7.5 期末专项复习之三角形十九大必考点（举一反三）（北师大版）（教师版）.docx

1、专题7.5 三角形十九大必考点【北师大版】【考点1 三角形的个数】1【考点2 判断能否组成三角形】4【考点3 确定第三边的取值范围】6【考点4 利用三角形的三边关系化简或证明】8【考点5 三角形的三边关系的应用】10【考点6 根据三角形的中线求面积】13【考点7 根据三角形的中线求长度】18【考点8 与三角形的高有关的计算】20【考点9 网格中的三角形】24【考点10 三角形的稳定性】30【考点11 与角平分线有关的三角形内角和问题】31【考点12 与平行线有关的三角形内角和问题】39【考点13 与折叠有关的三角形内角和问题】49【考点14 全等图形的概念】57【考点15 全等三角形的对应元素

2、判断】59【考点16 全等三角形的性质（求长度）】60【考点17 全等三角形的性质（求角度）】63【考点18 全等三角形的判定条件】65【考点19 证明两个三角形全等】67【考点1 三角形的个数】【例1】（2022江苏无锡市东林中学七年级期中）（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个；（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数【答案】（1）10；24；（2）330个【分析】（1）根据三角形的定义，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形来判断图1和图2中三角形的个数即可；（2）通过数三角形的个数可知，图1中有1

3、0个三角形，图2中，增加一条线后三角形的个数为10+101+41，增加2条线后，三角形的个数为10+102+42+1，增加3条线后，三角形的个数为10+103+43+2+1，依次类推即可推出增加n条线后，三角形的个数，据此即可得到增加10条线后三角形的个数【详解】解：（1）根据三角形的定义可得图1中三角形个数为10；根据三角形的定义可得图2中三角形个数为24；（2）增加1条线，三角形个数为：10+101+41；增加2条线，三角形个数为：10+102+42+1；增加3条线，三角形个数为：10+103+43+2+1；则增加n条线，三角形个数为：10+10n+4(n+n-1+n-2+1)，所以增加1

4、0条线，三角形个数为10+1010+410+9+8+1=330个；【点睛】本题考查了三角形的定义，列代数式，列整式，找规律等知识点，解答本题的关键是根据增加线段的数量找出增加三角形的个数与增加线段的关系【变式1-1】（2022河南南阳七年级期末）如图所示，点D，E分别是ABC的边BC，AB上的点，分别连结AD，DE，则图中的三角形一共有（）A3个B4个C5个D6个【答案】C【分析】根据三角形的概念求解即可【详解】解：由题意可得，图中的三角形有：AED，ACD，ABC，BDE，ABD，共5个故选：C【点睛】此题考查了三角形的概念，解题的关键是熟练掌握三角形的概念三角形是由同一平面内不在同一直线上

5、的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形【变式1-2】（2022重庆巫溪八年级期末）如图，其中第个图形中有1个三角形，第个图形中有3个三角形，第个图形中有6个三角形，按此规律变化，第个图形中三角形的个数是（）A10B15C21D28【答案】C【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答【详解】解：第个图中三角形的个数为1；第个图中三角形的个数为3=1+2；第个图中三角形的个数为6=1+2+3；，故第n个图中三角形的个数为1+2+3+n=n(n+1)2，故第个图形中三角形的个数为：66+12=21，故选：C【点睛】本题考查的是规律性问题，解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一

6、般化规律，然后根据规律去求特定的值【变式1-3】（2022江苏八年级）如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画_个直角三角形【答案】3【分析】根据题意画出所有三角形，然后判断直角三角形即可【详解】：一共可以画出9个三角形：ABE、ABD、ACE、ACD、BCE、BCD、ADE、BDE、CDE，直角三角形有：ABE、EBC、AED，故答案为3【点睛】本题考查了网格中判断直角三角形，掌握直角三角形的性质是解题的关键【考点2 判断能否组成三角形】【例2】（2022江苏涟水县麻垛中学七年级阶段练习）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是

7、（）A1cm，2cm，3cmB4cm，4cm，8cmC4cm，5cm，9cmD5cm，6cm，9cm【答案】D【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可【详解】解：A123，不满足三角形两边之和大于第三边，故A不能组成三角形，不符合题意；B448，不满足三角形三边关系，故B不能组成三角形，不符合题意；C549，不满足三角形两边之和大于第三边，故C不能组成三角形，不符合题意；D569，满足三角形两边之和大于第三边，故D能组成三角形，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键【变式2-1】（2022四川渠县第二中学七年级阶段

8、练习）下列各组三条线段中，不是三角形三边长的是（ ）A2cm，2cm，3cmB3cm，8cm，10cmC三条线段之比为 1：2：3D3a，5a，4a（a0）【答案】C【分析】根据构成三角形的条件逐项判断即可构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边即可【详解】解：A2+23，能构成三角形，故此选项不合题意；B3+811，能构成三角形，故此选项不合题意；C设最小边为a，则剩余两边是2a3aa+2a=3a，不能构成三角形，故此选项符合题意；D因为a0，所以3a+4a 5a ，能构成直角三角形，故此选项不合题意故选：C【点睛】本题考查构成三角形的条

9、件，解题的关键是计算较小两边之和和是否大于最大边长【变式2-2】（2022湖南八年级阶段练习）在下列长度的四根木棒中，能与5cm、7cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（）A2cmB8cmC12cmD13cm【答案】B【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可【详解】解：设第三边的长为xcm，则7-5x7+5，即2x12四根木棒中，长度为8cm的木棒，能与5cm、7cm长的两根木棒钉成一个三角形，故选：B【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键【变式2-3】（2022江苏江阴市夏港中学七年级阶段练习）长度为2cm、3 c

10、m、4 cm、5 cm、6 cm的五条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有（）A3个B4个C5个D7个【答案】D【分析】根据三角形的三边关系定理即可进行判断【详解】解：以其中的三条线段为边组成三角形的有：2cm，3cm，4cm；3cm，4cm，5cm；3cm，4cm，6cm；4cm，5cm，6cm；3cm，5cm，6cm；2cm，4cm，5cm；2cm，5cm，6cm共有7种情况故选：D【点睛】考查了三角形的三边关系，验证三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边只要验证两条较短的边的和大于最长的边即可【考点3 确定第三边的取值范围】【例3】（2022浙江宁波市鄞

11、州区咸祥镇中心初级中学八年级阶段练习）已知三角形三边的长度分别是2m，8m和xm，若x是奇数，则x可能等于（）A5mB9mC11mD13m【答案】B【分析】先求出第三边的取值范围再根据x是奇数解答即可【详解】解：设第三边长为x，则82x8+2，6x10，又x为奇数，x7或9，故选：B【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的运用关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和【变式3-1】（2022河南新乡七年级期末）一个三角形的两条边的长为5和7，若三角形周长为偶数，那么第三边的长可能是（）A2B4C7D14【答案】B【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出

12、第三边的长【详解】设第三边为a，根据三角形的三边关系知，2a12由于这个三角形的周长为a+12，而且周长是偶数，a为偶数，可以为4、6、8、10故选：B【点睛】本题从边的方面考查三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去【变式3-2】（2022河北中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（）A1B2C7D8【答案】C【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为ABCDE，连接AC,CE，并设AC=a,CE=b，先在ABC和CDE中，根据三角形的三边

13、关系定理可得4a6，0b2，从而可得4a+b8，2a-b6，再在ACE中，根据三角形的三边关系定理可得a-bda+b，从而可得2d8，由此即可得出答案【详解】解：如图，设这个凸五边形为ABCDE，连接AC,CE，并设AC=a,CE=b，在ABC中，5-1a1+5，即4a6，在CDE中，1-1b1+1，即0b2，所以4a+b8，2a-b6，在ACE中，a-bda+b，所以2d8，观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键【变式3-3】（2022全国八年级专题练习）一个三角形的3边长分别是xcm、3x-3cm，x+2cm

