【中考12年】天津市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题11 圆.docx

1、2022-2022年天津市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题11：圆一、选择题1. （2022天津市3分）已知两圆的半径分别为和（其中t3），圆心距为2t，则两圆的位置关系是【 】A相交 B相离 C外切 D内切【答案】C。【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，因为t+3+t-3=2t，圆心距=2t，即两圆圆心距离等于两圆半径之和，所以两圆的位置关系是外切故选C

2、。2. （2022天津市3分）已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：a：R等于【 】A B C D【答案】A。【考点】正多边形和圆。【分析】利用正三角形的边长与它的内切圆和外接圆的半径之间的关系求解：等边三角形的一边上的高的倍为它的内切圆的半径，等边三角形的一边上的高的倍为它的外接圆的半径，而高又为边长的倍。a，r，R（为等边三角形的一边上的高）。r：a：R=。故选A。3. （2022天津市3分）如图，已知ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M对于如下五个结论：FMC=45；AE+AF=AB； ；2B

3、M2=BEBA；四边形AEMF为矩形其中正确结论的个数是【 】A2个 B3个 C4个 D5个【答案】C。【考点】圆周角定理，等腰直角三角形的性质。【分析】连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得ADBC，再根据90的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形。根据等腰直角三角形ABC的底角是45，易得FMC=45，正确；根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF=AB，正确；连接FD，可以证明EDF是等腰直角三角形，则中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；根据BM=BE，得左边=4BE2，故需证明AB=4BE，根

4、据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；正确。所以共4个正确。故选C。4.（天津市2022年3分）已知AB、CD是O的两条直径，则四边形ACBD一定是【 】（A）等腰梯形 （B）菱形 （C）矩形 （D）正方形【答案】C。【考点】矩形的判定，圆周角定理。【分析】由直径对的圆周角是直角，则四边形的四角相等，故四边形为矩形。故选C。5.（天津市2022年3分）相交两圆的公共弦长为16cm，若两圆的半径长分别为10cm和17cm，则这两圆的圆心距为【 】（A）7cm （B）16cm （C）21cm或9cm （D）27cm【答案】C。【考点】圆与圆的位置关系，弦径定理，勾股定理。【分析】设O1的半径为

5、r=10，2的半径为R=17，公共弦为AB，两圆的圆心的连线与公共弦的交点为C；那么根据弦径定理，AC=BC=8，且出现两个直角三角形：O1AC和O2AC。利用勾股定理可求出O1C和O2C，就可求出O1O2： 在RtO1AC中，O1C=， 同理，在RtO2AC中，O2C=6。 O1O2=O1C+O2C=15+6=21（cm）， 或O1O2=O2C-O1C=15-6=9（cm）。故选C。6.（天津市2022年3分）若圆的一条弦把圆分成度数的比为13的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于【 】 （A）45 （B）90 （C）135 （D）270【答案】A。【考点】圆周角定理。【分析】圆的一条弦把圆分成度

6、数之比为1：3的两条弧，则所分的劣弧的度数是90，当圆周角的顶点在优弧上时，这条弦所对的圆周角等于45，当这条弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，这条弦所对的圆周角等于135。如图，弦AB将O分成了度数比为1：3两条弧连接OA、OB；则AOB=90； 当所求的圆周角顶点在优弧上，即位于D点时，这条弦所对的圆周角ADB=AOB=45；当所求的圆周角顶点在劣弧上，即位于C点时，这条弦所对的圆周角ACB=180ADB=135。7.（天津市2022年3分）如图，O的两条弦AB、CD相交于点E，AC与DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是【 】（A）CECDBEBA （B）CEAEBEDE （C）PCCA

7、PBBD （D）PCPAPBPD 【答案】D。【考点】切割线定理，相交弦定理。【分析】根据相交弦定理的割线定理即可求解：由相交弦定理知，CEED=BEAE，由割线定理知，PCPA=PBPD，因此只有D正确。故选D。8.（天津市2022年3分）如图，正ABC内接于O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论： PA=PB+PC； ； PAPE=PBPC.其中，正确结论的个数为【 】(A) 3个 (B) 2个 (C) 1个 (D) 0个9.（天津市2022年3分） 如图，直线AD与ABC的外接圆相切于点A，若B60，则CAD等于【 】（A）30 (B)60 (C)90 (D)120【

