河北省衡水中学2022届高三数学上学期第一次调研（8月）试题（PDF版附答案）.pdf

1、20212022 学年度高三年级上学期一调考试 数学试卷 第卷(选择题 共 60 分)一、单项选择题(每小题 5 分，共 40 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上)1下列集合中表示同一集合的是()AM(3，2)，N(2，3)BM4，5，N5，4 CM(x，y)|xy1，Ny|xy1 DM1，2，N(1，2)2已知 i 为虚数单位，复数 xa2i1i(aR)是纯虚数，则 1ai 的虚部为()A2 B2i C2i D2 3下列函数求导运算正确的个数为()(3x)3xlog3e；(log2x)1xln2；(ex)ex；(1lnx)x；(xex)ex1 A1 B2

2、 C3 D4 4已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f(x)大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(c)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(b)f(d)5设函数 f(x)的定义域为 R，f(x1)为奇函数，f(x2)为偶函数，当 x1，2时，f(x)ax2b，若 f(0)f(3)3，则f(132)()A54 B94 C72 D526已知函数 f(x)tanxsinxcosx，则()Af(x)的最小正周期为 2Bf(x)的图象关于 y 轴对称Cf(x)的图象关于(，0)对称Df(x)的图象不关于(2，0)对称7在公差不为 0 的等差数

3、列an中，a1，a2，ak1，ak2，ak3成公比为 4 的等比数列，则 k3()A84 B86 C88 D968 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f(x)满 足 f(2 x)f(2 x)，且 当 x 0，2 时，f(x)ex1，0 x1，x24x4，1x2，若关于 x 的不等式 m|x|f(x)的整数解有且仅有 9 个，则实数 m 的取值范围为()A(e17，e15 Be17，e15 C(e19，e17 De19，e17 二、多项选择题(每题 5 分，共 20 分，每题给出的选项中有多项符合要求，全部选对得 5 分，错选得 0 分，部分选对得 2 分)9已知数列an是等比数列，公比为 q

4、，前 n 项和为 Sn，下列判断正确的有()A 1an为等比数列 Blog2an为等差数列Canan1为等比数列 D若 Sn3n1r，则r1310设 F1，F2分别是双曲线 C：x2st y2st1的左、右焦点，且|F1F2|8，则下列结论正确的是()As8 Bt 的取值范围是(8，8)CF1 到渐近线的距离随着 t 的增大而减小D当 t4 时，C 的实轴长是虚轴长的 3 倍11如右图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，BB1B1D1，点 E是 CC1 上的一个动点，若平面 BED1交棱 AA1 于点 F，给出下列命题：其中真命题的是()A四棱锥 B1BED1F 的体积恒为定值；B存在点

5、 E，使得 B1D平面 BD1EC对于棱 CC1 上任意一点 E，在棱 AD 上均有相应的点 G，使得 CG平面 EBD1D存在唯一的点 E，使得截面四边形 BED1F 的周长取得最小值12已知函数 f(x)xex，x1，exx3，x1，且函数 g(x)xf(x)，则下列选项正确的是()A点(0，0)是函数 f(x)的零点Bx1(0，1)，x2(1，3)，使 f(x1)f(x2)C函数 f(x)的值域为1e，)D若关于 x 的方程g(x)22ag(x)0 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是(2e2，e28)(e2，)第卷(非选择题 共 90 分)三、填空题(每题 5 分，共 20

6、分。其中第 16 题，第一个空 2 分，第二个空 3 分，把答案填在答题纸的横线上)13若函数y3sin(x)(0，0)的部分图象如图所示，则此函数的解析式为_14现采用随机模拟的方法估计一位射箭运动员三次射箭恰有两次命中的概率：先由计算机随机产生 0 到 9 之间取整数的随机数，指定 1，2，3，4，5 表示命中，6，7，8，9，0 表示不命中，再以三个随机数为一组，代表三次射箭的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数：807966191925271932812458569683489257394027552488730113537741根据以上数据，估计该运动员三次射箭恰好有两次命中的

7、概率为 15已知 ab，关于 x 的不等式 ax22xb0 对于一切实数 x 恒成立，又存在实数 x0，使得 ax022x0b0 成立，则a2b2ab 最小值为 16若集合 Ax|x2，Bx|bx1，其中 b 为实数(1)若 A 是 B 的充要条件，则 b ；(2)若 A 是 B 的充分不必要条件，则 b 的取值范围是：；(答案不唯一，写出一个即可)四、解答题(本大题有 6 个小题，共 70 分，其中第 17 题 10 分，其余每题 12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置)17(本小题满分 10 分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 3(

