《第十七章勾股定理》章末测试（解析版）.docx

1、八年级下册数学第十七章 勾股定理章 末 测 试测试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、 选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）1、（2022秋兴庆区校级月考）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足（a3）2+|b4|0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A25B7C25或7D25或16【答案】C【考点】非负数的性质，勾股定理；【分析】首先利用非负数的性质得a3，b4，再分b4为直角边或b4为斜边两种情形，分别利用勾股定理计算即可【解答】解：（a3）2+|b4|0，a30，b40，a3，b4，当b4为直角边时，第三边的平方为32+4225，当b4为斜边时，第三边的平方为42327

2、，故选：C2、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为123； B.三边长的平方之比为123；C.三边长之比为345. D.三内角之比为345；【答案】D 【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理【解答】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30，60，90，所以是直角三角形； B、因为1+2=3，所以是直角三角形；C、因为32+42=52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形； D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45度，60度，75度，所以不是直角三角形； 故选：D【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可勾股定理的逆定理：如果三角

3、形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形 3、若一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则下列说法不正确的是（ ） A.这个直角三角形的斜边长为5；B.这个直角三角形的周长为12；C.这个直角三角形的斜边上的高为； D.这个直角三角形的面积为12.【考点】勾股定理【答案】D.【解答】解：根据勾股定理可知，直角三角形两直角边长分别为3和4， 则它的斜边长是， 周长是3+4+5=12， 斜边长上的高为，面积是342=6所以故说法不正确的是D选项 故答案为：D【分析】先根据勾股定理求出斜边长，再根据三角形面积公式，三角形的性质即可判断4、如图，已知正方形B的面积为100

4、，如果正方形C的面积为169，那么正方形A的面积为（）A269B69C169D25【答案】B【考点】勾股定理；【解答】根据题意知正方形的B面积为100，正方形C的面积为169，则字母A所代表的正方形的面积=169100=69.故答案为：B.【分析】根据勾股定理和正方形的面积可进行计算.5、如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ） ABCD【答案】C；【考点】实数在数轴上的表示，勾股定理；【解答】解：正方形的边长为1，正方形对角线的长 12+12 = 2 ，设A点表示的数是a，1a= ，a=，故点A表示的数是

5、故答案为：C【分析】先根据勾股定理求出正方形对角线的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点A表示的数即可6、如图，平面直角坐标系上，A，B两点对应的坐标为（0，3），（0，3），C为x正半轴上一点，ACBC4，则C的坐标为（ ） A（5，0）B（2.5，0）C（ ，0）D（3.5，0）【答案】C；【考点】勾股定理；【解答】解：根据题意：在RtAOC中，AC4，AO=3， ,C的坐标为：（ ，0）故答案为：C.【分析】根据坐标轴点的特征及勾股定理，求得OC的长，从而求得点C的坐标.7、下列定理中，没有逆定理的是（ ）A 两直线平行，同旁内角互补 ；B 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；C

6、 两个全等三角形的对应角相等；D 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 【答案】C 【考点】命题与定理 【解答】解：A、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，正确，不符合题意；B、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，不符合题意； C、逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，错误，符合题意； D、逆命题为：角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，正确，不符合题意； 故选：C【分析】分别写出各个定理的逆命题，然后根据真假命题的判定方法判定真假即可 8、（2022春龙凤区期中）如图，在四边形ABDE中，ABDE，ABBD，点C是边BD上一点，BCDEa，CDAB

7、b，ACCEc下列结论：ABCCDE；ACE90；四边形ABDE的面积是（a+b）2；12（a+b）212c2212ab；该图可以验证勾股定理其中正确的结论个数是（）A5B4C3D2【答案】B【考点】全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明；【解答】解：ABDE，ABBD，DEBD，BD90在ABC和CDE中，AB=CDB=D=90BC=DE，ABCCDE（SAS），ADCE，ACBEA+ACB90，DCE+ACB90DCE+ACB+ACE180，ACE90，故正确；ABDE，ABBD，四边形ABDE的面积是12(a+b)2；故错误；梯形ABDE的面积直角三角形ACE的面积两个直角三角形的

