23个求极值和值域专题.pdf

1、23 个求极值和值域专题 1、求函数2f xxx3x 2()=+的值域.2、求函数 f xx2713xx()=+的值域.3、求函数 f xx5243x()=+的值域.4、求函数2x1f xx1()+=的值域.5、已知函数222xbxcf xx1()+=+（其中b0）的值域是 1 3,，求实数b c,.6、已知：x y z,为正实数，且 xyzxyz+，求函数222xyzf x y zxyz(,)+=的最小值.7、已知：222x3xy2 y1+=，求：f x yxyxy(,)=+的最小值.8、设函数2113f xx22()=+在区间 a b,的最小值为 2a，最大值为 2b，求区间 a b,.9

2、、已知：22xy25+=，求函数 f x y8 y6 x508 y6 x50(,)=+的最大值.10、求函数：22f xx2x10 x16 x68()=+的最小值.11、求函数：22xxf xx4x4()=+的值域.12、已知实数123xxx,满足321xxx123+=和222321xxx323+=，求3x 的最小值.13、求函数：222f x y1yxy32xy6(,)()()()=+的最小值.14、已知：x1y25+=，求函数：f x yxy(,)=+的最小值.15、已知点 P x y(,)在椭圆22xy149+=上，求 f x y2xy(,)=的最大值.16、求函数：f x2x83x()

3、=+的值域.17、求函数：2xf x1x2x22()=+的值域.18、求函数：f x1x1x2x2x3x3x()sinsinsinsinsinsin=+的最大值.19、设：ixi1 2 32003(,.,)=为正实数，且满足122003xxx2003.+=，试求：12232002200320031yxxxxxxxx.=+的最小值.20、已知 x y z,为正实数，且满足222222xyz21x1y1z+=+，求：222xyzf x y z1x1y1z(,)=+的最大值.21、设 为锐角，求：11f11()()()sincos=+的最小值.22、设 为锐角，求证：2sintan+.23、已知 x

4、 y z,为正实数，求证：222xy2 yz52xyz+.23 个求极值和值域专题解析 1、求函数2f xxx3x 2()=+的值域.解析：函数2f xxx3x 2xx 1 x 2()()()=+=+的定义域为：12(,)+.函数的导函数为：223x2fx131x22()()()=+当 x1(,时，3x02，则223x2131x22()()故223x2fx1031x22()()()=+，则223x2fx1031x22()()()=+即：函数 f x()在 x2,)+区间为单调递增函数，故：f xf 22()()=；2xxf xf xx3x2x()lim()lim()+=+=+故：函数在该区间的

5、值域是 2,)+.综上，函数的值域是3122,),)+.本题采用导数的正负来确定函数的增减，此法称为“单调性法”.2、求函数 f xx2713xx()=+的值域.解析：函数 f x()的定义域是：x0 13,.待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：A B C0,，则柯西不等式为：2222111Ax27B 13xCxfxABC()()()()+即：2111fxABC x27 A13BABC()()()+令：ABC0+=，即：BAC=+由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：A x27Cx+=B 13xCx=由得：22x27CxA+=，即：22227CAxA=，即：22227 AxCA=

6、将代入得：2222222227 A27 AAC13CCACA()()+=即：222222AC13C13A27 A27 A C()()+=即：22222AC13C40A27 A C()()+=，即：2221340AC27AC()()+=试解，由于 27333=，则式刚好也是 3 项相乘，不妨试解采用各项都是 3.则：AC3+=，且2213403AC=.则：A1=，C2=，B3=代入得：222227 A27x9CA21=，即 x9=时函数取得极大值.函数极大值为 f x9927139962311()=+=+=当 x0 9,时，函数 f x()在本区间为单调递增函数.故：f xf 0271303 3

7、13()()=+=+即：函数 f x()在 x0 9,区间的值域是 3 313 11,+当 x9 13,时，函数 f x()在本区间为单调递减函数.故：f xf 13132713131340132 1013()()=+=+=+即：函数 f x()在 x9 13,区间的值域是 2 1013 11,+综上，函数 f x()的值域是 3 313 11,+.本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.3、求函数 f xx5243x()=+的值域.解析：函数 f x()的定义域是：x5 8,.待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：A B0,，则柯西不等式为：22211Ax5B243xfxAB(

8、)()()+即：211fxA3B x5A24BAB()()()+令：A3B0=，即：A3B=由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：A x5B 243x=即：22Ax5B243x()()=，即：22x53B8xA=，即：222x58x3BA8xA+=即：22233BA8xA+=，即：2223A8x3BA=+，即：2223Ax83BA=+将式代入式得：22227 B27923x88812443B9B=+当23x4=时，函数 f x()达到极大值.极大值为：23232333 24243 23f5243444444()+=+=+33243272 34422+=+=+=函数的导函数为：132

