【九年级上册】21.8 一元二次方程解法-公式法（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题21.8 一元二次方程解法-公式法（知识讲解）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想【要点梳理】知识点一 公式法解一元二次方程（1） 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，如果b2-4ac0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx

2、+c=0(a0)的过程。（3） 公式法解一元二次方程的具体步骤： 方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a0)，一般a化为正值 确定公式中a,b,c的值，注意符号； 求出b2-4ac的值； 若b2-4ac0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac0，则方程无实数根。知识点二 一元二次方程根的判别式式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a0)根的判别式，通常用希腊字母表示它，即=b2-4ac. 0，方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根一元二次方程 =0，方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根根的判别式0，方程ax2+bx+c=0(a0

3、)无实数根 【典型例题】类型一、解一元二次方程-公式法1用公式法解下列方程：（1）； （2）【答案】（1）；（2）【分析】按照公式法的一般步骤：先把式子化为一般式，找到a，b，c，先算，再带入求根公式求解即可解：（1），即；（2）方程化为一般形式，得，这里，原方程的解为【点拨】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式，是解决本题的关键举一反三：【变式1】用公式法解下列方程：（1）； （2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用求根公式解一元二次方程即可；（2）先将方程整理为一般式，再根据求根公式解一元二次方程.解：（1），原方程的根为：；（2）原方程化为一般形式为：，原方

4、程的根为：【点拨】本题主要考查公式法解一元二次方程，解决本题的关键是要熟练掌握公式法解一元二次方程的步骤.【变式2】用公式法解下列方程：（1） （2）【答案】（1），（2），【分析】（1）先把方程化为一般式，再利用公式法进行求解；（2）根据公式法即可求解.解：（1）将方程化为一般形式，得这里，即，（2）这里，【点拨】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法解方程.类型二、根的判别式2已知关于x的方程（1）求证：方程总有两个实数根（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围【答案】（1）证明见分析；（2）【分析】（1）证出根的判别式即可完成；（2）将k视为数，求出方程的两个根

5、，即可求出k的取值范围.解：（1）证明： 方程总有两个实数根（2） 方程有一个小于1的正根 【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.举一反三：【变式1】已知关于x的一元二次方程mx2（m+2）x+2=0（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根【答案】（1）证明见分析；（2）m=1【分析】解：（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值方法1 （1）利用判别式（1）证明：不论m为何值，即不论m为何值，方程

6、总有实数根（2）解关于x的一元二次方程，得，方程的两个根都是正整数，是正整数，或又方程的两个根不相等，方法2（1）直接解一元二次方程求出根（1）证明：解关于x的一元二次方程，得，不论m为何值，方程总有实数根（2）解关于x的一元二次方程，得，方程的两个根都是正整数，是正整数，或又方程的两个根不相等，【变式2】 已知关于x的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5当ABC是等腰三角形时，求k的值【答案】（1）详见分析 （2）或【分析】（1）先计算出=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用公式法求出方程的解

7、为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时ABC为等腰三角形，然后求出k的值解：（1）=（2k+1）2-4（k2+k）=10，方程有两个不相等的实数根；（2）一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1，kk+1，ABAC当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，ABC是等腰三角形，则k=5；当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，所以k的值为5或4【点拨】本题考查了：1根的判别式；2解一元二次方程；3三角形三边关系；4等腰三角形的性质类型三、根据一元二次方程求

8、参数3、关于的一元二次方程有实数根（1）求的取值范围；（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值【答案】（1）；（2）的值为【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足解：（1）根据题意得，解得；（2）的最大整数为2，方程变形为，解得，一元二次方程与方程有一个相同的根，当时，解得；当时，解得，而，的值为【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根举一反三：

9、【变式1】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，（1）求实数m的取值范围；（2）是否存在实数m，使得成立？如果存在，求出m的值：如果不存在，请说明理由【答案】（1）m1；（2）m=-1【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，那么0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2=-2（m-1），x1x2=m2-1，由条件可得出关于m的方程，解之即可得出m的值解：（1）方程x2+2（m-1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根x1，x2=4（m-1）2-4（m2-1）=-8m+80，m0，即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；(2)利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值即可解：关于的方程的二次项系数、一次项系数、常数项，解得；由原方程，得，解得，方程的两个实数根都是整数，且，不是负数，且是完全平方形式，或，解得，或【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根