25.5解直角三角形的应用：方向角问题（重难点培优）（解析版）【沪教版】.docx

1、2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题25.5解直角三角形的应用：方向角问题（重难点培优）姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2020秋松江区期末）如图，一艘船从A处向北偏东30的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A15千米B10千米C103千米D53千米【

2、分析】根据直角三角形的三角函数得出AE，BE，进而得出CE，利用勾股定理得出AC即可【解析】如图，BCAE，AEB90，EAB30，AB10千米，BE5米，AE53千米，CEBCBE20515（千米），AC=CE2+AE2=152+(53)2=103（千米），故选：C2（2020秋徐汇区期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A10海里B53海里C5海里D533海里【分析】如图，在RtABC中，ABC903060，BC5海里，根据三角函数的定义即可得到结论【解析】如图，在RtA

3、BC中，ABC903060，BC5海里，ACBCtan6053（海里），即海监船C与货轮A的距离是53海里，故选：B3（2020徐汇区二模）如果从货船A测得小岛b在货船A的北偏东30方向500米处，那么从小岛B看货船A的位置，此时货船A在小岛B的（）A南偏西30方向500米处B南偏西60方向500米处C南偏西30方向2503米处D南偏西60方向2503米处【分析】根据方位角画出图形解答即可【解析】如图所示：小岛B在货船A的北偏东30方向500米处，货船A在小岛B的南偏西30方向500米处，故选：A4（2021越秀区二模）图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35的方向上有一棵大树B，已

4、知凉亭A在大树B的正西方向，若BC100米，则A、B两点相距（）米A100（cos35+sin35）B100（cos35sin35）C（100sin35+100cos35）D（100sin35-100cos35）【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点C作AB的垂线交AB于D，CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角边，要先求出CD的值然后再求AD，BD的值，进而得出AB的长【解析】过点C作AB的垂线交AB于D，B点在A点的正东方向上，ACD45，DCB35，在RtBCD中，BC100，DBBCsin35100sin35（米），CDBCcos35100cos35（米），在RtACD中，AD

5、CD，ABAD+DB100（sin35+cos35）（米）故选：A5（2021春吴江区月考）如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60方向，向正东航行40海里后到达B处，此时测得小岛P位于南偏西75方向，则小岛P离观测点A与B的距离分别是（）A202海里，（203-20）海里B（203-20）海里，202海里C203海里，（202-20）海里D（203-202）海里，202海里【分析】过点P作PDAB于D，在AB上取一点C，使CPBCBP907515，则CPCB，PCACPB+CBP30，先证PAPCBC，再证ADCD，PD=12PA，ADCD=3PD=32PA=32BC，设PDx海里，则P

6、A2x海里，由AB2AD+BC得出方程，解方程，即可解决问题【解析】过点P作PDAB于D，在AB上取一点C，使CPBCBP907515，则CPCB，PCACPB+CBP30，PAC906030，PCAPAC，PAPCBC，PDAB，ADCD，PD=12PA，ADCD=3PD=32PA=32BC，设PDx海里，则PA2x海里，BDCD+BC（3x+2x）海里，AB2AD+BC，4023x+2x，解得：x10（3-1），PA20（3-1）（203-20）海里，BD=310（3-1）+203-20（103+10）海里，PB=PD2+PB2=(103-10)2+(103+10)2=202（海里），故选

7、：B6（2021深圳模拟）如图，在A处测得点P在北偏东60方向上，在B处测得点P在北偏东30方向上，若AP63千米，则A，B两点的距离为（）千米A4B43C2D6【分析】证明ABPB，在RtPAC中，求出PC33千米，在RtPBC中，解直角三角形可求出PB的长，则可得出答案【解析】由题意知，PAB30，PBC60，APBPBCPAB603030，PABAPB，ABPB，在RtPAC中，AP63千米，PC=12PA33千米，在RtPBC中，sinPBC=PCPB，PB=PCsin60=3332=6千米故选：D7（2020秋石家庄期中）如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60的方向行驶，到达B

