6.4 求和方法（精练）（教师版）.docx

1、6.4 求和方法（精练）1（2023江苏苏州模拟预测）2022年11月8日，著名华人数学家张益唐教授以视频方式作学术报告，与北大数学师生分享他围绕“朗道西格尔零点猜想”所做的研究工作，他在“大海捞针”式的研究过程中提出的新想法是基于一个简单的代数恒等式：.已知数列的通项公式为，则其前9项的和等于（）A13280B20196C20232D29520【答案】B【解析】，.故选：B.2（2023全国高三专题练习）我们都听说过一个著名的关于指数增长的故事：古希腊著名的数学家、思想家阿基米德与国王下棋.国王输了，问阿基米德要什么奖赏？阿基米德说：“我只要在棋盘上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四

2、粒，第四格放八粒按此方法放到这棋盘的第64个格子就行了.”通过计算，国王要给阿基米德粒米，这是一个天文数字.年后，又一个数学家小明与当时的国王下棋，也提出了与阿基米德一样的要求，由于当时的国王已经听说过阿基米德的故事，所以没有同意小明的请求.这时候，小明做出了部分妥协，他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算，首先按照阿基米德的方法，先把米的个数变为前一个格子的两倍，但从第三个格子起，每次都归还给国王一粒米，并由此计算出每个格子实际放置的米的个数.这样一来，第一个格子有一粒米，第二个格子有两粒米.第三个格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于归还给国王一粒米，就剩下

3、三粒米；第四个格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聪明”的国王一看，每个格子上放的米的个数都比阿基米德的方案显著减少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，请你计算个格子一共能得到（）粒米.ABCD【答案】D【解析】按照小明的方案，设第个格子放的米粒数为，其中，则数列满足：，所以，当时，故数列是从第项开始成以为公比的等比数列，且，所以，则，所以，数列的前项和为.故选：D.3（2023广东广州统考三模）南宋数学家杨辉在详解九章算法中，研究了二阶等差数列若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等

4、差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，则第40层放小球的个数为（）A1640B1560C820D780【答案】C【解析】设第层放小球的个数为，由题意，数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以故，故故选：C4（2023安徽淮南统考二模）我国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中朱世杰与秦九韶、杨辉、李冶被誉为我国“宋元数学四大家”.朱世杰著有四元玉鉴和算学启蒙等，在算学启蒙中，最为引人入胜的问题莫过于堆垛问题，其中记载有以下问题：“今有三角、四角果子垛各一所，共积六百八十五个，只云三角底子一面不及四角底子一面七个，问二垛底

5、子一面几何？”其中“积”是和的意思，“三角果子垛”是每层都是正三角形的果子垛，自上至下依次有1，3，6，10，15，个果子，“四角果子垛”是每层都是正方形的果子垛，自上至下依次有1，4，9，16，个果子，“底子一面”指每垛最底层每条边”.根据题意，可知该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数是（）（参考公式：）A4，11B5，12C6，13D7，14【答案】B【解析】设三角果子垛自上至下依次为，当时，所以，且时，所以三角果子垛第层的果子数为，四角果子垛第层的果子数为，设三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别为，所以三角果子垛各层果子总和为，四角果子垛各层果子总和为，由题意，即，解得，所以该

6、三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别是.故选：B.5（2023上海普陀上海市宜川中学校考模拟预测）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（）A98B99C100D101【答案】C【解析】由已知，数列通项，所以，所以，所以.故选：C.6（2023江西南昌统考三模）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论代数学非欧几何复变函数和微分

7、几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数倒序相加法最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（）ABCD【答案】D【解析】当时，即.故选：D7（2023上海黄浦上海市大同中学校考三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著详解九章算法商功中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则_【答案】/【解析】依题意，在数列中，当时，满足上式，因此，数列的前项和为，

8、则，所以.故答案为：8（2023春江西宜春高三校考开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是正十七边形尺规作图之理论与方法在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若，则的前n项和_【答案】【解析】由得，由，得，故，故，所以，则，两式相减得： 故，故答案为：9（2023全国高三专题练习）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面

