四川省成都市树德中学2022届高三数学（理）适应性考试试卷（PDF版带答案）.pdf

1、高考适应性考试数学（理科）第 1 页 共 2 页 树德中学高 2019 级高考适应性考试数学（理科）试题命题人、审题人：高 2019 级数学备课组一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每道题 4 个选项中只有一个符合题目要求）。1复数 z 在复平面内对应点的坐标为（2，4），则1z A3B4C 17D 192已知集合ln|()2Ax yx，2|430Bx xx则 ABA13，B1)，C(2 3，D(2)，3已知命题:pxR，sin1x ；命题:qxR，|1xe，则下列命题中为真命题的是 A pqBpq C pq D()pq4.若实数 x，y 满足约束条件20301xy

2、xyy ，则2zxy的取值范围为A3,2B 5,)C 3,62D 3,65.按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030 年为碳达峰时期，2060 年实现碳中和，到 2060 年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过 70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert 于 1898 年提出蓄电池的容量 C（单位：Ah），放电时间 t（单位：h）与放电电流 I（单位：A）之间关系的经验公式：nCIt，其中 n 为 Peukert 常数，为了测算某蓄电池的 Peukert 常数 n，在电池容量不变的条件下，当放电电流20AI 时，放电时间20ht；当放电电流30AI 时，放电时间10ht.

3、则该蓄电池的 Peukert 常数 n 大约为（参考数据：lg20.30，lg30.48）A 43B 53C 83D26.若2 33ababa，则向量 ab与a 的夹角为A.56B.23C.3D.67.函数2211()sinf xxxx在区间2,2上的大致图像为ABCD8.设是等差数列*+的前项和，若4 0，且8=34，设12=8，则=A.13B.12C.2D.39.若 (0,2)，=cos2+1，=2sin2，则4+1的最小值等于A.2B.52C.3D.9210.把座位编号为1，2，3，4，5，6的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号的，那

4、么不同分法种数为A.240B.144C.196D.28811.双曲线的光学性质为：如图，从双曲线右焦点2F 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点1F 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图，其方程为22221xyab，12,F F 为其左右焦点，若从右焦点2F 发出的光线经双曲线上的点 A 和点 B 反射后，满足90BAD，3tan4ABC，则该双曲线的离心率为A.10B.102C.3D.2 312.已知函数 e2xf xx 的零点为a，函数 ln2g xxx的零点为b，则下列不等式中成立的是A1a b

5、Bln2aebC223abD.2214ab二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.某班有42位同学，学号依次为01、02、42，现采用系统抽样方法抽取了一个容量为6的样本，且随机抽得的第一个学号为03，则抽得的最大的学号是_14.若1nxx展开式的二项式系数之和为 256，则展开式的常数项为_.15.在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，角+的终边交单位圆于点且，(0,2).记(1,1)，(2,2)，若 2=13 且22OA OB，那么 1+1=_.16.在三棱锥 PABC中，90PCBABC，2PC，1AB ，3BC，14AP，过

6、BC、中点 D 作四面体外接球的截面，则过点 D 的最大截面与最小截面的面积和为.高考适应性考试数学（理科）第 2 页 共 2 页 三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答.满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17（12 分）已知的数 213sincoscos2222xxxf x(1)求 f x 的单调增区间；(2)设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 12fA，3a，求 ABC 外接圆的面积18（12 分）2022 年 2 月 4 日，北京

7、冬奥会盛大开幕，这是让全国人民普遍关注的体育盛事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看相关比赛某机构将每天收看相关比赛的时间在 2 小时以上的人称为“冰雪运动爱好者”，否则称为“非冰雪运动爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了 100 人进行分析，得到下表（单位：人）：冰雪运动爱好者非冰雪运动爱好者合计女性2050男性15合计100(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为性别与是否为“冰雪运动爱好者”有关？(2)将频率视为概率，现从参与调查的女性人群中用随机抽样的方法每次抽取 1 人，共抽取 3 次，记被抽取的 3 人中“冰

8、雪运动爱好者”的人数为 X，若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列、数学期望E X 和方差D X 附：22n adbcKabcdacbc，其中nabcd 20P Kk0.050.0250.0100.0050.0010k3.8415.0246.6357.87910.82819.（12 分）如图，在三棱柱111ABCA B C中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，侧面11ACC A 是菱形，平面11ACC A 平面 ABC，E，F 分别是棱11AC，BC 的中点，G 是棱1CC 上一点，且12C GGC(1)证明：EF平面11ABB A；(2)从三棱锥1CABC的体积为 1；1C C

9、 与底面 ABC 所成的角为 60；异面直线1BB 与 AE 所成的角为 30这三个条件中选择-一个作为已知，求二面角 AEGF的余弦值20.（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆22122:10 xyCabba经过点6,13，椭圆22222:133xyCab 的离心率为的63(1)求椭圆1C 与椭圆2C 的标准方程；(2)设过原点且斜率存在的直线l 与椭圆1C 相交于 A，C 两点，点 P 为椭圆2C 的上顶点，直线 PA 与椭圆2C相交于点 B，直线 PC 与椭圆2C 相交于点 D，设 POA，POB，POC，POD的面积分别为1S，2S，3S，4S，试问3124SSSS是否为