14、，它的周长不超过39cm则x的取值范围是（）A53x5B5x8C53x8D1xx+2x+(x+2)3x-3(x+2)+(3x-3)xx+(3x-3)+(x+2)39，x53x13x8，53x5故选：A【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系和解不等式组，根据条件列出不等式组求解是解题的关键【考点4 利用三角形的三边关系化简或证明】【例4】（2022湖南衡阳市珠晖区英发学校七年级期末）a，b，c是三角形的三边长，化简a-b-c-b-c+a+c-a-b后等于（）Ab+a-3cBb+c-aC3a+3b+3cDa+b-c【答案】B【分析】根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值

15、的性质求值【详解】解：a、b、c是三角形的三边长，a+bc，b+ca，a+bc，abc0，bc+a0，cab0，|abc|+|bc+a|cab|a+b+c+bc+a+cabb+ca故选：B【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边【变式4-1】（2022全国八年级专题练习）已知：ABC中，AD是BC边上的中线求证：AD+BD12（AB+AC）【答案】证明见解析【分析】根据三角形三边关系定理可得BD+ADAB，CD+ADAC，由此可得BD+AD+CD+ADAB+AC已知AD是BC边上的中线可得BD=CD，即可证得AD+BD12（AB+AC

16、）【详解】证明：BD+ADAB，CD+ADAC，BD+AD+CD+ADAB+ACAD是BC边上的中线，BD=CD，AD+BD12（AB+AC）【点睛】本题是对三角形三边关系和三角形中线性质的综合考查三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边【变式4-2】（2022全国八年级专题练习）已知：如图，点D是ABC内一点求证：(1)BDCDABAC；(2)ADBDCDABBCAC【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）延长BD交AC于E，从而找到BDCD与ABAC的中间量BE+CE，再利用不等式的传递性(若ab，bc，则ac)得出BDCDABAC ；（2）同理可得AD+CDAB+BC，BD+A

17、DBC+AC，与（1）结论左边加左边，右边加右边，再两边除以2即可（1）证明：延长BD交AC于E，在ABE中，有AB+AEBE，ABAC=AB+AE+CEBE+CE，在EDC中，有DE+CECD，BE+CE= BD+DE+CEBD+CD，ABACBE+CEBD+CD，BDCDABAC；（2）解：由（1）同理可得：BDCDABAC， ADCDABBC，BDADBCAC，+得：2（AD+BD+CD）2（AB+BC+AC），AD+BD+CDAB+BC+AC【点睛】本题考查三角形的三边关系，不等式的性质，能否根据题意添加辅助线和利用不等式的性质是解题的关键【变式4-3】（2022全国八年级课时练习）已

18、知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+bc|b2ac|+|ab2c|【答案】a+3b【分析】根据三角形三边关系得到2a+bc0，b2ac0，ab2c0，再去绝对值，合并同类项即可求解【详解】解：a，b，c 是三角形的三边，由a+bc0得2a+bc0，由b（a+c）0得b2ac0，由abc0得ab2c0，原式（2a+bc）+（b2ac）+（a+b+2c）a+3b【点睛】本题考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到2a+bc0，b2ac0，ab2c0【考点5 三角形的三边关系的应用】【例5】（2022江苏七年级专题练习）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不

19、计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间距离最大为（）A10B8C7D5【答案】C【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可【详解】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5-465+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-276+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；选4+6、2、3作为三角

20、形，则三边长为10、2、3；2+310，不能构成三角形，此种情况不成立；选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+48，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7故选：C【点睛】此题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键【变式5-1】（2022湖北公安县教学研究中心八年级阶段练习）如图，为了估计池塘两岸A，B的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA12 m，PB8 m，那么A，B间的距离不可能是（）A12 mB15 mC18 mD21 m【答案】D【分析】由PA12m，PB8m，直接利用三角形的三

21、边关系求解即可求得AB的取值范围，继而求得答案【详解】解： A12m，PB8m，PAPBABPA+PB，即4mAB20m，AB间的距离不可能是：21m故选：D【点睛】此题考查了三角形的三边关系注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边【变式5-2】（2022广东饶平县三饶中学八年级期中）如图，四个工厂A、B、C、D，试找一个供应站M，使它到四个工厂的距离之和为最小【答案】见解析【分析】根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使供应站M，使它到四个工厂的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处【详解】解：如图所示，连接AC，BD，它们的交点是M，点M就是修建

22、供应站的位置，这一点到A，B，C，D四点的距离之和最小理由：任取一点P，PB+PDBD，PA+PCAC，PB+PD+PA+PCAC+BD，所求作的点M符合题意【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，线段的性质：两点之间，线段距离最短要求学生能灵活应用所学的知识，解决实际问题【变式5-3】（2022全国八年级课时练习）如图，加油站A和商店B在马路MN的同一侧，A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=700米一个行人P在马路MN上行走，当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于_米【答案】700【分析】当A、B 、P 构成三角形时，AP与BP的差小于第三边AB，所以A、B、P在同一直线上时，

23、AP与BP的差最大，算出这个最大值即可【详解】当A、B、P三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形两边AP与BP的差小于第三边AB，A、B、P在同一直线上，P到A的距离与P到B的距离之差最大，此时，PA-PB=AB 当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于700米故答案为：700【点睛】本题考查了利用三角形的三边关系求线段差的最大值问题解题关键是弄清楚当三点共线时距离之差最大【考点6 根据三角形的中线求面积】【例6】（2022山东新泰市羊流镇初级中学七年级阶段练习）如图，在ABC中，已知点D、E分别为边BC、AD上的中点，且SABC=4cm2，则SBEC的值为（）A2cm2B1cm2

24、C0.5cm2D0.25cm2【答案】A【分析】首先根据E为AD的中点，可得BE、CE分别是ABD、ACD的中线，然后根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分，可得SBDE=12SABD，SCDE=12SACD，所以SBEC=12SABC，据此求出SBEC的值为多少即可【详解】解：E为AD的中点，BE、CE分别是ABD、ACD的中线，SBDE=12SABD、SCDE=12SACD，SBEC=12SABC=124=2（cm2），即SBEC的值为2cm2故选：A【点睛】此题还考查了三角形的中线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分【变式6-1】（2022

25、贵州省三穗中学八年级期中）如图，D、E分别是BC、AC的中点，SCDE=2，则ABC的面积为（）A4B8C10D12【答案】B【分析】根据三角形中线的性质：平分面积，进行求解即可【详解】解：D、E分别是BC、AC的中点，AD，DE分别为ABC和ADC的中线，SADC=2SCDE=22=4，SABC=2SADC=24=8故选B【点睛】本题考查三角形中线的性质，熟记三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键【变式6-2】（2022四川麓山师大一中七年级期中）如图，在ABC中D、F为BC上的点，且F为CD的中点，CD=2BD，连接AD，E是AD的中点，连接BE、EF、EC，若SDEF=3，则ABC的面

26、积是_【答案】18【分析】先证明BD=DF=CF，利用三角形面积公式得到SBDE=SDEF=3,再利用E是AD的中点得到SABD=6，然后利用BC=3BD得到SABC=3SABD.【详解】解：F为CD的中点，CD=2BD，BD=DF=CF，SBDE=SDEF=3，E是AD的中点，SABD=2SBDE=23=6，CD=2BD，BC=3BD，SABC=3SABD=36=18故答案为：18【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=12底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分【变式6-3】（2022江苏宜兴外国语学校七年级阶段练习）设ABC的面积为a，如图将边

