回归“四基”提升能力 化简转化拨云见日——2022年高考“三角函数与解三角形”专题命题分析.pdf

1、下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）2022年高考数学对三角函数与解三角形的考查基本保持了原有的规律，考查方式和考查内容既呈现一定的稳定性，又展现一定的创新性.下面对各份试卷中直接考查三角函数与解三角形的试题进行分析.试题中三角函数与解三角形的知识占比较少，或者在求解过程中转化为三角函数与解三角形问题的试题，本文不做分析.一、考查内容分析2022年高考数学对三角函数与解三角形的基本考查数据如表1所示.回归“四基”提升能力化简转化拨云见日2022年高考“三角函数与解三角形”专题命题分析薛红霞，张士彩（山西省教育科学研究院；山西省大同市教育科学研究中心）摘要：基于2022年高考数学试卷

2、中的三角函数与解三角形试题，分析其基本情况、试题特点和命题导向，并在此基础上提出教学建议.关键词：三角函数；解三角形；高考试题；命题导向；教学建议收稿日期：2022-07-05作者简介：薛红霞（1970），女，中学高级教师，山西省特级教师，苏步青数学教育奖二等奖、国家级基础教育成果奖二等奖、山西省基础教育成果奖特等奖获得者，教育部基础教育跨学科教学指导专委会委员，人民教育出版社普通高中教科书数学（A版）核心作者及培训专家，主要从事中学数学教育和课堂教学改革研究卷别全国甲卷全国乙卷全国新高考卷全国新高考卷北京卷浙江卷上海卷天津卷理文理文题号/题型三角函数5，11，12/选择题5，7/选择题15/

3、填空题8，11/选择题6/单选题6/单选题9/多选题5，10/选择题13/双空题4，6/选择题13/双空题3/填空题9/选择题解三角形16/填空题16/填空题17/解答题17/解答题18/解答题18/解答题16/解答题11/填空题18/解答题19/解答题16/解答题分值20151722172226321820备注第5题和第12题与其他知识综合第7题和第16题分别与理科的第5题和第16题相同第17题与文科第17题是姊妹题第8题和第11题与其他知识综合第10题与其他知识综合表12022年高考数学三角函数与解三角形试题的考查情况命题研究 32下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）从表 1

4、可以看出，2022 年高考对三角函数与解三角形的考查具有如下特点.1.覆盖核心知识以上试题的考查内容包括三角函数的图象与性质、同角三角函数的基本关系式及恒等变换、解三角形等.没有直接考查角与弧度制知识、三角函数的定义，以及解三角形的实际应用等.2.题型丰富，但没有开放性试题从题型上看，三角函数与解三角形试题有单选题、多选题、填空题、多空题（以下统称“小题”），以及解答题（以下统称“大题”）.没有出现像 2020 年全国新高考卷第17题和北京卷第17题那样的开放性试题.3.各份试卷中题量、分值差异较大在全国卷中，试题数量不尽相同：4（或3）道小题，或者 2（或 1）道小题加 1 道大题，分值差异

5、不大，占试卷总分的10%14.6%.在地方卷中，分值差异比较大.例如，浙江卷共计32分，约占试卷总分的21.3%，包含4道小题和1道大题，是4份地方卷中占比最多的；而上海卷共计18分，约占试卷总分的12%，是4份地方卷中占比最少的.4.容易题与中等题为主，难题较少如表 1，据统计，2022 年各份试卷中一共有三角函数与解三角形试题小题 22 道、大题 8 道.其中，大题位于解答题中的前三道题的位置，属于容易题或中等题.22 道小题中，有 5 道题在同类题型最后一题的位置，三角函数试题3道，解三角形试题2道；有3道题在同类题型倒数第二题的位置，都是关于三角函数的试题.按照常规理解，属于难题或者较

6、难题.从题量上看，30 道试题中有 5 道小题位于难题的位置，占比较少，从分值上看占比更少.二、命题特点分析1.命题意图分析（1）关于三角函数的图象与性质：核心知识重点考查.例 1（全 国 新 高 考 卷 6）记 函 数 f()x=sinx+4+b()0 的最小正周期为T.若 23 T ，且 y=f()x 的图象关于点 32，2 中心对称，则 f 2的值为（）.（A）1（B）32（C）52（D）3考查目标：试题考查学生对函数 y=Asin()x+b的图象与性质的掌握程度，考查学生基于此类函数的逻辑推理能力，以及综合应用不等式知识分析问题和解决问题的能力.命题意图：该题能考查出学生思维的灵活性.

