8.6 空间直线、平面的垂直（分层练习）（解析版）.docx

1、第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直精选练习基础篇1设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下面说法正确的是（）A若，则/ B若，m/，则mC若m，m/，则 D若m/n，n，则m/【答案】C【分析】由线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质、面面垂直的判定等判断各选项的正误.【详解】A：由，则/或,相交，错误；B：由，m/，则m/或m或m,相交，错误；C：由m/，则存在直线l且l/m，而m则l，根据面面垂直的判定易知，正确；D：由m/n，n，则m/或m，错误.故选：C2设m，n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（）A若m，n，则mnB若m/，n/，则mnC若m，mn，

2、则n/D若m/，mn，则n【答案】A【分析】根据空间线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，根据线面垂直的定义可知，若m，n，则mn，A选项正确.B选项，若m/，n/，则m,n可能平行，B选项错误.C选项，若m，mn，则n可能含于平面，C选项错误.D选项，若m/，mn，则n可能含于平面，D选项错误.故选：A3. 如图，线段AB，BD在平面内，BDAB，AC，且AB=4，BD=3，AC=12，则C，D两点间的距离为（）A19B17C15D13【答案】D【分析】根据线面垂直的性质定理结合勾股定理求解.【详解】连接AD，BDAB，AD=AB2+BD2=5,又

3、AC，AD,ACAD，CD=AC2+AD2=13，故选:D.4. （多选）如图，用正方体ABCD一A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是（）AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行【答案】ABC【分析】根据线线垂直、线线平行等知识确定正确答案.【详解】由于N是CD1的中点，C1,N,D三点共线，则N是C1D的中点，由于M是BC1的中点，MN/BD，C选项正确.根据正方体的性质可知CC1平面ABCD，由于BD平面ABCD，CC1BD，CC1MN，A选项正确.由于ACBD，MNAC，B选项正确.由于A1B1/AB，AB与BD相交，MN

4、与A1B1不平行，D选项错误.5已知二面角l，若直线a，直线b，且直线a,b所成角的大小为60，则二面角l的大小为_.【答案】60或120【分析】作出二面角的平面角，然后利用直线夹角与二面角的平面角的关系求出二面角的大小【详解】设点P是二面角l内的一点，过P分别作直线a,b的平行线PA,PB，且PA垂直于于A，PB垂直于于B，设平面PAB交直线l于点O，连接OA，OB，由于PA，PB，l，l，故PAl，PBl，又PAPB=P，PA,PB平面PAB，故l平面PAB，又OA，OB平面PAB，故lOA，lOB，AOB为二面角l的平面角，直线a,b所成角的大小为60，APB=60或120，当APB=1

5、20时，如图1，APB+AOB=180，AOB=60；当APB=60时，如图2，APB+AOB=180，AOB=120;综上，二面角l的大小为60或1206如图，在直二面角AB中，AC和BD分别在平面和上，它们都垂直于AB，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD=_【答案】229【分析】连接BC，由面面垂直的性质可得BD，再由线面垂直的性质有BDBC，在RtABC、RtDBC中，利用勾股定理求CD.【详解】连接BC，在直二面角AB中BD AB，=AB，BD，BD，又BC，则BDBC，又ACAB，在RtABC、RtDBC中CD=AC2+AB2+BD2=229.故答案为：2297三棱锥PABC中，

6、点在底面ABC内的射影为Q，若PA=PB=PC，则点Q定是ABC的_心【答案】外【分析】由PA=PB=PC可得QA=QB=QC，故Q是ABC的外心.【详解】解：如图，点P在底面ABC内的射影为Q,PQ平面ABC又QA平面ABC、QB平面ABC、QC平面ABC，PQQA、PQQB、PQQC.在RtPQA和RtPQB中，PA=PBPQ=PQ,PQAPQB，QA=QB同理可得：QA=QC,故QA=QB=QC，故Q是ABC的外心.8如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点求证：平面AEC平面PBD【答案】证明见解析【分析】根据PA=PC可得ACPO,根据四边形ABC

