6.1　圆的有关性质.docx

1、第六章圆6.1圆的有关性质学用P64过关演练(40分钟80分)1.(2019山东青岛)如图,点A,B,C,D在O上,AOC=140,点B是AC的中点,则D的度数是(D)A.70B.55C.35.5D.35【解析】连接OB,点B是AC的中点,AOB=12AOC=70,由圆周角定理得D=12AOB=35.2.(2019四川乐山)九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸

2、(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸),问这块圆形木材的直径是多少?”如图所示,请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是(C)A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸【解析】设O的半径为r.在RtADO中,AD=5,OD=r-1,OA=r,则有r2=52+(r-1)2,解得r=13,故O的直径为26寸.3.如图,在RtABC中,ACB=90,A=56,以BC为直径的O交AB于点D,E是O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EFOE,交AC的延长线于点F,则F的度数为(C)A.92B.108C.112D.124【解析】ACB=90,A=56,B=34,CE=CD,COE=2B=68,

3、又EFOE,OEF=90,F=360-90-90-68=112.4.如图,O的半径OD垂直于弦AB,垂足为C.连接AO并延长交O于点E.连接BE,CE,若AB=8,CD=2,则BCE的面积为(A)A.12B.15C.16D.18【解析】ODAB,AC=BC=12AB=4,在RtAOC中,设半径OA=OD=x,则OC=x-2,根据勾股定理,得(x-2)2+42=x2,解得x=5,AE=10,AE是O的直径,ABE=90,BE=AE2-AB2=102-82=6.SBCE=12BCBE=1246=12.5.如图,AB是O的直径,AC,BC分别与O相交于点D,E,连接DE,现给出两个命题:若AC=AB

4、,则DE=CE;若C=45,记CDE的面积为S1,四边形DABE的面积为S2,则S1=S2.那么(D)A.是真命题,是假命题B.是假命题,是真命题C.是假命题,是假命题D.是真命题,是真命题【解析】由题意知四边形DABE是O的内接四边形,CDE=B,若AC=AB,则B=C,CDE=C,DE=CE,是真命题;连接BD,AB为O的直径,ADB=90,CDB=90,C=45,DCCB=22,C=C,CDE=B,CDECBA,SDCESBCA=12,SDCES四边形DABE=1,即S1=S2,为真命题.6.(2019山东泰安)如图,M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是M上的任意一点,PAPB

5、,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A、点B关于原点O对称,则AB的最小值为(C)A.3B.4C.6D.8【解析】PAPB,APB=90,AO=BO,AB=2PO,若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,连接OM,交M于点P,当点P位于P位置时,OP取得最小值,过点M作MQx轴于点Q,则OQ=3,MQ=4,OM=5,又MP=2,OP=3,AB=2OP=6.7.(2019吉林)如图,A,B,C,D是O上的四个点,AB=BC,若AOB=58,则BDC=29.【解析】连接OC.AB=BC,AOB=BOC=58,BDC=12BOC=29.8.如图,AB是O的弦,半径OCAB于点D,且AB=8

6、 cm,DC=2 cm,则OC=5 cm.【解析】连接OA,因为半径OCAB于点D,所以AD=12AB=4 cm,设O的半径为x cm,在RtOAD中,OA2=OD2+AD2,即x2=(x-2)2+42,解得x=5,所以OC=5 cm.9.(2019湖北黄冈)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD=6,则AC=23.【解析】连接BD.AB是直径,C=D=90,CAB=60,AD平分CAB,DAB=30,AB=ADcos 30=43,AC=ABcos 60=23.10.如图,边长为4的正方形ABCD内接于O,点E是AB上的一个动点(不与点A,B重合),点F是

7、BC上的一点,连接OE,OF,分别与AB,BC交于点G,H,且EOF=90,有下列结论:AE=BF;OGH是等腰直角三角形;四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化;GBH周长的最小值为4-2.其中正确的是.(把你认为正确结论的序号都填上)【解析】连接OA,OB,则有AOB=90,又EOF=90,所以AOE=BOF,所以AE=BF,故正确;连接OC,则OBG=OCH=45,OB=OC,BOG=COH,所以OBGOCH,所以OG=OH,OGH是等腰直角三角形,故正确;由OBGOCH,得S四边形OGBH=SOBG+SOBH=SOCH+SOBH=SOBC=1442=4,所以四边形OGBH的面积随

