【九年级上册】24.37 圆中的几何模型-隐形圆【九年级上册】（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题24.37 圆中的几何模型-隐形圆专题（知识讲解）隐形圆是中考选择题和填空题中常考题，题目往往以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠，多数学生基本没有思路，一头雾水，从而无法解答。 隐形圆常见的有以下几种形式，二是四点共圆判定隐形圆满；二是定弦定角，点在圆上；三是定点定长，轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等。类型一、四点共圆，定隐形圆1、定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角（1）如图1，E是ABC中A的遥望角若A40，直接写出E的度数是 ；求E与A的数量关系，并说明理由（2）如图2，四边形AB

2、CD中，ABCADC90，点E在BD的延长线上，连CE，若BEC是ABC中BAC的遥望角，求证：DADE【答案】（1）20；，理由见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据题目定义推出EA，从而得出结论；直接根据求解过程证明即可；（2）首先根据题意推出A、B、C、D四点共圆，然后作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，再根据圆的内接四边形的性质等推出AFDDFE，然后根据“遥望角”的定义推出EDAF，即可证DAFDEF，从而得出结论解（1）E是ABC中A的遥望角，EBCABC，ECDACD，EECDEBD（ACDABC）A，A40，E20故答案为：20；，理由如下：E是ABC中A

3、的遥望角，EBCABC，ECDACD，EECDEBD（ACDABC）A；（2）证明：ABCADC90，A、B、C、D四点共圆，作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF， 四边形FBCD内接于O，DFC+DBC180，DFC+DFE180，DFEDBC，BD平分ABC，ABDDBC，ABDAFD，AFDDFE，BEC是ABC中BAC的遥望角，由（1）得EBAC，BACBDC，EBDC，E+DCEBAC，EDCE，DCEDAF，EDAF，DFDF，AFDDFE，DAFDEF（AAS），DADE【点拨】本题考查新定义问题，涉及三角形角平分线的拓展运用，圆的内接四边形的性质等，理解题目定义

4、，灵活运用“四点共圆”的证明方法是解题关键【变式1】如图，已知AB=AC=AD，CAD=20，则CBD的度数是（）A10B15C20D25【答案】A 解：如图，AB=AC=AD，故选A【变式2】如图，在长方形中，垂足为，延长交于，表示面积，则给出的下列命题：；其中正确命题的代号是_ 【答案】【分析】由矩形的性质得出，由证明，正确；由的面积的面积，得出的面积的面积，不正确；证明、四点共圆，得出，正确；延长交矩形的外接圆于，连接，由圆周角定理得出，由三角形的外角性质得出，得出，正确；即可得出结论 解：四边形是矩形，在和中，正确；的面积的面积，的面积的面积，不正确；，、四点共圆，正确；、四点共圆，如

5、图所示：延长交矩形的外接圆于，连接，则，正确；正确的代号是；故答案为：【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及圆周角的性质，掌握四点共圆的证明方法进行转化是解题关键类型二、定角定弦，轨迹是圆。2、如图，中，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点若长为4，则线段长的最小值为（） A BCD【答案】D【分析】如图，连接 由为直径，证明在以的中点为圆心，为直径的上运动，连接 交于点 则此时最小，再利用锐角的正弦与勾股定理分别求解，即可得到答案. 解：如图，连接 由为直径， 在以的中点为圆心，为直径的上运动，连接 交于点 则此时最小， ， 故选D【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，

6、圆外一点与圆的最短距离的理解，锐角的正弦的应用，掌握“圆外一点与圆的最短距离求解线段的最小值”是解本题的关键.【变式1】如图，在圆中，半径，弦，点是劣弧上的一个动点，连接，作，垂足为在点移动的过程中，线段的最小值是（） ABCD【答案】C【分析】由CPBQ知，点P在以AB为直径的D的圆弧CE上，连接AD交D于P，此时线段AP最短 解：如图， CPBQ，CPB=90，点Q是劣弧AC上的一个动点，点P在以AB为直径的D的圆弧上，连接AD交D于P，此时线段AP最短弦BC=10，半径，直径AB=2，CD=DP=5，ACB=90，AC=，在RtACD中，AD=，AP= AD- DP=8故选：C【点拨】本

7、题考查了圆周周角定理，点的运动轨迹；能够根据点的运动情况，确定P点的运动轨迹是解题的关键【变式2】如图，等边中，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为（） ABCD【答案】B【分析】如图，作过A、B、F作O，为点F的轨迹，然后计算出的长度即可 解：如图：作过A、B、F作O，过O作OGAB等边AB=BC，ABC=C=60BCEABCBAD=CBEABC=ABE+EBC=60ABE+BAD=60AFB=120AFB是弦AB同侧的圆周角AOB=120OGAB，OA=OBBOG=AOG=AOB=60，BG=AB=OBG=30

8、设OB=x，则OG=x，解得x=或x=-（舍）的长度为故选B 【点拨】本题考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意确定点F的轨迹是解答本题的关键类型三、定点定长,点在圆上3、如图，O的直径AB4，P为O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是_【答案】【分析】连接OQ，以OA为直径作C，确定出点Q的运动路径即可求得路径长 解：连接OQ在O中，AQ=PQ，OQ经过圆心O，OQAPAQO=90点Q在以OA为直径的C上当点P在O上运动一周时，点Q在C上运动一周AB=4，OA=2C的周长为点Q经过的路径长为故答案为：【点拨