27、BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，AOB的面积记为S1；如图将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，AOB的面积记为S2；， 依此类推，若S5=311则a的值为（） A1B2C6D3【答案】D【分析】利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得a【详解】解：在图中，连接OC，AE1=CE1，BD1=CD1， SOAE1=SOCE1，SOBD1=SOCD1，SABE1=SABD1=12SABC=12a， SOAE1=SABE1-SOAB，SOBD1=SABD1-SOAB， SOAE1=SOBD1， SOAE1=SOCE1=SOBD1=

28、SOCD1，设SOAE1=SOCE1=SOBD1=SOCD1=x，则S1+x=12aS1+4x=a，解得S1=13a；在图中，连接OE2、OC、OD2，则SABE1=SABD1=13a，SOAE1=SOE1E2=SOCE2=SOBD1=SOD1D2=SOCD2，设SOAE1=SOE1E2=SOCE2=SOBD1=SOD1D2=SOCD2=x，则S2+x=13aS3+6x=a，解得S2=15a；在图中，连OE2、OE3、OC、OD2、OD3，则SABE1=SABD1=14a，SOAE1=SOE1E2=SOE2E3=SOCE3=SOBD1=SOD1D2=SOD2D3=SOCD3，设SOAE1=SO

29、E1E2=SOE2E3=SOCE3=SOBD1=SOD1D2=SOD2D3=SOCD3=x，则S3+x=14aS3+8x=a，解得S3=17a，.由可知，Sn=12n+1a，S5=311， 125+1a=311，解得a=3故选：D【点睛】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，从中找出规律【考点7 根据三角形的中线求长度】【例7】（2022山东宁阳县第十一中学七年级阶段练习）如图，ABC中，AB10，AC8，点D是BC边上的中点，连接AD，若ACD的周长为20，则ABD的周长是_【答案】22【分析】根据线段中点的概念得到BD=CD，根据三角形的周长公式计算即可【详解】解

30、：点D是BC边上的中点，BD=CD，ACD的周长为20，AC+AD+CD=20，AC=8，AD+CD=AD+BD=12，AB=10，ABD的周长=AB+AD+BD=22，故答案为：22【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键【变式7-1】（2022四川金堂县淮口中学校七年级期中）如图，在ABC中，AD是边BC上的中线，ABD的周长比ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则AB的长为_【答案】8【分析】根据三角形中线的定义得到BDCD，进而得到ABD和ADC的周长的差等于AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，

31、利用加减消元法求解即可【详解】解：AD是BC边上的中线，BDCD，ABD的周长ADC的周长（ABADBD）（ACADCD）ABAC3，即ABAC3，又ABAC13，得2AB16，解得AB8故答案为：8【点睛】本题主要考查了三角形的中线定义和解二元一次方程组，根据周长的差得出边AB与AC的差等于3是解题的关键【变式7-2】（2022四川富顺第三中学校八年级期中）在等腰ABC 中，AB=AC，中线 BD将这个三角形的周长分为 15和12 两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A7B10C7 或 11D7 或 10【答案】C【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，

32、寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案【详解】设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，得x+y215y+y212或x+y212y+y215解方程组得x11y8，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；解方程组得x7y10，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，即等腰三角形的底边长是11或7；故选：C【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理.【变式7-3】（2

33、022吉林长春七年级期末）如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，ABD的周长比ADC的周长多1，AB与AC的和为11(1)求AB、AC的长(2)求BC边的取值范围【答案】(1)AB6，AC5(2)1BC11【分析】（1）根据三角形中线的定义，BDCD所以ABD和ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可（2）根据三角形三边关系解答即可（1）AD是BC边上的中线，BDCDCABD=AB+AD+BD，CADC=AC+AD+CD，CABD-CADC=AB-AC=1ABAC11，AB6，AC5（2）ABACBCABAC，1BC11【点睛】本题

34、考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键【考点8 与三角形的高有关的计算】【例8】（2022山东临沭县第三初级中学八年级阶段练习）如图，在ABC中，AD、CE分别是ABC的高且AB2，BC4，AD3；则CE_【答案】3【分析】根据三角形的面积公式，分别以AB，BC作底表示面积，两个面积相等，便可计算出CE【详解】解：AD、CE分别是ABC的高，SABC12BCAD12ABCE，CEBCADAB4343，故答案为：3【点睛】本题考查了三角形的面积，比较简单，根据同一个三角形用不同的边作底求面积，两个面积相等列出方程是解题的关键【变式8-1】（

35、2022广东佛山市顺德养正学校七年级阶段练习）如图，在ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点D在点E的左侧，已知AE=2cm，DE=1cm，SABC=8cm2，则CE= _cm【答案】3【分析】根据三角形的面积公式求出BC，根据中线的概念求出DC，再利用线段的和差进行计算即可【详解】解：SABC=8cm2， 12BCAE=8，即12BC2=8， 解得：BC=8， AD是边BC上的中线， DC=12BC=4（cm）， EC=DC-DE=4-1=3（cm）， 故答案为：3【点睛】本题考查的是三角形的中线、高的概念、三角形的面积计算，掌握三角形的中线的概念是解题的关键【变式8-2】（202

36、2重庆大学城第三中学校七年级期中）如图，ABC中，AE，CD是ABC的两条高，AB6，CD3(1)请画出AE，CD；(2)求ABC的面积；(3)若AE4，求BC的长【答案】(1)见解析(2)SABC=9(3)BC=4.5【分析】（1）画出AE，CD即可；（2）利用三角形面积公式即可求得；（3）根据三角形面积公式得到SABC12ABCD12BCAE，即可得到12BC49，从而求得BC4.5（1）解：AE，CD即为所求作的高，如图所示：（2）解：AB4，CD2，SABC12ABCD12639（3）解：SABC12ABCD12BCAE，12BC49，BC4.5【点睛】本题主要考查了三角形的高、三角形

37、的面积，熟知三角形的面积公式是解题的关键【变式8-3】（2022全国八年级课时练习）在ABC中，AB=2，BC=4，CDAB于D（1）如图，已知AEBC于E，求证：CD=2AE（2）如图，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作PEBC于E，PFAB于F，求证：2PE+PF=CD（3）在图中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析，PF=CD+2PE【分析】(1)分别以AB、BC边为底边，利用ABC的面积的两种不同表示列式整理即可得证；(2)连接PB，根据ABC的面积等于ABP和BC

38、P的面积的和，然后列式整理即可得证；(3)作出图形，连接PB，然后根据ABP的面积等于ABC的面积和PBC的面积的和，列式整理即可得解【详解】解：（1）证明：SABC=12ABCD=12BCAE,AB=2,BC=4,122CD=124AE,CD=2AE;（2）如图，连接PB， SABC=SPBC+SPAB，12ABCD=12ABPF+12BCPE,AB=2,BC=4,122CD=122PF+124PE,CD=PF+2PE; （3）如图，即为图像，连接PB，作PEBC交BC的延长线于E点， SPAB=SABC+SPCB，12ABPF=12ABCD+12BCPE,AB=2,BC=4,122PF=1

39、22CD+124PE,PF=CD+2PE【点睛】本题综合考查了三角形的知识，把同一个三角形的面积采用不同方法列式表示出来，然后再把已知数据代入进行计算求解，所以（2）（3）两小题作出辅助线把三角形分割成两个三角形是解题的关键，面积法也是解三角形问题常用的方法之一，需熟练掌握【考点9 网格中的三角形】【例9】（2022江苏靖江市滨江学校七年级阶段练习）如图，在方格纸内将ABC水平向右平移4个单位得到ABC(1)补全ABC，利用网格点和直尺画图；(2)图中AC与AC的关系是：；(3)画出AB边上的高线CD；(4)画出ABC中AB边上的中线CE【答案】(1)见解析(2)平行且相等(3)见解析(4)见

