2023版高考数学一轮总复习 专题检测 6.docx

1、6.2等差数列一、选择题1.(2022届辽宁渤海大学附中月考二)在等差数列an中,若a2+a3+a4=6,a6=4,则公差d=()A.1B.2C.13D.23答案Dan是等差数列,a2+a3+a4=6,3a3=6,a3=2,又a6=4,a6-a3=3d=2,d=23.2.(2021皖北协作体模拟,4)等差数列an的公差为d,当首项a1与d变化时,a2+a10+a21是一个定值,则下列选项中一定为定值的是()A.a10B.a11C.a12D.a13答案B等差数列an的公差为d,a2+a10+a21=a1+d+a1+9d+a1+20d=3(a1+10d)=3a11.当a1与d变化时,a2+a10+

2、a21是一个定值,3a11是定值,即a11是一个定值.故选B.3.(2022届河南三市联考,4)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.11答案A由等差数列an的性质及a1+a3+a5=3,得3a3=3,a3=1,S5=5(a1+a5)2=5a3=5.故选A.4.(2022届山东学情10月联考,6)已知等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn,且a4b6=13,则S7T11=()A.733B.13C.1433D.711答案AS7=7(a1+a7)2=72a42=7a4,T11=11(b1+b11)2=112b62=11b6,S7T11=7a

3、411b6=71113=733.5.(2022届北京交大附中开学考,3)已知等差数列an的前n项和为Sn,若S3=a3,且a30,则S4S3=()A.1B.53C.83D.3答案C设等差数列an的公差为d,S3=a3,且a30,3a1+3d=a1+2d,-2a1=d0.S4S3=4a1+432d3a1+322d=83.6.(2022届北京一零一中学统练二,6)设an是等差数列,下列结论中正确的是()A.若a1+a20,则a2+a30B.若a1+a30,则a1+a20C.若0a1a1a3D.若a10答案C对于A,取a1=1,a2=0,a3=-1,满足a1+a20,但a2+a3=-10,故A中结论

4、不正确.对于B,取a1=1,a2=-1,a3=-3,满足a1+a30,但a1+a2=0,故B中结论不正确.对于D,取a1=-1,a2=-2,a3=-3,满足a10,但(a2-a1)(a2-a3)0,故D中结论不正确.故选C.7.(2022届西南名校联考,6)设等差数列an的前n项和是Sn,若a2-a110且S120B.S110且S120且S120D.S110答案A由题意知,a1+a110,a2+a11=a1+a120,S12=12(a1+a12)20,a2=8,a3+a4=48,a1q=8,a1q2+a1q3=48,即8q+8q2=48,解得q=2或q=-3(舍),a1=a2q=4,数列an的

5、通项公式为an=a1qn-1=2n+1.(2)由(1)得bn=log4an=log42n+1=(n+1)log42=n+12,bn+1-bn=n+22-n+12=12,数列bn是首项为1,公差d=12的等差数列,Sn=nb1+n(n-1)2d=n2+3n4.16.(2022届广东阶段测,17)已知数列an满足a1=1,an+an-1=2n(n2,nN*).(1)记bn=a2n,求数列bn的通项公式;(2)求数列an的前n项和Sn.解析(1)依题意得,a2+a1=4,又a1=1,故b1=a2=3.因为a2n+2+a2n+1=4n+4,a2n+1+a2n=4n+2,所以bn+1-bn=a2n+2-

6、a2n=(a2n+2+a2n+1)-(a2n+1+a2n)=(4n+4)-(4n+2)=2.因此,bn是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为bn=2n+1.(2)解法一:因为a2n+a2n-1=4n,所以由(1)知a2n-1=4n-a2n=2n-1.当n=2k(kN*)时,Sn=(a1+a3+a2k-1)+(a2+a4+a2k)=(1+3+2k-1)+(3+5+2k+1)=(1+2k-1)k2+(3+2k+1)k2=k(2k+2)=n(n+2)2.当n=2k-1(kN*)时,Sn=Sn+1-an+1=(n+1)(n+3)2-(n+2)=n(n+2)-12.因此,Sn=n(n+2)-12,n

7、为奇数,n(n+2)2,n为偶数.解法二:当n=2k(kN*)时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+(a2k-1+a2k)=4+8+4k=(4+4k)k2=k(2k+2)=n(n+2)2.当n=2k+1(kN*)时,Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a2k+a2k+1)=1+6+10+(4k+2)=1+(6+4k+2)k2=k(2k+4)+1=(n-1)(n+3)2+1=n(n+2)-12,S1=a1=1=13-12也满足上式.故Sn=n(n+2)-12,n为奇数,n(n+2)2,n为偶数.17.(2022届河南调研,18)已知数列an满足a1=4,an+1=2an+2n+1(

8、nN*),设数列an的前n项和为Sn.(1)证明:数列an2n是等差数列.(2)求Sn.解析(1)证明:由an+1=2an+2n+1,得an+12n+1-an2n=1.因为a121=2,所以数列an2n是以2为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)得an2n=2+(n-1)1=n+1,所以an=(n+1)2n,所以Sn=221+322+n2n-1+(n+1)2n,2Sn=222+323+n2n+(n+1)2n+1,-得-Sn=221+22+2n-(n+1)2n+1=-n2n+1,所以Sn=n2n+1.18.(2021湖南百校联考,17)在an+1an=-12,an+1-an=-16,an+1

9、=an+n-8这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的Sn存在最大值,则求出最大值;若问题中的Sn不存在最大值,请说明理由.问题:设Sn是数列an的前n项和,且a1=4,求an的通项公式,并判断Sn是否存在最大值.注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.解析方案一:选.因为an+1an=-12,a1=4,所以an是首项为4,公比为-12的等比数列.所以an=4-12n-1=-12n-3,当n为奇数时,Sn=41-12n1+12=831+12n,因为Sn=831+12n随着n的增大而减小,所以Sn的最大值为S1=4.当n为偶数时,Sn=831-12n,且Sn=831-12n830恒成立,故Sn不存在最大值.