7、D为菱形,可得ACBD,再根据线面垂直的判断定理可得AC平面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.【详解】（1）设ACBD=O,连接EO,PO,如图所示:PA=PC,O为AC的中点,ACPO,又四边形ABCD为菱形,ACBD,PO平面PBD,BD平面PBD,且POBD=O,AC平面PBD,又AC平面AEC，平面AEC平面PBD9空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG2，GE5，EF3.求证：ACBD.【答案】证明见解析【分析】异面直线所成角为90，则两直线垂直.【详解】点G，E分别是CD，BC的中点，GE/BD，同理GF/AC.FGE或FGE的补角是异面直线A

8、C与BD所成的角在EFG中，FG2，GE5，EF3，满足FG2GE2EF2，FGE90.即异面直线AC与BD所成的角是90，ACBD.10在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=3,BC=2,AA1=1，则二面角D1BCD的余弦值为（）A55B255C1010D31010【答案】D【分析】画出长方体ABCDA1B1C1D1，D1CD为二面角D1BCD所成的平面角，求出cosD1CD的值即可得出答案.【详解】长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=3,BC=2,AA1=1，CD1=10，BCCD，BC平面DCC1D1,CD1平面DCC1D1,BCCD1,又平面D1BC 平面BCD =BC， D

9、1CD为二面角D1BCD所成的平面角，cosD1CD=CDCD1=310=31010，二面角D1BCD的余弦值为31010. 故选：D.提升篇1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PCD是等边三角形，平面PCD底面ABCD，AD=3，四棱锥PABCD的体积为183，E为PC的中点线段AB的长是（）A3B32C33D6【答案】D【分析】设AB=2a，作出四棱锥的高，并用AB=2a求出高，再用体积解出a.【详解】由已知，设AB=CD=2a，则矩形ABCD的面积SABCD=32a=6a，取CD中点F，连接PF，PCD是等边三角形，PC=PD=CD=2a，PFCD，且PF=3a,平面PCD

10、平面ABCD，平面PCD平面ABCD=CD，PF平面PCD，PF平面ABCD，即PF是四棱锥PABCD的高，四棱锥PABCD的体积VPABCD=13SABCDPF=136a3a=183解得，a=3，AB=2a=6. 故选：D.2如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，下面结论错误的是（）ABD/平面CB1D1BAC1与平面ABCD所成的角为30CAC1平面CB1D1D异面直线AD与CB1所成的角为45【答案】B【分析】根据BD/B1D1，由线面平行的判定可知A正确；由线面角定义可知所求角为C1AC，由tanC1AC=22知B错误；由线面垂直的判定与性质可证得B1D1AC1、AC1B1C，由此可

11、知C正确；由异面直线所成角的定义可知所求角为B1CB，由tanB1CB=1知D正确.【详解】对于A，BB1/DD1，BB1=DD1，四边形BDD1B1为平行四边形，BD/B1D1，又B1D1平面CB1D1，BD平面CB1D1，BD/平面CB1D1，A正确；对于B，连接AC，CC1平面ABCD，AC1与平面ABCD所成的角为C1AC，又tanC1AC=CC1AC=22，AC1与平面ABCD所成的角不是30，B错误；对于C，连接A1C1，四边形A1B1C1D1为正方形，A1C1B1D1；AA1平面A1B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D1，AA1B1D1，又A1C1AA1=A1，A1C1,AA

12、1平面AA1C1，B1D1平面AA1C1，AC1平面AA1C1，B1D1AC1，同理可得：AC1B1C，B1CB1D1=B1，B1C,B1D1平面CB1D1，AC1平面CB1D1，C正确；对于D，AD/BC，异面直线AD与CB1所成的角即为B1CB，又tanB1CB=1，B1CB=45，即异面直线AD与CB1所成的角为45，D正确.故选：B.3如图，在空间四边形ABCD中，ADBC2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF3，求异面直线AD，BC所成角的大小.【答案】60【分析】设G为AC的中点,由已知中，E、F分别是AB、CD的中点,若EF3,根据三角形中位线定理,我们易求出EGF为异面直线A

13、D、BC所成的角(或其补角)，解三角形EGF即可得到答案【详解】如图，取AC的中点G，连接EG，FG.E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，GFAD，且GF12AD，EGBC，且EG12BC，则EGF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角.ADBC2，EGGF1.单独看GEF的平面图，可得在等腰GEF中，过点G作GHEF于点H，在RtGHE中，EG1，EH12EF32，则sinEGH32，EGH60，则EGF2EGH120.异面直线AD，BC所成的角为EGF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60.4如图，A,B是120的二面角l棱l上的两点，线段AC、BD分别在平面、内，且ACl，BDl