8、abcosC)csinB(1)求角 B 的大小；(2)若 a3，c2，D 为 BC 边上一点，CD15DB，求 cos2BDA 的值18(本小题满分 12 分)设数列an的前 n 项和为 Sn，已知2Snan12n11(nN*)，且a25.(1)证明an2n1为等比数列，并求数列an的通项公式；(1)设bnlog3(an2n)，若对于任意的 nN*，不等式 bn(1n)n(bn2)60 恒成立，求实数 的取值范围19(本小题满分 12 分)“2021 年全国城市节约用水宜传周”已于 5 月 9 日至 15 日举行成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活

9、动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了 300 名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成 6 组：70，75)，75，80)，80，85)，85，90)，90，95)，95，100，得到如图所示的频率分布直方图(1)求 a 的值，并估计这 300 名业主评分的中位数、平均数、众数；(2)若先用分层抽样的方法从评分在90，95)和95，100的业主中抽取 5 人，然后再从抽出的这 5 位业主中任意选取 2 人作进一步访谈，求这 2 人中至少有 1 人的评分在95，100概率20(本小题满分 1

10、2 分)如图所示，在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB平面 BCD，F 为线段 BD 中点，BCD23，AB3，BCCD2(1)证明：CF平面 ABD；(2)设 Q 是线段 AD 上一点，二面角 ABQC 的正弦值为 134，求DQDA的值21(本小题满分 12 分)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)过点 A(0，2)，椭圆四个顶点围成的四边形面积为4 5.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)过点 P(0，3)的直线 l 斜率为 k，交椭圆 E 于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 交 y3 于点 M、N，若|PM|PM|15，求 k 的取值范围 22(本小题满分 12 分)已知函数f

11、(x)lnex2 ax，g(x)x4ax(1)求函数 f(x)的极值点；(2)当 a0 时，当函数 h(x)f(x)g(x)恰有三个不同的零点，求实数 a 的取值范围20212022 学年度高三年级上学期一调考试 数学试卷解析 第卷(选择题 共 60 分)一、单项选择题(每小题 5 分，共 40 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上)1下列集合中表示同一集合的是()AM(3，2)，N(2，3)BM4，5，N5，4 CM(x，y)|xy1，Ny|xy1 DM1，2，N(1，2)【答案】B【考点】集合的概念与特性 2已知 i 为虚数单位，复数 xa2i1i(aR

12、)是纯虚数，则 1ai 的虚部为()A2 B2i C2i D2【答案】C【考点】复数的运算、几何意义 3下列函数求导运算正确的个数为()(3x)3xlog3e；(log2x)1xln2；(ex)ex；(1lnx)x；(xex)ex1 A1 B2 C3 D4【答案】B【考点】导数的运算 4已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f(x)大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(c)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(b)f(d)【答案】C【考点】函数的单调性与图象 5设函数 f(x)的定义域为 R，f(x1)为奇函数，f(x2)为偶函数，当

13、 x1，2时，f(x)ax2b，若 f(0)f(3)3，则f(132)()A54 B94 C72 D52【答案】A【考点】函数的性质应用 6已知函数 f(x)tanxsinxcosx，则()Af(x)的最小正周期为 2 Bf(x)的图象关于 y 轴对称 Cf(x)的图象关于(，0)对称 Df(x)的图象不关于(2，0)对称【答案】C【考点】三角函数的对称性与周期应用 7在公差不为 0 的等差数列an中，a1，a2，ak1，ak2，ak3成公比为 4 的等比数列，则 k3()A84 B86 C88 D96【答案】B【考点】等差、等比数列的性质应用 8 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f(x)

14、满 足 f(2 x)f(2 x)，且 当 x 0，2 时，f(x)ex1，0 x1，x24x4，1x2，若关于 x 的不等式 m|x|f(x)的整数解有且仅有 9 个，则实数 m 的取值范围为()A(e17，e15 Be17，e15 C(e19，e17 De19，e17 【答案】C【考点】函数的图象与性质应用 二、多项选择题(每题 5 分，共 20 分，每题给出的选项中有多项符合要求，全部选对得 5 分，错选得 0 分，部分选对得 2 分)9已知数列an是等比数列，公比为 q，前 n 项和为 Sn，下列判断正确的有()A 1an为等比数列 Blog2an为等差数列 Canan1为等比数列 D若

