22.1.3 二次函数y=a(x-h)^2 k的图象和性质（导学案）-【上好课】九年级数学上册同步备课系列（人教版）.docx

1、22.1.3 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象和性质 导学案 学习目标 1）用描点法画二次函数y=a(x-h) 2+k的图象。2）通过观察图象能说出二次函数y=a(x-h) 2+k的图象特征和性质。3）由二次函数y=ax2的图象特征及性质类比地学习二次函数y=a(x-h) 2+k的图象特征及性质，并能发现它们的联系，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。 重点难点突破 核心知识 思维导图 引入新课 新知探究 【问题】用描点法画二次函数y= - 12(x+1)21的图象。【问题】抛物线y=-12(x+1)21的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性各是什么？1)抛物线y=-12(x+

2、1)21的开口方向_、对称轴_,顶点坐标是_2)顶点都是最_点，函数都有最_值，最_值为_3)当x_时，抛物线从左到右呈上升趋势；当x_时，抛物线从左到右呈下降趋势.【提问】你能说出二次函数y=a(x-h)2+k（a0）的图象特征和性质吗？【思考】1)抛物线y=12x+121与y=12x2有什么关系？2)有没有其它平移方法？3)抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2有什么关系？【总结】一般地，抛物线y=a(x-h)2+k由y=ax2向上（或下）向左(或右)平移得到，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状_、位置_。平移的方向、距离要根据_的值来决定。【总结】二次函数y=a(x-h)2+

3、k的图象特征和性质: 典例分析 例1二次函数：y=13x2+1； y=12(x+1)22； y=12(x+1)2+2；y=12x2； y=12(x1)2； y=12(x1)2（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=1的是_(只填序号)；（2）以上二次函数有最大值的是_(只填序号)（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是_(只填序号)1抛物线y=12(x2)23的开口_，对称轴是_，顶点坐标是_2二次函数y=12(x+3)2+2的图象的对称轴是直线_；3二次函数y=(x1)25的最小值是_ 4将抛物线y2x2平移，使顶点移动到点P（3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_ 5已知函

4、数y=3（x+2）2+4，当x=_时，函数取得最大值6抛物线y=a（x+h）2-k的顶点在第三象限，则h _0，k_ 0例2已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y15（x3）22的图象上，若x1x23，则y1_y2（填“”、“”或“”）1已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为函数y2（x1）2+3的图象上的两点，若x1x20，则y1_y2（填“”、“”或“”）。2已知二次函数y=2(x1)2m的图象上有三点A12,y1，B2,y2，C2,y3，则y1，y2，y3的大小关系为_例3当x5时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是_6二次函数x3m2+m2，当mxm4时，y随x的增

5、大而减小，则m的取值范围是_例5二次函数y=x322+34的图象1x3如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（）Ay1 B1y3 C34y3 D0y3例6已知二次函数y=ax12aa0，当1x4时，y的最小值为4，则a的值为（）A12或4 B43或12 C43或4D12或41已知二次函数y=xh2+1（h为常数），在自变量x的值满足2x4的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为_2已知二次函数y=ax22+aa1时，函数值y随着x的增大而变化的情况例8如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=ax32+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且ABx轴

6、，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为_1已知抛物线y（xm）2+m-5的顶点A到x轴的距离为3，与x轴交于B、C两点求ABC的面积 能力提升 1已知抛物线C：y（xm）2+m+11）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；2）若m2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积2如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(-2，3)，过点A作ABy轴，垂足为B，连接OA，抛物线y=(x+1)2+c+1经过点A，与x轴正半轴交于点C（1）求c的值；（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB的内部（不包括OAB的边界），求m的取值范围 直击中考 1（2022

7、新疆统考中考真题）已知抛物线y=(x2)2+1，下列结论错误的是（）A抛物线开口向上 B抛物线的对称轴为直线x=2C抛物线的顶点坐标为(2,1) D当x1时，y随x的增大而增大3（2021辽宁阜新统考中考真题）如图，二次函数y=a(x+2)2+k的图象与x轴交于A，B1,0两点，则下列说法正确的是（）Aa0 B点A的坐标为4,0C当x2Bm32Cm1D32m26（2021四川德阳统考中考真题）已知函数y=12（1x3）（x5）2+8（3x8）的图象如图所示，若直线ykx3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和_ 课堂小结 1.本节课学了哪些主要内容？2.抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线

8、yax2的区别与联系是什么？3.通过本节课的学习，你想继续探究的知识是什么？【参考答案】 新知探究 【问题】用描点法画二次函y= - 12(x+1)21的图象。【问题】抛物线y=-12(x+1)21的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性各是什么？1)抛物线y=-12(x+1)21的开口方向向上、对称轴x=-1,顶点坐标是（-1，-1）2)顶点都是最高点，函数都有大值，最大值为y=-13)当x-1时，抛物线从左到右呈下降趋势.【提问】你能说出二次函数y=a(x-h)2+k（a0）的图象特征和性质吗？一般地，当a0）的图象特征和性质吗？一般地，当a0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向上，对称

