3.1.2 椭圆的简单几何性质-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、3.1.2椭圆的简单几何性质【考点梳理】考点一：椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa，bybbxb，aya顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点(，0)(0，)焦距|F1F2|2对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e(0,1)考点二：直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系的判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及的取值的关系如表所

2、示直线与椭圆解的个数的取值两个不同的公共点两解0一个公共点一解0没有公共点无解0重难点技巧：弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长【题型归纳】题型一：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴1（2022山东滨州高二期末）已知椭圆与椭圆，则下列结论正确的是（）A长轴长相等B短轴长相等C焦距相等D离心率相等2（2021山东济宁高二期中）椭圆与椭圆的（）A长轴长相等B短轴长相

3、等C离心率相等D焦距相等3（2021河南襄城县实验高级中学高二阶段练习（文）已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线与椭圆C交于A，B两点，则的面积是（）ABCD题型二：椭圆的椭圆的范围问题4（2022江苏高二）已知椭圆的焦距为4，则有（）A椭圆C的焦点在x轴上B椭圆C的长轴长为6C椭圆C的离心率为D以椭圆C的四个顶点为顶点的四边形的周长为5（2021江苏高二单元测试）在椭圆上有两个动点，为定点，则的最小值为（）ABCD16（2022福建省永春美岭中学高二期中）已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（）ABCD题型三：椭圆的离心率问题7（2022河南安阳高二阶段练习）已知矩

4、形ABCD的四个顶点都在椭圆上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且，则该椭圆的离心率为（）ABCD8（2022河南南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）已知F是椭圆C：的右焦点，A是C的上顶点，直线l：与C交于M，N两点若，A到l的距离不小于，则C的离心率的取值范围是（）ABCD9（2022江西省广丰中学高二阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，则C的离心率为（）ABCD题型四：椭圆的中点弦问题10（2022四川南充高二期末）过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（）ABCD11（2022全国

5、高二）已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（）ABCD12（2022四川遂宁中学高二）若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为（）ABCD题型五：直线与椭圆的弦长问题13（2022海南琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（）ABCD14（2022四川自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文）已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，则下列不正确的是（）.A椭圆的焦点坐标为，B椭圆C的长轴长为4C直线的方程为D15（2022江苏高二）已知椭圆的左、

6、右焦点分别为，焦距为过点作轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为点如图所示，若的面积为，则椭圆的方程为（）ABCD题型六：离心率综合问题16（2022江苏南京市中华中学高二开学考试）已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（）ABCD17（2022江苏扬州大学附属中学高二阶段练习）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（）ABCD18（2022全国高三开学考试）椭圆的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若，则椭圆离心率的取值范围为（）ABCD题型七：椭圆的定点、定值、最值问题19（2022江苏泰州中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点(1)求椭圆C

7、的方程；(2)过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得直线l绕点F无论怎样转动都有？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由20（2022贵州黔西南州金成实验学校高二期末）已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1(1)求椭圆的方程；(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点求证：为定值21（2022四川德阳五中高二）已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点相同，椭圆C的离心率为(1)求椭圆C方程；(2)若直线交椭圆C于P、Q两点，l交y轴于点R求三角形POQ面积的最大值（其中O为坐标原点）；若，求实数的取值范围题型八：椭圆中的向量问题22（

8、2022四川泸州高二期末）已知椭圆C:的离心率为，且经过点(1)求C的方程；(2)若直线交C于A，B两点，且（O为坐标原点），求m的值23（2022江苏省海州高级中学高二）已知椭圆的离心率为，且过点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0，求直线l的斜率24（2022广西贵港高二期末）已知椭圆的一个焦点与短轴的一个端点连线的倾斜角为，直线与椭圆相交于和两点，且为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围.【双基达标】一、单选题25（2022全国高二课时练习）若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（）A有相等的长轴

9、长B有相等的焦距C有相等的短轴长D长轴长与焦距之比相等26（2022辽宁昌图县第一高级中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率为，焦距为.(1)求椭圆的方程；(2)若点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程.27（2022重庆一中高二阶段练习）已知椭圆的左焦点坐标为，离心率，点分别是椭圆的左右顶点.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆上的一动点作斜率为的直线，过分别作垂直于长轴的直线交于点，求四边形面积的最小值.【高分突破】一：单选题28（2022全国高二单元测试）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD29（2022全国高二单元测试）椭圆（）