40、解析【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点即可；（2）根据平移的性质进行判断；（3）根据三角形高的定义画图；（4）找出AB的中点E即可（1）解：如图，ABC为所作；（2）解：AC=AC，ACAC故答案为：平行且相等；（3）解：如图，CD为所作；（4）解：如图，CE为所作【点睛】本题考查了作图-平移变换，解题的关键是作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形【变式9-1】（2022吉林大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）图、图均是44的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，O

41、ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹(1)在图中画ABC的角平分线BD，标出点D；(2)在图中的边BC上找到格点E，连接AE，使AE平分ABC的面积【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由图可知ABC=90，根据等腰直角三角形的性质，连接格子的对角线即可，（2）根据三角形中线的性质，找到BC边的中点即可（1）如图：（2）如图：【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线和中线，熟练掌握三角形的角平分线和中线的定义是解题的关键【变式9-2】（2022辽宁鞍山市第二中学七年级阶段练习）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，ABC经过平移

42、后得到ABC，图中标出了点B的对应点B(1)画出ABC；(2)过点B作AC的垂线段BD，垂足为点D(3)连接AA、CC，那么AA与CC的关系是_线段AC扫过的图形的面积为_【答案】(1)见解析(2)见解析(3)相等且平行，10【分析】（1）根据平移作图的方法作图即可；（2）根据题意作出AC的垂线即可；（3）根据平移的性质和SAC扫过的面积=SACA+SCCA进行求解即可（1）解：如图，ABC即为所求；（2）解：如图，点D即为所求；（3）解：AA与CC的关系是相等且平行；线段AC扫过的图形的面积=212110=10【点睛】本题主要考查了平移作图，作垂线，平移的性质，利用网格求三角形面积，熟知平移

43、的相关知识是解题的关键【变式9-3】（2022江苏宜兴市和桥镇第二中学七年级期中）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点(1)画出ABC的AB边上的高CD，垂足为D；(2)求出ABC的面积为_；(3)图中，能使SQBC=3的格点Q，共有_个【答案】(1)画图见解析(2)8(3)7【分析】（1）根据三角形高的定义作图即可；（2）用ABC所在的长方形面积减去周围3个三角形面积再减去一个小长方形面积即可得到答案；（3）利用格点和平行线间间距相等作图求解即可（1）解：如图所示，线段CD即为所求；（2）解：SABC=57-1257-1226-1213-12=8，故答案为：8；（3）解

44、：如图所示，满足Q点的格点一共有7个，故答案为：7；【点睛】本题主要考查了求三角形面积，平行线的性质，画三角形的高，熟知相关知识是解题的关键【考点10 三角形的稳定性】【例10】（2022广东东莞市松山湖莞美学校八年级阶段练习）下列图形中有稳定性的是（）A正方形B长方形C直角三角形D平行四边形【答案】C【分析】根据稳定性是三角形的特性解答【详解】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有直角三角形具有稳定性故选：C【点睛】此题考查三角形的稳定性，记住稳定性是三角形的特性是解题的关键【变式10-1】（2022湖北武汉八年级期中）下列哪个图形具有稳定性（）ABCD【答案】D【分析】根据三角形具有

45、稳定性进行判断即可【详解】解：三角形具有稳定性，四个图形中只有D选项的图形具有稳定性，故选D【点睛】本题主要考查了三角形的性质，熟知三角形具有稳定性是解题的关键【变式10-2】（2022广东揭阳七年级期末）木工师傅要使一个四边形木架（用四根木条钉成）不变型，至少要再钉上n根木条，这里的n=（）A0B1C2D3【答案】B【分析】要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，钉上木条变成三角形即可【详解】解：四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；故选：B【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构

46、，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得【变式10-3】（2022全国七年级课时练习）要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上_根木条，所依据的原理是_【答案】 3 三角形的稳定性【分析】利用三角形的稳定性分析即可得【详解】因为三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，所以将六边形木架钉上3根木条，变成由四个三角形组成，就能使其不变形，如图所示：故答案为：3，三角形的稳定性【点睛】本题考查了三角形的稳定性，掌握理解三角形的稳定性原理是解题关键【考点11 与角平分线有关的三角形内角和问题】【例11】（2022江苏涟水县麻垛中学七年级阶段练习）【认识概念】如图1，在ABC中，若BAD

47、DAEEAC，则AD，AE叫做BAC的“三分线”其中，AD是“近AB三分线”，AE是“远AB三分线”【理解应用】(1)在ABC中，A60，B70，若A的三分线AD与B的角平分线BE交于点P，则APB_；(2)如图2，在ABC中，BO、CO分别是ABC的近AB三分线和ACB近AC三分线，若BOCO，求A的度数；【拓展应用】(3)如图3，在ABC中，BO、CO分别是ABC的远BC三分线和ACB远BC三分线，且Am，直线PQ过点O分别交AC、BC于点P、Q，请直接写出12的度数（用含m的代数式表示）.【答案】(1)125或105(2)45(3)120-23m【分析】（1）分两种情况：当AD为近AB三

48、分线时，如图所示，求得BAP=13BAC，再利用角平分线的定义求得ABP=12ABC=35，最后在ABP中利用三角形的内角和定理即可；当AD为远AB三分线时，如图所示，然后分别根据三分线和角平分线的定义及三角形的内角和定理即可求解；（2）利用BO、CO分别是ABC近AB三分线和ACB近AC三分线，求得ABC+ACB=135，然后再利用三角形的内角和定理即可求解；（3）如图2，在ABC中，利用三角形的内角和定理求ABC+ACB=180-m，再利用BO、CO分别是ABC的远BC三分线和ACB远BC三分线，求得4+5=23180-m，进而在BCO中利用内角和定理求2+3=60+23m，结合1+3=1

49、80，即可求得1-2（1）解：分两种情况：当AD为近AB三分线时，如图所示，BAC=60，BAP=13BAC=20，BE平分ABC，ABC=70，ABP=12ABC=35，APB=180-ABP-BAP=125；当AD为远AB三分线时，如图所示，BAC=60，BAP=23BAC=40，BE平分ABC，ABC=70，ABP=12ABC=35，APB=180-ABP-BAP=105，故答案为：125或105（2）如图1，BO、CO分别是ABC近AB三分线和ACB近AC三分线，123ABC，223ACB，BOCO，BOC90，1+2=23ABC+23ACB=90，ABC+ACB=135，在ABC中，

50、A+ABC+ACB=180，A=180-ABC+ACB=45（3）解：如图2，在ABC中，A+ABC+ACB180，A=m，ABC+ACB=180-A=180-mBO、CO分别是ABC的远BC三分线和ACB远BC三分线，4=23ABC，5=23ACB，4+5=23ABC+23ACB=23(ABC+ACB)=23180-m，在BCO中，BOC+4+5=180 ，BOC=180-(4+5) =180-23180-m =60+23m，2+3=60+23m；1+3=180，1-2=180-60+23m =120-23m【点睛】本题考查了角平分线的计算，三分线的新定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解

51、题的关键【变式11-1】（2022江苏扬州七年级期末）如图：PC、PB是ACB、ABC的平线，A=40，BPC=_【答案】110#110度【分析】首先根据三角形内角和定理求出ABC+ACB的度数，再根据角平分线的性质可得PCB=12ACB,PBC=12ABC,进而 可求PBC+PCB的度数，再次在CBP中利用三角形内角和即可求解【详解】解：A=40,ABC+ACB=180-40=140,又BP平分ABC,CP平分ACB,PCB=12ACB,PBC=12ABC,PBC+PCB=12ABC+ACB=12140=70,BPC=180-PBC+PCB=110,故答案为：110【点睛】本题主要考查了三角