9、积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折次，那么_.【答案】 5 【解析】（1）由对折2次共可以得到，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；故对折4次可得到如下规格：，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，设，则，两式作差得：，因此，.故答案为：；.10（2023内蒙古

10、赤峰统考模拟预测）正项数列中，的前n项和为，从下面三个条件中任选一个，将序号填在横线_上，；为等差数列；为等差数列，试完成下面两个问题：(1)求的通项公式；(2)求证：【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）选：，设，则n为奇数时，设，则n为偶数时，所以.选：的第1项为，第2项，则，则.选:为等差数列，则，则，则，经检验也成立，所以（2）证明：由（1）可得，则，则11（2023山东山东省实验中学校考一模）已知正项数列的前项和为，且，(1)求；(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、，得到数列、，求的前项和【答案】(1)，(2)【解析】（1）解：对任意的，因为，当时，因为，所以，故当时，适合

11、，所以，（2）解：因为，所以当时，所以，所以，数列的前项分别为：、，12（2023福建厦门统考模拟预测）已知数列满足(1)证明是等比数列；(2)若，求的前项和【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）由题意得又因为，所以所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得所以所以.13（2023辽宁辽阳统考二模）在2，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答问题：设数列的前项和为，且_(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)(2)【解析】（1）选，因为，所以，所以，所以，则.因为满足上式，所以.选，因为，所以，所以.因为满足

12、上式，所以，则，因为满足上式，所以.（2）由（1）可得，则14（2023春湖南高三校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求的通项公式.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，由，所以，解得，所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）得，所以，所以.15（2023福建福州福州三中校考模拟预测）设为数列的前n项积已知(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和【答案】(1)；(2).【解析】（1）依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则，即，当时，有，两式相除得，显然，即，因此当时，即，所以数列的通项公式.（2）设的前项和

13、为，由（1）得，于是，因此，则，所以数列前项和为.16（2023湖南校联考模拟预测）已知数列的首项，且满足.(1)求证：数列是等差数列；(2)若数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）由，可得，又，所以是以3为首项，2为公差的等差数列；（2）由（1）知：，所以，所以，所以.17（2023安徽滁州安徽省定远中学校考模拟预测）在公差不为零的等差数列中，且，成等比数列(1)求通项公式；(2)令，求数列的前项和；【答案】(1)，；(2)【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，成等比数列， 又，解得，；（2）由（1），可得 ， 18（2023山东烟台统考三模）已知数列(1

14、)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和【答案】(1)(2)【解析】（1）由得，所以时，故，又，则，当时，成立，所以，（2）由（1）知，所以，因为，于是，所以，故数列的前项和为19（2023湖北黄冈浠水县第一中学校考模拟预测）已知数列满足，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前40项和.【答案】(1)(2)784【解析】（1）由题意易得，由可得，所以数列是公差为2的等差数列.故，即.（2）由（1）知，.所以的前40项和.20（2023陕西西安校考模拟预测）正项数列的前n项和为，已知(1)求证：数列为等差数列，并求出，；(2)若，求数列的前2023项和【答案】(1)；(2).【

15、解析】（1）由可得，又因为为正项数列的前n项和，所以，因为，所以，所以，数列为等差数列，所以 ，所以.（2），.21（2023重庆万州统考模拟预测）在；，与都是等比数列；，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答已知数列的前n项和为，且_(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和注：如果选择多个条件分别作答，则按所作第一个解答计分【答案】(1)(2)【解析】（1）若选：当时，解得；当时，两式相减得：，即，所以，所以数列是以为首项，4为公比的等比数列.所以.若选：都是等比数列，设的公比为：，因为是等比数列，即，解得（舍去）或，因为，所以.若选：当时，解得；当时，两式相减得：，所以