10、的左、右焦点分别是，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（）ABCD30（2022江苏高二专题练习）已知椭圆C：的离心率为，直线l：交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上（与点A，B不重合）若直线AD，BD的斜率分别为，则的最小值为（）AB2CD31（2022江苏南京二十七中高二开学考试）过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（）ABCD32（2022江苏高二专题练习）设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、，且

11、满足，则椭圆的离心率为（）ABCD33（2022黑龙江双鸭山一中高二阶段练习）已知椭圆C：（）的左右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（）ABCD.二、多选题34（2022辽宁高二阶段练习）已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直线与椭圆的另一个交点为，则（）AB当时，的面积为CD的周长的最大值为35（2022重庆八中高二阶段练习）已知椭圆的上下焦点分别为，左右顶点分别为，是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（）A该椭圆的长轴长为B使为直角三角形的点共有6个C若点的纵坐标为1，则的长度为D若点是异于，的点，则直线与的斜率之积为236（2022江

12、西高二阶段练习）已知椭圆的左，右焦点分别为，过点垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若点P是椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（）A的最小值为B的面积的最大值为C的取值范围为DC上有且只有4个点P，使得是直角三角形37（2022全国高二课时练习）椭圆的左、右焦点分别为，O为坐标原点，以下说法正确的是（）A椭圆C的离心率为B椭圆C上存在点P，使得C过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8D若P为椭圆上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为238（2022全国高二）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（）A椭圆的短轴长为B当最大时，C离心率为D

13、的最小值为339（2022广东中山纪念中学）设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的一个动点，则下列结论正确的是（）A离心率B面积的最大值为C的最大值为1D以线段为直径的圆与直线相切三、填空题40（2022河南南阳高二阶段练习）已知椭圆C：，对于C上的任意一点P，圆O：上均存在点M，N使得，则C的离心率的取值范围是_41（2022辽宁沈阳二中高二阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_.42（2022全国高二课时练习）已知椭圆：的焦点为，过且倾斜角为60的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则_43（2022全

14、国高二单元测试）若、是椭圆C：的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是_（填序号）椭圆C的离心率为；存在点A使得；若，则；面积的最大值为12四、解答题44（2022辽宁高二）设椭圆的长轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆外一点任作一条直线交椭圆于两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某条定直线上.45（2022河南南阳市第二完全学校高级中学高二）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，离心率为，过作直线l交椭圆C于M，N两点，的周长为(1)求椭圆C的方程；(2)在轴上是否存在异于点的定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0？若存在，求出点Q

15、的坐标；若不存在，请说明理由46（2022江苏省清江中学高二）已知、是椭圆的左、右两个焦点，其中，为坐标原点(1)以线段为直径的圆与直线相切，求的离心率；(2)设为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点若椭圆的焦距为，且，求的值47（2022河南南阳市第二完全学校高级中学高二）已知椭圆C：的左右焦点分别为，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在C上(1)求C的方程；(2)若过点的直线l交C于A，B两点，且M是AB的中点，求直线的斜率48（2022河北省唐县第一中学高二）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭

16、圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知求证：直线恒过x轴上一定点.49（2022江苏南京市第二十九中学高二开学考试）已知椭圆过点，直线：与椭圆交于两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆上存在两点，使得关于直线对称，求实数的范围【答案详解】1C【分析】利用，可得且，即可得出结论【详解】，且，椭圆与椭圆的关系是有相等的焦距故选：C2D【分析】分别求出两个椭圆的长短半轴长、半焦距、离心率，再逐项比对即可判断作答.【详解】椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距，长轴长是10，短轴长是6，焦距是8，离心率是，椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距，

17、长轴长是，短轴长是，焦距是8，离心率是，由于k值的变化，则在所给选项中，椭圆与椭圆只有焦距相等.故选：D3A【分析】由题知，直线，进而与椭圆方程联立得，进而根据计算即可.【详解】解：由题意可得，则直线.联立，整理得，设，则，从而.因为，所以的面积是.故选：A4D【分析】由已知椭圆方程即可求出的值，进而可以求出，的值，从而可以判断选项是否正确【详解】解：因为，所以，由已知椭圆方程可得：，则，又椭圆的焦距为4，所以，则，所以椭圆的方程为，且，所以焦点在轴上，故A错误，长轴长为，故B错误，椭圆的离心率为，故C错误，又，所以以椭圆C的四个顶点为顶点的四边形的周长为，故D正确；故选：D5C【分析】由题意

