凹凸函数与琴生不等式.pdf

1、当函数 f(x)二阶可导时，xDf(x)0 f(x)在区间 D 上严格下凸，下凸函数也称凸函数f(x)0),则 g”(x)=210,xg(x)在（0，+）上是凹函数，对于 ak(0,+),(k=1,2,，n)，由琴生不等式：111111lnln()ln10()nnkkkknnkkkkknnkkkkkkbabaa bbbb11ln01knnkkkkkbba故a(ii)由(i)知，g(x)=lnx 在0,上是凹函数，由琴生不等式：10 对于 bk(0,1),且11nkkb22111111lnln()knnkkknnbkkkknnkkkkkkbbbbbbb（*）0k111111112b,(0,),1

2、11ln1ln()ln,lnlnnn1(*)kknkkknnkkkkkknnnbkkkkkknbkkbbbbbbbbbbn对于且从而故ln由（*）、（*）综合，可得出原不等式成立。对于 2011 的压轴题，原题没有给定限制，完全可以脱离原函数，重新构造函数。但对于 2012的压轴题，原题对解题方法有所限制，这里把它看做无限制，用以上类似的方法求证。2.(2012，湖北 22 题)（）已知函数()(1)(0)rf xrxxrx，其中 r 为有理数，且 01r.求()f x 的最小值；（）试用（）的结果证明如下命题：设120,0aa，12,b b 为正有理数.若121bb，则12121 122bb

3、a aa ba b；（）请将（）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当 为正有理数时，有求导公式1()xx.解析：(1)(I)()min0f xf（II）证明：令 g(x)=lnx(x0),则 g(x)在(0,)上为凹函数（1 题已证）10当1a，2a 中至少有一个为 0 时，则12121 122bba aa ba b成立；20若1a，2a 0 时，由琴生不等式：11221 1221212lnlnln()babaa ba bbbbb121bbln1212121 122121 122lnln()bbbba aa ba ba aa ba b综上，原不等式成立。（III）命题形式：设10,),1,nkkkkabnb为正有理数,(k=1,2,若则11knnbkkkkkaa b 证明：10当1a,2a an 中至少有一个为 0 时，原不等式显然成立。20当 ak0,)n(k=1,2,时，由琴生不等式：111111lnln()knnkkkknnbkkkkknnkkkkkkbaa baa bbb综上，原不等式成立。