4.2指数函数 讲义（知识点 考点 练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册.docx

1、4.2 指数函数一、指数函数的定义一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.思考为什么底数应满足a0且a1?二、两类指数模型1ykax(k0，a0且a1)，当a1时为指数增长型函数模型2ykax(k0，a0且a1)，当0a10a1图象性质定义域R值域(0，)过定点过定点(0,1)，即x0时，y1函数值的变化当x0时，0y0时，y1当x0时，0y1；当x1单调性在R上是增函数在R上是减函数对称性yax与yx的图象关于y轴对称思考1在平面直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？思考2指数函数yax(a0且a1)的图象“升”“降”主要取决于什么？四、比较

2、幂的大小一般地，比较幂大小的方法有(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断五、解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如af(x)ag(x)的不等式，可借助yax的单调性求解(2)形如af(x)b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解(3)形如axbx的不等式，可借助两函数yax，ybx的图象求解六、指数型函数的单调性一般地，有形如yaf(x)(a0，且a1)函数的性质(1)函数yaf(x)与函数yf(x

3、)有相同的定义域(2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有相同的单调性；当0a0，且a1)的单调性取决于哪个量？思考2如何判断形如yf(ax)(a0，a1)的函数的单调性？考点一 指数函数的判断【例1】(2019河南中原.郑州一中高一开学考试)函数f(x)=(a23a+3)ax是指数函数，则a的值为( )A1B3C2D1或3【练1】(2019南昌市新建一中高一月考)下列函数中，指数函数的个数为() yax ；y1x；A0B1C3D4考点二 定义域和值域【例2】(2020全国高一课时练习)求下列函数的定义域和值域；(1)；(2)；(3).【练2】(2020沙坪坝.重庆八中高一期末)已知实数

4、且,若函数的值域为,则的取值范围是( )ABCD考点三 指数函数性质【例3】(2019浙江南湖.嘉兴一中高一月考)函数为增函数的区间是( )ABCD【练3】(2020四川泸县五中高一月考)若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_考点四 定点【例4】(2020浙江高一课时练习)函数(，且)的图象过定点，则点的坐标为( )ABCD【练4】(2020全国高一课时练习)已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是( )A(1，5)B(1，4)C(0，4)D(4，0)考点五 图像【例5】(2019浙江高一期中)函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是 ( )ABCD【练5】(2019辛

5、集市第二中学高二期中)已知a1，则函数y=ax与y=(a-1)x2在同一坐标系中的图象可能是()ABCD课后练习1. （2016新课标卷文）已知a=243 ，b=323 ，c=2513 ，则（）A.bacB.abcC.bcaD.cab2. （2020高一上公主岭期末）函数 f(x)=2ax-1-1(a0，且a1) 恒过定点（ ） A.(1,-1) B.(1,1)C.(0,1) D.(0,-1)3. （2019高一上兴庆期中）设 a=2.10.3 ， b=0.32.1 ， c=log2.10.3 ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ） A.abcB.cbaC.cabD.bca4. （201

6、8高三上吉林月考）已知 a=40.3 ， b=(12)-0.9 ， c=2log62 则 a,b,c 的大小关系是（ ） A.a b cB.cabC.cbaD.bc0 且 a1 )，则 f(x) 的图像恒过定点_ 7. （2020高一上上海期中）若函数 y=(a2-1)x 是减函数，则 a 的取值范围_. 8. （2020高一上湖州期中）全民拒酒驾，平安你我他.在我国认定酒后驾车标准的起点是：驾驶人每100毫升血液中的酒精含量不得超过20毫克.一名驾驶员喝酒后，血液中酒精含量迅速上升到6.4 mg/ml ，假定在停止喝酒后血液中的酒精含量以每小时50%的速度下降，为了保证交通安全，该驾驶员喝酒

7、后至少过个小时才可驾车？ 9. （2019高一上辽源期中）若函数 f(x)=(k+3)ax+3-b(a1) 是指数函数 （1）求k，b的值； （2）求解不等式 f(2x-7)f(4x-3) 10.（2020高一上东丽期末）已知集合 A=a|loga121 ， B=a|(12)a0 且 a1 （1）求a的值 ; （2） 求函数 y=f(x)+1(x0) 的值域 12.（2020高一上河北期中）已知函数 f(x)=2-xx-1 的定义域为集合 A ，函数 g(x)=3m-2x-x2-1 的值域为集合 B . （1）求集合 A 、 B ； （2）若 AB=B ，求实数 m 的取值范围 精讲答案思考答

