三角函数求w类型及三角换元应用归类（学生版）.pdf

1、1三角函数求 w 类型及三角换元应用归类目录题型 01 平移型求 w题型 02单调区间及单调性求 w题型 03 对称中心(零点)求 w题型 04 对称轴型求 w题型 05 对称轴及单调性型求 w题型 06“临轴”型求 w题型 07“临心”型求 w题型 08 区间内有“心”型求 w题型 09 区间内无“心”型求 w题型 10 区间内最值点型求 w题型 11 多可能性分析型求 w题型 12 三角应用：三角双换元题型 13 三角应用：无理根号型题型 14 三角应用：圆代换型题型 15 三角应用：向量型换元高考练场题型 01 平移型求 w【解题攻略】平移型求 w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(

2、最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出 值或者范围。1(2023全国高三专题练习)已知函数 f x=sin2x 0，将 y=f x的图像向右平移 4 个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则 的最小值等于()A.2B.4C.6D.822(2022全国高三专题练习)将函数 f(x)=12 sin x+6+2(0)的图像向右平移 3 个单位长度后与原函数图像重合，则实数 的最小值是()A.2B.3C.6D.9【变式训练】1(2021 春浙江杭州高三学军中学校考开学考试)将函数 y=tan x-1 0的图像向左平移 2 个单位长度后，与函数 y=tan x+3的图

3、象重合，则 的最小值等于()A.2-2B.1C.-2D.22(2024云南楚雄云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模)将函数 f x=sin x+6(0)的图象向右平移 3 个单位长度后与函数 g x=cos x的图象重合，则 的最小值为()A.1B.2C.4D.53(2023陕西西安西安市大明宫中学校考模拟预测)将 f(x)=sin x+4(0)的图象向左平移 3 个单位长度后与函数 g(x)=cosx 的图象重合，则 的最小值为()A.14B.12C.34D.32题型 02单调区间及单调性求 w【解题攻略】正弦函数在每一个闭区间 2k-2,2k+2(k Z)上都单调递增，在每一个闭区间 2k

4、+2,2k+32(k Z)上都单调递减余弦函数在每一个闭区间 2k-，2k(k Z)上都单调递增，在每一个闭区间 2k，2k+(k Z)上都单调递减1(上海市川沙中学 2021-2022 学年高三下学期数学试题)设 0，若函数 f(x)=2sinx 在3-3,4上单调递增，则 的取值范围是2(广西玉林市育才中学 2022 届高三 12 月月考数学试题)已知函数 f(x)=2sin(x+)(0)的图象关于直线 x=2 对称，且 f 38=1，f x在区间-38,-4上单调，则 的值为.【变式训练】1 函数 f x=Asin x+A 0,0,若 f x在区间 0,2上是单调函数,且 f-=f 0=

5、-f2则 的值为()A.23B.23 或 2C.13D.1 或 132 若函数 f(x)=4sinx sin2 4+x2+cos2x(0)在-2,23上是增函数，则 的取值范围是.3(2022-2021 学年度下学期高三数学备考总动员 C 卷)若函数 f x=sin x+3 1在区间,54 上单调递减，则实数 的取值范围是.题型 03 对称中心(零点)求 w【解题攻略】正弦函数对称中心(k，0)(k Z)余弦函数对称中心2+k，0(k Z)正切函数对称中心k2，0(k Z)1(2023全国高三专题练习)设函数 f(x)=2tan x-6(0)的图象的一个对称中心为6,0，则 f x的一个最小正

6、周期是()A.2B.13C.213D.2742(2022 秋重庆高三统考期中)若存在实数 -2，0，使得函数 y=sin x+6(0)的图象的一个对称中心为，0，则 的取值范围为()A.13，+B.13，1C.13，+D.1，43【变式训练】1(2023 春湖北荆州高三沙市中学校考阶段练习)已知 f x=2tan x+0,0的部分图象如图，f x的对称中心是k2+6,0k Z，则 f3=()A.2 3B.-2 3C.3D.-33(2023 秋江苏苏州高三校考阶段练习)设函数 f x=2tan x-3 0的图象的一个对称中心为6,0，则 f x的一个最小正周期是()A.3B.4C.5D.25题型