14、，AC=2，BD=1，AB=3，则线段CD的长为_【答案】4【分析】作辅助线使EAC为二面角的平面角，由余弦定理求出EC，再通过证明ED平面EAC，得出EDEC，通过勾股定理即可求解.【详解】如图所示：在平面中，过A作直线平行于BD，在其上取一点E，使AEBD，连接EC、ED由BDl，AEl，则EAC即为al的平面角，则EAC=120在EAC中，由余弦定理得：EC2=EA2+CA22EACAcosEAC=1+4212（12）=7，四边形EABD是平行四边形，则EDAB3由AB平面EAC，结合EDAB得ED平面EAC，EC平面EAC，则EDEC， DEC是直角三角形5如图，已知四边形ABCD，B

15、CD是以BD为斜边的等腰直角三角形，ABD为等边三角形，BD=2，将ABD沿对角线BD翻折到PBD在翻折的过程中，下列结论中不正确的是（）ABDPC BDP与BC可能垂直C直线DP与平面BCD所成角的最大值是45 D四面体PBCD的体积的最大是33【答案】C【分析】对于A，取BD的中点M，即可得到BD面PMC，A选项可判断对于B，采用反证法，假设DPBC，则BC面PCD，再根据题目所给的长度即可判断；对于C，当面PBD 面BCD时，此时直线DP与平面BCD所成角有最大值，判断即可；对于D，当面PBD 面BCD时，此时四面体PBCD的体积有最大值，计算最大体积判断即可【详解】如图所示，取BD的中

16、点M，连接PM,CM，BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形,BDCM ABD为等边三角形,BDPM BD面PMC ,BDPC ,故A正确对于B，假设DPBC，又BCCD BC面PCD，BCPC，又PB=2,BC=2,PC=231,3+1，故DP与BC可能垂直，故B正确当面PBD 面BCD时，此时PM面BCD，PDB即为直线DP与平面BCD所成角此时PDB=60，故C错误当面PBD 面BCD时，此时四面体PBCD的体积最大，此时的体积为：V=13SBCDPM=13(1222)3=33 ，故D正确6在三棱锥ABCD中，AB=AC=27,BC=CD=DB=23，平面ABC平面BCD，则三棱锥ABCD

17、外接球的表面积为（）A22175B22125C88475D88425【答案】D【分析】如图，取BC的中点E，连接AE，DE，过O作OFAE，垂足为F，根据面面垂直的性质可知四边形OO1EF为矩形，利用勾股定理求出AF、OO1、EF，列出关于外接球半径R的方程，求出R2，结合球的表面积公式计算即可.【详解】由题意得，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则BCD外接圆圆心O1在DE上，且2O1D=23sin60，解得O1D=2，设三棱锥ABCD外接球球心为O，连接OO1，OD，OA，过O作OFAE，垂足为F，由平面ABC平面BCD，得O1EAE，故四边形OO1EF为矩形，AB=AC=27，BC=

18、BD=CD=23，AEBC，DEBC，且AE=(27)2(3)2=5，DE=(23)2(3)2=3，O1E=OF=1，设三棱锥ABCD外接球半径为R，有AF=R2OF2=R21，OO1=R2O1D=R222，又OO1=EF=5AF=5R21，5R21=R222，解得R2=22125，三棱锥ABCD外接球的表面积为4R2=88425. 故选：D.7（多选）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，EF是线段A1C1上的两个动点，且EF长为定值，下列结论中不正确的是（）ABDCEBBD面CEFC三角形BEF和三角形CEF的面积相等D三棱锥B-CEF的体积为定值【答案】C【分析】由正方体的性质知BD面

19、ACC1A1，由BEF和CEF的底边EF上的高不相等可知它们的面积不相等，又B点到面CEF的距离为定值，即可判断各项的正误.【详解】BD面ACC1A1，CE面ACC1A1，面CEF与面ACC1A1重合，A，B均正确，B到EF的距离为BA1C1的高，C到EF的距离即为CC1，BEF的面积大于CEF的面积， C错误；B点到面CEF的距离为定值，为BD2长，CEF的面积也为定值， D正确.故选：C.8如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BC的中点，点P为线段D1F上的动点，则（）A两条异面直线D1C和BC1所成的角为45B存在点P，使得C1G/平面BEP