8、着点E位置的变化而不变,故错误;设BG=x,则BH=4-x,GH=BG2+BH2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8,由于BG+BH=x+4-x=4,所以GBH的周长取最小值时,只需GH取最小值,这时x=2,GH的最小值为22,所以GBH的周长的最小值为4+22,故错误.11.(8分)如图,MN是O的直径,MN=4,点A在O上,AMN=30,点B为AN的中点,P是直径MN上一动点.(1)利用尺规作图,确定当PA+PB最小时P点的位置;(不写作法,但要保留作图痕迹)(2)求PA+PB的最小值.解:(1)如图,点P即为所求.(2)如图,连接OA,OA,OB.由(1)可得,P

9、A+PB的最小值即为线段AB的长,AMN=30,AON=AON=2AMN=60.又点B为AN的中点,BON=12AON=30,AOB=90.又MN=4,OB=OA=2.在RtAOB中,由勾股定理得AB=22+22=22.PA+PB的最小值是22.12.(8分)如图,AB是半圆的直径,O是圆心,C是半圆上一点,D是弧AC中点,OD交弦AC于点E,连接BE,若AC=8,DE=2.(1)求半圆的半径长;(2)求BE的长度.解:(1)设圆的半径为r,D是弧AC的中点,ODAC,AE=12AC=4,在RtAOE中,OA2=OE2+AE2,即r2=(r-2)2+42,解得r=5,即圆的半径长为5.(2)连

10、接BC,AO=OB,AE=EC,BC=2OE=6,AB是半圆的直径,ACB=90,BE=EC2+BC2=213.13.(10分)如图,AB是O的直径,C,D是O上的点,且OCBD,AD分别与BC,OC相交于点E,F.(1)求证:CB平分ABD;(2)若AB=6,OF=1,求CE的长.解:(1)OCBD,C=DBC,OC=OD,C=OBC,OBC=DBC,CB平分ABD.(2)OFBD,OA=OB,OF为ABD的中位线,BD=2OF=2,AB是O的直径,ADB=90,在RtABD中,AD=62-22=42,DF=22,而CF=OC-OF=3-1=2,CF=BD,在CEF和BDE中,CEF=DEB

11、,CFE=BDE,CF=BD,CEFBED,DE=EF=2,在RtCEF中,CE=22+(2)2=6.14.(10分)如图,点C为ABD外接圆上的一动点(点C不在BAD上,且不与点B,D重合),ACB=ABD=45.(1)求证:BD是该外接圆的直径;(2)连接CD,求证:2AC=BC+CD;(3)若ABC关于直线AB的对称图形为ABM,连接DM,试探究DM2,MA2,BM2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.解:(1)ADB=ACB=45,且ABD=45,ABD+ADB=90,BAD=90,BD是ABD外接圆的直径.(2)如图1,作AEAC,交CB的延长线于点E.EAC=BAD=90,EA

12、B+BAC=DAC+BAC,EAB=DAC.由ACB=ABD=45,可得ACE与ABD是等腰直角三角形,AE=AC,AB=AD,ABEADC,CD=BE.在等腰RtACE中,由勾股定理,得CE=2AC.CE=BC+BE,2AC=BC+CD.(3)DM2=BM2+2MA2.证明:如图2,延长MB交圆于点F,连接AF,DF.BFA=ACB=BMA=45,MAF=90,MA=AF,MA2+AF2=2MA2=MF2.又AC=MA=AF,AC=AF,又AD=AB,CD=BF,DF=BC,DF=BC=BM.BD是直径,BFD=90.在RtMDF中,由勾股定理,得DM2=DF2+MF2,DM2=BM2+2M

13、A2.名师预测1.如图,O中,OABC,AOC=50,则ADB的度数为(B)A.15B.25C.30D.50【解析】连接OB,OABC,AOC=50,AOB=AOC=50,则ADB=12AOB=25.2.如图所示,O的半径为13,弦AB的长度是24,ONAB,垂足为N,则ON=(A)A.5B.7C.9D.11【解析】因为ONAB,所以AN=12AB=1224=12,ANO=90.在RtAON中,由勾股定理得ON=OA2-AN2=132-122=5.3.如图,点A,B,C,D在O上,CB=CD,CAD=30,ACD=50,则ADB=70.【解析】CB=CD,CAD=30,CAD=CAB=30,D