9、轴是x=h，顶点是(h,k)，顶点是抛物线的最低点，函数最小值为k.在对称轴的左侧，抛物线从左到右呈下降趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右呈上升趋势.即当xh时，y随x的增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大.【思考】1)抛物线y=12x+121与y=12x2有什么关系？y=12x2向左平移1个单位y=12x+12向下平移1个单位y=12x+121.2)有没有其它平移方法？y=12x2向下平移1个单位y=12x2-1向左平移1个单位y=12x+1213)抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2有什么关系？【总结】一般地，抛物线y=a(x-h)2+k由y=ax2向上（或下）向左(或右)平移得

10、到，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同、位置不同。平移的方向、距离要根据h、k的值来决定。【总结】二次函数y=a(x-h)2+k的图象特征和性质: 典例分析 例1二次函数：y=13x2+1； y=12(x+1)22； y=12(x+1)2+2；y=12x2； y=12(x1)2； y=12(x1)2（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=1的是(只填序号)；（2）以上二次函数有最大值的是(只填序号)（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是和(只填序号)1抛物线y=12(x2)23的开口向上，对称轴是x=2，顶点坐标是（2，-3）2二次函数y=12(x+3)2+2的图象的对称轴

11、是直线x=-3；3二次函数y=(x1)25的最小值是-54将抛物线y2x2平移，使顶点移动到点P（3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y2（x+3）2+15已知函数y=3（x+2）2+4，当x=-2时，函数取得最大值6抛物线y=a（x+h）2-k的顶点在第三象限，则h 0，k 02已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y15（x3）22的图象上，若x1x23，则y1y2（填“”、“”或“”）1已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为函数y2（x1）2+3的图象上的两点，若x1x20，则y1_y2（填“”、“”或“”）。2已知二次函数y=2(x1)2m的图象上有三点A1

12、2,y1，B2,y2，C2,y3，则y1，y2，y3的大小关系为y3y2y1例3当x1时，函数y=2x+m2+1的函数值y随x的增大而减小，m的取值范围是m1例4二次函数y=2xh2+k（h、k均为常数）的图象经过A（2，y1）、B（0，y2）、C（2，y3）三点，若y2y1y3，则h的取值范围是105已知二次函数y=4(x-2h)2+8, x5时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是h526二次函数y=x3m2+m2，当mxm4时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是m2例5二次函数y=x322+34的图象1x3如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（C）Ay1 B

13、1y3 C34y3 D0y3例6已知二次函数y=ax12aa0，当1x4时，y的最小值为4，则a的值为（D）A12或4 B43或12 C43或4D12或41已知二次函数y=xh2+1（h为常数），在自变量x的值满足2x4的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为0或62已知二次函数y=ax22+aa1时，函数值y随着x的增大而变化的情况【详解】（1）设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+9，把4,0代入得a(4+1)2+9=0，解得a=1，抛物线的解析式为y=(x+1)2+9；（2）当x=0时，y=(x+1)2+9=8，抛物线与y轴的交点坐标为0,8；（3）抛物线的对称轴为直线x=1

14、，抛物线开口向下，当x1时，函数值y随着x的增大而减小例8如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=ax32+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且ABx轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为181已知抛物线y（xm）2+m-5的顶点A到x轴的距离为3，与x轴交于B、C两点求ABC的面积【详解】解：抛物线y（xm）2+m-5的顶点A到x轴的距离为3，与x轴交于B、C两点，该函数图象开口向上，m5=3，解得m=2，抛物线的解析式为：y=(x2)23令y=(x2)23=0，解得：x1=2+3,x2=23，BC=x1x2=(2+3）(23)=23，SABC=12BCyA=12233=33

15、 能力提升 1已知抛物线C：y（xm）2+m+11）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；2）若m2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积【详解】解：（1）抛物线的解析式为y=xm2+m+1，抛物线的顶点坐标为（m，m+1），抛物线的顶点坐标在第二象限，m0，1m0；（2）当m=2时，抛物线解析式为y=x+221=x2+4x+3，令y=0，即x2+4x+3=0，解得x=1或x=3，令x=0，y=3，如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），OD=3，AB=2，SABD=12ABOD=3，抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是32如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原

16、点，点A的坐标是(-2，3)，过点A作ABy轴，垂足为B，连接OA，抛物线y=(x+1)2+c+1经过点A，与x轴正半轴交于点C（1）求c的值；（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB的内部（不包括OAB的边界），求m的取值范围【详解】（1）将点A的坐标代入抛物线解析式，得：(2+1)2+c+1=3，解得c=3；（2）由（1）知抛物线的解析式为y=(x+1)2+4，抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标为(-1，4)，点A的坐标是(-2，3)，设直线AO的解析式为y=kx，则3=2k，解得：k=32，直线AO的解析式为y=32x，当x=1时，y=32平移后得到的抛物线顶

17、点落在OAB的内部（不包括OAB的边界），43m432，即1m52 直击中考 1（2022新疆统考中考真题）已知抛物线y=(x2)2+1，下列结论错误的是（D）A抛物线开口向上 B抛物线的对称轴为直线x=2C抛物线的顶点坐标为(2,1) D当x1时，y随x的增大而增大3（2021辽宁阜新统考中考真题）如图，二次函数y=a(x+2)2+k的图象与x轴交于A，B1,0两点，则下列说法正确的是（D）Aa0 B点A的坐标为4,0C当x2Bm32Cm1D32m26（2021四川德阳统考中考真题）已知函数y=12（1x3）（x5）2+8（3x8）的图象如图所示，若直线ykx3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 17