8、地后沿着南偏东50的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（）AB地在C地的北偏西40方向上BA地在B地的南偏西30方向上CACB50DsinBAC=12【分析】根据平行线的性质及方向角的概念分别解答即可【解析】如图所示：由题意可知，BAD60，CBP50，BCECBP50，即B在C处的北偏西50，故A错误；ABP60，BAG+GBF18060120，即A在B处的北偏西120，故B错误；ACB90BCE40，即公路AC和BC的夹角是40，故C错误BADABP60，BAC30，sinBAC=12，故D正确；故选：D8（2020大连）如图，小明在一条东西走向公路的O处，

9、测得图书馆A在他的北偏东60方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A100mB1002mC1003mD20033m【分析】根据题意求出AOB，根据直角三角形的性质解答即可【解析】由题意得，AOB906030，AB=12OA100（m），故选：A9（2020深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70方向，则河宽（PT的长）可以表示为（）A200tan70米B200tan70米C200sin 70米D200sin70米【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及PQT的度数，

10、进而得到PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长【解析】在RtPQT中，QPT90，PQT907020，PTQ70，tan70=PQPT，PT=PQtan70=200tan70，即河宽200tan70米，故选：B10（2020吴江区二模）一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东60方向，轮船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在船的南偏西75方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是（）A（153-15）海里、15海里B（153-152）海里、5海里C（153-152）海里、152海里D（153-15）海里、152海里【分析】过S作SCAB于C，在AB上截取CDAC，根据线段垂直平分线

11、的性质得到ASDS，由等腰三角形的性质得到CDSCAS30，求得SDBD，设CSx，解直角三角形即可得到结论【解析】过S作SCAB于C，在AB上截取CDAC，ASDS，CDSCAS30，ABS15，DSB15，SDBD，设CSx，在RtASC中，CAS30，AC=3x，ASDSBD2x，AB30海里，3x+3x+2x30，解得：x=15(3-1)2，AS（153-15）（海里）；BS=CS2+BC2=152（海里），灯塔S离观测点A、B的距离分别是（153-15）海里、152海里，故选：D二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11（2020奉贤区二模）如图

12、，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是40海里【分析】根据已知方向角得出PPAB30，进而得出对应边关系即可得出答案【解析】如图所示：由题意可得，PAB30，DBP30，故PBE60，则PPAB30，可得：ABBP40海里故答案为：4012（2019辽阳模拟）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45方向上，测得A在北偏东30方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是（503+50）米（结果保留根号形式）【分析】过点C作C

13、DAB于点D，在RtACD中，求出AD、CD的值，然后在RtBCD中求出BD的长度，继而可求得AB的长度【解析】如图，过点C作CDAB于点D，在RtACD中，ACD30，AC100m，AD100sinACD1000.550（m），CD100cosACD10032=503（m），在RtBCD中，BCD45，BDCD503m，则ABAD+BD503+50（m），即A、B之间的距离约为（503+50）米故答案为：（503+50）13（2019辽阳模拟）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60方向、在码头B的北偏西45方向，AC4千米那么码头A、B之间

14、的距离等于（23+2）千米（结果保留根号）【分析】作CDAB于点D，在RtACD中利用三角函数求得CD、AD的长，然后在RtBCD中求得BD的长，即可得到码头A、B之间的距离【解析】如图，作CDAB于点D在RtACD中，CAD906030，CDACsinCAD412=2（km），ADACcos30432=23（km），RtBCD中，CDB90，CBD45，BDCD2（km），ABAD+BD23+2（km），故答案是：（23+2）14（2015宁夏）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA4km，某船从港口A出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60的方向

15、，则该船航行的距离（即AB的长）为22km【分析】过点A作ADOB于D先解RtAOD，得出AD=12OA2km，再由ABD是等腰直角三角形，得出BDAD2km，则AB=2AD22km【解析】如图，过点A作ADOB于D在RtAOD中，ADO90，AOD30，OA4km，AD=12OA2km在RtABD中，ADB90，BCABAOB753045，BDAD2km，AB=2AD22km即该船航行的距离（即AB的长）为22km故答案为22km15（2020秋临沭县期末）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB4km，从A测得船C在北偏东45的方向，从B测得船C在北偏东22.5的方向，则船C离海