7、 04 对称轴型求 w【解题攻略】正弦函数对称轴x=2+2k(k Z)时，ymax=1；x=-2+2k(k Z)时，ymin=-15余弦函数对称轴x=2k(k Z)时，ymax=1；x=2k+(k Z)时，ymin=-11(2022 秋山西长治高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习)已知函数 f(x)=Acosx-3sinx(0)的部分图象如图，y=f x的对称轴方程为 x=512+k2k Z，则 f 0=()A.3B.2C.32D.12(2022全国高三专题练习)若 x=3 是函数 f x=cosx 0图象的对称轴，则 f x的最小正周期的最大值是()A.6B.3C.2D.23【变式训练】1

8、(2021 秋云南昆明高三昆明市第三中学校考阶段练习)已知函数 y=sinx+acosx 的图像关于 x=3 对称，则函数 y=asinx+cosx 的图像的一条对称轴是()A.x=56B.x=23C.x=3D.x=62(“超级全能生”高考全国卷 26 省 9 月联考乙卷数学试题)已知向量 a=(sinx,cosx),b=(1,-1)，函数 f(x)=a b，且 12,x R，若 f(x)的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间(3,4)，则 的取值范围是()A.712,15161312,1916B.712,11161112,1516C.12,7121112,1916D.12,111

9、61112,151663 已知向量 a=sinx,cosx,b=1,-1，函数 f x=a b，且 12,R，若 f x的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间 3，4，则 的取值范围是A.712,，15161312，1916B.712,，11161112，1516C.12，7121112，1916D.12，11161112，1516题型 05 对称轴及单调性型求 w1(2021 届重庆市南开中学高考冲刺二数学试题)已知函数 f(x)=sin x+6(0)，对任意的 x R，都有 f(x+1)=f(-x)，且 f(x)在区间-4,12上单调，则 的值为.2(2020 届百校联考高考百

10、日冲刺金卷全国卷?数学(二)试题)已知函数 y=sin(x+)(0,(0,2)的一条对称轴为 x=-6，且 f(x)在,43上单调，则 的最大值为()A.52B.3C.72D.83【变式训练】1(四川省成都市新都区 2020-2021 学年高三诊断测试数学试题)已知函数 f x=2sin x+0满足 f4=2，f=0，且 f x在区间4,3上单调，则 的最大值为2(2022全国高三专题练习)已知函数 f x=sinx(0)在-6，4上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为 x=34，则 的值可能是()A.13B.23C.1D.433(2023内蒙古赤峰校考模拟预测)若直线 x=4 是曲线 y=s

11、in x-4(0)的一条对称轴，且函数 y=sin x-4在区间 0，12上不单调，则 的最小值为()A.9B.7C.11D.3题型 06“临轴”型求 w7【解题攻略】若 f x=Asin x+A 0,0的图像关于直线 x=x0对称,则 f x0=A 或 f x0=-A.1(2023 秋四川绵阳高三四川省绵阳南山中学校考开学考试)已知函数 y=Asin x+m A 0,0,0,2，x=-8 是函数 f x的一个零点，x=8 是函数 f x的一条对称轴，若 f x在区间5,4上单调，则 的最大值是()A.14B.16C.18D.20【变式训练】1(2023 秋河南洛阳高三洛宁县第一高级中学校考阶

12、段练习)已知 x=3，x=是函数 f x=sin x+0,2 0，且 f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为 2.若将函数 f(x)的图象向右平移 3 个单位后得到 g(x)的图象，且当 x 0,4时，不等式 2m2-m g x恒成立，则 m 的取值范围为()A.-,-112,+B.-,-12 1,+C.-,1-1741+174,+D.-,012,+3(2023 春四川成都高三校联考阶段练习)已知直线 x=x1,x=x2是函数 f x=sin x+6,(0)图象的任意两条对称轴，且 x1-x2的最小值为 2，则 f x的单调递增区间是()A.k+6,k+23,k ZB.k-3,k+6,k Z8C

13、.2k+3,2k+43,k ZD.2k-12,2k+512,k Z题型 07“临心”型求 w【解题攻略】函数 y=Asin x+B(A 0,0)的性质：(1)ymax=A+B，ymin=A-B.(2)周期 T=2.(3)由 x+=2+k k Z求对称轴，由 x+=k k Z求对称中心.(4)由-2+2k x+2+2k k Z求增区间；由 2+2k x+32+2k k Z求减区间.1(2023 春广东珠海高三校考)已知函数 f x=sinx+cosx 0的图象的一个对称中心的横坐标在区间4,2内，且两个相邻对称中心之间的距离大于 3，则 的取值范围为()A.0,3B.32,3C.0,32D.1,

