2024年高考数学二轮复习：数列中的知识交汇和创新型问题（学生）.pdf

1、1数列中的知识交汇和创新型问题1 王先生今年初向银行申请个人住房贷款 100 万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分 10 年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息).(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还 15000 元，最后一个还贷月应还 6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为 0.3%，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入

2、为 23000 元，试判断王先生该笔贷款能否获批.(不考虑其他因素)参考数据 1.003119 1.428，1.003180 1.433，1.003121 1.4372 佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度 153.6 米.坊塔塔楼由底部 4 个高度相同的方体组成塔基，支托上部 5 个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部 4 个方体高度均为 33.6 米，中间第 5 个方体也为 33.6 米高，再往上 2 个方

3、体均为 24 米高，最上面的两个方体均为 19.2 米高.2(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列 an的通项公式，该数列以33.6 为首项，并使得 24 和 19.2 也是该数列的项；(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为 310 米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前 m(m N*)项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为 19.2 米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为 2a1、3a2、4a3、m+1am(m+1am表示高度为 am的方体连续堆叠 m+1 层的总高度)，请问新堆叠坊塔的高度是否超过 310 米？并说明理由.33 在当前市场经济条件下

4、，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格 a 与其实际价值 b 之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得表 1:表 1次数消费者还价商家讨价第一次b1=12 ac1=b1+12(a-b1)第二次b2=c1-12(c1-b1)c2=b2+12(c1-b2)第三次b3=c2-12(c2-b2)c3=b3+12(c2-b3)第 n 次bn=cn-1-

5、12(cn-1-bn-1)cn=bn+12(cn-1-bn)消费者每次的还价 bn(n k)组成一个数列 bn.(1)写出此数列的前三项，并猜测通项 bn的表达式并求出 limn+bn；(2)若实际价格 b 与定出 a 的价格之比为 b:a=0.618:1，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润?4 近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第 1 年初的启动资金为 500 万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达 40%，每年年底把除运营成本 a 万元，再将剩余资金继续投入直播平合.(1)若 a=100，在第 3 年年底扣除

6、运营成本后，直播平台的资金有多少万元？(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第 6 年年底除运营成本后资金达到3000 万元？(结果精确到 0.1 万元)45 甲、乙两人同时分别入职 A,B 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A 公司第一年月基础工资数为 3700 元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加 300 元；B 公司第一年月基础工资数为 4000 元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的 1.05 倍(1)分别求甲、乙两人工作满 10 年的基础工资收入总量(精确到 1 元)(2)设甲、乙两人入职第 n 年的月基础工资分别为 an、bn元，记 cn=

7、an-bn，讨论数列 cn的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由6 治理垃圾是 S 市改善环境的重要举措去年 S 市产生的垃圾量为 200 万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续 5 年，每年的垃圾排放量比上一年减少 20 万吨，从第 6 年开始，每年的垃圾排放量为上一年的 75%(1)写出 S 市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数 n n N*的表达式；(2)设 An为从今年开始 n 年内的年平均垃圾排放量如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由

8、57 为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用 m 毫克.已知人的肾脏每 24 小时可以从体内滤除这种药物的 80%，设第 n 次服药后(滤除之前)这种药物在人体内的含量是 an毫克，(即 a1=m).(1)已知 m=12，求 a2 a3；(2)该药物在人体的含量超过 25 毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求 m 的最大值.8 保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署 2021 年 7 月，国务院办公厅发布关于加快发展保障性租赁住房的意见后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿为了响

9、应国家号召，某地区计划 2021 年新建住房 40 万平方米，其中有 25万平方米是保障性租赁住房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加 5 万平方米(1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以 2021 年为累计的第一年)将首次不少于475 万平方米?(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%?69 某市 2013 年发放汽车牌照 12 万张，其中燃油型汽车牌照 10 万张，电动型汽车 2 万张，为了节能减排和控制总量，从 2013 年开始，每年电动

10、型汽车牌照按 50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少 0 5 万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变(1)记 2013 年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列 an，每年发放电动型汽车牌照数为构成数列 bn，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=a4=b1=2b2=3b3=b4=(2)从 2013 年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过 200 万张？10 市民小张计划贷款 60 万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且

11、从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；等额本息：每月的还款额均相同银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如 2020 年 7 月 7 日贷款到账，则 2020 年 8 月 7 日首次还款)已知该笔贷款年限为 20 年，月利率为 0.4%(1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还 4900 元，最后一个还款月应还 2510 元，试计算该笔贷款的总利息(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半已知小张家庭平均月收入为 1 万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素)参考数据：1.0042.61(3)对比两种