16、岸线l的距离（即CD的长）为（4+22）km【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和角平分线的性质得出答案【解析】由题意可得，CABACD45ADCD，过点B作BEAC，垂足为E，则ABE是等腰直角三角形，在RtABE中，AEBEABsin4522（km），由题意可得BCABCD22.5，BDCD，BEAC，BDBEAE22（km），ADCDAB+BD（4+22）km，故答案为：（4+22）16（2021武昌区模拟）一艘轮船以20千米/时的速度向正东方向航行，到达A点时测得小岛C在点A北偏东60方向：继续航行半小时到达B点，这时测得小岛C在点B的东北方向；再继续航行3+14

17、小时，轮船刚好到达小岛C的正南方向（31.732，21.414）【分析】过C作CDBC交BC的延长线于D，由含30角的直角三角形的性质得AD=3CD，再证BDC是等腰直角三角形，得BDCD，设BDCDx千米，则AD=3x千米，然后由ADBDAB得出方程，解方程，即可解决问题【解析】如图，过C作CDBC交BC的延长线于D，由题意得：AB2012=10（千米），BAC906030，CBD45，AD=3CD，BDC是等腰直角三角形，BDCD，设BDCDx千米，则AD=3x千米，ADBDAB，3xx10，解得：x53+5，BD（53+5）千米，53+520=3+14（小时），即再继续航行3+14小时，

18、轮船刚好到达小岛C的正南方向，故答案为：3+1417（2021姑苏区一模）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，从观测站A测得船C在北偏东45的方向，从观测站B测得船C在北偏西30的方向，且船C离观测站B的距离为2km，（即BC2km），则A，B两个观测站之间的距离为（3+1）km（结果用根号表示）【分析】如图，过点C作CDAB于点D，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系求解即可【解析】如图，过点C作CDAB于点D，DCB30，BC2km，BD=12BC1km，CD=3km，CADACD45，ADDC=3km，ABAD+DB

19、（3+1）km故答案为：（3+1）18（2021海安市模拟）如图，某海监船以30海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为603海里【分析】先证明PBBC，推出C30，可得PC2PA，求出PA即可解决问题【解析】在RtPAB中，APB30，PB2AB，由题意得BC2AB，PBBC，CCPB，ABPC+CPB60，C30，PC2PA，PAABtan60，AB30130（海里），PC2303=603（海里），故

20、答案为：603三、解答题（本大题共6小题，共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2020秋崇明区期末）为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告；在P处南偏东30方向上，距离P处14海里的Q处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东60方向上，继续航行半小时到达了B处，此时测得监测点P在其北偏东30方向上（1）B、P两处间的距离为14海里；如果联结图中的B、Q两点，那么BPQ是等边三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它能填“能”或“不能

21、”到达Q处；（2）如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？【分析】（1）先由题意得AB14（海里），PAB30，ABP120，再由三角形内角和定理得APB30PAB，则PBAB14（海里），然后证BPQ是等边三角形，进而得A、B、Q三点共线，即可得出结论（2）过点P作PHAB于H，由（1）得PBH60，再求出PH73，然后由7312即可得出结论【解析】（1）如图1所示：由题意得：AB2812=14（海里），PAB906030，ABP90+30120，APB180PABABP30，APBPAB，PBAB14（海里），BCPD，BPDPBC30，BPQBPD+QP

22、D30+3060，PQPB14，BPQ是等边三角形，PBQ60，PBQ+ABP60+120180，A、B、Q三点共线，如果海监船保持原航向继续航行，那么它到达Q处，故答案为：14，等边，能；（2）过点P作PHAB于H，如图2所示：由（1）得：PBH60，在RtBHP中，PHsin60PB=321473，7312，海监船继续向正东方向航行是安全的20（2020秋闵行区期中）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60方向上，前进8海里后达到点B处，测得岛C在其北偏东45方向上已知岛C周围10海里内有暗礁问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由【分析】作CDAB于点D，

23、求出C到航线的最近的距离CD的长，与10海里比较大小即可【解析】无触礁危险，理由如下：作CDAB于点D，由题意可知，CAB30，CBD45，ACB15，在RtBCD中，BDC90，CBD45，BCD45，BDCDAB8，AD8+CD=3CDDC=83-1=4(3+1)10.910，船继续向东航行无触礁危险21（2019秋静安区期末）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22方向上（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M沿着南偏东30的方