16、所以，当时，符合，故.（2）由（1）可知：，所以，所以数列的前n项和为：，两式相减得：，所以，所以，所以.22（2023广东深圳统考模拟预测）已知数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是，若对满足的任意正整数，均有成立(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和【答案】(1)(2)【解析】（1）对满足的任意正整数，均有成立，令，则即，令，得，解得，由题意数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是，即，（2）由1知，则，23（2023湖南长沙长郡中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，.(1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式;(2)若 ，求数列的前项

17、和.从和这两个条件中任意选择一个填入上面横线上，并完成解答.注:若选择多个条件作答，则按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析，(2)答案见解析【解析】（1）依题意可得， 两式相减并化简得，所以又，解得.所以，故 由于，所以，于是.故数列是首项为3，公比为3的等比数列，即（2）选: 由（1）得，则两式相减得：所以选: 由（1）得，所以 （i）当为偶数时，（ii）当为奇数时， 综上所述24（2023吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测）已知为正项等差数列，为正项等比数列，其中，且，成等比数列，(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和【答案】(1)，(2)【解析】（1）设等差数列的公差为，则因为

18、，且成等比数列，所以解得或（舍去）所以因为，即，可得或（舍去），所以（2），记的前项和为，由-，得，所以25（2023春河北唐山高三开滦第二中学校考阶段练习）已知数列为等差数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】（1）设数列的公差为，则，即，则，则数列为等比数列，设其公比为，由，得，解得，所以.（2）由（1）得，所以，所以.26（2023全国统考高考真题）设为数列的前n项和，已知(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，当时，即；当时，即，当时，所以，化简得：，当时，即，当时都满足上式，所以（2）因为，所以，

19、两式相减得，即，27（2023广东广州广州市从化区从化中学校考模拟预测）设数列的前项和为，已知，且数列是公比为的等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求其前项和【答案】(1)(2)【解析】（1）因为， 所以由题意可得数列是首项为1，公比为的等比数列，所以，即，所以，两式作差得：，化简得：即，所以，所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，故数列的通项公式为；（2）方法一：设，则有，比较系数得，所以所以，所以，所以.方法二：因为，所以，所以，所以，所以.28（2023山东潍坊三模）已知数列和满足(1)证明：和都是等比数列；(2)求的前项和【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为，所

20、以，又由，得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列（2）由（1）得，所以，所以，所以29（2023湖南校联考模拟预测）已知等比数列的公比，前n项和为，满足：.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】（1）法一：因为是公比的等比数列，所以由，得，即，两式相除得，整理得，即，解得或，又，所以，故，所以，法二：因为是公比的等比数列，所以由得，即，则，解得或（舍去），故，则，所以.（2）当为奇数时，当为偶数时，所以.30（2023安徽滁州校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一

21、个公差为的等差数列，求数列的前项和【答案】(1)(2)【解析】（1），当时，两式相减可得，故等比数列的公比为，故数列的通项公式为（2）由得：，故，即，得：，故31（2022春湖南常德高三常德市一中校考阶段练习）已知数列，为数列的前n项和，若，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列的通项公式为，令为的前n项的和，求.【答案】(1)，(2)【解析】（1）解：，因为，所以，又，所以是公比为2，首项为2的等比数列，综上，是公差为1，首项为1的等差数列，（2）解：令，得，32（2023春重庆万州高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求使

22、成立的最小正整数.【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意知，可得，即所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，可得，所以数列的通项公式为.（2）解：由，可得，当为偶数时，为偶数，当为奇数时，为奇数，所以，所以前项的和，所以，所以，不合题意，又因为，且，所以使的最小值为.1（2022全国高三专题练习）设，为数列的前n项和，求的值是（）AB0C59D【答案】A【解析】令则+可得：，.故选：A2（2023安徽亳州蒙城第一中学校联考模拟预测）（多选）如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，8，13，21，构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆心向外，每