15、 Sn3n1r，则r13【答案】AD【考点】等比数列、等差数列的证明与求和应用 10设 F1，F2分别是双曲线 C：x2st y2st1的左、右焦点，且|F1F2|8，则下列结论正确的是()As8 Bt 的取值范围是(8，8)CF1 到渐近线的距离随着 t 的增大而减小 D当 t4 时，C 的实轴长是虚轴长的 3 倍【答案】ABC【考点】双曲线的方程、几何性质应用 11如右图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，BB1B1D1，点 E是 CC1 上的一个动点，若平面 BED1交棱 AA1 于点 F，给出下列命题：其中真命题的是()A四棱锥 B1BED1F 的体积恒为定值；B存在点 E，使得

16、 B1D平面 BD1E C对于棱 CC1 上任意一点 E，在棱 AD 上均有相应的点 G，使得 CG平面 EBD1 D存在唯一的点 E，使得截面四边形 BED1F 的周长取得最小值【答案】ABD【考点】立体几何中的位置关系、体积、截面等综合应用 12已知函数 f(x)xex，x1，exx3，x1，且函数 g(x)xf(x)，则下列选项正确的是()A点(0，0)是函数 f(x)的零点 Bx1(0，1)，x2(1，3)，使 f(x1)f(x2)C函数 f(x)的值域为1e，)D若关于 x 的方程g(x)22ag(x)0 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是(2e2，e28)(e2，)【答

17、案】BCD【考点】函数的零点、值域、导数与函数的综合应用 第卷(非选择题 共 90 分)三、填空题(每题 5 分，共 20 分。其中第 16 题，第一个空 2 分，第二个空 3 分，把答案填在答题纸的横线上)13若函数y3sin(x)(0，0)的部分图象如图所示，则此函数的解析式为_ 【答案】y3sin(2x3)【考点】由三角函数的图象求解析式 14现采用随机模拟的方法估计一位射箭运动员三次射箭恰有两次命中的概率：先由计算机随机产生 0 到 9 之间取整数的随机数，指定 1，2，3，4，5 表示命中，6，7，8，9，0 表示不命中，再以三个随机数为一组，代表三次射箭的结果，经随机模拟产生了如下

18、 20 组随机数：807 966 191 925 271 932 812 458 569 683 489 257 394 027 552 488 730 113 537 741 根据以上数据，估计该运动员三次射箭恰好有两次命中的概率为 【答案】0.5【考点】简单概率的求解 15已知 ab，关于 x 的不等式 ax22xb0 对于一切实数 x 恒成立，又存在实数 x0，使得 ax022x0b0 成立，则a2b2ab 最小值为 【答案】2 2【考点】基本不等式的应用 16若集合 Ax|x2，Bx|bx1，其中 b 为实数(1)若 A 是 B 的充要条件，则 b ；(2)若 A 是 B 的充分不必要

19、条件，则 b 的取值范围是：；(答案不唯一，写出一个即可)【答案】12；(12，)(答案不唯一)【考点】双空题：利用充分不必要条件求参数的值或范围 四、解答题(本大题有 6 个小题，共 70 分，其中第 17 题 10 分，其余每题 12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置)17(本小题满分 10 分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 3(abcosC)csinB(1)求角 B 的大小；(2)若 a3，c2，D 为 BC 边上一点，CD15DB，求 cos2BDA 的值【考点】解三角形与三角恒等变换的综合应用【解析】(1)因为 3(abco

20、sC)csinB，所以 3acsinB 3bcosC，由正弦定理得 3sinAsinCsinB 3sinBcosC，故 3sinBcosC 3sinCcosBsinCsinB 3sinBcosC，所以 3sinCcosBsinCsinB0，因为 sinC0，所以sinB 3cosB，即tanB 3，因为 B(0，)，所以B3；(2)因为 a3，CD15DB，所以CD12，DB52，在ABD 中，由余弦定理得，AD222(52)2225212214，所以AD 212.由正弦定理得 ADsinBABsinBDA，sinBDA2 77，故 sinBDA2 77，cos2BDA12sin2BDA17