7、能否利用周期的不等关系 23 T 0 的最小正周期为 T，得 T=2.由 23 T ，得 23 2 .所以 2 3.因为 y=f()x 的图象关于点 32，2 中心对称，所以 b=2，且 sin32 +4=0.所以 32 +4=k，k Z.所以 =23k-14，k Z.取 k=4，可得 =52.所以 f()x=sin52 x+4+2.则 f 2=sin52 2+4+2=-1+2=1.故答案选A.命题评价：该题的情境源于教材.在人教 A 版普通高中教科书数学必修第一册（以下统称“教材”）“5.6 函数 y=Asin()x+”中刻画筒车、摩天轮运动规律的函数，以及习题5.6第7题中所涉及的函数都是

8、 y=Asin()x+b 型的；“5.7 三角函数的应用”的例 1（气温变化问题）和例 2（潮汐现象问题）是依据此类函数图象的特征解决实际问题.该题求解思路容易获得，利用周期求参数 的值是教材中的常命题研究 33下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）见题.利用教材“探究与发现”栏目中给出的关系T=2 求解即可.该题稍有变式，与不等式结合只能求得参数 的一个取值范围，为此需要先根据参数 b 的几何意义确定其值，再依据对称中心的代数特征得到关于 的关系式，进而求解.这种设计方式充分考查了函数 y=Asin()x+b 的图象与特征，以及学生良好的数学运算素养，是一道中等题.放在第 6 题的

9、位置，对学生的心理素质也是一种考验.例 2（全国新高考卷9）已知函数 f()x=sin()2x+()0 的图象关于点 23，0中心对称，则（）.（A）f()x 在区间 0，512单调递减（B）f()x 在区间-12，1112有两个极值点（C）直线 x=76 是曲线 y=f()x 的对称轴（D）直线 y=32-x 是曲线 y=f()x 的切线考查目标：试题考查学生对函数y=Asin（x+）的图象与性质的掌握程度，考查学生利用该函数的图象特征求参数的能力，以及对利用导数法求曲线切线的掌握程度.命题意图：该题只有一个参数，利用函数 y=Asin()x+的图象的对称性可以确定参数的值，从而转化为通过已

10、知函数研究其图象与性质的问题，学生容易求解.有助于考查学生对相关基础知识和基本技能及转化思想方法的熟练应用.选项D稍有变化，但是结合多选题的特点，排除了选项B和选项C，则必然要选择选项D，从而考查了学生思维的灵活性.解：因为 f()x=sin()2x+()0 的图象关于点 23，0 中心对称，所以 2 23+=k，即 =k-43，k Z.因为 0 ，所以 =23.故 f()x=sin2x+23.令 2 2x+23 32，解得-12 x 512.所以 f()x 在 0，512单调递减.故选项A正确.由 x -12，1112，得 2x+23 2，52.由函数的单调性知函数 f()x 在区间-12，

11、1112只有一个极值点.故选项B错误.令2x+23=k+2，k Z，得x=k2-12，k Z.选项C显然错误.由 y=sin2x+23，得 y=2cos 2x+23.令 y=-1，得cos 2x+23=-12.结合选项，令x=0，得sin 2x+23=32，即切点为|0，32.所以直线 y=32-x 是曲线的切线.故选项D正确.综上所述，答案选AD.命题评价：该题的情境是学生熟悉的，求解思路也是常规的，体现了基础性.在教材“第五章 三角函数”的第 5.4 节和第 5.5 节中已经进行了充分研究，并有配套例题和习题.例如，第5.4节的例5、习题5.4的第4题和第16题、第5.5节的例9等，其情境

