4.1 因式分解（原卷版）.docx

1、4.1 因式分解课堂知识梳理1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.课后培优练级练培优第一阶基础过关练1下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）Am(x+y)=mx+myBx2-4+3x=(x+2)(x-2)+3C(x+3)(x-3)=x2-9Dx3-x=x(x+1)(x-1) 2判断下列各式从左到右的变形，其中不是因式分解的是（）Ax2-2xy+y2=x-y2Ba+ba-b=a2-b2Cx2+3x

2、=xx+3Da3b2+a2b=a2bab+13若x2+kx-15能分解成x+5x-3，则k的值为_4若关于x的多项式x2+kx+b因式分解为(x-2)2，则k+b的值为_5若多项式2x2-5x+m有一个因式为(x-1)，那么m=_6如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且mn（以上长度单位：cm）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为_7已知整式A=xx+3+5，整式B=ax-1(1)若A+B=x-22，求a的值；(2)若A-B可以分解为x-2x-3，求a的值8仔细阅读

3、下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值解：设另一个因式为x+n，得x2-4x+m=x+3x+n，则x2-4x+m=x2+n+3x+3n，n+3=-4m=3n，解得：n=-7，m=-21，另一个因式为x-7，m的值为-21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式3x2+4x-k有一个因式是x-5，求另一个因式以及k的值9在分解因式x2+ax+b时，小明看错了b，分解结果为x+2x+4；小张看错了a，分解结果为x-1x-9，求a，b的值培优第二阶拓展培优练10若2x+5x-2是多项式2x2-mx-20因式分解的结果，则m的值为（）A-

4、3B3C-6D611将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式例如，由图（1）可得等式：x2+p+qx+pq=x+px+q将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（）Aa+b2a+bBa+b3a+bCa+ba+2bDa+ba+3b12已知多项式2x2+bx+c 分解因式为2x-3x+1 ，则bc的值为_13在当今“互联网+”的时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2-x-2因式分解的结果是x-1x+1x+2，当取x=19时，各个因式的值是：x-1=18

5、，x+1=20,x+2=21，于是就可以把“182021”作为一个六位数的密码类似地，对于多项式x3+(m-3n)x2-nx-21，当取x=66时，得到密码596769，则m=_，n=_14如图，用一张如图A的正方形硬纸板、三张如图B的长方形硬纸板、两张如图C的正方形硬纸板拼成一个长方形（如图D）(1)请用不同的式子表示图D的面积（写出两种即可）；(2)根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式15【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式例如图1可以得到a+b2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：(1)根据图2，写出一个代数恒等式：_(2)利用（1）

6、中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=20，ab+ac+bc=100，则a2+b2+c2=_(3)小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出m的所有可能取值_【知识迁移】(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：_16问题：已知多项式x4+mx3+nx-16含有因式x-1和x-2，求m、n的值解答：设x4+mx3+nx-16=A(x-1)(x-2)（其中A为整式），取

7、x=1，得1+m+n-16=0，取x=2，得16+8m+2n-16=0，由、解得m=-5，n=20根据以上阅读材料解决下列问题：(1)若多项式3x3+ax2-2含有因式x-1，求实数a的值；(2)若多项式2x2+mxy+ny2-4x+2y含有因式x+y-2，求实数m、n的值；(3)如果一个多项式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余数请求出多项式x2022+2x1011+5除以一次因式x+1的余数171637年笛卡尔（RDescartes，15961650）在其几何学中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分

8、解因式：x3+x2+3x-5解：观察可知，当x=1时，原式=0原式可分解为x-1与另一个整式的积设另一个整式为x2+bx+c则x3+x2+3x-5=x-1x2+bx+c，x-1x2+bx+c=x3+b-1x2+c-bx-c，x3+x2+3x-5=x3+b-1x2+c-bx-c等式两边x同次幂的系数相等，则有：b-1=1c-b=3-c=-5，解得b=2c=5x3+x2+3x-5=x-1x2+2x+5根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：(1)根据以上材料的方法，分解因式x3+2x2-3的过程中，观察可知，当x=_时，原式=0，所以原式可分解为_与另一个整式的积若设另一个整式为x2

9、+bx+c则b=_，c=_(2)已知多项式x3+ax+1（a为常数）有一个因式是x+1，求另一个因式以及a的值下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程解：设另一个因式为x2+bx+c，则x3+ax+1=x+1x2+bx+c(3)已知二次三项式2x2+3x-k（k为常数）有一个因式是x+4，则另一个因式为_，k的值为_培优第三阶中考沙场点兵18（2022山东济宁统考中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）Ax2-x-1=x(x-1)-1Bx2-1=(x-1)2Cx2-x-6=(x-3)(x+2)Dx(x-1)=x2-x19（2020河北统考中考真题）对于x-3xy=x(1-3y)，(x+3)(x-1)=x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（）A都是因式分解B都是乘法运算C是因式分解，是乘法运算D是乘法运算，是因式分解