9、】本题考查了垂径定理的推论、圆周角定理的推论、圆周长的计算等知识点，熟知相关定理及其推论是解题的基础，确定点Q的运动路径是解题的关键【变式1】如图，在中，是上一点，且，是边上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接，求的最小值 【答案】 解：如解图，以为圆心，长为半径作圆，点在的一段弧上运动，连接，交于点，此时最小，的最小值为 【变式2】（1）【学习心得】小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易例如：如图1，在ABC中，ABAC，BAC90，D是ABC外一点，且ADAC，求BDC的度数若以点A为圆心，AB为半径作辅助A，则点C、D

10、必在A上，BAC是A的圆心角，而BDC是圆周角，从而可容易得到BDC （2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，BADBCD90，BDC27，求BAC的数（3）【问题拓展】如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 【答案】（1）45；（2）27；（3）22【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解； （2）由A、B、C、D共圆，得出BDC=BAC；（3）根据正方形的性质利用“边角边”证明ABE和 DCF全等，可得1=2，同理证明ADG和 CDG全等，可得2=3，从而得到

11、1=3，然后求出AHB=90，取AB的中点0，可得OH=AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知，当 0、D、H三点共线时，DH的长度最小 解：（1）如图1， ABAC，ADAC，以点A为圆心，点B、C、D必在A上，BAC是A的圆心角，而BDC是圆周角，BDCBAC45，故答案是：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、COBADBCD90，点A、B、C、D共圆，BDCBAC，BDC27，BAC27，（3）如图3，在正方形ABCD中，ABADCD，BADCDA，ADGCDG，在ABE和DCF中，ABEDCF（SAS），12，在ADG和CDG中，ADGCDG（SAS

12、），23，13，BAH+3BAD90，1+BAH90，AHB1809090，取AB的中点O，连接OH、OD，则OHAOAB2，在RtAOD中，OD2，根据三角形的三边关系，OH+DHOD，当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值ODOH22故答案为：22【点拨】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，解题时注意辅助线的作法类型四、线段滑动，中点在圆上4、如图，在中，ACBC，AB4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动

13、路线的长度为（）A2BCD【答案】D【分析】由ADECDF，推出DAE=DCF，因为AED=CEG，推出ADE=CGE=90，推出A、C、G、D四点共圆，推出点G的运动轨迹为弧CD，利用弧长公式计算即可 解：如图， CA=CB，ACB=90，AD=DB，CDAB，ADE=CDF=90，CD=AD=DB，在ADE和CDF中，ADECDF（SAS），DAE=DCF，AED=CEG，ADE=CGE=90，A、C、G、D四点共圆，点G的运动轨迹为弧CD，AB=4，AB=AC，AC=2，OA=OC=，DA=DC，OA=OC，DOAC，DOC=90，点G的运动轨迹的长为故选：D【点拨】本题考查等腰直角三角

14、形的性质、轨迹、勾股定理、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确探究点G的轨迹，属于中考常考题型【变式1】如图，ABC为等边三角形，ADBC，且AD4，点E为线段AD的中点，把线段AE绕点A逆时针旋转，连接BE，点F为线段BE的中点，在旋转过程中CF的最大值为 _ 【答案】5【分析】取AB的中点G，连接FG，由三角形中位线的性质得出FGAE1，得出点F在以G为圆心，1为半径的圆上，当CF经过圆心G时，CF最大，由等边三角形的性质得出CGAD4，进而求出CF的值，得出答案 解：如图，取AB的中点G，连接FG， AD4，点E为线段AD的中点，AEAD2，点F为线段BE的中点，FG

15、是ABE的中位线，FGAE1，点F在以G为圆心，1为半径的圆上，当CF经过圆心G时，CF最大，ABC为等边三角形，G是AB的中点，CGAB，ADBC，CGAD4，CFFGCG145，CF的最大值为5故答案为：5【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握三角形中位线的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，圆的定义是解决问题的关键【变式2】如图，在等腰直角ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为_ 【答案】【分析】连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM，取EF的中点O，连接OM，OC，CM根据

16、图形结合题意易证明EMF=90，得出结论点M的运动轨迹是弧EF，即以EF为直径的半圆，再根据题意可求出AC、BC的值，即得出CF，EF的值，由勾股定理可求出OC的值，最后利用CMOC-OM即可求出CM的最小值 解：如图，连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM，取EF的中点O，连接OM，OC，CM AC是直径，APC=90，BE=EA，BM=MP，EMPA，同理FMPC，BME=BPA，BMF=BPC，BME+BMF=BPA+BPC=90，EMF=90，点M的轨迹是弧EF，（EF为直径的半圆）BC=AC，ACB=90，AB=8，AC=BC=4，AE=EB，BF=CF=2，EF=AC=2，EFAC，EFB=EFC=ACB=90，OE=OF=OM=，OC=，CMOC-OM，CM综上可知CM最小值为故答案为：【点拨】本题考查轨迹、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题