24、向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由（参考数据：sin220.375，cos220.927，tan220.404，31.732）【分析】（1）过点M作MDAC交AC的延长线于D，设DMx，解直角三角形即可得到结论；（2）作DMF30，交l于点F解直角三角形即可得到结论【解析】（1）过点M作MDAC交AC的延长线于D，设DMx，在RtCDM中，CDDMtanCMDxtan22，又在RtADM中，MAC45，ADDM，ADAC+CD100+xtan22，100+xtan22x，x=1001-tan221001-0.404167.79，答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米（2）

25、作DMF30，交l于点F在RtDMF中，DFDMtanFMDDMtan30=33DM33167.7996.87米，AFAC+CD+DFDM+DF167.79+96.87264.66300，所以该轮船能行至码头靠岸22（2021全椒县二模）海上测绘船沿正北方向航行，在A点观察东西方向的岛屿的西端M在A点的北偏东36.9方向航行4km后到达B点，测得该岛屿东端N在B点的北偏东67.4方向，又航行6km后到达C点，测得该岛屿正好在C点的正东方向（即C，M，N在同一直线上）求该岛屿东西两端M，N之间的距离（参考数据：sin36.90.60，tan36.90.75，sin67.40.92，tan67.4

26、2.40）【分析】在RtACM和在RtBCN中，利用正切函数解答【解析】ACAB+BC4+510（km），在RtACM中，tanCAM=CMAC=tan36.90.75，CM7.5（km），在RtBCN中，tanCBN=CNCB=tan67.42.40，CN12（km），MNCNCM127.54.5（km）答：该岛屿东西两端MN之间的距离约为4.5km23（2021乐东县模拟）如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得CAO26.5，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得DBO49（1

27、）直接写出：在小岛C看点A俯角大小是26.5；点B在小岛D什么方位？南偏西49；（2）求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）（参考数据：sin26.50.45，cos26.50.89，tan26.50.50，sin490.75，cos490.66，tan491.15）【分析】（1）过C作CEOA，由平行线的性质得ACECAO26.5，再由俯角和方位角的定义求解即可；（2）设B处距离码头O有xkm，分别在RtCAO和RtDBO中，根据三角函数求得CO和DO，再利用DCDOCO，得出x的值即可【解析】（1）过C作CEOA，如图所示：则ACECAO26.5，即在小岛C看点A俯角大小

28、是26.5，由题意得：DOB90，DBO49，点B在小岛D南偏西49方向上，故答案为：26.5，南偏西49；（2）设B处距离码头O有xkm，由题意得：AB280.25.6（km），则OAAB+BO（5.6+x）km，在RtCAO中，CAO26.5，tanCAO=OCOA，OCOAtanCAO（5.6+x）tan26.5（5.6+x）0.50（2.8+0.5x）km，在RtDBO中，DBO49，tanDBO=DOBO，DOBOtanDBOxtan491.15x（km），DCDOCO，6.41.15x（2.8+0.5x），解得：x14.2（km）答：B处距离码头O约14.2km24（2021巩义市

29、模拟）2020年12月29日至2021年1月7日，我国解放军在南海聚集了一系列新型水面舰艇并展开了相关的军事演习如图所示，我军某舰队正在南海某海域进行“海上交会”训练：主舰队P从点A以平均航速32nmile/h，沿北偏东30的方向出发同时，补给舰Q从海岛B以平均航速20nmile/h，沿西偏北80的方向出发已知主舰队P与补给舰Q同时出发，经过0.5h后，P，Q在点C处相遇完成“海上交会”求点A，B间的直线距离（结果精确到0.01nmile参考数据：sin400.64，cos400.77，tan400.84，658.06）【分析】通过作垂线，构造直角三角形利用直角三角形的边角关系求解即可【解析】如图，过点B作BDAC，垂足为D，连接AB，由题意得，AC320.516（nmile），BC200.510（nmile），30，80，C30+（9080）40，在RtBCD中，CDBCcosC100.777.7（nmile），BDBCsinC100.646.4（nmile），ADACCD167.78.3（nmile），在RtADB中，AB=AD2+BD2=832+64210.48（nmile），答：点A，B间的直线距离约为10.48nmile