12、与该题基本一致.在之前的高考中常见这种考法的试题，特别是地方卷的大题中，如 2017 年全国卷理科第 6 题、2016年天津卷理科第15题和2015年北京卷文科第16题等.该题选项 D 的设计，增加了试题的新意，体现了命题中传承与创新之间的连续.选项 D 的判断有多种途径，体现了灵活性.以前有利用导数法求与三角函数有关的函数的最值问题，如2014年全国大纲卷理科第 16 题、2016 年全国卷文科第 12 题和 2018 年全国卷理科第 16 题等，但是没有求三角函数切线方程的.该题属于容易题，体现了基础性和创新性.三角函数的极值点容易判断，关键在于把握函数在所给定义域内的图象特征.类似的试题

13、还有全国甲卷理科第11题.与该题的区别是函数图象的右端点是变化的，确定其变化范围的边界，使得在此范围内满足试题的条件“函数 f()x=sinx+3在区间()0，恰有三个极值点、两个零点”，再转化为代数表达式，命题研究 34下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）即可求出参数 的取值范围.这种解法充分体现了数形结合思想方法的应用.类似的试题在之前的高考中经常出现，如2016年全国卷理科第12题（难题）和2018 年北京卷文科第 16 题等.与例 2 相比，此类题有一定难度，属于较难题.关于三角函数零点的试题还有全国乙卷理科第15题和北京卷第13题.全国乙卷理科第15题给人的第一感觉有些迷

14、惑，但冷静读题就会发现其求解思路是比较常规的，属于较难题.北京卷第13题属于简单题.此外，关于三角函数的图象变换，在全国甲卷（文科）、浙江卷和天津卷中进行了考查，分别在第5题、第6题和第9题的位置.北京卷第5题考查了逆用倍角公式化简之后求函数单调区间的知识，属于简单题.这些试题都体现了基础性.（2）用数形结合的思想方法研究函数图象：基本方法灵活应用.例 3（全国乙卷文 8）图 1 是下列四个函数中的某个函数在区间-3，3 的大致图象，则该函数是（）.图1-3311Oxy（A）y=-x3+3xx2+1（B）y=x3-xx2+1（C）y=2x cos xx2+1（D）y=2 sin xx2+1考查

15、目标：试题考查学生对数形结合思想方法的理解和灵活应用能力，考查学生对函数图象研究方法的掌握程度.命题意图：图 1 中最直观的信息是该函数的图象关于原点对称，猜想它对应的函数是奇函数，但所给选项均满足此条件，要另辟蹊径求解，因此该题能考查学生面对问题时表现出来的综合素养.在进一步选择方法时：一种是依据特殊点取值情况判断，如x=1对应的函数值大约为 1；另一种是通过函数零点进行判断，即函数在区间()1，3 内有一个零点.不同的选择方法会导致求解过程的繁简程度出现很大差异.学生能否在全面观察的基础上进行方法的选择，就体现了学生对函数图象研究方法的掌握程度和思维的灵活性，以及他们的数学运算素养.解：首

16、先观察图象，可知该函数为奇函数.当x=1时，对应的函数值大约为1，且在区间()1，3 内存在零点.分别计算四个选项中 x=1 对应的函数值：选项 A，当 x=1 时，y=1；选项 B，当 x=1 时，y=0；选项C，当x=1时，y=cos 1 22；选项D，当x=1时，y=sin 1 b a（B）b a c（C）a b c（D）a c b考查目标：试题考查学生对函数定义的理解，考查学生对利用导数研究函数单调性的方法的掌握情况，以及学生对三角函数的几何意义的理解和应用能力，考查学生分析问题和转化问题的能力.命题意图：在函数主题背景下，运用求解函数单调性的一般性方法导数法，研究与三角函数有关的函数