8、答案】B。【考点】切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，（弦切角定理） 。【分析】连接AO并延长交圆于另一点F，连接CF。 直线AD与ABC的外接圆相切于点A，CADCAF=900。 AF是圆的直径，ACF=900。CFACAF=900。 CAD=CFA。 又CFA=B60，CAD=60。故选B。10.（天津市2022年3分）若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于【 】（A） (B) (C) (D) 【答案】A。【考点】正多边形和圆，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】如图，经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂

9、足是C连接OA，则在RtOAC中，O=，OC是边心距，OA即半径，根据三角函数即可求解： 设圆的半径为R， 则正三角形的边心距为， 四边形的边心距为， 正六边形的边心距为。 。故选A。11.（天津市2022年3分）已知，如图与的度数之差为20，弦AB与CD交于点E，CEB=60，则CAB等于【 】A. 50B. 45C. 40D. 35【答案】D。【考点】圆周角定理，三角形的外角性质。【分析】根据圆周角定理，可得：AC=10；根据三角形外角的性质，可得CEB=A+C=60；联立两式可求得A的度数：弧BC与弧AD的度数之差为20，两弧所对圆心角相差20。AC=10。CEB是AEC的外角，A+C=

10、CEB=60，2A=70，即A=35。故选D。12.（天津市2022年3分）边长为的正六边形的内切圆的半径为【 】ABCD【答案】C。【考点】正多边形和圆，解直角三角形，特殊角的三角函数值。【分析】正六边形的内切圆的半径，即为每个边长为的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解：所求正多边形的内切圆的半径等于。故选C。13.（天津市2022年3分）如图，ABC内接于O，若OAB=28，则C的大小为【 】A BCD【答案】B。【考点】三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理。【分析】由题意可知OAB是等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出AOB，再利用圆周角定理确定C：如

11、图，连接OB，OA=OB，AOB是等腰三角形。OAB=OBA。OAB=28，OAB=OAB=28。AOB=124。C=62。故选B。14.（天津市2022年3分）如图，O中，弦AB、CD相交于点， 若，则等于【 】（A） （B） （C） （D）【答案】C。【考点】圆周角定理，三角形的外角性质。【分析】欲求B的度数，只要求出同弧所对的圆周角C的度数即可。APC中，已知了A及外角APD的度数，即可由三角形的外角性质求出C的度数，由此得解：APD是APC的外角，APD=C+A。A=30，APD=70，C=APD-A=40。B=C=40。故选C。15.（天津市2022年3分）已知与的半径分别为3 cm

12、和4 cm，若=7 cm，则与的位置关系是【 】 (A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切【答案】D。【考点】圆与圆位置关系的判定。【分析】两圆半径之和3+4=7，等于两圆圆心距=7，根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。二、填空题1.（天津市2022年3分）已知O中，两弦AB与CD相交于点E，若E为AB的中点，CE：ED=1：4，AB=4，则CD的长等于 .【答案】5。【考点】相交弦定理【分析】设CE=x，ED=4x根据相交弦定理求解圆内两条相交弦被交点分成的线段的乘积相等，得 AEBE=CEED， AB=4，E为AB的中点，4x2=4，x=1。 CD=5x=5。 2.（天津市

13、2022年3分）若圆的一个弦长为12cm，其弦心距等于8cm，则该圆的半径等于 cm。【答案】10。【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】根据垂径定理和勾股定理求解：根据垂径定理可知，弦的一半为6，然后根据勾股定理可知半径为10cm。3.（天津市2022年3分）已知O1和O2相外切，且圆心距为10cm，若O1半径为3cm，则O2的半径为 cm.【答案】7。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距

14、离小于两圆半径之差）。因此，根据两圆外切时，圆心距与两圆半径的数量关系解题：O1和O2相外切，圆心距=O1半径+O2半径。O2的半径=圆心距O1半径=103=7。4.（天津市2022年3分）如图，已知两个等圆O1与O2相交于A、B两点，一条直线经过点A，分别与两圆相交于点C、D，MC切O1于点C，MD切O2于点D，若BCD30，则M等于 （度）【答案】60。【考点】切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，多边形内角和定理。【分析】如图，连接BD，O1C，O1B，O2B，O2D，MC切O1于点C，MD切O2于点D，O1CM=O2DM=90。O1与O2是等圆，BCD=30，CDB=BCD=

15、30。CBD=120，BC=BD。O1BCO2BD。O1CB=O2DB。O1CM+O2DM=BCM+BDM=180。M=1800CBD=60。5.（天津市2022年3分） 如图，已知圆心角AOB的度数为100，则圆周角ACB等于 （度）【答案】130。【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质。【分析】设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可求得E的度数E=AOB=50，再根据圆内接四边形的对角互补即可得到ACB的度数ACB=180E=130。6.（天津市2022年3分） 如图，已知AB是O的弦，P是AB上一点，若AB10cm，PB4cm，OP5cm，则O的半