52、形内角和定理以及角平分线的性质，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解【变式11-2】（2022全国八年级专题练习）（1）如图1，A70，BP、CP分别平分ABC和ACB，则P的度数是（2）如图2，A70，BP、CP分别平分EBC和FCD，则P的度数是（3）如图3，A70，BP、CP分别平分ABC和ACD，求P的度数【答案】（1）125（2）55（3）35【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的性质即可求解；（2）应用角平分线的性质，补角的概念即可求解；（3）综合（1）、（2）解题思路即可求解；【详解】解：（1）BP、CP分别平分ABC和AC

53、B，PBC12ABC，PCB12ACB，PBC+PCB12（ABC+ACB），12（180A）55，P180（PCB+PBC）125，故答案为：125（2）EBCA+ACB，FCBA+ABC，EBC+FCBA+ACB+A+ABC，180+70250，BP、CP分别平分EBC和FCB，PBC12EBC，PCB12FCB，PBC+PCB12（EBC+FCB），125，P180（PBC+PCB）55，故答案为：55（3）ACDA+ABC，CP平分ACD，BP平分ABC，PBC12ABC，PCA12ACD12A+12ABC，P180（PBC+PCA+ACB），12A35，即P等于A的一半，答：P的度数

54、是35【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键【变式11-3】（2022广东韶关实验中学七年级期中）如图，ABCD，点E是AB上一点，连结CE(1)如图1，若CE平分ACD，过点E作EMCE交CD于点M，试说明A2CME；(2)如图2，若AF平分CAB，CF平分DCE，且F70，求ACE的度数(3)如图3，过点E作EMCE交DCE的平分线于点M，MNCM交AB于点N，CHAB，垂足为H若ACH12ECH请直接写出MNB与A之间的数量关系【答案】(1)见解析；(2)ACE=40；(3)MNB=135-A【分析】（1）利用平行线的

55、性质和角平分线的定义分别计算A与CME，即可得出结论；（2）过点F作FM/AB，利用平行线的性质和角平分线的定义和（1）的结论解答即可；（3）延长CM交AN的延长线于点F，设ACH=x，则ECH=2x，ECM=DCM=y，利用垂直的定义得到x+y=45；利用三角形的内角和定理分别用x，y的代数式表示出MNB与A，计算MNB+A即可得出结论（1）证明：EMCE，CEM=90AEC+CEM+BEM=180，AEC+BEM=90AB/CD，AEC=ECD，CME=BEMECD+CME=902ECD+2CME=180CE平分ACD，ACD=2ECDACD+2CME=180AB/CD，ACD+A=180

56、A=2CME（2）解：过点F作FM/AB，如图，AB/CD，FM/AB/CDAFM=BAF，CFM=DCFAFM+CFM=BAF+DCF即AFC=BAF+DCFAF平分CAB，CF平分DCE，CAB=2BAF，DCE=2DCFCAB+DCE=2(BAF+DCF)=2AFCAFC=70，CAB+DCE=140AB/CD，CAB+ACE+DCE=180ACE=180-(CAB+DCE)=180-140=40（3）解：MNB与A之间的数量关系是：MNB=135-A延长CM交AN的延长线于点F，如图，MNCM，NMF=90MNB=90-F同理：HCF=90-FMNB=HCFACH=12ECH，设ACH

57、=x，则ECH=2xCM平分DCE，设ECM=DCM=yMNB=HCF=2x+yAB/CD，CHAB，CHCDHCD=90ECH+ECD=902x+2y=90x+y=45CHAB，A=90-ACH=90-xA+MNB=90-x+2x+y=90+x+y=135MNB=135-A【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，平角的意义，过点F作FM/AB是解题的关键【考点12 与平行线有关的三角形内角和问题】【例12】（2022辽宁盘锦七年级期末）（1）问题情境：如图1，ABCD，PMB=140，PND=120，求MPN的度数；（2）问题迁移：在（1）的条件下

58、，如图2，AMP的角平分线与CNP的角平分线交于点F，则MFN的度数为多少？请说明理由；（3）问题拓展：如图3，ABCD，点P在射线OM上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记PAB=，PCD=，请直接写出APC与，之间的数量关系【答案】（1）100；（2）50，理由见解析；（3）当点P在BD上时，APC=+；当点P在BD延长线上时，APC=-；当点P在DB延长线上时，APC=-【分析】（1）过点P作POAB，将MPN分成MPO和NPO两部分，然后根据平行线的性质将两部分的度数相加即可；（2）分别过点P和点F作POAB，EFAB，由（1）知AMP+CNP的度数，根据角平分线的定义求出AMF

59、+CNF的度数，然后同第一问用平行线的性质即可求出MFN的度数；（3）分三种情况讨论，根据平行线的性质和“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”以及等量代换即可得到答案【详解】解：（1）过点P作POAB，如图，ABCD，POABCD，MPO=AMP，OPN=CNP，PMB=140，PND=120，MPO=AMP=180-PMB=180-140=40，OPN=CNP=180-PND=180-120=60，MPN=MPO+OPN=40+60=100（2）分别过点P和点F作POAB，EFAB，如图，ABCD，POEFABCD，AMP=MPO，CNP=OPN，MFEAMF，EFN=CNF，由（

60、1）得AMP+CNP=100，AMP的角平分线与CNP的角平分线交于点F，AMF=12AMP，CNF=12CNP，AMF+CNF=12AMP+12CNP=12(AMP+CNP)=50，MFN=MFE+EFN=AMF+CNF=50（3）当点P在BD上时，如原题图3，和（1）同理可得：APC=+；当点P在BD延长线上时，如图所示，AP交CD于点E，ABCD，=DEP，又DEP=+APC，APC=-；当点P在DB延长线上时，如图所示，CP交AB于点F，ABCD，BFP=，又BFP=+APC，APC=-综上所述，当点P在BD上时，APC=+；当点P在BD延长线上时，APC=-；当点P在DB延长线上时，

61、APC=-【点睛】本题主要考查了平行线的性质，还考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理的推论；解题的关键是：（1）正确作出辅助线，并灵活使用平行线的性质；（2）正确作出两条平行辅助线，并能灵活使用角平分线的定义和平行线的性质；（3）能用分类讨论的数学思想【变式12-1】（2022山东德州七年级期中）如图所示，DEBC，1=3，CDAB(1)求证：FGAB(2)若3=45，求ADE的度数【答案】(1)见解析(2)45【分析】（1）根据平行线的性质与判定可得CDFG，根据题意CDAB，即可得证；（2）由（1）得BFG90，根据三角形内角和定理可得B45，根据DE/BC，即可求解（1）DEBC12

62、又132=3, CDFG又CDABFGAB（2）由（1）得BFG90B3BFG180B4590180，B45DE/BCADEB45【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，掌握平行线的性质与判定是解题的关键【变式12-2】（2022江苏南通七年级期末）在ABC中，CD平分ACB交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作EFBC交直线CD于点F，BEF的角平分线所在的直线与射线CD交于点G(1)如图1，点E在线段AD上运动若B=60，ACB=30，则EGC=_；若A=80，求EGC的度数；(2)若点E在射线DB上运动时，探究EGC与A之间的数量关系，请直接写出答

63、案【答案】(1)45；EGC=50(2)EGC=90-12A或EGC=90+12A【分析】（1）根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，得出EGC=12B+12ACB，代入进行计算即可；由的方法得出EGC=12B+12ACB，进而满出EGC=12(180-A)，代入计算即可；（2）分类讨论进行解答，画出相应位置的图形，根据（1）中的结论和平角的定义，可得当点E在线段AD上时，有EGC=90-12A成立；当点E在线段DB上或DB的延长线上时，有EGC=90+12A成立（1）解：EFBC，B=FEB，EFD=BCD，CF是ACB的平分线，EG是FED的平分线，FEG=DEG=12F