17、的单调性问题，并利用函数的单调性判断函数值的大小，最终达到解决比较大小问题的目的.在求解该题时，需要用函数的观点观察这些“凌乱”的数值，抽象出其中的共性.例如，这些数值都可以看作某个数进行某些运算的结果，而这个数就是函数自变量的一个取值，从而构建一个函数，借助函数的性质展开研究，包括一般函数的单调性和三角函数的几何意义.因此，该题很好地考查了学生利用函数视角审视研究对象的意识和能力，考查了学生的数学抽象素养，以及学生分析、联系进而转化问题的能力.解：设 f()x=cos x+12 x2-1()0 x 1，则 f()x=x-sin x.设 g()x=x-sin x()0 x 0.故 g()x 在

18、()0，1 单调递增，即 g()x g()0=0，即 f()x 0.所以 f()x 在()0，1 单调递增.所以 f 14 f()0=0.所以 cos14 3132.所以 b a.利用三角函数线，可知当 x 0，2 时，tan x x.所以 tan 14 14，即sin 14cos14 14.所以 4 sin 14 cos14.所以 c b.综上所述，c b a.故答案选A.命题评价：该题表面上看是三角函数相关试题，但其求解方法是利用导数研究函数的性质，因此解题的关键是构造函数.为了比较b与c的大小，在构造函数时，关键是确定自变量的值，进而确定函数的形式，这是难点.该题与2021年全国乙卷理科

19、第12题的求解思路是一致的，对学生的观察能力和思维的灵活性要求非常高.为了比较c与b的大小，利用比商法进行了化简，这种思路也是不容易想到的.与例 4 相命题研究 36下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）比，该题思路新颖，使用的方法本质一致，但需要构造函数，且需要综合应用多种方法才能求解，属于难题，体现了综合性和创新性.事实上，例2的选项D、例3与本组题的考查意图有相同之处，都是考查基于函数主题的通性、通法，研究三角函数.（4）关于三角恒等变换：找到隐藏的“杀手锏”.例 6（全 国 新 高 考 卷 6）若 sin()+cos()+=2 2cos+4 sin ，则（）.（A）tan()

20、-=1（B）tan()+=1（C）tan()-=-1（D）tan()+=-1考查目标：试题考查学生对三角恒等变换公式的灵活应用能力，以及观察能力.命题意图：三角恒等变换问题中既有不同的角，又有不同的函数名，需要学生选择公式进行化简.在这个过程中，是将“+”看作一个角，还是看作两个角的和，或者是其他，直接影响学生求解思路的选择.因此，这道试题有助于考查学生观察已知条件灵活处理角和选择方法的能力.解：因为sin()+cos()+=2 2cos+4 sin，所以2sin+4=2 2cos+4 sin ，即 sin+4+=2 cos+4 sin .所以 sin+4 cos -sin cos+4=0.所

21、以 sin+4-=0.解得 -=k-4，k Z.所以 tan()-=-1.故答案选C.命题评价：该题的情境是学生熟悉的，是对教材第5.5节贯穿始终的三角恒等变换思想的考查，也是对具体方法的应用.例如，教材习题 5.5 第 2 题给出“提示：=()+-”，第5.3节例5的“分析”中示范了如何分析此类问题.类比之，破解该题就是要找到角“”“+4”“”之间的关系.该题对学生的观察能力要求较高，要求学生遇到问题后要慎重选择方法，不能盲目动笔.虽然该题使用的公式数量不多，但是要通过逆用、正用公式才能准确求解.该题也可以利用两角和的正弦公式和余弦公式将已知条件中的 sin()+和 cos()+展开，再重新

22、组合逆用公式求解.该题有不同的求解思路，有助于不同思维特点的学生选择适合的方法求解，有利于选拔.这是一道中等题.类似的试题还有浙江卷第 13 题，是一道双空题.该题逆用两角差的余弦公式（即俗称的辅助角公式）进行化简，但要求较高.引入角 之后，化简得到sin()-=1，=+2+2k，k Z.需要借助角 的三角函数值求出角 的三角函数值，即 sin =sin+2+2k=cos .该考法与2020年北京卷第14题类似.教材中此类题目较多，从特殊到一般情况都有，如教材第228页的练习1.此外，有的试题表面上看与三角函数没有任何关系，但是如果选择引入一个角做参数（如全国新高考卷第 8 题）或者进行三角换