23、一圈的数字就组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列.斐波那契数列的第一项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（）ABCD【答案】BCD【解析】由题设且，由，.，所以，则，A错误；由，.，所以，则，B正确；由，则，所以，C正确；由，所以，D正确.故选：BCD.3（2023重庆沙坪坝重庆一中校考模拟预测）数列的前1357项均为正数,且有：,则的可能取值个数为（）A665B666C1330D1332【答案】B【解析】当时,因为数列的前项均为正数,所以,设数列的前项和为,所以,则,-得:,化简得,若,则,-得,因为数列的前项均为正数,所以,即数列是

24、以为首项,为公差的等差数列,所以,所以为定值.由可得:从项到项,连续两项之间有两种情况:或,根据相反数的立方和为零可得每增加两项，可能结果增加两种；而第1358项有两种可能；所以最后结果的个数可能为:种.故选:B.4（2023全国高三对口高考）在如图所示的数表中，第行第列的数记为，且满足，则此数表中的第行第列的数是_；记第行的数、为数列，则数列的通项公式为_第1行1248第2行2359第3行35813 【答案】 【解析】由题意可得，且，则；，记，则，即，且，当且，也满足，故对任意的，则，所以，且，当且，也满足，故对任意的，.故答案为：；.5（2023全国高三专题练习）已知数列的前项和为，且，设

25、函数，则_，_.【答案】 /【解析】由于，当时，所以，当时，得：，所以，显然时也成立，当时，当时也成立，所以；根据函数，所以，所以；所以故答案为：；6（2023秋河北衡水高三河北衡水中学校考期末）在高中的数学课上，张老师教会了我们用如下方法求解数列的前n项和：形如的数列，我们可以错位相减的方法对其进行求和；形如的数列，我们可以使用裂项相消的方法对其进行求和李华同学在思考错位相减和裂项相消后的本质后对其进行如下思考：错位相减：设，综上：当中间项可以相消时，可将求解的问题用错位相减化简裂项相消：设或为公比为1的等比数列；当时，当为公比为1的等比数列时，；故可为简便计算省去的讨论，综上：可将求解的问

26、题用裂项相消转化为求解的问题你看了他的思考后虽觉得这是“废话文学”，但是你立刻脑子里灵光一闪，回到座位上开始写下了这三个问题：(1)用错位相减的方法“温故”张老师课堂上举的例子，求解数列前n项和；(2)用裂项相消的方法“知新”张老师课堂上举的例子，求解数列前n项和；(3)融会贯通，求证：前n项和满请基于李华同学的思考做出解答，并写出裂项具体过程【答案】(1)；(2)；(3)裂项过程见解析，证明见解析.【解析】（1）因为，所以，所以，所以，所以，所以；（2）因为，设，则，所以，故所以，所以；（3）因为，设，则，则，所以，即，所以所以，所以7（2023全国统考高考真题）已知为等差数列，记，分别为数

27、列，的前n项和，(1)求的通项公式；(2)证明：当时，【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，所以数列的通项公式是.（2）方法1：由（1）知，当为偶数时，当时，因此，当为奇数时，当时，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，当为偶数时，当时，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，当时，因此，所以当时，.8（2023安徽滁州安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列的前项和为是与的等差中项；数列中.(1)求数列与的通项公式；(2)若，证明：；(3)设，求.【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3).【解析】（1）是与的等差中项，.当时，；

28、当时，.则数列是以为首项，为公比的等比数列，则；当时，满足上式，综上，；（2）由（1），当时，.则当时，不等式成立；当时，；当时，综上，；（3）.则，得.则9（2023辽宁锦州统考模拟预测）记为数列的前项和，已知.(1)求的通项公式；(2)设单调递增的等差数列满足，且成等比数列.（i）求的通项公式；（ii）设，证明：.【答案】(1)(2)（i）；（ii）证明见解析.【解析】（1）解：因为，可得，两式相减可得，即，则，又因为，可得，所以当时，即，当时，不满足上式，所以数列的通项公式为（2）解：（i）设数列的公差为，因为成等比数列，且，所以，整理得，解得或，因为，可得，又因为，所以数列的通项公式为