18、得，然后转化为椭圆上的点P到点的距离的问题处理，根据二次函数的最值可得所求【详解】解：由题意得设椭圆上一点，则，又，当时，取得最小值故选：C6C【分析】根据已知条件可得出、所满足的等式，求出的取值范围，结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】由题意可知，整理得，则，故，因为，所以，所以，即故选：C7B【分析】根据条件可得，然后即可建立方程求解.【详解】由椭圆的方程可得当时，所以，因为，所以，所以，所以，解得或（舍）故选：B8B【分析】据，得到，根据点A到直线距离，求出，从而求出得范围，从而求出答案.【详解】设椭圆的左焦点为，A是C的上顶点，连接，如下图所示：由椭圆的对称性可知，关于原点

19、对称，则又 ，四边形为平行四边形 ，又，解得：A到l的距离为：，解得：，即.故选：B.9C【分析】设，则，利用勾股定理求出，再解方程即得解.【详解】解：依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，四边形是矩形，其中，设，则，根据勾股定理，整理得，由于点M在第一象限，由，得，即，整理得，即，解得.故选：C10A【分析】由与x轴交点横坐标可得半焦距c，设出点A，B坐标，利用点差法求出的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，则有，两式相减得：，而，且，即有，又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意，所以椭圆的方程为.故选：A11A【分析】设出点A，B的坐标，利用“点差法

20、”求解作答.【详解】设点，依题意，相减得，因直线AB的倾斜角为，即直线AB的斜率为，又为线段的中点，则，因此有，即，所以椭圆的离心率.故选：A12D【分析】判断点M与椭圆的位置关系，再借助点差法求出直线AB的斜率即可计算作答.【详解】显然点在椭圆内，设点，依题意，两式相减得：，而弦恰好被点平分，即，则直线AB的斜率，直线AB：，即，所以所在的直线方程为.故选：D13A【分析】利用弦长公式求解即可.【详解】设直线AB方程为，联立椭圆方程整理可得：，设，则，根据弦长公式有：=故B，C，D错误.故选：A.14A【分析】根据椭圆方程求得，从而确定AB选项的正确性.利用点差法确定C选项的正确性.利用弦长

21、公式确定D选项的正确性.【详解】依题意椭圆C：，所以，所以椭圆的焦点坐标为，A选项错误.椭圆的长轴长为，B选项正确.设，则，两式相减并化简得，由于是的中点，所以，即直线的斜率为，所以直线的方程为，C选项正确.消去并化简得，所以，D选项正确.故选：A15C【分析】由题意可知，结合面积公式求得，又，故，即可求解【详解】轴，点和点的横坐标为，设点，轴，把点代入椭圆方程中得到，令可得由的面积为，即，又，解得，故椭圆方程为故选：C16C【分析】根据椭圆方程可知值，根据焦点坐标得到值，即可求出代入离心率公式求解.【详解】由已知可得，则，所以，则离心率故选：C.17A【分析】由题知，进而求得可得答案.【详解

22、】解：因为椭圆的焦点坐标为，所以，所求椭圆的焦点坐标为，即，因为，所求椭圆的短半轴长为，所以，所以，所以，所求椭圆的方程为：.故选：A18B【分析】求出直线方程，与椭圆方程联立消去得关于的二次方程，利用是它的一个解，求得点坐标坐标，然后由向量的线性关系用用表示，利用的范围求得离心率的范围【详解】，则AF：，满足,消去得，是它的一个解，另一解为，因为，所以，所以，故，所以，所以故选：B19(1)；(2)存在，.【分析】（1）由题给条件列出关于a、b、c的方程组，解得a、b即可求得椭圆C的方程；（2）由题意可知在x轴上存在一点，使成立，据此结合根与系数的关系可求解.（1）由题意得，解得：所以椭圆C

23、的方程为（2）由题意可知 若直线l斜率存在，设直线l的方程为，联立得，整理得由题意可知恒成立，所以，假设在x轴上存在一点，使得x轴平分，则，所以，整理得，即，整理得，则，即，解之得若直线l斜率不存在时，则M，N两点关于x轴对称，当点P坐标为时，x轴平分综上所述，在x轴上存在一点，使得x轴平分20(1)(2)见解析【分析】(1)由给定条件建立a，b的方程组，再求解即得；(2)设出点P的坐标，求出直线AP，BP方程，进而求得点M，N的坐标，再计算即可得解.（1）依题意，又，解得，所以椭圆的方程为.（2）设点，而，且，当时，直线AP：，点，直线BP：，点，当时，所以所以是定值.21(1)(2) ；【