23、元（如全国新高考卷第12题）就会转化为一个三角函数问题，包括恒等变换或者三角函数图象与性质的应用.因此，三角恒等变换是一个工具，融在相关的各类试题中，是一种基本技能，体现了基础性和综合性.（5）关于解三角形：多姿多彩的化简迷人眼.例 7（全国新高考卷18）记 ABC 的内角A，B，C 的对边分别为 a，b，c.分别以 a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依次为 S1，S2，S3.已知 S1-S2+S3=32，sin B=13.（1）求ABC 的面积；（2）若 sin A sin C=23，求 b.考查目标：试题考查学生对三角形面积公式、正弦定理和余弦定理的掌握程度及综合应用能力，以及分析问题

24、和解决问题的能力.命题意图：题中条件“S1-S2+S3=32”制造了一种迷惑的情境，需要学生联想正三角形公式的特点及余弦定理才能通过化简转化为熟悉的形式.因此，该题有效考查了学生分析和转化问题的能力，考查了学生基于公式的形式特点进行联想，并将之联系起来进而解决问题的能力.对于第（2）小题，猜测要用到正弦定理，但如何应用并不明确，可以先尝试用正弦定理进行化简和转化，探探路，逐步获得解题思路.在这命题研究 37下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）样的过程中再次考查学生分析问题和解决问题的能力.解：（1）因为边长为 a，b，c 的正三角形的面积分别为34 a2，34 b2，34 c2，所

25、以 S1-S2+S3=34()a2-b2+c2=32.解得 a2-b2+c2=2.由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB，解得 ac cos B=1.由 sin B=13，得 cos B=2 23.所以 ac=1cos B=3 24.故 SABC=12 ac sin B=12 3 24 13=28.（2）由正弦定理asin A=bsin B=csin C，得a=b sin Asin B，c=b sin Csin B.由（1），得 ac=3 24.所以 ac=b sin Asin B b sin Csin B=3 24.由 sin B=13，sin A sin C=23，得 b=12.命题

26、评价：该题求解思路灵活，没有套路可循，不是常见的正弦定理和余弦定理应用中角化边或者边化角求解方法的应用.这种试题考查思路新颖，破解的方法就是观察化简所得的关系，将未知与已知联系起来，整体代换求解.对学生分析问题的能力要求比较高，属于中等题.全国新高考卷第18题综合考查了三角恒等变换与解三角形，化简路径较多，有助于考查学生不同的数学运算素养水平.化简思路灵活，对求解过程中联系性的关注度要求较高，能较好地考查学生的思维品质.该题体现了综合性和创新性，是一道中等题.类似的试题还有全国甲卷文（理）科第16题，也需要先利用余弦定理达到消元的目的，再利用基本不等式求出最值，进而求解.此外，浙江卷第11题与

27、数学文化结合，是一道简单题.全国乙卷文（理）科第 17 题（姊妹题）、北京卷第 16 题、浙江卷第 18 题、天津卷第 16 题和上海卷第3题也考查了三角恒等变换与解三角形.其求解思路相对传统，在教材第六章习题6.4的第16题、第17题、第18题和第22题中均能找到原型，体现的是基础性和综合性.（6）关于解三角形中的最值问题：另辟蹊径巧求解.例8（全国甲卷文/理16）已知ABC 中，点 D在边 BC 上，ADB=120，AD=2，CD=2BD.当ACAB 取得最小值时，BD 的值为.考查目标：试题考查学生对解三角形的掌握程度，以及灵活的思维能力.命题意图：该题主要考查学生对解三角形的掌握程度，