10、定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由21.（12 分）已知函数21()cos2xf xaebxx（其中为,a b实数）的图象在点(0,(0)f处的切线方程为 yx.(1)求实数,a b的值;(2)证明:方程()lnsinf xxx有且只有一个实根.选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22.在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为24cos4sinxy（为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为cos24(1)分别求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐

11、标方程；(2)已知 1,1P，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，弦 AB 的中点为 Q，求PQPA PB的值选修 4-5：不等式选讲（10 分）23已知函数 3326f xxx(1)求不等式 4f xx的解集；(2)设 f x 的最小 f x 为 m，若正实数 a，b，c 满足abcm ，求222abccab的最小值高考适应性考试数学（理科）第 1 页 共 4 页 树德中学高 2019 级高考适应性考试数学（理科）试题答案1-12：CBADB DCCDB BC13.38 14.70 15.4316.234 17.(1)21313sincoscossincossin2222226xxxf

12、 xxxx，令2 2 262kxkkZ，解得22 2 33kxkkZ，故函数 f x 的单调递增区间为22,2 33kkkZ 6 分(2)由（1）可知 sin6f xx，则 1sin62f AA，又0A，故3A 设 ABC的外接圆半径为 R，由正弦定理可得，322sinsin 3aRA，1R ，故 ABC的外接圆的面积为S 12 分18.解：（1）22列联表：冰雪运动爱好者非冰雪运动爱好者合计女性203050男性351550合计5545100所以222()100(20 1530 35)9.0917.879()()()()50 50 5545n adbcKab cd ac bc，所以能在犯错误的

13、概率不超过 0.005 的前提下认为性别与“冰雪运动爱好者”有关5 分（2）由题意可得：2(3,)5XB，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，所以0031123323272354(0)()();(1)()()5512555125P XCP XC；221330332336238(2)()();(3)()()5512555125P XCP XC，10 分所以 X 的分布列为：X0123P2712554125361258125从而262318()3,()(1)3555525E XnpD Xnpp 12 分19.证明：取11A B 的中点 M，连接ME，MB，因为 E，F 分别是棱11AC，BC 的

14、中点，则11/ME BCBF，111122MEB CBCBF，四边形 MEFB 为平行四边形，/EF MB，EF 平面11ABB A，MB 平面11ABB A，/EF平面11ABB A 5 分(2)解：在平面 ACC1 中过点1C 作1C OAC于O，连接OB，平面11ACC A 平面 ABC，平面11ACC A平面 ABCAC，1C O 平面 ABC，选择条件：三棱锥1CABC的体积11111231332ABCVC O SC O ，13C O，在1Rt C OC 中，22111OCCCC O，7 分点O为 AC 的中点，OBAC，故以O为原点，OB、OC、1OC 分别为 x、y、z 轴建立如

15、图所示的空间直角坐标系，则 3,0,0B，0,1,3E，3 1,022F，230,33G，3 3,322EF，52 30,33EG，OBAC，平面 ABC平面11ACC AAC，OB 平面 ABC，OB 平面11ACC A，平面11ACC A 即平面 AEG的一个法向量为3,0,0OB，设平面 EFG 的法向量为,nx y z，则00n EFn EG ，即33302252 3033xyzyz，令1y ，则2 33x，5 36z，2 35 3,1,36n，24 53cos,53|42531312OB nOB nOBn，显然二面角 AEGF为锐二面角，故二面角 AEGF的余弦值为 4 5353 1

16、2 分选择条件：1C C 与底面所成的角为60，160C CO，1OC，7 分点O为 AC 的中点，OBAC，高考适应性考试数学（理科）第 2 页 共 4 页 故以O为原点，OB、OC、1OC 分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 3,0,0B，0,1,3E，3 1,022F，230,33G，3 3,322EF，52 30,33EG，OBAC，平面 ABC平面11ACC AAC，OB 平面 ABC，OB 平面11ACC A，平面11ACC A 即平面 AEG的一个法向量为3,0,0OB，设平面 EFG 的法向量为,nx y z，则00n EFn EG ，即33302252 3

17、033xyzyz，令1y ，则2 33x，5 36z，2 35 3,1,36n，24 53cos,53|42531312OB nOB nOBn，显然二面角 AEGF为锐二面角，故二面角 AEGF的余弦值为 4 535312 分选择条件：11/BBAA，1A AE即为异面直线1BB 与 AE 所成的角，即130A AE，12AA，11A E ，160AAE，即160CCO，1OC，7 分故以O为原点，OB、OC、1OC 分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 3,0,0B，0,1,3E，3 1,022F，230,33G，3 3,322EF，52 30,33EG，OBAC，平面 A