12、还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式711 流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年 11 月份曾发生流感，据统计，11月 1 日该市的新感染者有 30 人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加 50 人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从 11 月 k+1 9 k 29,k N*日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少 20 人.(1)若 k=9，求 11 月 1 日至 11 月 10 日新感染者总人数；(2)若到 11 月 30 日止，该市在这 30 天内的新感染者总人数为 11940 人，问 11 月几日，该市新感染者人数最多？并求

13、这一天的新感染者人数.12 某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有 A，B，C，D 这 4 个选项，4 个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为 13，并且规定若第 i i=1,2,n-1题正确选项为两个，则第 i+1 题正确选项为两个的概率为 13；第 i i=1,2,n-1题正确选项为三个，则第 i+1 题正确选项为三个的概率为 13.(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；(2)求

14、第 n 题正确选项为两个的概率；(3)若第 n 题只选择 B、C 两个选项，设 Y 表示第 n 题得分，求证：E Y 1718.813 甲乙两人进行象棋比赛，赛前每人发 3 枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为 0.3 乙胜的概率为 0.2.(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为 X，求 X 的分布列和期望；(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；(3)若 Pi i=0,1,6表示“在甲所得筹码为 i 枚时，最终甲获胜的概率”，则 P0=0,P6=1.证明：Pi+1-Pii=

15、0,1,2,5为等比数列.14 已知数列 an的前 n 项和为 Sn,a1=2，对任意的正整数 n，点 an+1,Sn均在函数 f x=x 图象上.(1)证明：数列 Sn是等比数列；(2)问 an中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.915 如果数列 an对任意的 n N*，an+2-an+1 an+1-an，则称 an为“速增数列”.(1)请写出一个速增数列 an的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；(2)若数列 an为“速增数列”，且任意项 an Z，a1=1，a2=3，ak=2023，求正整数 k 的最大值.16 设数列 an的前 n 项和为 Sn，若 12 an+1an 2

16、n N*，则称 an是“紧密数列”.(1)若 an=n2+2n4n，判断 an是否是“紧密数列”，并说明理由；(2)若数列 an前 n 项和为 Sn=14 n2+3n，判断 an是否是“紧密数列”，并说明理由；(3)设数列 an是公比为 q 的等比数列.若数列 an与 Sn都是“紧密数列”，求 q 的取值范围.1017 已知 an和 bn是各项均为正整数的无穷数列，若 an和 bn都是递增数列，且 an中任意两个不同的项的和不是 bn中的项，则称 an被 bn屏蔽已知数列 cn满足 1c1+3c2+2n-1cn=n n N*(1)求数列 cn的通项公式；(2)若 dn为首项与公比均为 c1+1

17、 的等比数列，求数列 cn dn的前 n 项和 Sn，并判断 Sn能否被cn屏蔽，请说明理由18 设 y=f(x)是定义域为 R 的函数，如果对任意的 x1、x2 R x1 x2,f x1-f x2 0 时，sinx x 恒成立)(2)若函数 y=f(x)是“平缓函数”，且 y=f(x)是以 1 为周期的周期函数，证明:对任意的 x1、x2 R，均有 f x1-f x2 1 使得函数 y=A g(x)为“平缓函数”.现定义数列 xn满足:x1=0,xn=g xn-1(n=2,3,4,)，试证明:对任意的正整数 n,g xn A|g(0)|A-1.1119 若项数为 N N 3的数列 AN:a1

18、,a2,aN 满足：a1=1,ai N*i=2,3,N，且存在 M 2,3,N-1，使得 an+1-an1,2,1 n M-1-1,-2,M n N-1，则称数列 AN 具有性质 P.(1)若 N=3，写出所有具有性质 P 的数列 A3；若 N=4,a4=3，写出一个具有性质 P 的数列 A4；(2)若 N=2024，数列 A2024具有性质 P，求 A2024的最大项的最小值；(3)已知数列 AN:a1,a2,aN,BN:b1,b2,bN 均具有性质 P，且对任意 i,j 1,2,N，当 i j 时，都有ai aj,bi bj记集合 T1=a1,a2,aN，T2=b1,b2,bN，求 T1