28、但由于该题中数据的特殊性（ADB=120），可以考虑构建直角三角形，或建立坐标系求解，体现了对学生思维的灵活性和直观想象素养的考查.解：设BD=t，则CD=2t.如图2，作AEBC于点E.图2BDECA因为AD=2，ADC=180-ADB=60，所以DE=1，AE=3.在RtAEC中，AC2=AE2+EC2=4t2-4t+4.同理，可得 AB2=t2+2t+4.所以 AC2AB2=4-12t+1+3t+1 4-2 3，当且仅当t=3-1时取等号.所以BD=3-1.命题评价：该题有多种不同的求解思路，有助于不同思维特征的学生选用不同的方法求解，考查学生基于对运算对象的不同理解选择不同的求解办法，

29、即考查学生的数学运算和直观想象素养.2016年全国卷文科第15题（理科第13题）也可以采用类似的方法求解.此外，北京卷第10题的已知条件中有直角三角形，据此可以建立坐标系，将题目中点的坐标表示出来，达到消元的目的，转化为函数值域问题进行求解.该题也可以用“基底法”求解，但是书写较烦琐，充分考查了学生的数学运算素养.这两道试题都属于较难题.2.命题导向分析与历年高考试题对比可以看出，2022年高考三角函数与解三角形试题的命题导向有着鲜明的特点.命题研究 38下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）（1）试题载体轮回变化，注重对“四基”的考查.重点内容重点考查，2022年的高考三角函数与解

30、三角形试题依然体现了此特点.各份试卷中考查三角函数图象与性质的试题以小题为主，且22道小题中有约四分之三的试题都考查三角函数的图象与性质.多数试题的求解方法都是传统的，在教材和往年的高考试题中都能找到影子.例如，全国甲卷文科第 5 题、理科第11题，全国乙卷理科第15题，全国新高考卷第6题，北京卷第5题和第13题，浙江卷第6题，等等.考查解三角形的试题以大题为主，各份试卷中共计有 8 道，有个别试题与三角恒等变换综合，如全国新高考卷第18题和天津卷第16题.还有3道小题考查解三角形.这些试题的解法大多数也是以传统解法为主.单独考查三角恒等变换的试题只有 2 道，即全国新高考卷第6题和浙江卷第1

31、3题，主要融在其他问题的求解中，作为基本工具.此外，2022年各份高考数学试卷中没有考查任意角与弧度制、三角函数定义、绘制三角函数图象、三角函数值域问题和解三角形的实际应用的试题.2005 年全国卷文（理）科第 1 题考查任意角；2018 年北京卷文科第7题、全国卷文科第11题，2021年全国新高考卷第 10 题，都直接考查定义；2017 年北京卷理科第 12题考查根据圆的特殊对称性确定三角函数值；2003年新课程全国卷文科第20题和2005年全国卷文科第17题等考查绘制三角函数图象；2017年全国卷理科第 14题、全国卷文科第6题，2019年全国卷文科第15题，考查三角函数值域问题，分别是转

32、化为函数y=Asin()x+的值域或者二次函数的值域问题；2007年、2009年海南卷第17题，2014年全国卷文科第16题，2021 年全国乙卷第 9 题，考查解三角形的实际应用.可以看出，命题所选内容主次分明，重点突出，体现了依据课程标准，回归教材，注重对三角函数与解三角形的核心知识、基本方法和基本思想，以及学生观察、分析和转化等解题思维能力的考查，突出了试题命制思路的连续性和传承性.同时，体现了命题内容选择的轮回变化.（2）依据课程标准，突出函数主题通性、通法的应用.这是2022年高考三角函数与解三角形试题与往年试题相比的一个突出变化.函数主题的通性、通法主要指两点：一是函数的图象与性质

33、研究的基本套路，即不仅要研究函数的基本性质，还要观察图象或研究函数关系式，发现其特殊点，或者观察图象发现特殊点，再利用函数关系进一步分析，如全国甲卷理科第5题（例3）和全国乙卷文科第8题（例4）；二是利用导数研究三角函数综合问题的单调性，如全国新高考卷第 9 题的选项 D、全国甲卷理科第 12 题和全国乙卷文科第11题等.这种命题导向是要在函数主题的视角下考查三角函数，突出了函数主题通性、通法的重要性和普适性.这样的试题在之前的考试中曾经出现过，但与2022 年的特点不同，如 2016 年全国卷文科第 12 题和2019年全国卷文（理）科第20题等.后两道试题位于试卷第20题的位置，学生会自然