21、18(本小题满分 12 分)设数列an的前 n 项和为 Sn，已知2Snan12n11(nN*)，且a25.(1)证明an2n1为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)设bnlog3(an2n)，若对于任意的 nN*，不等式 bn(1n)n(bn2)60 恒成立，求实数 的取值范围【考点】数列的证明、求解通项公式、与不等式的恒成立问题【解析】(1)由题知2Sn1an2x1(n2)，则 2an2Sn2Sn1an12n11(an2n1)anan2n，则an13an2n，从而有an12n1132(an2n1)，n2，又2a12Sna22215412，即a11，满足a222132(a1211)，则,

22、an12n1132(an2n1)，nN*，故an2n1为以32为首项，32为公比的等比数列，则an2n1(32)n，故an3n2n(2)由(1)知，bnlog3(an2n)n.则对于nN*，不等式 n(1n)n(n2)60 恒成立，则 n(1n)6n(n2)n2n6n22n，n2n6n22n 1 n6n22n1n6(n6)210(n6)2411n610 24n6，由函数单调性知，n67，yn2n6n22n 11n610 24n6单调递增，且 n时，y1，则满足条件不等式恒成立时，1 所以实数 的取值范围为1，)19(本小题满分 12 分)“2021 年全国城市节约用水宜传周”已于 5 月 9

23、日至 15 日举行成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了 300 名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成 6 组：70，75)，75，80)，80，85)，85，90)，90，95)，95，100，得到如图所示的频率分布直方图 (1)求 a 的值，并估计这 300 名业主评分的中位数、平均数、众数；(2)若先用分层抽样的方法从评分在90，95)和95，100的业主中抽取 5 人，然后再从抽出的这 5 位业主中

24、任意选取 2 人作进一步访谈，求这 2 人中至少有 1 人的评分在95，100概率【考点】频率直方图与数据的处理、古典概型的求解【解析】(1)第三组的频率为 1(0.0200.0250.0300.0350.050)50.200，a0.20050.040.又第一组的频率为 0.02550.125，第二组的频率为 0.03550.175，第三组的频率为0.200 前三组的频率之和为 0.1250.1750.2000.500，这 300 名业主评分的中位数为 85 平均数为 72.50.025577.50.035582.50.040587.50.050592.50.030597.50.020584.

25、625 众数为(8590)287.5(2)由频率分布直方图，知评分在90，95)的人数与评分在95，100的人数的比值为 3：2 采用分层抽样法抽取 5 人，评分在90，95)的有 3 人，评分在95，100有 2 人 不妨设评分在90，95)的 3 人分别为A1，A2，A3；评分在95，100的 2 人分别为B1，B2.则从 5 人中任选 2 人的所有可能情况有：A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，共 10 种 其中选取的 2 人中至少有 1 人的评分在95，100的情况有：A1，B1，A1，B2，A2，B1

26、，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，共 7 种 故这 2 人中至少有 1 人的评分在95，100的概率为P 710.20(本小题满分 12 分)如图所示，在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB平面 BCD，F 为线段 BD 中点，BCD23，AB3，BCCD2(1)证明：CF平面 ABD；(2)设 Q 是线段 AD 上一点，二面角 ABQC 的正弦值为 134，求DQDA的值 【考点】立体几何中位置关系的证明、利用二面角求解长度比【解析】(1)因为 BCCD，F 为线段 BD 中点，所以 CFBD 因为 AB平面 BCD，CF平面 BCD，所以 CFAB 又因为 AB平面 ABD，B

27、D平面 ABD，ABBDB，所以 CF平面 ABD(2)在三棱锥 ABCD 中，在平面 BCD 内作 BECD 于 E 设 X 为 EB 延长线上一点，BYCD则 BABX，BABY，BXBY 以BX，BY，BA为基底，建立空间直角坐标系 Oxyz 由题设得 A(0，0，3)，B(0，0，0)，C(3，1，0)，D(3，3，0)，DA(3，3，3)，BA(0，0，3)，BC(3，1，0)，设DQDA(3，3，3)(3，3，3)(01)，所以BQBDDQ(3(1)，3(1)，3)，设 n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分别为平面 ABQ、平面 CBQ 的一个法向量 则n1AB0，