14、32(2023 上天津东丽高三天津市第一百中学校考阶段练习)函数 f x=Asin x+1，A 0,0,0的图象的一个对称中心的横坐标在区间4,2内，且两个相邻对称中心之间的距离大于 3，则 的取值范围为()A.0,3B.32,3C.0,32D.1,392(2023云南红河统考二模)已知函数 f x=3tan x2+3(0)的图象的两个相邻对称中心之间的距离为 4，则 =()A.2B.4C.8D.163(2021 上四川雅安高三统考期末)已知函数 f(x)=tan(x+)0,2，点23,0和76,0是其相邻的两个对称中心，且在区间56,43内单调递减，则 =()A.6B.-6C.3D.-3题型

15、 08 区间内有“心”型求 w【解题攻略】求 w 的表达式时，wx+=k1(k1 z)中不要把 k1写成 k,因为后面还有一个 k,wx+=k2(k2z)中不要把 k2写成 k，否则不好研究 w 的最小值.它们本身就不一定相等.1(天津市部分区 2020 届高考二模数学试题)若函数 f(x)=cos(2x+)(0 0)在 0，)上恰有 6 个零点，则 的取值范围是()A.417,487B.347,417C.417,487D.347,417【变式训练】1(2022 湖北模拟)已知函数 f(x)=cos x-3-12(0)在区间 0，上恰有三个零点，则 的取值范围是2(云南省 2020 届高三适应

16、性考试数学试题)若函数 f x=2sin x+0，2 0)，若对于任意实数，f x在区间4,34上至少有 2 个零点，至多有 3 个零点，则 的取值范围是题型 09 区间内无“心”型求 w【解题攻略】无“心”型求 w，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结果，对于其他否定性问题经常这样思考.1 已知函数 f x=sin2x-2cos2x+1 0,x R，若函数 f x在区间2,内没有零点，则 的取值范围为.2(天津市南开中学 2022 届高三下学期统练二数学试题)已知函数 f(x)=sin x+6sin x+23(0)，(x R)，若 f(x)在区间2,

17、内没有零点，则 的取值范围是.【变式训练】1 函数 f(x)=sinx-12+cos2 x2，且 12，x R，若 f(x)的图像在 x (3，4)内与 x 轴无交点，则 的取值范围是.2(2023 春江西宜春高三江西省宜丰中学校考阶段练习)将函数 f x=sinx 的图象先向右平移3 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 1(0)倍，纵坐标不变，得到函数 g x的图象，若函数 g x在2,32上没有零点，则 的取值范围是()A.0,2923,89B.0,89C.0,2989,1D.0,13(2022全国高三专题练习)将函数 f x=cosx 的图象先向右平移 56 个单位长度，再把

18、所得函数图象的横坐标变为原来的 1(0)倍，纵坐标不变，得到函数 g x的图象，若函数 g x在2,32上没有零点，则 的取值范围是()11A.0,2923,89B.0,89C.0,2989,1D.0,1题型 10 区间内最值点型求 w【解题攻略】极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。1 已知函数 f x=sin x+(0，0 0,2的图象关于点 M-6,0及直线 l:x=3 对称，且f x在2,不存在最值，则 的值为()A.-3B.-6C.6D.3【变式训练】1(2022 年全国高考乙卷数学(理)试题变式题 13-16 题)已知函数 f(x)=sin x+

19、6,0，若 f4=f 512且 f(x)在区间4,512上有最小值无最大值，则 =2(2022 届湖南省长沙市第一中学高考模拟数学试题)已知函数 f x=3sin x+，0,0 0,0,2，两个等式：f-4+x-f-4-x=0,f4-x+f4+x=0 对任意的实数 x 均恒成立，且 f x在 0，316上单调，则 的最大值为A.1B.2C.3D.44 当 =3 时，f x=Acos 3x+，因为 f4-x=-f4+x对任意的实数 x 均恒成立，所12以 3 4+=k+2 k Z，因为 2，所以 =-4，所以 f x=Acos 3x-4，可以验证f x在 0,316上不单调，5 当 =1 时，f

20、 x=Acos x+，因为 f4-x=-f4+x对任意的实数 x 均恒成立，所以4+=k+2 k Z，因为 2 所以 =4 所以 f x=Acos x+4，可以验证 f x在0,316上单调，所以 w=1.故选 A.题型 11 多可能性分析型求 w【解题攻略】解决函数 f x=Asin x+综合性问题的注意点(1)结合条件确定参数 A,的值，进而得到函数的解析式(2)解题时要将 x+看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解(3)解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化1 函数 f(x)=sin(x+)0,|2，已知-6,0为 f(x)图象的一个对称中心，直线 x=