34、想到用导数进行研究.但是当试题在其他位置时就要进行方法的选择.通过这种选择，考查学生对函数研究方法的理解和灵活应用能力.因此，这种变化给出一种信号，即要在函数主题的视角下审视三角函数试题，体现单元的联系性和整体性.（3）挑战僵化思维，突出对学生分析和转化能力的考查.2022年高考三角函数与解三角形试题的情境都是比较新颖的：全国新高考卷第 6 题给出多个角，将角之间的内在联系隐藏其中；全国新高考卷第18题以面积关系给出条件；全国甲卷文（理）科第16题给出特殊角120；全国甲卷理科第12题比较三个数的大小，需要根据要比较的对象构建不同的求解路径；全国新高考卷第6题和全国甲卷理科第11题都是考查函数

35、图象变化的试题，需要化动为静求解；北京卷第10 题与向量结合，提供不同的方法选择；等等.求解时，需要学生认真审题，找到相关的基础知识或基本方法，对试题中的条件进行化简、转化，不同的转化路径得到的求解方法难易繁杂程度不同，将会对学生形成隐性的区分.这种命题导向，充分体现出打破机械训练，突出考查学生分析和转化进而求解问题的能力和灵活的思维能力，体现了新时代对创新型人才的要求.三、复习教学建议根据历年高考三角函数与解三角形试题的命制特命题研究 39下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）点，提出以下复习建议.1.化简是破解三角函数与解三角形试题的秘籍命题是化妆，解题是化简.当你遇到新情境或复

36、杂题目不知所措时，最有效的破解之道就是化简，识别本真，找到思路，如例7.化简的基础是公式，包括公式的正用、逆用和变形使用，以及对公式中角的关系的灵活搭配，如例6 例8.三角函数与解三角形内容公式多，又相互联系，化简尤为重要.没有思路时，化简就是尝试、探索，通过化简，能沟通和联系从而发现求解方向，调整思路，选择方法，就会有柳暗花明之惊喜.养成化简探路的意识、掌握熟练的化简技能是破解三角函数与解三角形试题的秘籍.不同的化简路径对应不同的计算求解方案，这也是数学运算素养的体现.2.函数视角是求解三角函数与解三角形试题的高观点三角函数试题有三种路径可以回归函数主题之下.一是按照函数图象与性质研究的基本

37、方法研究三角函数，如例 3；二是利用导数研究三角函数的综合问题，如例4和例5；三是经过消元转化为函数值域或基本不等式问题，如例7和例8.三角函数自身的图象和性质当然也是核心，如例1和例2.因此，在复习阶段要打通三角函数与幂函数、指数函数、对数函数和导数之间的联系，在函数主题的整体观之下审视三角函数试题，形成求解此类问题的“方法包”.遇到具体问题时，会有一个“工具包”方便学生进行选择，这就是解题经验的积累与梳理，也是对学生思维灵活性和分析问题能力的培养.3.用数学探究的方式构建优良的知识结构要做到如上两点，关键是要通过复习建构三角函数的知识体系.不仅仅是罗列，而是在研究函数的一般观念的指导下，建

38、立起三角函数的知识结构图，使得知识之间互联互通、灵活转化、相互迁移.这就需要回归数学的本真，按照数学探究的理念，从一个点出发，不断变式，引发出所有的三角函数知识，使它们形成一个同源的知识体系，用完整的结构体系培养学生思维的严谨性，消灭易错点，理解每个知识点的来龙去脉、每个技能的理论依据和每种思想的具体载体，掌握每种方法的使用条件.例如，掌握了正弦函数的图象与性质，就可以通过图象变换或换元掌握其他正弦型函数的图象特征；掌握了静态的正弦函数的图象与性质，就可以通过“卡边界”化动为静，解决类似 2022 年高考全国甲卷理科第 11 题的试题；等等.这就是探究思想方法的应用，它解决的是一类题.4.深入