64、ED=12B，BCD=ACD=12ACB=EFD，又EGC=FEG+EFG，EGC=12B+12ACB，=1260+1230=45，故答案为：45；由得EGC=12B+12ACB=12(B+ACB)=12(180-A)=90-12A=90-1280=50（2）当点E在AD上时，如图（1），由（1）得，EGC=90-12A；当点E在线段DB上时，如图（2），由（1）得，EGD=90-12A，EGC=180-EGD=180-90+12A=90+12A；当点在射线DB上时，如图（3），由（1）得，EGD=90-12A，EGC=180-EGD=180-90+12A=90+12A；综上所述，EGC与A之

65、间的数量关系为：EGC=90-12A或EGC=90+12A 答：若点E在射线DB上运动时，EGC与A之间的数量关系为：EGC=90-12A或EGC=90+12A【点睛】本题考查角平分线，平行线以及三角形内角和定理，理解角平分线的定义、平行线的性质以及三角形内角和定理是解题关键【变式12-3】（2022江苏宿迁七年级期末）如图，在ABC中，点D在AB上，过点D作DEBC，交AC于点E，DP平分ADE，交ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，ACF的平分线CQ与DP相交于点Q(1)若A=50，B=60，则DPC=_，Q=_；(2)若A=50，当B的度数发生变化时，DPC、Q的度数是否发生变化

66、？并说明理由；(3)若A=x，则DPC=_，Q=_；（用含x的代数式表示）；(4)若PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的A的度数【答案】(1)115，25(2)不发生变化，理由见解析(3)90+12x，x2(4)45，60，120，135【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；（3）将（2）中A=50换成A=x，同理即可求解；（4）设A=x，由（3）可知QPC=(90-12x)，Q=12x再由PCQ=90不变，即可分类讨论当PCQ=3CPQ时，当PCQ=3Q时，

67、当CPQ=3Q时和当3CPQ=Q时，分别列出关于x的等式，解出x即可（1）A=50，B=60，ACB=180-A-B=70CP平分ACB，BCP=ACP=12ACB=35DEBC，ADE=B=60，PGD=BCP=35DP平分ADE，PDG=12ADE=30DPC=180-PDG-PGD=115；DPC=115，QPC=180-115=65CP平分ACB，CQ平分ACF， ACP=12ACB，ACQ=12ACFACB+ACF=180，ACP+ACQ=90，即PCQ=90，Q=90-QPC=25故答案为：115，25；（2）当B的度数发生变化时，DPC、Q的度数不发生变化理由如下：A=50，AC

68、B+B=130DEBC，ADE=B，PGD=PCBDP平分ADE，CP平分ACB，PDE=12ADE=12B，PCB=12ACB=PGDDPC=180-PDE+PGD=180-12B+ACB=180-12130=115QCP=65由（1）可知PCQ=90不变，Q=90-QPC=25当B的度数发生变化时，DPC、Q的度数不发生变化；（3）A=x，ACB+B=180-xDEBC，ADE=B，PGD=PCBDP平分ADE，CP平分ACB，PDE=12ADE=12B，PCB=12ACB=PGDDPC=180-PDE+PGD=180-12B+ACB=180-12(180-x)=(90+12x)QPC=1

69、80-(90+12x)=(90-12x)由（1）可知PCQ=90不变，Q=90-QPC=90-(90-12x)=12x故答案为：(90+12x)，x2；（4）设A=x，由（3）可知QPC=(90-12x)，Q=12xPCQ=90，可分类讨论：当PCQ=3CPQ时，(90-12x)=1390，解得：x=120，A=120；当PCQ=3Q时，12x=1390，解得：x=60，A=60；当CPQ=3Q时，(90-12x)=312x， 解得：x=90，x=45A=45；当3CPQ=Q时，3(90-12x)=12x， 解得：x=135，A=135综上可知A=45或60或120或135【点睛】本题考查平行

70、线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键【考点13 与折叠有关的三角形内角和问题】【例13】（2022江苏睢宁县桃园中学七年级期中）如图所示，在四边形纸片ABCD中，A=80，B=70，将纸片沿着MN折叠，使C，D分别落在直线AB上的C，D处，则AMD+BNC等于（）A50B60C70D80【答案】B【分析】首先根据四边形内角和定理可得D+C=210，再利用折叠性质可得MDB=D，NCA=C，即MDB+NCA=210，从而得出MDA+NCB=150，最后进一步利用三角形内角和定理求解即可.【详解】A=80，B=70，D+C=360AB=210，由折

71、叠性质可得：MDB=D，NCA=C，MDB+NCA=210，MDA+NCB=360(MDB+NCA)=150，AMD+BNC=360(MDA+NCB)(A+B)=60，故选：B.【点睛】本题主要考查了三角形与四边形内角和定理以及折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.【变式13-1】（2022全国八年级课时练习）如图，在RtABC中，ABC=90，在AC边上取点D，使得AD=AB，连接BD点E、F分别为AD、BD边上的点，且DEF=48，将DEF沿直线EF翻折，使点D落在AB边上的点G处，若GF/BC，则C的度数为_ 【答案】26【分析】根据题意可得EDF=EGF，设EDF=EGF=，ADB是

72、DBC的一个外角，可得2-C=90，根据三角形内角和定理可得ABC+C=AEG+AGE，即+C=84，联立解方程组即可求得C【详解】折叠DEF=GEF=48，EDF=EGFAEG=180-248=84设EDF=EGF=AD=ABGBF=EDF=GF/BCFGA=CBA=90，GFB=DBCFGE+AGE=+AGE=90，GFB+GBF=+GFB=90AGE=GFB=DBC=90-ADB是DBC的一个外角ADB=DBC+C=90-+C=即2-C=90A=180-ABC-C=180-AEG-AGEABC+C=AEG+AGE即90+C=84+(90-)即+C=842-得3C=78即C=26故答案为：

73、26【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角性质，解二元一次方程组，理清角度之间的关系，设未知数列方程组是解题的关键【变式13-2】（2022全国八年级课时练习）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，连接AB（1）如图1，已知AC，BC分别是BAP和ABM角的平分线，点A，B在运动的过程中，ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出ACB的大小如图2，将ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，记作点C，则ABO=_；如图3，将ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，记作点C，则ABO=_

74、（2）如图4，延长BA至G，已知BAO，OAG的角平分线与BOQ的角平分线交其延长线交于E，F，在AEF中，如果有一个角是另一个角的32倍，求ABO的度数【答案】（1）ACB的大小不会发生变化，ACB=45；（2）30，60；（3）60或72【分析】（1）由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到AOB=90，根据三角形的外角的性质得到PAB+ABM=270，根据角平分线的定义得到BAC=12PAB，ABC=12ABM，于是得到结论；图2中，由于将ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到CAB=BAQ，由角平分线的定义得到PAC=CAB，根据三角形的内角和即可得到结论；图3中，根据将ABC

75、沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到ABC=ABN，由于BC平分ABM，得到ABC=MBC，于是得到结论；（2）由BAO与BOQ的角平分线相交于E可知EAO=12BAO，EOQ=12BOQ，进而得出E的度数，由AE、AF分别是BAO和OAG的角平分线可知EAF=90，在AEF中，由一个角是另一个角的32倍分情况进行分类讨论即可解答【详解】（1）ACB的大小不变，直线MN与直线PQ垂直相交于O，AOB=90，OAB+OBA=90，PAB+ABM=270，AC、BC分别是BAP和ABM角的平分线，BAC=12PAB，ABC=12ABM，BAC+ABC=12（PAB+ABM）=135，ACB=