29、.（ii）由（i）知，可得，当时，；当时，综上可得，对于任意，都有.10（2023湖南衡阳衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列与等比数列的前项和分别为：，且满足：，(1)求数列的通项公式；(2)若求数列的前项的和.【答案】(1)；(2)【解析】（1），解得：设等差数列的公差为，等比数列的首项为，公比为，则：又，得：（2）数列的前项的和：.11（2023春湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列各项都不为0，的前项和为，且满足.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2)【解析】（1）时，两式相减，可得，由题意得，可得，则有当为奇数时，为等差数列，当为偶数时，为等

30、差数列，（2），利用倒序相加，可得，解得，12（2023天津津南天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列.(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得：，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可得，当为奇数时，则，设，则，两式相减得，所以；当为偶数时，则，设，所以；综上所述：，当为奇数时，则；当为偶数时，则；综上所述：.13（2023安徽合肥合肥一中校考模拟预测）2023年4月23日，是中国海军成立74周年74年向海图强，74年劈波斩浪74年，人民海军新装备不断增加，新型作战力量

31、加速发展，从“101南昌舰”到“108咸阳舰”，8艘055型驱逐舰列阵.我国自主研制的075型两栖攻击舰“31海南舰”“32广西舰”“33安徽舰”也相继正式入列从小艇到大舰，从近海防御到挺进深蓝大洋，人民海军步履铿锵，捍卫国家主权，维护世界和平为了庆祝中国海军成立74周年，某公司设计生产了三款两栖攻击舰模型（分别为“31海南舰”“32广西舰”“33安徽舰”），并限量发行若该公司每个月发行300件（三款各100件），一共持续12个月，采用摇号的方式进行销售假设每个月都有3000人参与摇号，摇上号的将等可能获得三款中的一款小周是个“战舰狂热粉”，听到该公司发行两栖攻击舰模型，欣喜若狂(1)若小周连

32、续三个月参与摇号，求他在这三个月集齐三款模型的概率；(2)若摇上号的人不再参加后面的摇号已知小周从第一个月开始参与摇号，并且在12个月的限量发行中成功摇到并获得了模型设他第X个月摇到并获得了模型，求X的数学期望【答案】(1)(2)【解析】（1）由题可知，小周第1个月摇上号的概率为，所以小周连续三个月摇上号的概率为，小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型共有种情况，三个月获得模型共有种情况，所以在小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型的概率为,设事件为“小周在这三个月集齐三款模型”，则（2）由题意得，则，两边同乘得，两式相减得，所以14（2023山东烟台统考三模）现有甲、乙两

33、个袋子，每个袋子中均装有大小、形状、质地完全相同的个黑球和个红球，若每次分别从两个袋子中随机摸出个球互相交换后放袋子中，重复进行次此操作记第次操作后，甲袋子中红球的个数为(1)求的分布列和数学期望；(2)求第次操作后，甲袋子中恰有个红球的概率【答案】(1)分布列见解析，(2)【解析】（1）由题知，的所有可能取值为、，所以，的分布列为所以，的数学期望（2）由题知，又，所以，整理得，所以，又因为，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，即.所以的前项是由个与个组成所以15（2023山东泰安统考模拟预测）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细

34、胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中.(1)设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望；(2)设结束后，细胞数量为的概率为 .（i）求；（ii）证明：.【答案】(1)分布列见解析，(2)（i）；（ii）证明见解析【解析】（1）个结束后，的取值可能为,其中,，所以分布列为.（2）（i）表示分裂结束后共有个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设在第时分裂为个细胞，之后一直有 个细胞，此事件概率，所以. （ii）代表分裂后有个细胞的概率，设细胞在后分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的中，其中一个分裂为个细胞，一个保持一直分裂为个细胞，此事件的概率，得，其中，. 令,，记，,令，得.当,递增；当，,递减.故，也就是.