物线 的表达式为 .抛物线 经过点 ， ，解得： ，抛物线 的函数表达式为 （2）解：存在，点 的坐标为 或 或 . 把抛物线配方变顶点式 ，将抛物线沿 轴翻折，新抛物线顶点为(-3， )， 所得新抛物线 为 ，设 . ， ， ， ， ， ，即 或 ，当 时，整理得 ，解得 ，此时 ；当 时，整理得 ，解得 ， ，此时 或 .综上，存在满足条件的点 ，点 的坐标为 或 或 18【答案】（1）解：直线y x1与x轴交于点B，与y轴交于点A， 点B（2，0），点A（

31、0，1），抛物线的顶点为B，且过点A，设抛物线的解析式为y=a ，1=4a，解得a= ，抛物线的解析式为y= = x1；（2）解：如图2，连接CM， ， 分别是点M关于直线CA，CB的对称点， CM=C =C ， CO=MCO，MCB= CB，直线AB向下平移，分别与x轴、y轴交于D、C两点，且OCOA，点C的坐标为（0，-1），直线CD的解析式为y= x-1，点D的坐标为（-2，0），点B的坐标为（2，0），直线CO是线段BD的垂直平分线，CD=CB，DCO=BCO，DCO- CO =BCO-MCO，DC =BCM，DC = CB， CB+ CB = CB+DC ， C =DCB， ，C C

32、DB；（3）解：设点P的坐标为（a， a1）， MEOB分别交抛物线和直线CD于P，E两点，点E的坐标为（a， a-1），PE= a1-（ a-1）= a2，当a= =1时，PE最小，此时P（1， ），E（1， ），EPQCDO，tanEPQ= tanCDO= = ，当点Q在点E的右下方时，如图3，设 的坐标（n， n-1），过点 作 GPE，垂足为G，则G（1， n-1）， G=n-1，PG= + n+1= ，tanEPQ= ， ， =2 n-2，解得n= ， n-1= ， 的坐标（ ， ）；当点Q在点E的左上方时，如图3，设 的坐标（m， m-1），过点 作 FPE，垂足为F，则F（1， m-1），F =1-m，PF= + m +1= ，tanEPQ= ， ， =2-2m，解得m= ， m-1= ， 的坐标（ ， ）；综上所述，点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）