21、1312为 f(x)图象的一条对称轴，且 f(x)在1312,1912上单调递减记满足条件的所有 的值的和为 S，则 S 的值为()A.125B.85C.165D.1852(北京市西城区北京师范大学附属实验中学 2021-2022 学年高三上学期 12 月月考数学试题)已知点 A 6,32,B 4,1,C2,0，若三个点中有且仅有两个点在函数 f x=sinx 的图象上，则正数 的最小值为.【变式训练】1(北京市东城区 2021-2022 学年高三上学期数学试题)已知函数 f(x)=2sin(x+)(0)，曲线 y=f x与直线 y=3 相交，若存在相邻两个交点间的距离为 6，则 的所有可能值

22、为2(上海市晋元高级中学 2022 届高三数学试题)已知 A=y y=sin n+,n Z，若存在 使得集合 A 中恰有 3 个元素，则 的取值不可能是()13A.27B.25C.2D.233(2021 淮北二模)已知函数 f(x)=2sin(x+)(0)满足 f4=2，f()=0，且 f(x)在区间4,3上单调，则满足条件的 个数为()A.7B.8C.9D.10题型 12 三角应用：三角双换元【解题攻略】形如 x2+y2=a(a 0),x23+y2=t(t 0),x2-xy+y2=1，x2+y2+z2=a(a 0)等，均可以用三角换元来解决.在利用三角换元时，一定要注意角度限制，因为对于三角

23、函数的值域都是-1，1，但其角度有多种形式，于是我们在设置角度时要抓住 2 点：（1）设置的角度要使三角函数的范围为-1，1，(2)根号要能直接开出来.就如本题来讲，令 x=cos,0,，此时 cos -1,1，sin 0，于是1-x2=1-cos2=sin=sin.1(2023全国高三专题练习)设 x、y R 且 3x2+2y2=6x，求 x2+y2的取值范围是.2(2020江西校联考模拟预测)若等差数列 an满足 a21+a23=2，且 a1 1，求 a2+a3a1+a2的取值范围()A.(-1,1)B.-1,1C.(-,-1)(1,+)D.(-,-1 1,+)【变式训练】1(2021宁夏

24、石嘴山高三石嘴山市第三中学校考阶段练习)已知 a,b R，a2+b2=4，求 3a+2b 的取值范围为()A.-,4B.-2 13,2 13C.4,+D.-,-2 13 2 13,+2(江西省抚州市金溪一中等七校 2021-2022 学年高三考试数学试题(B 卷)已知 x、y 满足 x23+y2=1，则 u=2x+y-4+3-x-2y的取值范围为()14A.1，12B.0，6C.0，12D.1，133(浙江省嘉兴市 2022 届高三试数学试题)已知实数 x,y 满足 4x+9y=1,则 2x+1+3y+1的取值范围是题型 13 三角应用：无理根号型【解题攻略】无理根号型求范围，可以通过换元求得

25、：1.单根号，一般是齐次关系。2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消去 x。3.式子可能具有“轮换特征”4.一定要注意取值范围之间的变化与互相制约。1 求函数 y=3x+1-x2 的值域.2 求函数 y=3x+6+8-x 的值域.【变式训练】1 若对任意 x 0，k 1+x 1+x 恒成立，则实数 k 的取值范围是.2(新疆莎车县第一中学 2022 届高三上学期第三次质量检测数学试题)函数 y=x-4-x2 的值域为3(2020 届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷(七)数学(理)试题)已知 a,b,c -4,4，则|a-b|+|b-c|+2|c-a|的最大值为.题型 14 三角应用：

26、圆代换型【解题攻略】圆代换型，利用圆的参数方程，注意尽量代换规范：余弦对应 x，正弦对应 y(x-a)2+(y-b)2=R2的参数方程是：x=Rcos+ay=Rsin+b1(上海市第二中学 2020-2021 学年高三下学期 5 月月考数学试题)知点 A(2,0)，点 P 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的任意一点，将点 P 绕点 O 逆时针旋转 90 得点 Q，线段 AP 的中点为 M，则|MQ|的最大值是152 设圆 O:x2+y2=1 上两点 A x1,y1，B x2,y2满足：OA OB=-12，则 x1-2y1+x2-2y2 的取值范围是.【变式训练】1 已知 A xA,yA是