19、T2中元素个数的最小值.20 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”.如数列 1，2 第 1 次“和扩充”后得到数列 1，3，2，第 2 次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列 a，b，c 经过第 n 次“和扩充”后所得数列的项数记为 Pn，所有项的和记为 Sn.(1)若 a=1,b=2,c=3，求 P2，S2；(2)设满足 Pn 2023 的 n 的最小值为 n0，求 n0及 S n03(其中 x 是指不超过 x 的最大整数，如 1.2=1，-2.6=-3)；1221 已知 Q：a1,a2,ak为有穷整数数列.给定正整

20、数 m,若对任意的 n 1,2,m,在 Q 中存在ai,ai+1,ai+2,ai+j j 0,使得 ai+ai+1+ai+2+ai+j=n,则称 Q 为 m-连续可表数列.(1)判断 Q：2,1,4,2 是否为 7-连续可表数列？是否为 8-连续可表数列？说明理由；(2)若 Q：a1,a2,ak为 8-连续可表数列,求证：k 的最小值为 4.22 已知有限数列 an，从数列 an中选取第 i1项、第 i2项、第 im项(i1 i2 im)，顺次排列构成数列 bk，其中 bk=aik，1 k m，则称新数列 bk为 an的长度为 m 的子列规定：数列 an的任意一项都是 an的长度为 1 的子列

21、，若数列 an的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列an为完全数列设数列 an满足 an=n，1 n 25,n N*(1)判断下面数列 an的两个子列是否为完全数列，并说明由；数列：3，5，7，9，11；数列：2，4，8，16(2)数列 an的子列 bk长度为 m，且 bk为完全数列，证明：m 的最大值为 6；(3)数列 an的子列 bk长度 m=5，且 bk为完全数列，求 1b1+1b2+1b3+1b4+1b5的最大值1323 有穷数列 an 共 m 项(m 3)其各项均为整数，任意两项均不相等 bi=ai-ai+1 i=1,2,m-1，bi bi+1 i=1,2,m-2(1)若 an：0

22、，1，a3求 a3的取值范围；(2)若 m=5，当5i=1ai取最小值时，求4i=1bi的最大值；(3)若 1 ai m i=1,2,.,m，m-1k=1bk=m+1，求 m 的所有可能取值24 如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第 i 行第 j 列的数为 a i,j，已知各行从左至右成等差数列，各列从上至下成公比相同的等比数列.1620(1)若 a i,j=100，求实数对 i,j；(2)证明：所有正整数恰在数表中出现一次.1425 若数列 an满足 ak+1-ak=1 k=1,2,3,n-1 n 2，则称数列 an为 数列.记 Sn=a1+a2+a3+an.(1)写出一个满足 a1=a

23、5=1，且 S5=5 的 数列；(2)若 a1=24,n=2000，证明：数列 an是递增数列的充要条件是 an=2023；(3)对任意给定的整数 n n 3，是否存在首项为 1 的 数列 an，使得 Sn=1？如果存在，写出一个满足条件的 数列 an；如果不存在，说明理由.26 定义矩阵运算：abcdxy=ax+bycx+dy已知数列 an，bn满足 a1=1，且 n11nanbn=n2+2nn 2n+1(1)证明：an，bn分别为等差数列，等比数列(2)求数列 a2n+3b2n-1+1的前 n 项和 Sn1527 将数列 an 按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为数

24、列 an 的一个分群数列，an 称为这个分群数列的原数列.如(a1,a2,ar)，(ar+1,ar+2,at)，(at+1,at+2,as)，(am+1,am+2,an)，是数列 an 的一个分群数列，其中第 k 个括号称为第 k 群.已知数列 an 的通项公式为 an=2n.(1)若数列 an 的一个分群数列每个群都含有 3 项，该分群数列第 k 群的最后一项为 bk，求数列 bn 的通项公式.(2)若数列 an 的一个分群数列满足第 k 群含有 k 项，Ak为 an 的该分群数列第 k 群所有项构成的数集，设 M=m|am Ak,am+6 Ak+2，求集合 M 中所有元素的和.28 已知数

25、列an3n是以 13 为首项的常数列，Sn为数列 an的前 n 项和(1)求 Sn；(2)设正整数 m=b0 30+b1 31+bk 3k，其中 bi 0,1,2,i,k N例如：3=0 30+1 31，则 b0=0，b1=1；4=1 30+1 31，则 b0=1，b1=1若 f(m)=b0+b1+bk，求数列 Sn f Sn的前 n 项和 Tn1629 已知 an是公比为 q 的等比数列对于给定的 k(k=1,2,3 n)，设 T(k)是首项为 ak，公差为2ak-1 的等差数列 an，记 T(k)的第 i 项为 b(k)i 若 b(1)1+b(2)1=b(2)2，且 b(1)2=b(2)3