18、BC平面11ACC AAC，OB 平面 ABC，OB 平面11ACC A，平面11ACC A 即平面 AEG的一个法向量为3,0,0OB，设平面 EFG 的法向量为,nx y z，则00n EFn EG ，即33302252 3033xyzyz，令1y ，则2 33x，5 36z，2 35 3,1,36n，24 53cos,53|42531312OB nOB nOBn，显然二面角 AEGF为锐二面角，故二面角 AEGF的余弦值为 4 535312 分20.解(1)因为椭圆1C 经过点6,13，所以226119ba，因为椭圆2C 的离心率为63，所以2233633abea，即3ab，由可得31a

19、b ，故椭圆1C 的标准方程为2213yx ，椭圆2C 的标准方程为22193xy 4 分(2)设,A m n，0m，则,Cmn，2213nm ，即2233nm由题意知 0,3P，设直线 PA，PC 的斜率分别为1k，2k，则22122223333333nnnnnmk kmmmmm 直线 PA的方程为13yk x，则由122313yk xyx，消去 y 得221132 30kxk x，解得0 x 或1212 33kxk，则1212 33kmk 由1223193yk xxy，消去 y 得2211316 30kxk x，解得0 x 或1216 331kxk ，所以点 B 的横坐标1216 331B

20、kxk ，高考适应性考试数学（理科）第 3 页 共 4 页 所以12211211212 3331336 331kPAPBkkkkk8 分同理2222121122222111331312727333 3993333PCkkkkPDkkkk 10 分所以22311122241131273393PAPCSSkkSSPBPDkk 2222111122211193271031030109939393kkkkkkk故3124SSSS为定值109 12 分21 解：（1）因为21()cos2xf xaebxx，所以()sinxfxaebxx，因为()yf x的图象在(0,(0)f处的切线为 yx，所以(0)

21、0(0)1fabfa，解得11ab .4 分（2）令函数()lnsing xxx，定义域为(0,)，当)x 时，ln1x ，sin1x ，所以()lnsin0g xxx；当1,)x时，ln0 x，sin0 x，所以()lnsin0g xxx；当0,1)x时，由1()cos0g xxx知()g x 在(0,1)上单调递增，又(1)sin10g，11()1 sin0g ee 且函数连续不间断，所以0(0,1)x，有000()lnsin0g xxx.综上所述，函数()g x 在(0,)有唯一的零点0(0,1)x，且()g x 在0(0,)x上恒小于零，在0(,)x 上恒大于零.6 分令函数()()|

22、lnsin|xf xxx，讨论如下：当0(0,)xx时，21()()|lnsin|coslnsin2xxf xxxexxxx，求导得1()(sincos)()xxexxxx.因为12xx，sincos2xx，所以1()(sincos)()0 xxexxxx，即函数()x在0(0,)x单调增.又因为0022000000011()coslnsin(cos)022xxxexxxxexx33336363311()cos3 sin(sin3)cos022eeeeeeeeee 所以函数()x在0(0,)x存在唯一的零点，所以方程()|lnsin|f xxx在0(0,)x上有唯一的零点.9 分当0(,)xx

23、 时，21()()|lnsin|coslnsin2xxf xxxexxxx.法一：由（1）易证21cos2xexx在(0,)上恒成立.事实上，令21()cos2xh xexxx，则()sin1xh xexx.因为 ()(cos1)0 xhxex，所以()h x 在(0,)上单调递增，所以()(0)0h xh，即()h x 在(0,)上单调递增，所以()(0)0h xh，即21cos2xexxx在(0,)上恒成立.从而21()coslnsinlnsinln102xxexxxxxxxxx，高考适应性考试数学（理科）第 4 页 共 4 页 所以方程()|lnsin|f xxx在0(,)x 上无零点.

24、综上所述，方程()|lnsin|f xxx有且只有一个实根.法二：因为1lnxx，所以ln(1)xx，所以1xex，所以ln(1)(1)2xexxx，所以2211coslnsin(2sincos)022xexxxxxxx，所以方程()|lnsin|f xxx在0(,)x 上无零点.综上所述，方程()|lnsin|f xxx有且只有一个实根.12 分22.解：(1)曲线 C 的参数方程为24cos4sinxy（为参数），转换为普通方程为22216xy；直线 l 的极坐标方程为cossin20，根据222cossinxyxy，转换为直角坐标方程为20 xy5 分(2)定点 1,1P 在直线 l 上

25、，转换为参数方程为：212212xtyt （t 为参数），代入22216xy，得到：22 260tt，所以 122 2tt，1 26t t 故121 2226ttPQPA PBt t10 分23.解(1)当1x 时，原不等式等价于 33264xxx，解得52x ；当 13x时，原不等式等价于33264xxx，解得134x；当3x 时，原不等式等价于33264xxx，解得3x 综上所述，原不等式的解集是51,24 5 分(2)因为 9,153,139,3xxf xxxxx ，所以 min 18f xf ，则8abc 因为22acac，22baba，22cbcb，所以222216abcabcabccab，即2228abccab，当且仅当83abc时等号成立，故222abccab的最小值为 810 分