8、面积，12(a+b)212c2=212ab，a2+b2c2，（a+b）2c2，梯形ABDE的面积直角三角形ACE的面积两个直角三角形的面积，12（a+b）212c2212ab，a2+b2c2，所以勾股定理成立，正确故都正确，错误故选：B【分析】证明ABCCDE（SAS），由全等三角形的性质可得出ADCE，ACBE由图形的面积可得出正确9、在四边形 ABCD中,B=90，AB=BC=1，CD=,AD=2若D=，则 BCD的大小为（）A B C D【答案】C；【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理；【解答】解：如图，连接AC，AB=BC=1，B=90AC= 12+12=2 ，又AD=2，DC= 6 ，

9、( 6 )2=22+( 2 )2，即CD2=AD2+AC2，DAC=90， D= ，ACD=90，AB=BC，BAC=BCA=45，BCD=90+45=135 .故答案为：C.【分析】连接AC，由勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出ACD为直角三角形，且DAC=90，进而可求出BCD的度数.10（2022东平县模拟）如图，正方形ABCD中，AB6，将ADE沿AE对折至AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（）A1B1.5C2D2.5【答案】C【考点】正方形的性质、三角形全等的判定和性质、直角三角形的勾股定理；【解答】解：连接AG，由已知ADAFAB，且A

10、FGABGD90，AGAG，ABGAFG （HL），BGGFABBCCDDA6，G是BC的中点，BGGFGC3，设DEx，则EFx，EC6x，在RtECG中，由勾股定理得：（x+3）232+（6x）2，解得x2，即DE2故选：C【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，很容易证明ABGAFG，进而得到BG=GF，由G是BC的中点，AB=6，得到GF=CG=3，在RtECG中有勾股定理建立方程求解即可二、 填空题（每小题3分，共8个小题，共24分）11、 平面直角坐标系中，点P坐标为(3,2) ，则 P 点到原点O的距离是 【答案】13；【考点】勾股定理的应用；【解答】点P的坐标为（3，-2），点P

11、到原点O的距离为：PO=32+(2)2=13 .故答案为：13 .【分析】由勾股定理可得点P到原点O的距离PO=32+22=13.12、如图，在等边三角形ABC中，CDAB于点D，若AB=2，则CD的长是 . 【答案】 3 ； 【考点】等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理； 【解析】【解答】解：ABC是等边三角形， AB=AC=BC=2， CDAB， AD=BD=12AB=1， CD=AC2AD2=2212=3. 故答案为；3. 【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC=BC=2，再根据等腰三角形的性质得出AD=12AB=1，再根据勾股定理即可得出CD的长.13、（2021春定州市期

12、末）如图，在44的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，ABC的三个顶点均在格点上，则该三角形最长边的长为 【答案】32；【考点】勾股定理的应用【解答】解：由勾股定理得，AC=12+42=17，AB=12+22=5，BC=32+32=32，51732，该三角形最长边的长为32，故答案为：32【分析】根据勾股定理求出各边长，比较即可14、（2022秋卧龙区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O若AD2，BC4，则AB2+CD2【答案】20；【考点】勾股定理的应用；【解答】解：ACBD，AODAOBBOCCOD90，由勾

13、股定理得，AB2+CD2AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2AD2+BC2，AD2，BC4，AB2+CD222+4220故答案为：20【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可15、如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为 【答案】45；【考点】勾股定理的应用；【解答】解：由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，故直角三角形的另一条直角边长为：3222=5 ，故阴影部分的面积是：2524=45 ，故答案为：

14、45 .【分析】利用勾股定理先求出3222=5，再求阴影部分的面积即可.16、（2021秋将乐县期中）一个三角形的三边的比是3：4：5，它的周长是48，则它的面积是 【答案】96；【考点】勾股定理的逆定理【解答】解：三角形三边的比为3：4：5，可设三角形的三边分别为3x，4x和5x，由题意可知3x+4x+5x48，解得x4，三角形三边的长分别为12、16、20，122+162202，三角形是直角三角形，三角形的面积，故答案为：96【分析】可设三角形的三边分别为3x，4x和5x，利用周长可求得x的值，则可求得三角形的三边长17、（2021春枣阳市期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航