16、径等于 cm【答案】7。【考点】相交弦定理【分析】将OP向两方延长，根据相交弦定理解答：将OP向两方延长，设OC=xcm，则CP=（x5）cm，PD=（x5）cm，根据相交弦定理，APBP=CPDP，即（104）4=（x5）（x5），解得x=7或x=7（负值舍去）。则O的半径等于7cm。7.（天津市2022年3分）如图，已知直线CD与O相切于点C，AB为直径，若BCD40，则ABC的大小等于 （度）【答案】50。【考点】切线的性质，圆周角定理。三角形内角和定理。【分析】连接AC， 直线CD与O相切于点C，根据弦切角定理得到A=BCD=40。 AB是直径，ACB=90。ABC=50。8.（天津市

17、2022年3分）已知O中，两弦AB和CD相交于点P，若AP：PB2：3，CP2cm，DP12cm，则弦AB的长为 cm。【答案】10。【考点】相交弦定理。【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算： 设AP=2x，由AP：PB=2：3得PB=3x。 由相交弦定理得：PAPB=PCPD， 2x3x=212，解得x=2（舍去负值）。 AB=AP+PB=5x=10（cm）。9.（天津市2022年3分）如图，已知两圆外切于点P，直线AD依次与两圆相交于点A、B、C、D。若BPC=，则APD= （度）。【答案】138【考点】圆与圆的位置关系，三角形内

18、角和定理，切线的性质。【分析】作两圆的内公切线MN，将BPC的度数转化为A+D的度数，在APD中，利用内角和定理求解：作两圆的内公切线MN，根据弦切角定理，得BPM=A，MPC=D。A+D=BPM+CPM=BPC=42。APD=18042=138。10.（天津市2022年3分）如图，O1，O2，O3，O4为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图，O1，O2，O3，O4，O5为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 【

19、答案】O1，O3；O5 ，O1 O3和O2 O4的交点。（答案不唯一）【考点】圆的对称性。【分析】如图，过O1 O3与O2 O4交点O的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分。答案不惟一。如图 ，A O4，E O2，D O3，C O1等均可。答案不惟一。12. （2022天津市3分）如图，ABC是O的内接三角形，AB为O的直径，点D为O上一点，若CAB=550，则ADC的大小为 （度）【答案】35。【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。【分析】AB为O的直径，ACB=90，CAB=55，B=90CAB=35。ADC=B=35。三、解答题1. （2022天津市8分）如图，P是O外一点，P

20、D为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF=12，PD=4。 求EFD的度数。【答案】解：连接DO。PD为切线，PEF为割线，PD2=PEPF。PD=4，PF=12，PE=。EF=PFPE=8，EO=4。PD为切线，D为切点，ODPD。在RtPDO中，OD=4，PD=4，。DOP=60。OD=OF，DOP为DOF的外角，EFD=DOP=30。【考点】切割线定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，三角形外角性质。【分析】连接OD，首先根据切割线定理计算出PE的长，再进一步计算出OP的长和圆的半径的长；从而在RtPDO中，根据边之间的关系求得角的度数，再根据

21、圆周角定理进行计算要求的角。2.（2022天津市8分）如图，ABC内接于O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB=CE。求证：（1）BEDG；（2）。 【答案】证明：（1）CB=CE，E=CBE。CG为O切线，BCD=E。CBE=BCD。BEDG。（2）A=E，A=CBE。ACB=ACB，CBFCAB。，即。由相交弦定理，得AFCF=BFFE。【考点】弦切角定理，平行线的判定，相交弦定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）欲证BEDG，需证得两直线的同位角或内错角相等，由等腰三角形的性质，易得CEB=CBE，由弦切角定理，得BCD=CEB，将等角代换后可证

22、得两直线平行。（2）先将所求的等式进行适当变形，由相交弦定理，得BFFE=AFFC，因此所求的结论可化为，化简得：，因此只需证明CBFCAB即可。3.（天津市2022年8分）如图，AB是O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是O的切线，D为切点，过点B作O的切线交CD于点E。若AB=CD=2，求CE的长。【答案】解： 如图，由切割线定理，得CD2=CBCA， CD2=CB(AB+CB),CB22CB4=0，解得，（舍去）。OC=。 连结OD，则ODCD。又EB与O相切，EBOC。RtODCRtEBC。，即。【考点】切割线定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】利用切割线定理，可求BC（