14、BC=DAC=30,ACD=50,ABD=50,ACB=ADB=180-CAB-ABC=180-50-30-30=70.4.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,B=D,AD不平行于BC,过点C作CEAD交ABC的外接圆O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行四边形;(2)连接BE,若AD=365,sin EBC=2425,求O的半径.解:(1)CEAD,ACE=CAD,B=AEC,B=D,AEC=D,EAC=ACD,AECD,四边形AECD为平行四边形.(2)作OHCE于点H,连接OE,OC,如图,则EH=CH=12CE,CE=AD=365,EH=185,EOC=2EBC,EOH

15、=COH,EOH=EBC,在RtEOH中,sin EOH=EHOE=2425,OE=2524185=154,即O的半径为154.5.如图,以ABC的一边AB为直径的半圆与AC,BC的交点分别为点D,E,且DE=BE.(1)试判断ABC的形状,并说明理由;(2)已知半圆的半径为5,BC=12,求sin ABD的值.解:(1)ABC是等腰三角形.理由:DE=BE,EBD=EDB.AB是O的直径,ADB=90.CDE+EDB=C+EBD=90.CDE=C.四边形ABED内接于O,CDE=CBA,C=CBA,AC=AB,ABC是等腰三角形.(2)CDE=C,CE=DE.DE=BE,DE=EB,CE=E

16、B=12BC=1212=6.O的半径是5,AC=AB=10.CDE=CBA,C=C,CDECBA,CDBC=CEAC,即CD12=610,解得CD=7.2.AD=AC-CD=10-7.2=2.8.在RtADB中,sin ABD=ADAB=2.810=725.6.如图,四边形ABCD是O的内接四边形,BC的延长线与AD的延长线交于点E,且DC=DE.(1)求证:A=AEB;(2)连接OE,交CD于点F,OECD,求证:ABE是等边三角形.解:(1)四边形ABCD是O的内接四边形,A+BCD=180.DCE+BCD=180,A=DCE.DC=DE,DCE=AEB.A=AEB.(2)A=AEB,AB

17、E是等腰三角形.EOCD,CF=DF.EO是CD的垂直平分线.ED=EC.DC=DE,DC=DE=EC.DCE是等边三角形.AEB=60.ABE是等边三角形.7.如图,四边形ABCD内接于O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC.(1)若CBD=39,求BAD的度数;(2)求证:1=2.解:(1)BC=DC,BC=DC.BAC=CAD=CBD.CBD=39,BAC=CAD=39.BAD=BAC+CAD=78.(2)EC=BC,CBE=CEB.CBE=1+CBD,CEB=2+BAC,1+CBD=2+BAC.又BAC=CBD,1=2.8.如图,已知O是ABC的外接圆,AB=AC,点D在BC上,AE

18、BC,AE=BD.(1)求证:AD=CE;(2)如果点G在线段CD上(不与点D重合),且AG=AD,求证:四边形AGCE是平行四边形.解:(1)在O中,AB=AC,AB=AC,B=ACB.AEBC,EAC=ACB,B=EAC.又BD=AE,ABDCAE,AD=CE.(2)解法1:连接AO并延长交边BC于点H,AB=AC,OA是半径,AHBC,BH=CH.AD=AG,DH=HG,BH-DH=CH-GH,即BD=CG.BD=AE,CG=AE.又CGAE,四边形AGCE是平行四边形.解法2:ABDCAE,ACE=BAD,B=ACB,B+BAD=ACE+ACB,又B+BAD=ADC,ACE+ACB=B

19、CE,BCE=ADC.AG=AD,ADC=AGB,AGB=BCE,AGCE,又CGAE,四边形AGCE是平行四边形.9.已知O上两个定点A,B和两个动点C,D,AC与BD交于点E.(1)如图1,求证:EAEC=EBED;(2)如图2,若AB=BC,AD是O的直径,求证:ADAC=2BDBC;(3)如图3,若ACBD,点O到AD的距离为2,求BC的长.解:(1)ABD=ACD,BAC=CDB,ABEDCE,EAED=EBEC,EAEC=EBED.(2)连接OB,OB=OD,DBO=BDO,又AB=BC,BAC=BCA=BDO=DBO,ABCDOB,ACBD=BCOB=2BCAD,ADAC=2BDBC.(3)作直径AM,连接DM,过点O作OFAD,垂足为F,则F是AD的中点,又O是AM的中点,DM=2OF=4,ACBD,AM为直径,ABD+BAC=AMD+MAD=90,又ABD=AMD,BAC=MAD,BC=DM=4.