15、”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，它们离开港口两个小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile如果知道“远航”号沿北偏东50方向航行，那么“海天”号沿 的方向航行【答案】北偏西40；【考点】方向角，勾股定理的逆定理；【解答】解：由题意可得，PQ21224海里，PR2918海里，QR30海里，PQ2+PR2QR2，RPQ90，SPQ50，SPR90SPQ40海天”号沿北偏西40的方向航行，故答案为：北偏西40【分析】由题意先求出线段PQ，PR的长度，根据勾股定理的逆定理得到RPQ90，即可解决18、（2

16、021秋海陵区校级月考）如图，在ABC中，ABAC10，高BD8，AD6，AE平分BAC，则ABE的面积为 【答案】15；【考点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；【解答】解：如图，过点E作EFAB于F，AE平分BAC，EFAB，EDAC，EFDE，ADEAFE90，在RtAEF和RtAED中，RtAEFRtAED（HL），AFAD6，BFABAF1064，设EFDEx，则BE8x，在RtBEF中，由勾股定理得：x2+42（8x）2，解得x3，EF3，SABE1210315故答案为：15【分析】过点E作EFAB于F，通过HL可证明RtAEFRtAED，得AFAD6，

17、设EFDEx，则BE8x，在RtBEF中，利用勾股定理列出方程即可解决问题三、解答题（共8个小题，共66分）19(6分)如图，在ABC中，C90，B30，AD是BAC的角平分线.若AD4，求AB的长. 【解答】解：C90B30， CAB60，AB2AC，AD是BAC的角平分线，CADDAB 12 CAB30，CD 12 AD2，AC AD2CD2 2 3 ，AB2AC4 3 .【考点】三角形内角和定理；勾股定理；角平分线的定义；【分析】利用三角形的内角和定理及角平分线的定义可证得CAB=60，CAD=DAB=30，同时可证得AB=2AC；再利用勾股定理求出AC的长，即可得到AB的长.20、（6

18、分）如图，在RtABC中，C90，AC8，AB10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E求AE的长【解答】解：如图，连接BE，在RtABC中，C90，AC8，AB10，BC6，DE垂直平分AB，AEBE，设AEBEx，则CE8x，在RtBCE中，BC2+CE2BE2，62+（8x）2x2，解得x，AE【考点】垂直平分线的性质，勾股定理；【分析】由勾股定理先求出BC=6，连接BE，根据垂直平分线的性质设AEBEx，则CE8x，在RtBCE中，由BC2+CE2BE2列出方程，求出解即可.21、（8分）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，

19、点在y轴的正半轴上，OA10，OC8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标【解答】解：依题意可知，折痕AD是长方形OAED的对称轴， 在RtABE中，AE=AO=10，AB=8，由勾股定理得：， CE=4， E（4，8）, 在RtDCE中，DC2+CE2=DE2， 又DE=OD， （8OD）2+42=OD2， OD=5， D（0，5）， 综上所述：D点坐标为（0，5），E点坐标为（4，8）【考点】坐标与图形性质；翻折变换（折叠问题），勾股定理；【分析】先根据勾股定理求出BE的长，进而可得出CE的长，求出E点坐标，在RtDCE中，由DE=OD及勾股

20、定理可求出OD的长，从而得出D点坐标22、(8分)学校校园一角有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB13米，BC14米，AC15米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，请通过计算估计学校修建这个花园需要投资多少元？【答案】解：过点A作ADBC于点D，设BD=x，则CD=15x， ，在RtABD与RtACD中， AD2=AB2BD2,AD2=AC2CD2 ， AB2BD2=AC2CD2 ，即 132x2=152(14x)2解得： x=5 ， AD2=13252=144 ，AD=12（米）， 学校修建这个花园的费用（元）答：学校修建这个花园需要投资5040