9、43x3 x5fx2x52 243x2x5243x()=当23x5 4,区间时，fx0()，函数 f x()单调递减.故：f xf 88503()()=+=即：函数 f x()在本区间的值域是3 2 3,.综上，函数 f x()的值域是3 2 3,.本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.4、求函数2x1f xx1()+=的值域.解析：函数 f x()的定义域是：x11(,)(,)+.则函数 f x()为：222x1x1f xg xx1x1()()()+=（当 x1时取正号）于是函数的极值在：gx0()=即：222432 x1 x12x x12gxx1x x10 x1x1()()

10、()()()()()()+=+=即：2x1x x10()()+=，即：x1=在 x1(,)区间，函数 f x()的极值为：2112f x1112()()+=在区间的边界有：222xxx211x1xf x11x11xlim()lim()lim()()()+=22x1x1x1f xx1lim()lim()()+=故：函数 f x()在该区间的值域是22(,.在 x1(,)+区间，函数222x12xf x1x1x1()()()+=+，为单调递减函数.故有：22x1x1x1f xf xx1()lim()lim()()+=+；222xxxx12xf xf x11x1x1()lim()lim()lim()

11、()()+=+=故：函数 f x()在该区间的值域是 1(,)+.综上，函数 f x()的值域是212(,(,)+.本题方法属“单调性法”5、已知函数222xbxcf xx1()+=+（其中b0）的值域是 1 3,，求实数b c,.解析：函数的定义域为 xR.将函数变形为：22y x12xbxc()+=+，即：22y xbxcy0()()+=其判别式不等式为：222b4 2y cyb8c4 2c y4 y0()()()()=+即：22b2c2c yy02()()+而函数 f x()的值域是 1 3,，即：y1 3y0()()，即：234 yy0+对比两式得：c2=，2b2c32()=，即2b1

12、2()=，因b0，故：b2=故：实数b2=，c2=.此法称为“判别式法”.6、已知：x y z,为正实数，且 xyzxyz+，求函数222xyzf x y zxyz(,)+=的最小值.解析：首先设 xyza=，代入 xyzxyz+=得：33aa=，即：a3=，则：当 xyz3 3=时，由均值不等式nnQA，即：2222xyzxyz33+得：22222xyzxyzxyz33()()+则：2222xyzxyzxyzf x y z3xyz3xyz3()(,)+=当 xyz3 3时，由均值不等式nnQA，即：2222xyzxyz3()+代入已知条件 xyzxyz+，得：22222xyzxyzxyz33

13、()()+则：2222xyzxyzxyz3 3f x y z3xyz3xyz33()(,)+=故：由、得，222xyzf x y zxyz(,)+=的最小值是3.本题先确定 xyz=均值，然后在 xyz 均值和 xyz 均值下求极值.此法称为“分别讨论法”.7、已知：222x3xy2 y1+=，求：f x yxyxy(,)=+的最小值.解析：由已知条件222x3xy2 y1+=得：2xy2 xy1()=+代入 f x yxyxy(,)=+得：2f x yzxyxyxy2 xy1(,)()=+=+即：22 xyxy1z0()()()+=令：txy=+，则方程变为：22tt1z0()+=采用判别式

14、法得：214 21z0()=+，即：11z8()+，即：9z8 故：f x yxyxy(,)=+的最小值是98.此题采用的是“判别式法”8、设函数2113f xx22()=+在区间 a b,的最小值为 2a，最大值为 2b，求区间 a b,.解析：首先，f x()是一个偶函数，在0(,)区间单调递增，在 0(,)+区间单调递减.当0ab.故：f a()是最大值为 2b，f b()是最小值为 2a.即：22113f aa2b22113f bb2a22()()=+=+=即：22a4b130b4a130+=+=（*）（*）两式相减得：22ab4 ab0()()=，即：ab4+=则:2ab16()+=

15、，即：22ab162ab()+=（*）两式相加得：22ab4 ab26()()+=将式代入后化简得：ab3=由得：a1=，b3=.则区间 a b,为 1 3,.当a0时，f x()的最大值是13f 02()=，即：13b2=.i.若 ab，则 f x()的最小值为：2113f aa2a22()=+=，即：2a4a130+=，解之及a0可得：a217=，故此时区间 a b,为132174,.ii.若 ab.不符合题设，即此时无解.当ab0时，由 f x()是一个偶函数可得：f af b()()，则柯西不等式为：222211A 2xB 83x2x83xfxAB()()()()+=即：21111fx