24、分析】（1），再结合椭圆和抛物线有相同焦点，可以求出曲线方程；（2）先联立方程，求相交弦长，再求原点到直线的距离，可以求出面积关于k的函数；找出与，的关系，利用韦达定理，求出的取值范围，再求的取值范围（1）由，可得，故，设椭圆又抛物线的焦点，即，椭圆（2）（）设，联立由，且，原点O到直线l距离，令，所以，当且仅当，时，等号成立，此时面积最大为（），又，22(1)；(2).【分析】（1）由离心率、点在椭圆上求椭圆参数，即可得椭圆方程；（2）联立椭圆与直线，应用韦达定理、向量数量积的坐标表示有，即可求m值，注意验证结果.（1）由离心率得：，所以，点在椭圆C上，则，所以，C的方程为；（2）联立方程组

25、，消去x得，令，则，所以，因为，所以，即，此时满足，所以.23(1)；(2)直线l的斜率为1【分析】（1）利用题意得到关于的方程组，即可得到椭圆的方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，表示，化简变形即可求解（1）因为椭圆的离心率为，且过点，所以，解得，所以椭圆C的标准方程为；（2）设直线，联立方程，整理得，即，即，即，整理得，所以或，若，则直线过点，不合题意，所以直线的斜率为24(1)(2)【分析】（1）由题意，建立关于的方程组，求解方程组即可得答案；（2）设，若直线的斜率存在，设的方程为，联立方程组，由韦达定理及，可得，且，进而可得；当直线的斜率不存在时，易得.综上，即可得答案

26、.(1)解：不妨设左焦点为，上顶点为，则，所以，因为直线与椭圆相交于和两点，且，所以将点的坐标代入椭圆的方程，得，联立方程组，解得，所以椭圆的方程为；(2)解：设，若直线的斜率存在，设的方程为，联立方程组，消去得，则，又，所以，且，即，则，因为，所以，整理得，则，且恒成立，所以，又，且，所以，即；当直线的斜率不存在时，又，解得，所以综上，的取值范围为.25B【分析】分别求出椭圆与椭圆的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标和离心率，由此能求出结果【详解】解：椭圆，可知，长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是；离心率是：椭圆中，长轴长是，短轴长是；焦距是8；焦点坐标是；离心率是椭圆与椭圆关系为有

27、相等的焦距故选：B26(1)(2)【分析】（1）依题意可得，即可求出、，再根据求出，即可求出椭圆方程；（2）设，利用点差法求出直线的斜率，从而求出直线的方程.（1）解：由已知，所以，所以椭圆方程为.（2）解：设直线与椭圆交于，两点，则且，两式相减并化简得.又，所以，即，所以直线的方程为.27(1)(2)【分析】（1）由题意，求解出的值，可得答案；（2）由题意，设出直线方程，并求解点的坐标，根据直角梯形的面积公式，可得答案.（1）由椭圆的左焦点为，则，解得，.（2）设，即，由题意，可得，令，则，即，令，则，即，由，则，或当吋，.28D【分析】先由椭圆的定义结合已知求得，再由求得的不等关系，即可求

28、得离心率的取值范围.【详解】由椭圆的定义得，又，而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，即，即，则，即.故选：D29C【分析】由题可求得，即可得出，再根据离心率范围即可求出【详解】解：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，又,，则，即线段的长度的取值范围是，故选：C30B【分析】不妨假设，则可求，将B，D代入椭圆，然后两式进行相减可得，整理出，代入之后再结合基本不等式即可求出答案【详解】解：设，则点B，D都在椭圆C上，两式相减，得，即当且仅当时取“=”故选：B31A【分析】因为为正三角形，所以结合椭圆的定义可得，所以椭圆的离心率，代入即可得出答案.【详解】图所示，易知，由椭圆的定义可得，则该椭圆

29、的离心率故选：A.32A【分析】由三角恒等变换化简可得，设出的坐标，在两个三角形中表示出和，再由点在椭圆上化简可得的关系，进而求出离心率【详解】因为可得，即，而在三角形中，所以上式可得而，所以可得，即，由题意可得，设，可得，由椭圆的对称性设在第一象限，如图所示：在中，在中，所以，所以可得，所以离心率故选：33B【分析】由题设以线段为直径的圆为，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.【详解】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，所以，可得，即，又，所以.故选：B34AC【分析】对A：由方程求，进而求；对B：根据方程结合题意运算求解；对C：设直线，利用两点间距离公式结