21、元.【考点】勾股定理；【分析】过点A作ADBC于点D，设BD=x，则CD=15x，在RtABD与RtACD中，用勾股定理将AD2用含x的代数式表示出来，可得关于x的方程，解方程可求得x的值，于是根据三角形的面积公式计算可求得这个三角形的面积，再根据这个花园的投资=这个三角形的面积每平方米造价即可求解.23、（8分）（2021秋姜堰区期末）如图，已知等腰ABC的底边BC10cm，D是腰AC上一点，且CD6cm，BD8cm（1）判断BCD的形状，并说明理由；（2）求ABC的周长【考点】等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理；【解答】解：（1）BC10cm，CD8cm，BD6cm，BC 2BD 2+CD

22、 2BDC为直角三角形；（2）设ABxcm，等腰ABC，ABACx，AC 2AD 2+CD 2 ，即x 2（x6）2+8 2，x，ABC的周长2AB+BC（cm）【分析】（1）由BC10cm，CD8cm，BD6cm，知道BC2BD2+CD2，所以BDC为直角三角形；（2） 由此可求出AC的长，周长即可求出24、（8分）（2022春绥江县期中）如图，在ABC中，AC5，D为BC边上一点，且CD1，AD=26，BD4，点E是AB边上的动点，连接DE（1）求AB的长；（2）当BDE是直角三角形时，求AE的长【考点】勾股定理及其逆定理；【解答】解：（1）在ACD中，AC225，CD21，AD226，A

23、C2+CD2AD2，ACD是直角三角形，且C90，BD4，BC4+15，在RtACB中，AB=AC2+BC2=52，AB52；（2）ACBC5，C90，B45，BDE是直角三角形需分两种情况分析：当BDE90时，BDDE4，在RtBDE中，BE=BD2+DE2=42，AEABBE5242=2，当BED90时，SABD=12ABDE=12BDAC，即52DE45，解得：DE22，BEDE22，AEABBE5222=32；综上所述，AE的长为2或32【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判定出ACD是直角三角形，再根据勾股定理求出AB的长即可（2）根据BDE是直角三角形需分两种情况分析：当BDE90时

24、；当BED90时，进而解答即可25、（10分）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域 （1） 求证：ACB=90； （2） 海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？【解答】(1)AC=300km，BC=400km，AB=500km，30024002=5002，AC2+

25、BC2=AB2ABC是直角三角形，ACB=90；(2)海港C受台风影响理由如下：如图，过点C作CDAB于D=ACBC=ABCD，CD=,250240，海港C受到台风影响；（3）当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口在RtCED中，CDE=90，由勾股定理得：EF=140km，台风的速度为20km/h，14040=3.5（h）台风影响该海港持续的时间为3.5h.【考点】勾股定理的应用， 勾股定理的应用； 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出ABC是直角三角形； （2） 利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台

26、风影响该海港持续的时间26、（12分）（2022秋青羊区期中）已知：ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中PCQ90，探究并解决下列问题：（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC=6+2，PA2，求PB的长度；（2）在（1）的条件下，猜想PA、PB、PQ三者之间的数量关系并证明；（3）如图2，若点P在AB的延长线上，求证：PA2+PB2PQ2【考点】三角形综合题目；【解答】（1）解：如图1中，ABC是等腰直角三角形，AC=6+2，ACBC=6+2，CAB45，AB=2AC23+2，PBABPA23+2223；（2）解：结论：PA2+PB

27、2PQ2，理由如下：如图1中，连接QB，ACBPCQ90，ACPBCQ，PCQ是等腰直角三角形，PCQ90，CPCQ，在ACP和BCQ中，AC=BCACP=BCQCP=CQ，ACPBCQ（SAS），PABQ，CBQCAP45，PBQ90，BQ2+PB2PQ2，PA2+PB2PQ2，故答案为：PA2+PB2PQ2；（3）证明：如图2中，连接BQ，ACBPCQ90，ACPBCQ，在ACP和BCQ中，AC=BCACP=BCQCP=CQ，ACPBCQ（SAS）PABQ，CBQCAP45，PBQ90，BQ2+PB2PQ2，PA2+PB2PQ2【分析】（1）由等腰直角三角形的性质求出AB，得出PB，过C作CHAB于H，再由直角三角形的性质求出CH，然后由勾股定理求出PC即可；（2）证ACPBCQ，得PABQ，CBQCAP45，则PBQ90，再由勾股定理即可得出结论；（3）连接BQ，仿照（1）的方法证明即可