6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示（教学设计）2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册).docx

1、6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 教学设计本小节内容选自普通高中数学必修第一册人教A版（2019）第六章平面向量及其应用的第三节平面向量基本定理及坐标表示。以下是本节的课时安排：课时内容平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加减运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示平面向量数量积的坐标表示所在位置教材第25页教材第27页教材第29页教材第31页教材第34页新教材内容分析平面向量的基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础，同时平面向量的基本定理也为我们提供了一种重要的数学转化思想。平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与坐标建立起了一一

2、对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位。在教学中始终抓住向量具有几何与代数双重属性，进一步熟悉向量的坐标表示及运算法则、运算律；熟悉向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，加强方程思想和数学应用意识。前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示。由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来。核心素养培养理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基

3、底的含义，培养学生的数学抽象的核心素养；掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量，培养学生数学运算的核心素养。借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养。会用坐标表示平面向量的加、减运算，培养学生数学运算的核心素养。掌握两个向量数乘的坐标运算法则，培养学生数学运算的核心素养；能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，培养学生逻辑推理的核心素养。通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养。教学主线平面向量基本定理引进向量的坐标表示后，向

4、量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示。 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示，培养数学抽象的核心素养；2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，培养数学抽象的核心素养；3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，提示数学运算的核心素养1.重点：掌握两数乘向量的坐标运算法则，能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法。2.难点：理解用坐标表示两向量共线的条件。（一）新知导入1. 创设情境，生成问题贝贝和晶晶同做一道数学题：“

5、一人从A地到E地，依次经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：贝贝：5025025025021 0045025021 5065022 008(km).晶晶：50242 008(km).可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便.2.探索交流，解决问题【探究1】当ab时，a，b的坐标成比例吗？【提示】横纵坐标均不为0时成比例.【探究2】如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？【提示】能.将b写成a形式，0时，b与a同向，0时，b与a反向. 【设计意图

6、】通过复习共线向量定理引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。（二）平面向量数乘运算的坐标表示1.【探究1】已知a(x，y)，你能得出2a、3a的坐标吗？提示2aaa(x，y)(x，y)(2x,2y)；3a2aa(2x,2y)(x，y)(3x,3y) 平面向量数乘运算的坐标表示：已知a(x，y)，R，则a(x，y)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标【做一做】1.已知向量a(5，2)，b(4，3)，若c满足3a2bc0，则c()A.(23，12) B.(23，12)C.(7，0) D.(7，0)解析：由3a2bc0，c3a2b3(5，2)2(4，3

7、)(23，12)，c(23，12).答案：A2.已知向量a(2，4)，b(1，1)，则2ab_.解析：2ab2(2，4)(1，1)(5，7).答案：(5，7)2.【探究2】如果向量a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，根据共线向量定理，a与b共线时，存在唯一实数，使ab，那么根据向量数乘运算的坐标表示，你能发现a与b的坐标之间的关系吗？提示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a与b共线，则x1y2x2y1.平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.向量a，b(b0)共线的充要条件是x1y2x2y10.【辩一辩】1.若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，

8、且ab，则.()2.若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y1x2y20，则ab.()3.若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y2x2y10，则ab.()【做一做】下列向量与a(1,3)共线的是()A(1,2) B(1,3) C(1，3) D(2,6)答案：D2.已知向量a(3,3)，b(3，x)，若a与b共线，则x等于()A3 B3 C1D1解析：因为a与b共线，则3x330，解得x3.答案：A3.中点坐标公式若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式.【做一做】已知P(2，6)，

9、Q(4，0)，则PQ的中点坐标为_.解析：根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(1，3).答案：(1，3)【设计意图】通过探究让学生掌握向量的数乘的坐标表示，培养数学运算的核心素养。（三）典型例题1.向量数乘运算的坐标表示例1.已知向量a(1,2)，b(3，4)，c(2,6)，试求a3b,3a2bc.解析：因为a(1,2)，b(3，4)，c(2,6)，所以a3b(1,2)3(3，4)(1,2)(9，12)(10，10)，3a2bc3(1,2)2(3，4)(2,6)(3,6)(6，8)(1,3)(4,17)【类题通法】向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量加、减及数

10、乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.【巩固练习1】（1）已知的坐标，求的坐标。（2）若A、B、C三点的坐标分别为(2，4)，(0,6)，(8,10)，求 2， 的坐标解析：（1）.（2）(2,10)，(8,4)，(10,14)，2(2,10)2(8,4)(2,10)(16,8)(18,18)，(8,4)(10,14)(8,4)(5,7)(3，3)2.平面向量共线的坐标运算例2.已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解析：法一：kabk

11、(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)得解得k.当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，0，kab与a3b反向法二：由法一知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，kab与a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k.故kab与a3b反向【类题通法】根据向量共线求参数值的方法：根据向量共线的条件求参数值的问题，一般有两种处理思路，一是利用向量共线定理ab(b0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10直接求解【巩固练习2】（

12、1）已知a（4，2），b（6，y），且ab，则y_.（2）若a(，cos )，b(3，sin )，且ab，则锐角_.解析：（1）因为ab，所以 4y260 解得y3 .（2）a(，cos )，b(3，sin )，ab，sin 3cos 0，即tan ，又0，故.答案：（1）3 （2）3.向量共线的判定及解决点共线问题例3.如果向量i2j，imj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A，B，C三点共线解析：A，B，C三点共线，即，共线，存在实数，使得，即i2j(imj)于是m2.故m2时，A，B，C三点共线【类题通法】三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只

13、需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点【巩固练习3】如图所示，已知直角梯形ABCD，ADAB，AB2AD2CD，过点C作CEAB于E，M为CE的中点，试建立适当的坐标系并用向量的方法证明：(1)DEBC；(2)D，M，B三点共线证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|1，则|1，|2.CEAB，而ADDC.四边形AECD为正方形可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(1,1)，A(1,0)(1)(1,1)(0,0)(1,1)

14、，(0,1)(1,0)(1,1)，即DEBC.(2)连接MB，MD，M为EC的中点，M(0，)，(1,1)(0，)(1，)，(1,0)(0，)(1，)，.又MD与MB有公共点M，D，M，B三点共线（四）操作演练 素养提升1.设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A(2,6) B(2,6) C(2，6) D(2，6)解析：由题意可知，4a(4b2c)2(ac)d0，d6a4b4c.d6(1，3)4(2,4)4(1，2)d(2，6)答案：D2已知向量a(2,3)，b(1,2)，若a2b与非零向量m an

15、b共线，则等于()A2 B2 CD.解析：因为向量a(2,3)，b(1,2)，所以a2b(2,3)(2,4)(4，1)，m an b(2mn,3m2n)因为a2b与非零向量manb共线，所以，解得14m7n，.答案：C3.已知两点M(3，2)，N(5，1)，点P满足 ，则点P的坐标是_解析：设P(x，y)，则(x3，y2)，(8,1)，(x3，y2)(8,1)即，解得，P(1，)答案：(1，)4.已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若为实数，(ab)c，则的值_解析：因为ab(1,2)(1,0)(1，2)，又因为(ab)c，所以4(1)320，故.答案：【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第33页 练习 第1，2，3,4,5题 第36 页 习题6.3 第5,6,7,8，12题