76、45；图2中，将ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，CAB=BAQ，AC平分PAB，PAC=CAB，PAC=CAB=BAO=60，AOB=90，ABO=30，图3中，将ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，ABC=ABN，BC平分ABM，ABC=MBC，MBC=ABC=ABN，ABO=60，故答案为：30，60；（2）BAO与BOQ的角平分线相交于E，EAO=12BAO，EOQ=12BOQ，E=EOQ-EAO=12（BOQ-BAO）=12ABO，AE、AF分别是BAO和OAG的角平分线，EAF=90在AEF中，有一个角是另一个角的32倍，故有： EAF=32E，E=60，ABO=

77、120（不合题意，舍去）； EAF=32F，E=30，ABO=60；F=32E，E=36，ABO=72；E=32F，E=54，ABO=108（不合题意，舍去）；ABO为60或72【点睛】本题主要考查的就是角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用.解决这个问题的关键就是要能根据角平分线的性质将外角的度数与三角形的内角联系起来，然后再根据内角和定理进行求解.同学们在解答这种问题的时候，一定要注意外角与内角之间的联系，不能只关注某一部分.在需要分类讨论的时候一定要注意分类讨论的思想.【变式13-3】（2022全国八年级课时练习）如图1，三角形ABC中，A=58,B=90,C=32点E是BC边上的定点

78、，点D在AC边上运动沿DE折叠三角形CDE，点C落在点G处（1）如图2，若DE/AB，求ADG的度数（2）如图3，若EG/AB，求ADG的度数（3）当三角形DEG的三边与三角形ABC的三边有一组边平行时，直接写出CDG的度数【答案】（1）64；（2）26；（3）58或148或154或122或116或26【分析】（1）根据折叠的性质得到CDE=A=GDE=58，即可求出ADG；（2）根据GEAB，得到BEG=90，算出BFD，利用四边形内角和即可求出ADG；（3）找出其他所有情况，画出图形，利用平行线的性质求解即可【详解】解：（1）由折叠可知：C=DGE=32，CDE=GDE，DEAB，ABBC

79、，DEBC，则G在BC上，CDE=A=GDE=58，ADG=180-582=64；（2）由折叠可知：C=DGE=32，CDE=GDE，DEC=DEG，GEAB，B=CEG=BEG=90，DEC=12CEG=45，ADE=45+32=77，GDE=180-45-32=103，A=58，B=90，ADG=GDE -ADE =103-77=26；（3）如图，DGAB，则CDG=A=58；如图，DGBC，ADG=C=32，CDG=180-ADG =148；如图，EGAC，ADG=G=C=32，CDG=180-ADG =148；如图，EGAB，A=CFE=58，B=CEG=90，由折叠可知：DEG=DE

80、C=45，CDE=180-45-32=103=EDG，EDF=180-103=77，ADG=103-77=26，CDG=180-ADG =154；如图，DGAB，ADG=A=58，CDG=180-ADG =122；如图，DEAB，ADG=2C=64，CDG=180-ADG =116；如图，GE/AB，CEG=B =90，CDG=CEG -C-G =26；综上：其他所有情况下CDG的度数为58或148或154或122或116或26【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠问题，解题的难点在于找出所有符合题意的情况，得到角的关系【考点14 全等图形的概念】【例14】（2022春偃师市期末）下列说法不正确

81、的是（）A如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关C全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形D全等三角形的对应边相等，对应角相等【分析】直接利用全等图形的定义与性质分别分析得出答案【解答】解：A如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；B图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；C全等图形的面积相等，但是面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项错误，符合题意；D全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意；故选：C【变式14-1】（2021秋思南县期中）有下列说法，其中正确的

82、有（）两个等边三角形一定能完全重合；如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；两个等腰三角形一定是全等图形；面积相等的两个图形一定是全等图形A1个B2个C3个D4个【分析】直接利用全等图形的性质分别分析得出答案【解答】解：两个等边三角形不一定能完全重合，故此选项不合题意；如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同，故此选项符合题意；两个等腰三角形不一定是全等图形，故此选项不合题意；面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项不合题意故选：A【变式14-2】（2021秋蔡甸区期中）如图，有5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则中由实线围成的图形与中由实线围成的图形全等的

83、有（）ABCD【分析】本题可通过旋转，看后边四个实线图形能和中图形完全重合的便是的全等形【解答】解：以右下角顶点为定点顺时针旋转90后，两个实线图形刚好重合，中为平行四边形，而中为梯形，所以不能和中图形完全重合，可上下反转成的情况，然后旋转可和中图形完全重合，可旋转180后可和中图形完全重合，故选：C【变式14-3】（2021春宁德期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度【解答】解：分割方案如图

84、所示：由图可得，最长分割线的长度等于7故答案为：7【考点15 全等三角形的对应元素判断】【例15】（2021秋南沙区期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则1的度数是（）A115B65C40D25【分析】根据三角形内角和定理求出2，根据全等三角形的性质解答即可【解答】解：由三角形内角和定理得，21801152540，两个三角形全等，1240，故选：C【变式15-1】（2021秋大连期中）如图，ABNACM，B和C是对应角，AB和AC是对应边，其它对应边及对应角正确的是（）AANB和AMC是对应角BBAN和CAB是对应角CAM和BM是对应边DBN和CN是对应边【分析】全等三角形

85、的对应顶点在对应位置，按顺序找即可关键要细心，找对对应角和对应边【解答】解：ABNACM，B和C是对应角，AB与AC是对应边，对应边：AN与AM，BN与CM；对应角：BANCAM，ANBAMC故选：A【变式15-2】（2021春泰兴市期末）边长都为整数的ABC和DEF全等，AB与DE是对应边，AB2，BC4，若DEF的周长为奇数，则DF的值为（）A3B4C3或5D3或4或5【分析】根据三角形的三边关系求得AC的范围，然后根据全等三角形的对应边相等即可求解【解答】解：AC的范围是2AC6，则AC的奇数值是3或5ABC和DEF全等，AB与DE是对应边，则DEAB2，当DFAC时，DF3或5当DFB

86、C时，DF4故选：D【变式15-3】（2021秋鲁甸县期末）如果ABC的三边长分别为3，5，7，DEF的三边长分别为3，3x2，2y1，若这两个三角形全等，则x+y 【分析】根据全等三角形的对应边相等列出方程，解方程分别求出x、y，计算即可，注意分类讨论【解答】解：两个三角形全等，3x25，2y17或3x27，2y15，解得：x=73，y4或x3，y3，则x+y=193或6，故答案为：193或6【考点16 全等三角形的性质（求长度）】【例16】（2021秋青田县期末）如图，已知ABCDEF，B，E，C，F在同一条直线上若BF8cm，BE2cm，则CE的长度（）cmA5B4C3D2【分析】根据全

87、等三角形的性质得出BCEF，求出BECF2cm，再求出答案即可【解答】解：ABCDEF，BCEF，BCCEEFCE，BECF，BE2cm，CFBE2cm，BF8cm，CEBFBECF8224（cm），故选：B【变式16-1】（2022秋巴南区期末）如图，ABCBDE，ABBD，ABBD，AC4，DE3，CE的长为（）A1B2C3D4【分析】根据全等三角形的性质和线段的和差即可得到结论【解答】解：ABCBDE，BEAC4，BCDE3，CEBEBC1，故选：A【变式16-2】（2020秋永嘉县校级期末）如图，已知ABCDBE，点A，C分别对应点D，E，BC交DE于点F，ABDE，若BE10，CF4