23、负值不合题意，舍去）。连接OD，容易证出RtODCRtEBC，那么就有，把数值代入即可求CE。4.（天津市2022年8分）已知：以RtABC的直角边AB为直径作O，与斜边AC交于点D，过点D作O的切线交BC边于点E。（I）如图，求证：EB=EC=ED；（II）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2=4DFDC。若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由。【答案】解：（I）证明：连结BD。ED、EB是O的切线，由切线长定理，得ED=EB，DEO=BEO，OE垂直平分BD。又AB是O的直径，ADBD。AD/OE，即OE/AC。又点O为AB的中点，OE为ABC的中位线，BE=EC。EB=E

24、C=ED。（II）在DEC中，由于ED=EC，C=CDE，DEC=18002C。当DECC时，有18002CC，即00C600时，在线段DC上存在点F满足条件。在DEC内，以ED为一边，作DEF，使DEF=C，且EF交DC于点F，则点F即为所求（如图）。证明如下：在DCE和DEF中，CDE=EDF，C=DEF，DEFDCE。DE2=DFDC。，即BC2=4DFDC。当DEC=C时，DEC为等边三角形，即DEC=C=600，此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF=DC=DE仍有BC2=4DE2=4DFDC。当DECC时，即18002CC，600CDEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不

25、存在满足条件的点F。【考点】切线长定理，圆周角定理，平行的判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（I）连接BD，已知ED、EB都是O的切线，由切线长定理可证得OE垂直平分BD，而BDAC（圆周角定理），则OEAC。由于O是AB的中点，可证得OE是ABC的中位线，即E是BC中点，那么RtBDC中，DE就是斜边BC的中线，由此可证得所求的结论。（II）由（I）知：BC=2BE=2DE，则所求的比例关系式可转化为，即DE2=DFDC，那么只需作出与DEC相似的DFE即可，这两个三角形的公共角为CDE，只需作出DEF=C即可。DECC，即

26、1802CC，0C60时，DEF的EF边与线段CD相交，那么交点即为所求的F点；DEC=C，即1802C=C，C=60时，F与C点重合，F点仍在线段CD上，此种情况也成立；DECC，即1802CC，60C90时，DEF的EF边与线段的延长线相交，与线段CD没有交点，所以在这种情况下不存在符合条件的F点。5.（天津市2022年8分）如图，RtABC中，C90，AC3，BC4，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。【答案】解：在RtABC中，AC=3，BC=4，根据勾股定理，得AB=5。过点C作CFAD，垂足为点F。ACB90，AA，RtABCRtACF。，即

27、，。根据弦径定理，得。【考点】勾股定理，相似三角形的判定和性质，弦径定理。【分析】RtABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过点C作CFAD，根据相似三角形的判定和性质得，从而根据弦径定理求得AD的长。6.（天津市2022年8分）已知，如图O1与O2外切于点A，BC是O1和O2的公切线，B、C为切点。（1）求证：ABAC；（2）若分别为O1、O2的半径，且。求的值。【答案】解：（1）证明：过点A作两圆的内公切线交BC于点OOA、OB是O1的切线，OA=OB。同理OA=OC。OA=OB=OCBAC是直角三角形，BAC=90。ABAC。（2）连接OO1、OO2与AB、AC分别交于点E、F。OA、

28、OB是O1的切线，OO1AB。同理OO2AC。 根据（1）的结论ABAC，可知四边形OEAF是矩形，有EOF=90。连接O1O2，有OAO1O2在RtO1OO2中，有RtO1AORtOAO2，即。又，。又ACB是O2的弦切角，ACB=AO2O。【考点】相切两圆的性质，切线的性质，弦切角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数。【分析】（1）过点A作两圆的内公切线交BC于点O，再利用切线的性质，证明OA=OB=OC即可。（2）连接OO1、OO2与AB、AC分别交于点E、F，先利用切线的性质证明四边形OEAF是矩形，再利用三角形的形似、直角三角形的特点和三角函数求出的值7.（天津市

29、2022年8分） 如图，已知PAB是O的割线，AB为O的直径，PC为O的切线，C为切点，BDPC于点D，交O于点E，PAAOOB1. （）求P的度数；（）求DE的长.【答案】解：（）连接OC。OCPD，OC=OA=1。在RtOPC中，OC=1，OP=2，。P=30。（）BDPC，在RtPBC中，P=30，PB=3，BD=，。连接AE。AB为O的直径， AEB=900，EAB=300。 BE=AB=1 。DE=BDBE=1=。【考点】锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，（切割线定理）。 【分析】（）连接OC，可构造出直角三角形，利用锐角三角