8、案当a0时，ax可能无意义；当a0时，x可以取任何实数；当a1时，ax1 (xR)，无研究价值因此规定yax中a0，且a1.思考1答案指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限思考2答案指数函数yax(a0且a1)的图象“升”“降”主要取决于底数a.当a1时，图象具有上升趋势；当0a0，且a1)的单调性与其底数a有关，当a1时，yax在定义域上是增函数，当0a20=1 ， a1 ， 00.32.11 ， 0b1 ，log2.10.30 ， c0cb20.61 , c=2log62 =log641 ，所以 cab ，故答案为：B.【分析】根据指数函数的单调性与“1”的妙用即可

9、；5.【答案】（2，0） 【考点】指数函数的单调性与特殊点 【解析】解：令x2=0得x=2，则y=x21=11=0， 所以函数y=x21的图象过定点（2，0），故答案为：（2，0）【分析】由解析式令x2=0求出x和y的值，可得函数图象过的定点坐标6.【答案】 (32,2) 【考点】指数函数的单调性与特殊点 【解析】令 2x-3=0 ，解得 x=32 ， f(32)=a0+1=2 ，所以 f(x) 的图像恒过定点 (32,2) . 故答案为： (32,2)【分析】令 2x-3=0 ，求出此时x, y的值，即可得到函数f(x)的图像过定点的坐标。7.【答案】 (-2,-1)(1,2) 【考点】指数

10、函数的图象与性质 【解析】因为指数函数 y=(a2-1)x 是减函数， 所以 0a2-11 ，解得 -2x-1 或 1x2 ，所以 a(-2,-1)(1,2) .【分析】根据指数函数的性质可知， y=(a2-1)x 的底数 0a2-11) 是指数函数 k+3=1,3-b=0 k=-2,b=3 （2）解：由（1）得 f(x)=ax(a1) ，则函数 f(x) 在 R 上单调递增 f(2x-7)f(4x-3) 2x-74x-3 ，解得 x-2 即不等式解集为 x|x-2 ；【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域，指数函数的单调性与特殊点 【解析】（1）根据指数函数的定义列出方程，求解即可；（

11、2）根据指数函数的单调性解不等式即可；10.【答案】 （1）解： loga121 时， a12 a1 0a1 时， a12 0a1或0a12(12)a0 ，即 B=a|a0（2）解： CRA=a|12a1或a0 所以 CRAB=a|12a1【考点】交、并、补集的混合运算，指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点 【解析】（1）利用对数函数的单调性结合与特殊值对应的对数的大小关系比较，从而求出集合A，再利用指数函数的单调性结合与特殊值对应的指数的大小关系比较，从而求出集合B。 （2）利用（1）求出的集合A和集合B，再结合交集和补集的运算法则，从而求出集合 （RA）B 。11.【答案】

12、（1）解：因为函数 f(x)=ax-1(x0) 的图象经过点 (2，12) ， 所以 f（2）=a2-1=a=12 （2）解：由 （1） 得 f(x)=(12)x-1(x0) ， 因为函数在 0,+) 上是减函数，所以当 x=0 时，函数取最大值2，故 f(x)(0,2 ，所以函数 y=f(x)+1=(12)x-1+1(x0)(1,3 故函数 y=f(x)+1(x0) 的值域为 (1,3 【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【解析】（1）根据题意，由待定系数法即可得答案；（2）结合（1）得 f(x)=(12)x-1(x0) ，由指数函数性质即可得答案.12.【答案】 （1）解：对于函

13、数 f(x)=2-xx-1 ，有 2-xx-10 ，即 x-2x-10 ，解得 1x2 ，即 A=x|1x2 . m-2x-x2=-(x+1)2+m+1m+1 ，则 03m-2x-x23m+1 ，则 -1g(x)3m+1-1 ，即 B=(-1,3m+1-1 ；（2）解：由 AB=B ，得 AB ，所以， 3m+1-12 ，即 3m+13 ，解得 m0 ， 因此，实数 m 的取值范围是 0,+) .【考点】集合的包含关系判断及应用，函数的定义域及其求法，指数函数的单调性与特殊点 【解析】 (1)根据题意首先求出函数f(x)的定义域，再由已知条件g(x)=3m-2x-x2-1结合指数函数的性质即可得出-1g(x)3m+1-1进而求出集合B。 (2)利用已知条件AB=B即AB由集合之间的包含关系即可得出关于m的不等式3m+13求解出结果即可。