88、，则EF的长为（）A4B5C6D7【分析】根据全等三角形性质，可得：ABCDBE，进而得出ABDFBE，得出FBEE，得出BFEF即可【解答】解：ABCDBE，ABCDBE，BEBC，ABCDBFDBEDBF，即ABDFBE，ABDE，FBEE，BFEFBCCF1046，故选：C【变式16-3】（2021春沙坪坝区期末）如图，ABC中，点D、点E分别在边AB、BC上，连结AE、DE，若ADEBDE，AC：AB：BC2：3：4，且ABC的周长比AEC的周长大6则AEC的周长为 【分析】由AC：AB：BC2：3：4，可设AC2x，AB3x，BC4xABC的周长比AEC的周长大6，可推断出x2，故A

89、C4，BC8由ADEBDE，得AEBE，故CAECAE+EC+ACBE+EC+ACBC+AC12【解答】解：ADEBDE，BEAECAECAE+EC+ACBE+EC+ACBC+ACAC：AB：BC2：3：4，设AC2x，AB3x，BC4xABC的周长比AEC的周长大6，CABCCAEC6（AB+BC+AC）（BC+AC）6AB3x6x2AC2x4，BC4x8CAECBC+AC8+412故答案为：12【考点17 全等三角形的性质（求角度）】【例17】（2022春鼓楼区校级期末）如图，ABCABC，边BC过点A且平分BAC交BC于点D，B27，CDB98，则C的度数为（）A60B45C43D34【

90、分析】根据对顶角相等求出ADB，根据三角形内角定理求出BAD，根据角平分线的定义求出BAC，进而求出C，根据全等三角形对应角相等解答即可【解答】解：CDB98，ADBCDB98，BAD180BADB55，AB平分BAC，BAC2BAD110，C180BBAC43，ABCABC，CC43，故选：C【变式17-1】（2021秋民权县期末）如图，ABCADE，且AEBD，BAD94，则BAC的度数的值为（）A84B60C48D43【分析】根据全等三角形的性质得出BACEAD，ABAD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出ADBABD43，根据平行线的性质得出EADADB43，再求出答案即可【解

91、答】解：ABCADE，BACEAD，ABAD，BAD94，ADBABD=12（180BAD）43，AEBD，EADADB43，BACEAD43，故选：D【变式17-2】（2021秋招远市期中）如图，ABCDEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AFCD，垂足为点F，若BCE56，则CAF的度数为（）A36B24C56D34【分析】根据全等三角形的性质得出BCAECD，求出BCEACF，求出ACF56，再根据直角三角形的两锐角互余得出即可【解答】解：ABCDEC，BCAECD，BCAECAECDECA，即BCEACF，BCE56，ACF56，AFCD，AFC90，CAF90A

92、CF34，故选：D【变式17-3】（2022春武侯区期末）如图，在ABC中，在边BC上取一点D，连接AD，在边AD上取一点E，连接CE若ADBCDE，BAD，则ACE的度数为（）AB45C45D90【分析】根据全等三角形的性质可得ADBCDE，ADCD，DCEBAD，进一步可得CDE90，ACD45，即可求出ACE的度数【解答】解：ADBCDE，ADBCDE，ADCD，DCEBAD，ADB+CDE180，CDE90，ACDCAD45，BAD，DCE，ACE45，故选：C【考点18 全等三角形的判定条件】【例18】（2022春顺德区期末）如图，AD90，给出下列条件：ABDC，OBOC，ABCD

93、CB，ABODCO，从中添加一个条件后，能证明ABCDCB的是（）ABCD【分析】由题意可得AD90，BCBC，即有一组对应角相等，一组对应边相等，结合全等三角形的判定条件进行分析即可【解答】解：AD90，BCBC，当ABDC时，由HL可得ABCDCB，故符合题意；当OBOC时，可得BCOCBO，利用AAS可得ABCDCB，故符合题意；当ABCDCB时，利用AAS可得ABCDCB，故符合题意；当ABODCO时，不能得ABCDCB，故不符合题意；故符合题意的有故选：A【变式18-1】（2021秋庐阳区期末）如图，点B、E在线段CD上，若ADEF，则添加下列条件，不一定能使ABCEFD的是（）AC

94、D，ACDEBBCDF，ACDECABCDFE，ACDEDACDE，ABEF【分析】利用三角形全等的判定方法进行分析即可【解答】解：A、添加CD，ACDE可利用ASA判定ABCEFD，故此选项不合题意；B、添加BCFD，ACED不能判定ABCEFD，故此选项符合题意；C、添加ABCDFE，ACDE可利用AAS判定ABCEFD，故此选项不合题意；D、添加ACDE，ABEF可利用SAS判定ABCEFD，故此选项不合题意；故选：B【变式18-2】（2021秋源汇区校级期末）如图，已知12，ACAD，增加下列条件之一：ABAE；BCED；CD；BE其中能使ABCAED的条件有（）A1个B2个C3个D4

95、个【分析】先由12得到CABDAE，然后分别利用“SAS”、“ASA”和“AAS”对各添加的条件进行判断【解答】解：12，CABDAE，ACAD，当ABAE时，可根据“SAS”判断ABCAED；当BCED时，不能判断ABCAED；当CD时，可根据“ASA”判断ABCAED；当BE时，可根据“AAS”判断ABCAED故选：C【变式18-3】（2022秋佳木斯期末）在ABC和DEF中，其中CF，则下列条件：ACDF，AD；ACDF，BCEF；AD，BE；ABDE，BE；ACDF，ABDE其中能够判定这两个三角形全等的是（）ABCD【分析】根据全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，如

96、果是两个直角三角形，除了前面四种方法以外，还可以用HL来判定【解答】解：ACDF，AD，再加上已知CF，符合ASA，故符合题意；ACDF，BCEF，再加上已知CF，符合SAS，故符合题意；AD，BE，再加上已知CF，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；ABDE，BE，再加上已知CF，符合AAS，故符合题意；ACDF，ABDE，再加上已知CF，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；故选：A【考点19 证明两个三角形全等】【例19】（2022春鼓楼区校级期末）如图，点A，E，F，B在同一直线上，CEAB，DFAB，垂足分别为E，F，AEBF，AB求证：ADFBCE【分析】根据ASA证明ADFBC

97、E即可【解答】证明：AEBF，AFBE，CEAB，DFAB，AFDBEC90，在ADF和BCE中，A=BAF=BEAFD=BEC，ADFBCE（ASA）【变式19-1】（2021秋肥西县期末）已知，如图，ABAE，ABDE，ECB65，D115，求证：ABCEAD【分析】由ECB65得ACB115，再由ABDE，证得CABE，再结合已知条件ABAE，可利用AAS证得ABCEAD【解答】证明：ECB65，ACB180ECB115又D115，ACBDABDE，CABE在ABC和EAD中，ACB=DCAB=EAB=AE，ABCEAD（AAS）【变式19-2】（2021秋信州区校级期中）如图，在ABC

98、中，点D是BC边的中点，分别过点B、C作BEAD于点E，CFAD交AD的延长线于点F，求证：BDECDF【分析】由“AAS”可证BDECDF【解答】证明：BEAD，CFAD，BEDCFD90，点D是BC的中点，BDCD，在BDE和CDF中，BED=CFDBDE=CDFBD=CD，BDECDF（AAS）【变式19-3】（2022河源模拟）如图，在四边形ABCD中，ADBC，点M为对角线AC上一点，连接BM，若ACBC，AMBBCD，求证：ADCCMB【分析】根据平行线的性质求出DACMCB，求出CBMACD，根据全等三角形的判定定理求出即可【解答】证明：ADBC，DACMCB，AMBBCD，CBM+ACBAMB，ACB+ACDBCD，CBMACD，在ADC和CMB中，ACD=CBMAC=BCDAC=MCB，ADCCMB（ASA）