30、合韦达定理运算求解；对D：根据椭圆定义分析求解.【详解】由椭圆方程，得，所以，所以，故A项正确；当时，点到的距离为2，所以的面积为，故B项错误；因为点在第一象限，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，点，则直线，联立方程，得到，在椭圆上，则，即同理，于是，故C项正确；设椭圆的右焦点为，当直线经过椭圆的右焦点时，的周长为，如果不经过右焦点，则连接，可知的周长小于，所以的周长的最大值为，故D项错误.故选：AC.35BCD【分析】A.由椭圆方程知，则椭圆的长轴长为.B.为直角三角形要从分别为直角出发考虑.C.求出点的坐标，进而得到答案.D.把点的坐标设出来，直接求直线与的斜率之积，利用椭圆方程把点

31、的纵坐标用横坐标表示出来即可得到答案.【详解】A.由椭圆方程知，则椭圆的长轴长为.故选项A不正确.B.当轴时，满足为直角三角形，此时点有2个；轴时，满足为直角三角形，此时点有2个；又因为，满足为直角三角形，此时点可以为左右顶点.所以使为直角三角形的点共有6个. 故选项B正确.C.若点的纵坐标为1, 则，则的长度为.故选项C正确.D.设点，则，则直线与的斜率之积.故选项D正确.故选：BCD36BCD【分析】由题意得是等边三角形，从而可求得，再根据通径可求得，即可求得椭圆方程，由当点位于上下顶点时，最大，结合余弦定理即可判断A；设，再根据即可判断B；根据数量积的坐标表示结合的范围，即可判断C；分别

32、分析以三个点为直角顶点的直角三角形的个数，即可判断D.【详解】解：由题意得是等边三角形，所以的周长为，所以，令，则，则，所以，所以椭圆，对于A，当点位于上下顶点时，最大，此时的最小为，故A错误；对于B，设，则，所以的面积的最大值为，故B正确；对于C，设，则，所以，又，则，因为，所以，所以，故C正确；对于D，由A选项可知，最大时为锐角，所以以点为直角顶点的不存在，以点为直角顶点的分别有2个，所以C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确.故选：BCD.37BC【分析】求得椭圆C的离心率判断选项A；求得满足条件的点P判断选项B；求得的周长判断选项C；求得点P，Q的最大距离判断选项D.【详解】

33、对于选项A，因为，所以，即，所以椭圆C的离心率，故A错误；对于选项B，设点为椭圆上任意一点，则点P的坐标满足，且，又，所以，因此，令，可得，故B正确；对于选项C，由椭圆的定义可得，因此的周长为，故C正确；对于选项D，设点为椭圆上任意一点，由题意可得点到圆的圆心的距离，因为，所以则，故D错误故选：BC38ABD【分析】椭圆定义有，结合已知确定的最小值并确定此时的位置，即可判断D、B的正误，此时设，结合椭圆方程求短轴长，即可判断A、C的正误.【详解】由题意知，所以因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确由B的分析，不妨令，代入椭圆方程，得又，所以，得，所

34、以椭圆的短轴长为，故A正确易得，所以，故C错误故选：ABD.39ACD【分析】根据椭圆的方程可直接求得离心率，即可判断A项，由椭圆方程求得焦点坐标，根据椭圆的性质，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，即可判断B项，设，利用平面向量数量积的坐标表示即可判断C项，利用圆心到直线的距离即可判断D项.【详解】解：因为椭圆的方程为，故，所以离心率，故A项正确；由题可知，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，最大值为，故B项错误；设，则，则，所以，又，故，所以的最大值为1，故C项正确；因为，所以以线段为直径的圆的方程为，圆心为，半径为，又直线方程为，故圆心到直线的距离为，所以以线段为直径的圆与直