30、函数的定义即可求出P的值。（）利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出BD和PD。连接AE，求出BE，即可求出DE的长。学过切割线定理的可在求出BD和PD后，用切割线定理求解：CD2=DEBD，解得DE=。8.（天津市2022年10分）已知A为O上一点，B为A与OA的交点，A与O的半径分别为r、R，且rR.（）如图1，过点B作A的切线与O交于M、N两点.求证：AMAN2Rr；（）如图2，若A与O的交点为E、F，C是弧EBF上任意一点，过点C作A的切线与O交于P、Q两点，试问APAQ=2Rr是否成立，并证明你的结论【答案】解：（）证明：延长AO交O于D，连接MD，过点B作A的切线与O交于

31、M、N两点，OAMN，AM=AN。AD是O的直径，AMD=ABM=90。又BAM=MAD，ABMAMD。AM：AB=AD：AM，即AM2= AD AB，即AMAN=2Rr。（）APAQ=2Rr成立。证明如下：延长AO交O于D，连接PD，过点C作A的切线与O交于P、Q两点，CAPQ。AD是O的直径，APD=ACQ=90。Q=D，AQCADP。AC：AP = AQ ：AD。APAQ=2Rr。【考点】相交两圆的性质，圆角定理，弦径定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（）欲证AMAN=2Rr，即证AMAM=ADAB，可通过证ABMAMD得出。（）欲证APAQ=2Rr，即证APAQ=ADAC，可通过证

32、AQCADP得出。 9.（天津市2022年8分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径长为2，大圆的弦AB与小圆交于点C、D，且AB=3CD，COD60。（）求大圆半径的长；（）若大圆的弦AE与小圆切于点F，求AE的长. 【答案】解：（）在小圆中，CO=DO，COD=60，COD是等边三角形。CD=2。取CD的中点M，连接OM，则OMCD。CO=2，。连接AO，在RtAOM中，A，。即大圆的半径长为。（）连接OF。AE是小圆的切线，且切点为F，OFAE。又AE为大圆的弦，AE=2AF。由切割线定理，有：AF2=ACAD。AC=CD=2，AD=2CD=4，AF=。AE=2AF=。【考点】等

33、边三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，切割线定理。【分析】（）求大圆的半径，需通过构建直角三角形求解连接OA，取AB的中点M，连接OM；在构建的RtOAM中，OM的长可在等边OCD中求出，而AB=3CD=6，因此AM=3；根据勾股定理可求出OA即大圆的半径长。（）连接OF，由切线的性质知：OFAE；根据垂径定理可得AE =2 AF，由于AC=CD=2，可用切割线定理求出AF的长，从而可求出AE的长。10.（天津市2022年8分） 如图，已知O的割线PAB交O于A、B两点，PO与O交于点C，且PAAB6cm，PO12cm（）求O的半径；（）求PBO的面积.（结果可带根号） 【答案】解：（I）

34、设圆O的半径为r，PO的延长线交O于点D。根据切割线定理的推论，有PAPB=PCPD。PA6，PB=PA+AB=12，PC=POCO=12r，PD=PO+OD=12+r，（12r）（12+r）=612，解得（负数舍去）。O的半径为。（II）过点O作OEAB，垂足为E，连接OB。则。在RtEBO中，由勾股定理，得 ，PBO的面积为。【考点】切割线定理，垂径定理，勾股定理，解一元二次方程。【分析】（I）延长PO的交O于点D，利用切割线定理的推论，可得比例线段，求出半径。（II）作OEAB于E，由垂径定理可知BE=AB，由勾股定理求出OE，利用面积公式可求出PBO的面积。11.（天津市2022年10

35、分） 已知RtABC中，ACB90，AC6，BC8。（）如图，若半径为r1的O1是RtABC的内切圆，求r1；（）如图，若半径为r2的两个等圆O1、O2外切，且O1与AC、AB相切，O2与BC、AB相切，求r2；（）如图，当n大于2的正整数时，若半径rn的n个等圆O1、O2、On依次外切，且O1与AC、BC相切，On与BC、AB相切，O1、O2、O3、On1均与AB边相切，求rn.【答案】解：（I）在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，如图，设O1与RtABC的边AB、BC、CA分别切于点D、E、F，连接。，。又，解得。（II）如图，连接 ，则 等圆O1、O2外切， ，且 AB。过