28、n1DA0，n2BC0，n2BQ0，即3z10，3x13y13z10，3x23y20，3(1)x23(1)y23z20，不妨取n1(3，1，0)，n2(3，2，3(1)，因为二面角 ABQC 的正弦值为 134，所以|cos|n1n2|n1|n2|33|2 1224(1)2 34，解得12(舍)或14.因此DQDA的值为14.21(本小题满分 12 分)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)过点 A(0，2)，椭圆四个顶点围成的四边形面积为4 5.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)过点 P(0，3)的直线 l 斜率为 k，交椭圆 E 于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 交 y3 于点

29、 M、N，若|PM|PM|15，求 k 的取值范围【考点】圆锥曲线中椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系：设点法或设线法表示长度【解析】(1)因为椭圆 E 过点 A(0，2)，所以 b2 又四个顶点围成的四边形面积为4 5，则122a2b2ab4 5，联立b2，2ab4 5，a2b2c2，解得a 5，b2，c1，故椭圆 E 的标准方程为x25y241.(2)由题可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，直线 l 的方程为 ykx3，设点B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立ykx3，x25 y241，消去 y 并整理得(5k24)x230kx250，所以(30k)24(5k24)25400(k2

30、1)0，故 k1 或 k1，且x1x230k5k24 30k5k24，x1x2255k24，所以 y1y2k(x1x2)6245k24，y1y2(kx13)(kx23)k2x1x23k(x1x2)93620k25k24.因为直线 AB 的方程为y2y12x1 x，令 y3，则x x1y12，故点M(x1y12，3)，因为直线 AC 的方程为y2y22x2 x，令 y3，则x x2y22，故点N(x2y22，3)，所以|PM|PN|x1y12|x2y22|x1(y22)x2(y12)(y12)(y22)|x1(kx21)x2(kx11)y1y22(y1y2)4|2kx1x2(x1x2)y1y22

31、(y1y2)4|2k255k24 30k5k243620k25k24 485k244|5k|15，即|k|3，解得3k3 综上，k 的取值范围为3，1)(1，3 22(本小题满分 12 分)已知函数f(x)lnex2 ax，g(x)x4ax(1)求函数 f(x)的极值点；(2)当 a0 时，当函数 h(x)f(x)g(x)恰有三个不同的零点，求实数 a 的取值范围【考点】函数与导数：含参函数的极值点、函数的零点等综合应用【解析】(1)因为f(x)lnex2 ax，所以f(x)lnx2ax1,所以 f(x)2x12a1xa1axx(x0)，当 a0 时，f(x)0，所以函数 f(x)无极值点；当

32、 a0 时，令 f(x)0，解得x1a.由f(x)0 x0，解得 0 x1a；由f(x)0 x0，解得 x1a，故函数 f(x)有极大值点1a，无极小值点，综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值点；当 a0 时，函数 f(x)有极大值点1a，无极小值点(2)当 a0 时，h(x)f(x)g(x)lnex2 ax4ax(x0)，所以 h(x)1xa4ax2ax2x4ax2(x0)，设 k(x)ax2x4a0，则116a2，当0a0，即a14时，h(x)0，所以 h(x)在(0，)上单调递减，所以 h(x)不可能有三个不同的零点 当0a0，即 0a14时，k(x)有两个零点x11116a22a，

33、x21116a22a，所以 x10，x20，又 k(x)ax2x4a0 的图象开口向下，所以当 0 xx1 时，k(x)0，所以 h(x)0，所以 h(x)在(0，x1)上单调递减；当 x1xx2 时，k(x)0，所以 h(x)0，所以 h(x)在(x1，x2)上单调递增；当 xx2 时，k(x)0，所以 h(x)0，所以 h(x)在(x1，)上单调递减，因为h(2)ln12a4a2 0，x1x24，所以 x12x2，所以 h(x1)h(2)0h(x2)，h(1a2)ln 12a2a1a24a1a2ln22lna1a4a3，令 m(a)ln22lna1a4a3，则当 0a14时，m(a)2a 1a212a212a42a1a212aa20，所以 m(a)在(0，14)上单调递增，所以当 0a14时，m(a)m(14)ln22ln1444(14)33ln24 1160，即 h(1a2)0，由零点存在性定理知，h(x)在区间(0，1a2)上有唯一的零点 x0 因为 h(x0)h(4x0)lnx02ax04ax0ln(124x0)a4x04a4x00，h(x0)0，所以h(4x0)0，所以 04x0 x1，所以 h(x)在区间(0，x1)上有唯一的零点4x0.故当 0a14时，h(x)存在三个不同的零点4x0，2，x0，故实数 a 的取值范围是(0，14).