4微专题：例析平面向量的线性运算 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册.docx

1、【学生版】微专题：例析平面向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算；向量线性运算的结果仍是向量；从一个或几个向量出发，通过线性运算得到的新向量称为原来那些向量的线性组合；即对于任意向量，以及任意实数，1，2，恒有(12)12；平面向量线性运算问题的求解策略：1、进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来；2、向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用；3、用几个基本向量表示某个向量问题的

2、基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果；【典例】例1、根据图形（如图），下列结论正确的是（ ）; ；; ；A BC D【提示】；【答案】；【解析】；【说明】本题考查了向量加法、减法的几何意义；利用向量加、减法的几何意义解决问题通常有两种方法：1、根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解相关问题；2、平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，可考虑利用向量知识来求解；例2、（1）【2020新高考】若D为ABC的边AB的中点，则（ ）A2 B2 C2 D2（2）在ABC中，2，且E为AC的中点，则()A

3、B CD【提示】；【答案】；【解析】；【说明】本题主要考查了对平面几何中“中点”性质的关注、理解与应用；注意：找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解；例3、已知点M是ABC所在平面内的一点，若点M满足|0且SABC3SABM，则实数 例4、在ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点，下列说法正确的序号是 ；若，则是在上的投影向量；若点P是线段AD上的动点，且满足，则的最大值为；例5、（1）如图所示，为的外心，为内一点；则为垂心的充要条件是：；（2）若将（1）中“为内一点”；改换为“为所在平面内任一点”，其余条件不变，（1）中命题还成立

4、吗？【归纳】向量线性运算的解题策略1、常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则；2、找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解；3、用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果；解题依据向量线性运算的技巧相反向量化减为加向量加法的三角形法则化为首尾顺次相接的两个向量的和向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则化为共起点的两个向量的差【即时练习】1、.在平行四边形中，点为的中点，与的交点为，设，则向量

5、等于（ ）A B C D2、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于( )A B C D3、若、是平面内任意四点，给出下列式子：，其中正确的命题序号为 4、若点P为ABC所在平面内，且满足2，则 5、如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若(，为实数)，则22 6、已知任意四边形，为的中点，为的中点，求证：。【教师版】微专题：例析平面向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算；向量线性运算的结果仍是向量；从一个或几个向量出发，通过线性运算得到的新向量称为原来那些向量的线性组合；即对于任意向量，以及任意实数，1，2，恒有(12)12；平面向量线性

6、运算问题的求解策略：1、进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来；2、向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用；3、用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果；【典例】例1、根据图形（如图），下列结论正确的是（ ）; ；; ；A BC D【提示】注意：向量几何表示的特点与“自由”向量；【答案】C；【解析】根据向量加法的平行四边形法则

7、，得，故中的结论正确；根据向量减法的三角形法则，得，故中的结论错误；2，故中的结论正确；，故中的结论错误；故选C；【说明】本题考查了向量加法、减法的几何意义；利用向量加、减法的几何意义解决问题通常有两种方法：1、根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解相关问题；2、平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，可考虑利用向量知识来求解；例2、（1）【2020新高考】若D为ABC的边AB的中点，则（ ）A2 B2 C2 D2（2）在ABC中，2，且E为AC的中点，则()A B CD【提示】（1）注意“中点”的几何性质；（2）注意“中点”的应用；【

8、答案】（1）A；（2）A；【解析】（1）因为，D为ABC的边AB的中点，所以，()，所以，2；故选A；（2）解法1：().解法2：()；解法3：如图，作，以，为基底将分解，得xy，易知x0，排除B、C、D选项，故选A；【说明】本题主要考查了对平面几何中“中点”性质的关注、理解与应用；注意：找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解；例3、已知点M是ABC所在平面内的一点，若点M满足|0且SABC3SABM，则实数 【提示】注意：结合三角形图像用好三角形法则与平行四边形法则；【答案】3；【解析】如图，设D为BC的中点，则2，因为|0，所以0，所以2，

9、于是A，M，D三点共线，且，又SABC3SABM，所以，又因为SABDSABC且，所以，解得3；【说明】本题考查了向量线性运算的应用；与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值；例4、在ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点，下列说法正确的序号是 ；若，则是在上的投影向量；若点P是线段AD上的动点，且满足，则的最大值为；【提示】注意：掌握有关概念与运算律，数形结合地分析；【答案】；【解析】如图所示：对命题，20，故错误；对命题，()()()0，故正确对命题，分别表示平行于，的单位向量，由平面向

10、量加法可知，表示的向量在BAC的平分线上因为，所以AD为BAC的平分线又因为AD为BC的中线，所以ADBC，如图所示在的投影为|cos B|，所以是在上的投影向量，故正确；对命题，如图所示点P在线段AD上，即A，P，D三点共线因为2，所以21，0,1，.22，当且仅当，时取等号所以取得最大值，故正确；【说明】本题考查平面向量的加法、减法的几何意义，数形结合的应用；例5、（1）如图所示，为的外心，为内一点；则为垂心的充要条件是：；（2）若将（1）中“为内一点”；改换为“为所在平面内任一点”，其余条件不变，（1）中命题还成立吗？【提示】注意：三角形“外心”、“垂心”的几何性质与向量的交汇；【解析】

11、充分性：作直径，连接、，则，；所以，故四边形是平行四边形，所以，又，所以，成立；必要性：因为为的外心，为内一点；内一点，且，所以，取中点，则，又，所以，因为，所以，同理，可得，可得，所以是三条高的交点，即的垂心了；（2）成立；因为向量的运算法则不会因为在外侧而发生改变，所以只要满足题干中的条件，仍然能按照（1）中的推导证明是的垂心；【说明】本题考查了向量线性运算在平面几何证明中的应用；变形：是关键；【归纳】向量线性运算的解题策略1、常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则；2、找出图形中的相等向量、共线向量，

12、将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解；3、用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果；解题依据向量线性运算的技巧相反向量化减为加向量加法的三角形法则化为首尾顺次相接的两个向量的和向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则化为共起点的两个向量的差【即时练习】1、.在平行四边形中，点为的中点，与的交点为，设，则向量等于（ ）A B C D【答案】C【解析】()=故选C.2、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于( )A B C D【答案】A【解析】作出示意图如图所示()().故选A.3、若、是平

13、面内任意四点，给出下列式子：，其中正确的命题序号为 【答案】；【解析】的等价式是=，左边=+，右边=+，不一定相等；的等价式是=，左边=右边=，故正确；的等价式是=+，左边=右边=，故正确.所以正确的有2个，故选B【说明】熟练掌握向量的线性运算法则是解题的关键4、若点P为ABC所在平面内，且满足2，则 【答案】；【解析】因为22()，所以3，所以，共线，且3|，所以.；5、如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若(，为实数)，则22 【答案】；【解析】()，所以，故22； 6、已知任意四边形，为的中点，为的中点，求证：。【证明】如图所示，在四边形中，在四边形中，得，、分别是、的中点，、，即；【说明】平面向量的线性运算有几何运算和坐标运算两种形式，几何运算主要是利用三角形法则和平面向量的基本定理，坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则