39、研究三角函数与解三角形高考试题是融会贯通之道教师需要对丰富的复习资料进行整合.建议研究高考试题，通过研究至少十年的高考试题把握高考命题的历史演进和价值取向，确定复习的方向.甚至可以研究近二十年的试题.之前的试题可能有一些不同的考查方式，因为使用不便后来不再用了，但是在新时期会不会经过优化之后再次出现呢？也有可能.例如，2020年全国卷理科第2题的考点与1998年全国卷文（理）科第6题一致.事实上，只要静心做完10 20年的高考试题，就会有许多感悟，再予以梳理，就可以确定复习思路.将这些试题与基础知识结构对接，基本上可以形成一种全覆盖，于是“四基”与试题完美对接，概念性知识与程序性知识完美融合，

40、解题助力理解知识，知识理解又助力解题能力的提升，形成良性循环的发展态势.5.回归教材，设立专题，自然求解是培养学生分析问题能力的捷径现在的教学中，常见的是脱离教材、罗列结论、题型加训练，导致的结果是既没有培养学生的计算能力，也没有培养学生的思维能力，学生一遇到新情境题就束手无策.例如，很多高考 120 分以上的学生在2020 年和 2022 年全国卷（理科）第 19 题上甚至一分不得.教师一定要引以为戒，并采取有效的教学方法.具体做法如下.其一，梳理教材，构建专题.例如，针对例1和例2可以设专题“函数 y=Asin()x+b的图象与性质”，该专题分为如下几部分.第一部分，基础知识梳理及关系构建

41、，包括正弦函数和余弦函数的图象与性质；函数 y=Asin()x+b 的图象与性质；函数 y=Asin()x+b 的图象与正弦函数图象的关系.第二部分，该题型的总结及思想提炼，包括：教材中的相关题目整理，并回归基础知识；高考试题整理，及其与教材中的题目的关系分析，进而回归基础知识.第三部分，新题编制及变式应用，由教师或学生自编题目，在此过程中进一步深化对“四基”的理解.第四部分，类比研究正切函数的图象与性质.第五部分，在函数主题视角下统整三角函数的图象与性质.其二，在分析、求解问题时注重按照数学知识和数学思维的自然发展线索设计问题，引导思维、注命题研究 40下半月（高中版）2022年第9期（总第

42、270期）重转化、建立联系.对于其他问题可以类比思考，设计专题.四、典型模拟题1.（多选题）函数 f()x=Asin()x+(0，0)0 在 3，内恰有3个零点，则 的取值范围是（）.（A）83，113 4，143（B）113，4 143，173（C）113，143 5，173（D）143，5 173，203答案：C.3.四边形 ABCD 的所有顶点在同一个圆上，BC=2BA=2 2，B=3.（1）求 AC；（2）求四边形 ABCD 周长的最大值.答案：（1）6；（2）5 2.4.已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c=2()a-b cos C.（1）求 B；（2）

43、若 ABC 为锐角三角形，求 sin2A+sin2C 的取值范围.答案：（1）3；（2）54，32.从2019年开始，高考数学试题的命题导向之一是“助力破解僵化的应试教育”.这几年的命题方向在逐渐转变，2023 年转向何处是不可预料的.但是可以预见的是：回归数学的本质，回归数学教育的本质和目标.因此，我们要以此为定心轴，以不变应万变.参考文献：1 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.2 张国治，张荣华.数学高考经典：三角函数、平面向量与复数M.北京：中国科技大学出版社，2021.3 金克勤.2020年高考“三角函数”专题命题分析J.中国数学教育（高中版），2020（9）：48-56.4 薛红霞，常青，王彩萍.高中数学题目的自然求解之美：以“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”为例J.中小学数学（高中版），2020（7/8）：95-98.5 教育部考试中心.以真情实景落实“五育并举”以理性思维践行“立德树人”：2019年高考数学试题评析J.中国考试，2019（7）：7-10.命题研究 41