2023版高考数学一轮总复习 10年高考真题分类题组 3.docx

1、专题三导数及其应用3.1导数与积分考点一导数的概念和运算1.(2019课标文,10,5分)曲线y=2sinx+cosx在点(,-1)处的切线方程为()A.x-y-1=0B.2x-y-2-1=0C.2x+y-2+1=0D.x+y-+1=0答案C本题主要考查导数的几何意义,通过切线方程的求解考查学生的运算求解能力,渗透的核心素养是数学运算.由题意可知y=2cosx-sinx,则y|x=-2.所以曲线y=2sinx+cosx在点(,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-),即2x+y+1-2=0,故选C.小题速解由题意得y=2cosx-sinx,则y|x=-2.计算A、B、C、D选项中直线的斜率,可

2、知只有C符合.故选C.2.(2016山东理,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3答案A设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1x2,则由题意知只需函数y=f(x)满足f(x1)f(x2)=-1即可.y=f(x)=sinx的导函数为f(x)=cosx,则f(0)f()=-1,故函数y=sinx具有T性质;y=f(x)=lnx的导函数为f(x)=1x,则f(x1)f(x2)=1x1x20,故函数y=lnx

3、不具有T性质;y=f(x)=ex的导函数为f(x)=ex,则f(x1)f(x2)=ex1+x20,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f(x)=3x2,则f(x1)f(x2)=9x12x220,故函数y=x3不具有T性质.故选A.疑难突破函数的图象在两点处的切线互相垂直等价于在这两点处的切线的斜率之积为-1,即相应的导数之积为-1,这是解决此题的关键.评析本题为创新题,主要考查导数的几何意义及直线相互垂直的条件,属于偏难题.3.(2016四川理,9,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,0x1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分

4、别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)答案A设l1是y=-lnx(0x1)的切线,切点P2(x2,y2),l1:y-y1=-1x1(x-x1),l2:y-y2=1x2(x-x2),-得xP=y1-y2+21x1+1x2,易知A(0,y1+1),B(0,y2-1),l1l2,-1x11x2=-1,x1x2=1,SPAB=12|AB|xP|=12|y1-y2+2|y1-y2+2|1x1+1x2=12(y1-y2+2)2x1+x2x1x2=12(-lnx1-lnx2+2)2x1+x2=12-ln(x1x2)+22x1+x2=12

5、4x1+x2=2x1+x2,又0x11,x1x2=1,x1+x22x1x2=2,0SPAB0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)解析函数y=ex的导函数为y=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x00),函数y=1x的导函数为y=-1x2,曲线y=1x(x0)在点P处的切线的斜率k2=-1x02,则有k1k2=-1,即1-1x02=-1,解得x02=1,又x00,x0=1.又点P在曲线y=1x(x0)上,y0=1,故点P的坐标为(1,1).14.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为.答案

6、y=4x-3解析y=3lnx+1+x3x=3lnx+4,k=y|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.15.(2016课标,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x0,则-x0),则f(x)=1x-3(x0),f(1)=-2,在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.思路分析由偶函数定义,可得x0时,f(x)的解析式,从而求出x0时f(x)的导数,进而可求得切线斜率,最后可得切线方程.16.(2016课标,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线

7、,则b=.答案1-ln2解析直线y=kx+b与曲线y=lnx+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=lnx+2得y=1x,由y=ln(x+1)得y=1x+1,k=1x1=1x2+1,x1=1k,x2=1k-1,y1=-lnk+2,y2=-lnk.即A1k,-lnk+2,B1k-1,-lnk,A、B在直线y=kx+b上,2-lnk=k1k+b,-lnk=k1k-1+bb=1-ln2,k=2.思路分析先设切点,找出切点坐标与切线斜率的关系,并将切点坐标用斜率表示出来,利用切点在切线上列方程组,进而求解.考点二定积分与微积分基本定理1.(2014湖北理,

8、6,5分)若函数f(x),g(x)满足-11f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间-1,1上的一组正交函数.给出三组函数:f(x)=sin12x,g(x)=cos12x;f(x)=x+1,g(x)=x-1;f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间-1,1上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3答案C由得f(x)g(x)=sin12xcos12x=12sinx,是奇函数,所以-11f(x)g(x)dx=0,所以为区间-1,1上的正交函数;由得f(x)g(x)=x2-1,-11f(x)g(x)dx=-11x2-1)dx=x33-x-11=-43,所以不是区间-1,1上的正交

9、函数;由得f(x)g(x)=x3,是奇函数,所以-11f(x)g(x)dx=0,所以为区间-1,1上的正交函数.故选C.2.(2014山东理,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.22B.42C.2D.4答案D由y=4x,y=x3得x=0或x=2或x=-2(舍).S=02(4x-x3)dx=2x2-14x402=4.评析本题考查利用定积分求面积.本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”.3.(2013湖北理,7,5分)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+251+t(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间

10、汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln5B.8+25ln113C.4+25ln5D.4+50ln2答案C由v(t)=0得t=4.故刹车距离为s=04v(t)dt=047-3t+251+tdt=-32t2+7t+25ln(1+t)04=4+25ln5(m).4.(2013北京理,7,5分)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于()A.43B.2C.83D.1623答案C由抛物线方程可知抛物线的焦点为F(0,1),所以直线l的方程为y=1.设直线l与抛物线的交点为M、N,分别过M、N作x轴的垂线MM和NN,交x轴于点M、N,如图.故所求图形的面

11、积等于阴影部分的面积,即S=4-202x24dx=83.故选C.评析本题主要考查抛物线的性质及定积分的应用.考查学生对知识的理解及应用能力,正确求解定积分是解本题的关键.5.(2012湖北理,3,5分)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为()A.25B.43C.32D.2答案B由题图知二次函数的解析式为f(x)=-x2+1,其图象与x轴所围图形的面积为-11f(x)dx=201f(x)dx=201(-x2+1)dx=2-13x3+x01=2-13+1=43.故选B.评析本题考查了定积分的知识,考查了学生运算求解能力.运用数形结合思想求出二次函数和定积分是解题关键.6.(2015天津理,11,5分)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.答案16解析曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,由y=x,y=x2解得x=0或x=1,所以S=01(x-x2)dx=12x2-13x301=12-13=16.