20、C对任意点P，平面FCC1平面BEPD点B1到直线D1F的距离为4【答案】BCD【分析】根据异面直线所成角的概念结合正方体的性质可判断A，根据线面平行的判定定理可判断B，根据线面垂直的判定定理可得BE平面FCC1，然后根据线线垂直的判定定理可判断C，利用余弦定理结合条件可判断D.【详解】对于A，如图1，由正方体的性质可知BC1/AD1，两条异面直线D1C和BC1所成的角即为AD1C=60，A错误；对于B，如图2，当点P与点D1重合时，由题可知EG/DC,EG=DC,D1C1/DC,D1C1=DC，EG/D1C1,EG=D1C1，四边形EGC1D1为平行四边形，故C1G/D1E，又C1G平面BE

21、P，D1E平面BEP，则C1G/平面BEP，B正确；对于C，如图3，连结CF，由于CC1平面ABCD，BE平面ABCD，故CC1EB，又AE=BF,AB=CB,A=CBF，故BAECBF，故AEB=CFB，即EBA+CFB=90，故CFBE，又CF,CC1相交，CF,CC1平面FCC1，故BE平面FCC1，又BE平面BEP，故对任意点P，平面FCC1平面BEP，C正确；对于D，如图4，由正方体的性质可得B1D1=42,FD1=22+42+42=6，B1F=22+42=25，cosB1D1F=B1D12+FD12B1F22B1D1FD1=62+422252642=22，B1D1F=45，点B1到

22、直线D1F的距离d=B1D1sinB1D1F=4222=4，D正确9. 由勾股定理CD2=CE2+ED2=7+9=16,CD=44如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，ABC=60，FA底面ABCD，DE/AF，M是BC的中点，且FA=3DE=3.(1)求证AMEF；(2)求三棱锥EACF的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)3【分析】（1）根据条件证明AM底面ADEF即可；（2）先求出点C到平面ADEF的距离，再根据VEACF=VCAEF解题即可.(1)由题意可知，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC=60，ABC为等边三角形，M是BC的中点，AMBC，又AD/BC，

23、AMAD，FA底面ABCD，AM平面ABCD，故FAAM，FA平面ADEF，AD平面ADEF，AM平面ADEF，FAAD=A，AM面ADEF，EF平面ADEF，故AMEF.(2)由（1）知，AD/BC，AM底面ADEF，则点C到平面ADEF的距离即AM，又ABC为边长为2等边三角形，AM=3，FA底面ABCD，DE/AF，ADEF为直角梯形，SAEF=12AFDA=1232=3，VEACF=VCAEF=13SAEFAM=3.即三棱锥EACF的体积为：3.10如图，在直三棱柱ABCDEF中，AC=BC=2, AB=22，AD=4,M,N分别为AD,CF的中点(1)求证：AN平面BCM；(2)设G

24、为BE上一点，且BG=34BE，求点G到平面BCM的距离【答案】(1)证明见解析；(2)322【分析】（1）根据AC2+BC2=AB2得ACBC，并且得出四边形ACMN为正方形，进而即可求证；（2）利用等体积法的思想求点到平面的距离【详解】（1）证明：在直三棱柱ABCDEF中，AC=BC=2, AB=22，AD=4,M,N分别为AD,CF的中点，AC=BC=2,AB=22,AC2+BC2=AB2，即ACBC，又ABCDEF是直三棱柱，AD平面ABC，BC平面ABC，ADBC,AC,AD平面ACFD,ACAD=A,BC平面ACFD，AN平面ACFD,则BCAN，M,N分别为AD,CF的中点，且AD=4,AC=2,四边形ACMN为正方形，则CMAN，又BCCM=C，BC,CM平面BCM，AN平面BCM；（2）由（1）知，即ACBC，又ABCDEF是直三棱柱，AC平面BCFE，MAFC，则点M到平面GBC的距离即为AC=2，VGBCM=VMBCG=13SBCGAC=1312BCBGAC=16232=2，由（1）知，BCCM，且CM=22，SBCM=12222=22，设点点G到平面BCM的距离为，则VGBCM=1322，1322=2，则=322，即点点G到平面BCM的距离为322