16、A 2xB 83x2A8BA3B xABAB()()()()()+=+令：A3B0=，则：A3B=由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：A 2xB 83x+=，即：22A2xB83x()()+=，即：2222A3Bx8B2A()+=，则：22228B2AxA3B=+将代入得：22228B18B105x1269B3B=+函数的极值为：5557632 42f283666663()()=+=+=在5x26,区间，函数 f x()单调递增，故：f xf22283214()()()()=+=于是，函数 f x()在该区间的值域是2 42143,.在5 8x6 3,区间，函数 f x()单调递

17、减，故：8881442f xf283033333()()()()=+=+=于是，函数 f x()在该区间的值域是42 2 4233,.综上，函数 f x()的值域是42 2 4233,.此法为“待定系数法”用于“柯西不等式”，最后用“单调性法”得到值域.17、求函数：2xf x1x2x22()=+的值域.解析：函数2xf x1x2x22()=+的定义域是：xR.本题采用判别式法.令：2xyf x1x2x22()=+则：2xyx2x202=+即：22xyx2x22()=+，即：222xyyxx2x24+=+即：223 x2y x2y04()()+=由的判别式得：22232y42y4 y4 y20

18、4()()=+=+即：21yy2+，即：21113yy4244+=，即：2213y22()()+故：13y22+或13y22+，即：13y22+或13y22 由于式即xy02的条件必须那满足，故13y22+.此时，13f xy12()+=+，函数 f x()的值域为 132,)+.此法为“判别式法”.18、求：f x1x1x2x2x3x3x()sinsinsinsinsinsin=+的最大值.解析：由均值不等式nnAQ得：1x1x1x1x122sinsin(sin)(sin)+=2x2x2x2x222sinsin(sin)(sin)+=3x3x3x3x322sinsin(sin)(sin)+=

19、所以,两边相加得：f x2 123()()+在 x0=时，f 02 123()()=+，即不等式的等号可以取到.故:f x()的最大值为 2 123()+.此法为“均值不等式”.19、设：ixi1 2 32003(,.,)=为正实数，且满足122003xxx2003.+=，试求：12232002200320031yxxxxxxxx.=+的最小值.解析：由均值不等式nnAQ得：121212xxxx22xx2+=+232323xxxx22xx2+=+200220032002200320022003xxxx22xx2+=+200312003120031xxxx22xx2+=+不等式两边分别相加得：1

20、220031220022003200312xxx2xxxxxx(.)(.)+即：y220032003 2=当122003xxx1.=时，y2003 2=，即不等式的等号可以取到.故：y 的最小值是 2003 2.此法为“均值不等式”.20、已知 x y z,为正实数，且满足222222xyz21x1y1z+=+，求：222xyzf x y z1x1y1z(,)=+的最大值.解析：由222222222111xyz33211x1y1z1x1y1z()+=+=+由柯西不等式得：2222222222222xyzxyz1111x1y1z1x1y1z1x1y1z()()()+即：2222xyz2121x1

21、y1z()+=+故：222xyzf x y z21x1y1z(,)=+因此，f x y z(,)的最大值是2.此法为“柯西不等式”.21、设 为锐角，求：11f11()()()sincos=+的最小值.解析：11111f111()()()sincossincossincos=+=+将1sin与1cos通分，并与最后一项合并得：121f112sincos(sincos)()sincossincos+=+=+由222212(sincos)sincossincossincos+=+=+得：22111sincos(sincos)(sincos)(sincos)=+=+代入式得：212f1111(sin

22、cos)()(sincos)()sincos+=+=+再由辅助角公式得：2222224sincos(sincos)sin()+=+=+代入式得：2f1214()sin()=+由式及 为锐角，当4sin()+达到最大值1时，f()达到最小值，即：当14sin()+=时，2f132 221()=+=+.故，当4=时，f()达到最小值，最小值为 32 2+.此法为“辅助角公式法”.22、设 为锐角，求证：2sintan 构造函数：f2()sintan=+则函数的导函数为：3222112f2coscos()coscoscos+=+=3244212fcos(coscos)cos()cos+=322221

23、11cos(cos)(cos)cos(cos)tancos+=+因为：0cos，10cos，0tan，所以：f0()即：在定义域0 2(,)区间，函数 f()为单调递增函数，故：ff 00()()=，即：2sintan），则：22ab1+=，于是，222222222xy2 yzxy2 yzxy2 yz1xy2 yzb2axy2byz2axyzxa yb yzxyyza()()()()+=+即：222xy2 yz1xy2 yzb2axyzxyyza+令：b2a=，则代入22ab1+=得：22a4a1+=，即：1a5=，即：152a2=将 b2a=，152a2=代入式得：222xy2 yz52xyz+.证毕.此法为“待定系数法”.另一种方法：参数法 令：xmy=，zny=，代入222xy2 yz52xyz+得：22m2n52mn1+即证：222m2nmn15()+，即证：2222mmn2n1055+，即证：22221212mn105555()()()()+即证：2212mn055()()+而这是显然成立的.证毕.