27、单位圆(圆心在坐标原点 O)上任一点，将射线 OA 绕 O 点逆时针旋转 3 到OB 交单位圆于点 B xB,yB，则 2yA-yB的最大值为.2 设圆 O:x2+y2=1 上两点 A x1,y1，B x2,y2满足：OA OB=-12，则 x1-2y1+x2-2y2的取值范围是.3(2020黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考一模)已知点 P 为圆 x-62+y-82=1 上任一点，F1，F2分别为椭圆 x24+y23=1 的两个焦点，求 PF1 PF2的取值范围.题型 15 三角应用：向量型换元【解题攻略】向量中的三角换元原理之一，就是源于 a=R,实质是圆。所以模定值，可以用圆的参数方程代换。1(

28、2022 上广东佛山高三统考)菱形 ABCD 中，AB=1,A 3,2，点 E，F 分别是线段 AD,CD 上的动点(包括端点)，AE=CF，则(AE+CF)AC=，ED EB的最小值为.2(2020江苏南通江苏省如皋中学校考模拟预测)已知 a-2e=b-e=1，e=1，则向量 a b 的最小值为.【变式训练】1(2024 上重庆高三重庆南开中学校考阶段练习)平面向量 a，b，c 满足 a=b=2，c-ac-b=-1，则 a c 的最大值为.2(2023全国高三专题练习)已知向量 a，b 满足 2a+b=3，b=1，则 a+2 a+b的最大值为.3(2023上海上海市七宝中学校考模拟预测)已知

29、 e 为单位向量，向量 a,b 满足 a-2e=2,16b-3e=3，则 a b 的取值范围是.高考练场1(2023湖南长沙长沙一中校考模拟预测)设函数 f x=sin x+0,0 ，将函数f x的图象先向右平移 6 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，所得的图象与 y=cosx 图象重合，则()A.=12，=6B.=12，=3C.=2，=56D.=2，=32(湖南省长沙市长郡中学 2020-2021 学年高三上学期月考(二)数学试题)已知函数 f x=sin 3x+3-2sin x+cos 2x+2，其中 0)的图象的一个对称中心为(，0)，则 的取值范围为()A.13,

30、+B.13,1C.13,+D.1,434(2023安徽滁州安徽省定远中学校考一模)已知直线 x=-6 是函数 f x=2sin 2x+0,(0,2)的一条对称轴为 x=-6，且 f(x)在,43上单调，则 的最大值为()A.52B.3C.72D.836(2023全国统考高考真题)已知函数 f(x)=sin(x+)在区间6,23单调递增，直线 x=6 和 x=23 为函数 y=f x的图像的两条相邻对称轴，则 f-512=()A.-32B.-12C.12D.32177(2020海南海口高三海南中学校考阶段练习)已知点 P1，P2为曲线 y=2sinx-cosx(x R)(常数 0)的两个相邻的对

31、称中心，若该曲线在点 P1，P2处的切线互相垂直，则 的值为.8(四川省内江市威远县威远中学校 2022-2023 学年高三数学试题)已知函数 f(x)=sin x+3(0)，若 f(x)在 0,23上恰有两个零点，且在-4,24上单调递增，则 的取值范围是.9(2023 秋江苏扬州高三扬州中学校考阶段练习)已知函数 f(x)=cosx，函数 g(x)的图象可以由函数 f(x)的图象先向右平移 6 个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 1(0)倍得到，若函数 g(x)在2,32上没有零点，则 的取值范围是()A.0,49B.49,89C.49,89D.0,8910.已知

32、函数 f(x)=sin(x+)，其中 0，|2，-4 为 f(x)的零点，且 f(x)f4恒成立，f(x)在区间-12,24上有最小值无最大值，则 的最大值是11(河北省衡水市第十四中学 2020-2021 学年高三四调数学试题)已知函数 f(x)=cos(x+)0，|2，x=-4 为 f(x)的零点，x=4 为 y=f(x)图象的对称轴，且 f(x)在18，6上单调，则 的最大值为12(江苏省泰州中学 2020-2021 学年高三上学期第二次检测数学试题)已知非负实数 x，y 满足2x2+4xy+2y2+x2y2=9，则 2 2(x+y)+xy 的最大值为.13 函数 y=x+-x2+10 x-23 的最小值为14(广东省清远市恒大足球学校 2020 届高三上学期九月月考数学试题)若 x2+y2=2，那么 2x-3y 的最大值为.15 在同一个平面内，向量 OA,OB,OC的模分别为 1,1,2,OA与 OC的夹角为，且 tan=7,OB与 OC的夹角为 45，若 OC=mOA+nOBm,n R，则 m+n=