26、(1)求 an的通项公式；(2)求ni=11b(2)i b(2)i+1；(3)求ni=1b(k)i30 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2n+1(1)求 an的通项公式；(2)保持 an中各项先后顺序不变，在 ak与 ak+1之间插入 k 个 1，使它们和原数列的项构成一个新的数列 bn，记 bn的前 n 项和为 Tn，求 T100的值(用数字作答)1731 若项数为 k (k N*，k 3)的有穷数列 an 满足：0 a1 a2 a3 0(n=1,2,3,)，是否存在正实数 M，使得对任意的正整数 n，都有 an M？如果存在，写出一个满足条件的 M；如果不存在，说明理由.3

27、4 设 为整数有穷数列 an的各项均为正整数，其项数为 m(m 2)若 an满足如下两个性质，则称 an为 P数列：am=1，且 ai 1(i=1,2,m-1)；an+1=an+1,an为奇数,an2,an为偶数 (n=1,2,m-1)(1)若 an为 P1数列，且 a1=5，求 m；(2)若 an为 P-1数列，求 a1的所有可能值；(3)若对任意的 P1数列 an，均有 m 2log2a1+d，求 d 的最小值1935 若数列 An满足 An+1=A2n，则称数列 An为“平方递推数列”已知数列 an中，a1=9，点an,an+1在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中 n 为正整数，

28、(1)证明：数列 an+1是“平方递推数列”，且数列 lg an+1为等比数列；(2)设 bn=lg an+1,cn=2n+4，定义 a*b=a,a b,b,a b,，且记 dn=bn*cn，求数列 dn的前 n 项和 Sn36 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的比都大于 2，则称这个数列为“G 型数列”(1)若数列 an满足 a1=1，an+1an=32n-1，求证：数列 an是“G 型数列”(2)若数列 an的各项均为正整数，且 a1=1，an为“G 型数列”，记 bn=an+1，数列 bn为等比数列，公比 q 为正整数，当 bn不是“G 型数列”时，求数列 an的通项公式(3

29、)在(2)的条件下，令 cn=1anan+1，记 cn的前 n 项和为 Sn，是否存在正整数 m，使得对任意的 n N*，都有 1Sn m-1,m成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由2037 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a4=4，数列 bn的前 n 项之积为 Tn，b1=13，且 Sn=log 3 Tn(1)求 Tn；(2)令 cn=anbn，是否存在正整数 n，使得“cn-1=cn+cn+1”与“cn是 cn-1，cn+1的等差中项”同时成立？请说明理由38 若无穷数列 an满足 n N*，an-an+1=n+1，则称 an具有性质 P1若无穷数列 an满足

30、n N*，anan+4+1 a2n+2，则称 an具有性质 P2(1)若数列 an具有性质 P1，且 a1=0，请直接写出 a3的所有可能取值；(2)若等差数列 an具有性质 P2，且 a1=1，求 a22+a23的取值范围；(3)已知无穷数列 an同时具有性质 P1和性质 P2，a5=3，且 0 不是数列 an的项，求数列 an的通项公式2139 如果数列 an对任意的 n N*，an+2-an+1 an+1-an，则称 an为“速增数列”.(1)判断数列 2n是否为“速增数列”？说明理由；(2)若数列 an为“速增数列”.且任意项 an Z，a1=1,a2=3,ak=2023，求正整数 k

31、 的最大值；(3)已知项数为 2k(k 2,k Z)的数列 bn是“速增数列”，且 bn的所有项的和等于 k，若 cn=2bn，n=1,2,3,2k，证明：ckck+1 2.40 已知数表 A2n=a11a12a1na21a22a2n中的项 aij(i=1,2;j=1,2,n)互不相同，且满足下列条件：aij 1,2,2n；(-1)m+1 a1m-a2m 0(m=1,2,n).则称这样的数表 A2n具有性质 P.(1)若数表 A22具有性质 P，且 a12=4，写出所有满足条件的数表 A22，并求出 a11+a12的值；(2)对于具有性质 P 的数表 A2n，当 a11+a12+a1n取最大值时，求证：存在正整数 k 1 k n，使得a1k=2n；(3)对于具有性质 P 的数表 A2n，当 n 为偶数时，求 a11+a12+a1n的最大值.