36、点C作CMAB于点M，交于点N，则。又，解得。（III）如图，连接 ，则，。等圆O1、O2、On依次外切，且均与AB边相切，均在直线上，且。过点C作CHAB于点H，交于点K，则。，。又，解得。【考点】圆与圆的位置关系，圆与直线的位置关系，勾股定理，三角形和梯形面积公式。【分析】由圆与圆相切和圆与直线相切的性质，将ABC分割成若干三角形（梯形），利用面积相等列出方程求解即可。12.（天津市2022年8分）如图，O和O都经过点A、B，点P在BA延长线上，过P作O的割线PCD交O于C、D两点，作O的切线PE切O于点E。若PC=4，CD=8，O的半径为5。（1）求PE的长；（2）求的面积。【答案】解：

37、（1） PD、PB分别交O于C、D和A、B根据割线定理得PAPB=PCPD。又 PE为O的切线，PAB为O的割线根据切割线定理得，。 。（2）在O中过O点作OFCD，垂足为F，根据垂径定理知OF平分弦CD，即。在中， 。【考点】切割线定理，垂径定理，勾股定理。【分析】（1）在O中，根据割线定理，得PCPD=PAPB；在O中，由切割线定理，得PE2=PAPB，联立两式得PE2=PCPD，由此可求出PE的长。（2）COD中，已知底边CD的长，需求出CD边上的高；过O作CD的垂线，设垂足为F；由垂径定理得CF=FD=4；在RtCOF中，已知了OC的长，可用勾股定理求出OF的长，进而可根据三角形的面积

38、公式求得COD的面积。13.（天津市2022年10分）如图，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F。（1）求证：；（2）如果将图中的直线BC向上平移与圆O相交得图，或向下平移得图，此时，是否仍成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由。【答案】解：（1）证明：如图，连接DE AD是O的直径， AED=90。又 BC切O于点D ， ADBC，ADB=90。在和中，EAD=DAB，。 ，即。同理连接DF，可证。（2）仍然成立，证明如下：如图，连接DE，因为BC在上下平移时始终与AD垂直，设垂足为D，则。 AD是O的直径， AED=90。又， 。，即 。 同理。同理可证，当

39、直线BC向下平移与圆O相离时，仍然成立。【考点】圆周角定理，直线和圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，直线平移的性质。【分析】（1）证出和，即可由相似三角形对应边成比例的性质得到，而得到证明。 （2）同样，证出和，即可由相似三角形对应边成比例的性质得到，而得到证明。14.（天津市2022年8分）如图，已知为的直径，是的切线，为切点，（）求的大小；（）若，求的长（结果保留根号） 【答案】解：（）是的切线，为的直径， 。 ，。又切于点，。是等边三角形。（）如图，连接，则。在中，。是等边三角形，。【考点】圆周角定理，切线长定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值。

40、【分析】（）根据切线的性质及切线长定理可证明为等边三角形，则的大小可求。（）由（）知，在中，利用30的特殊角度可求得的长。15.（天津市2022年8分）已知是的直径，是的切线，是切点，与交于点.（）如图，若，求的长（结果保留根号）；（）如图，若为的中点，求证直线是的切线.16.（天津市2022年8分）已知AB与O相切于点C，OA=OBOA、OB与O分别交于点D、E. (I) 如图，若O的直径为8，AB=10，求OA的长(结果保留根号)； ()如图，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形求的值【答案】解：(I) 如图，连接OC，则OC=4。 AB与O相切于点C，OCAB。 在OAB中，由OA=O

41、B，AB=10得。 在RtOAB中，。 ()如图，连接OC，则OC=OD。 四边形ODCE为菱形，OD=DC。ODC为等边三角形。AOC=600。 A=300。【考点】线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，300角直角三角形的性质。【分析】(I) 要求OA的长，就要把它放到一个直角三角形内，故作辅助线OC，由AB与O相切于点C可知OC是AB的垂直平分线，从而应用勾股定理可求OA的长。 ()由四边形ODCE为菱形可得ODC为等边三角形，从而得300角的直角三角形OAC，根据300角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。17.（2022天津市8分）已知O中，AC为直径，MA、MB分别切O于点A、B（）如图，若BAC=250，求AMB的大小；（）如图，过点B作BDAC于点E，交O于点D，若BD=MA，求AMB的大小