9.4 抛物线（精讲）（学生版）.docx

1、9.4抛物线（精讲）一抛物线的概念(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点(3)准线：直线l叫做抛物线的准线2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px (p0)y22px (p0)x22py (p0)x22py (p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下一抛物线的定义及标准方程1.由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可相互转化2.求抛物线标准方程的常用方法是待

2、定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程二与抛物线有关的最值问题1.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决2.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决三常用的结论1与焦点弦有关的常用结论如图，倾斜角为的直线AB与抛物线y22px(p0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有(1)x1x2.(2)y1y2p2.(3)|AB|x1

3、x2p(是直线AB的倾斜角).(4)为定值(F是抛物线的焦点).（5）以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切（6）若A，B为抛物线y22px(p0)上两点，且OAOB，则直线AB过定点(2p，0)考点一 抛物线的定义及标准方程【例1-1】（2023秋北京丰台高三北京丰台二中开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上若到直线的距离为3，则（）A4B5C6D7【例1-2】（2023新疆统考三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）ABCD【一隅三反】1（2023秋福建福州高三统考开学考试）已知点在抛物线C：上，则P到C的准线的距离为（）A

4、4B3C2D12（2023秋山东青岛高三统考开学考试）设抛物线：的焦点为，在上，则的方程为（）ABCD3（2023四川成都校联考模拟预测）已知点是抛物线C：的焦点，点M在抛物线C上，点，且，则点M到y轴的距离为（）A6B8C10D12考点二 抛物线有关的最值问题【例2-1】（2023四川成都校联考二模）已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（）A5B6C7D8【例2-2】（2022秋广东东莞高三校考阶段练习）抛物线的顶点为原点，焦点为，则点到抛物线上动点的距离最小值为（）ABCD【一隅三反】1（2023全国 专题练习）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小

5、值为（）A13B12C10D82（2023江西南昌校联考模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（）A2BCD33（2023春四川南充 ）已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（）A3B4CD64（2023广东深圳深圳中学校考模拟预测）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（）A10B9C8D5考点三 直线与抛物线的位置关系【例3-1】（2023秋课时练习）（多选）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（）ABCD【一隅三反】1（2023秋课时练习）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（）A

6、相交B相切C相离D相交或相切2（2023秋课时练习）（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（）ABC1D23（2023秋课时练习）过点与抛物线只有一个公共点的直线有 条4（2023秋云南）已知抛物线方程为，若过点的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 .考点四 弦长【例4-1】（2023北京大兴校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为 【例4-2】（2023秋辽宁鞍山高三统考阶段练习）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是

7、（）A若，则B若，则弦最短长度为4C存在以为直径的圆与相交D若直线，且点在轴的上方，则【一隅三反】1（2023湖南郴州安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线的焦点，作斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则（）AB或3C或2D32（2023云南昭通校联考模拟预测）（多选）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（）A直线AB过焦点F时，最小值为4B直线AB过焦点F且倾斜角为时，C若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5D3（2023江西九江统考一模）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为 考点五 直线与抛物线的综合问题【例5】（2023秋湖南高三临澧县第一中学校联考

8、开学考试）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且(1)求的值；(2)若直线l与交于M，N两点，与交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，证明：为定值【一隅三反】1（2023秋湖北高三孝感高中校联考开学考试）直角坐标系中，已知动点到定点的距离比动点到定直线的距离小1，记动点的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)点是曲线上位于直线的上方的点，过点作曲线的切线交于点，若，证明：为定值.2（2023秋广东深圳高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上，(1)求；(2)过点作直线，与交于，两点，关于轴的对称点为判断直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理出3（2023全国高三专题练习）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且(1)求抛物线E的方程；(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和求证：为定值