35、线相切，故D项正确.故选：ACD.40【分析】当P为椭圆的上下顶点时，可得存在点M，N使得；当P不为椭圆的上下顶点时，将点M，N位置特殊化，从而得到直线PA，PB分别与圆O切于A，B点，因为，所以，并通过，得到，从而计算出，的不等关系以及椭圆的离心率.【详解】连接OP，当P不为椭圆的上下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于A，B点，设，因为存在点M，N使得，所以，所以，所以，可得，而，即，可得，所以椭圆的离心率，当点P位于椭圆的上下顶点，点M、N位于圆O与x轴的左右交点时，所以此时在圆O上存在点M，N使得所以椭圆C的离心率的取值范围是故答案为：41【分析】由已知可得点的轨迹是以原点为圆心，

36、半焦距为半径的圆.再结合点总在椭圆内部可列出关于的不等式进而求解.【详解】由题意知，设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 点的轨迹是以原点为圆心， 半焦距为半径的圆.又点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即，即.故答案为：.42【分析】根据四边形为平行四边形且可得，将其代入椭圆方程即可求解.【详解】依题意可知，设，因为四边形为平行四边形，所以，又因为，所以，因为，且直线的倾斜角为60，所以，所以，所以，将其代入，得，又因为，所以，故答案为：43【分析】对于，根据方程求出，再求离心率，对于，设，表示出，然后求，判断方程是否有解即可，对于，利用椭圆的定义求解，对于，利用椭圆的性质求解.【详解】对，由题

37、得a5，b3，c4，离心率为，故错误对，设，得椭圆的参数方程为（t为参数），所以，若存在点A使，则，即，得有解，故存在点A使，故正确对，因为，故错误对，当A位于短轴端点时，此时的面积最大，所以，故正确故答案为：44(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，得到与，列方程求解即可.（2）设直线的方程，然后，联立方程，设，利用韦达定理和，得到和，进而得到点所在直线.（1）由题意得，解得，所以椭圆方程为.（2）证明：设直线的斜率为，于是，联立得，设点，于是.又因为，设点，于是，由题可知都小于3，所以上式可化简为所以，将其代入直线方程，得，于是，因此点在定直线上.45(1)(2)存在，坐标为【分析

38、】（1）利用椭圆定义和离心率列方程可解；（2）记点N关于x轴的对称点为，将问题转化为三点能否共线问题，设直线方程联立椭圆方程消元，利用韦达定理代入共线的坐标表示可解.（1）由椭圆定义可知的周长为4a，所以由题可知，解得，所以所以椭圆C的方程为（2）如图，设，记点N关于x轴的对称点为，易知直线l的斜率不为0，故设其方程为，代入整理可得：，则直线与的斜率之和为0，等价于三点共线，等价于即，等价于因为所以时，恒成立，即直线与的斜率之和为0.所以，存在定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0，点Q坐标为46(1)(2)【分析】（1）分析可知圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于、的等式，求出、

39、的等量关系，即可求得椭圆的离心率的值；（2）设点，利用平面向量的线性运算可求得点的坐标，代入椭圆的方程可求得的值，进而可求得的值.（1）解：线段的中点为原点，且，所以，以为直径的圆的方程为，由题意可得，解得，.（2）解：易知点，则，设点，由可得，即，解得，即点，将点的坐标代入椭圆的方程可得，.因此，.47(1)(2)【分析】（1）由题意可知，因为点在C上，代入结合，即可得出答案.（2）设，代入椭圆的方程，相减后得到，又因为M是AB的中点，所以，代入即可求出的直线的斜率（1）设，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以，因为点在C上，所以，又，解得，所以C的方程为.（2）设，因为直线

40、l与椭圆C交于A，B两点，所以，两式相减得，是AB的中点，所以，则，由（1）知，所以代入有：所以直线的斜率为48(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意列方程组求解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线的斜率是否为0.（1）由题意可得，解得，所以椭圆C的方程为（2）依题意，点，设，因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意所以直线斜率必不为0，设其方程为，与椭圆C联立，整理得：，所以，且因为点是椭圆上一点，即，则，所以，即因为，所以，此时，故直线：恒过x轴上一定点49(1)；(2)实数的范围为【分析】（1）由点差法可得，结合在椭圆上列方程可求，由此可得椭圆方程；（2）（1）设，则，即因为A，B在椭圆C上，所以，两式相减得，即，又，所以，即又因为椭圆C过点，所以，解得，所以椭圆C的标准方程为；（2）设的中点为，所以，因为P，Q关于直线l对称，所以且点N在直线l上，即又因为P，Q在椭圆C上，所以两式相减得即，所以，即联立，解得，即又因为点N在椭圆C内，所以，所以 所以实数的范围为