湖南省长沙市中学2022-2023学年高二下学期数学竞赛试题（解析版）.pdf

1、第1页/共19页 学科网（北京）股份有限公司长郡湘府中学 2023 年高二第二学期数学竞赛试题（时量：120 分钟，满分：150 分）一、单选题（每小题 5 分，共 40 分）1.设实数0a，则“22a”是“1log02a a+”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由22a，可得1a，由1log02a a+，可得1a 或102a，可得所以1a；由1log02a a+，可得1loglog 12aaa+，1112aa+或01112aa+或102a”是“1log02a a+”的充分不必要条件.故选：A.2.若函数()22f

2、 xxa x=+，xR在区间)3+，和21，上均为增函数，则实数 a 的取值范围是（）A.11,33 B.6,4 C.3,2 2 D.4,3【答案】B【解析】【分析】易知()f x 为 R 上的偶函数，因此只需考虑函数()f x 在()0+，上的单调性即可，结合题设条第2页/共19页 学科网（北京）股份有限公司件分析可得函数的对称轴须满足2 32a，进而求得 a 的取值范围.【详解】由题意知函数()f x 为偶函数，对称轴为2ax=，所以()f x 在)3+，上为增函数，在1 2，上为减函数，故须满足2 32a，解之得6,4a.故选：B.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，考查逻辑思维能

3、力和转化思想，属于常考题.3.4sin 40tan 40（）A.3 B.2 C.232+D.2 21【答案】A【解析】【分析】先通过切角化弦后再通分，再利用二倍角公式，同角三角函数关系及诱导公式即可求出结果.【详解】方法一：sin 404sin 40 cos40sin 402sin80sin 404sin 40tan 404sin 40=cos40cos40cos40=()sin80sin80sin 40sin802cos60 sin 20sin80sin 204sin 40tan 40=cos40cos40cos40+=()()sin 5030sin 5030sin80sin 203sin5

4、04sin 40tan 40=3cos40cos40cos40+=方法二：sin 404sin 40 cos40sin 402sin80sin 404sin 40tan 404sin 40=cos40cos40cos40=()31333cos10sin10cos10sin102cos10sin 301022224sin 40tan 40=cos40cos40cos40+313cos10sin10223 cos404sin 40tan 40=3cos40cos40=故选：A 4.如果函数 f(x)(2)1,1,1xa xxax+0 成立，那么实数 a 的取第3页/共19页 学科网（北京）股份有限

5、公司值范围是（）A.(0，2)B.(1，2)C.(1，)D.3,22【答案】D【解析】【分析】根据函数 f(x)是R上的增函数，由()20121 1aaaa +求解.【详解】因为函数满足对任意 x1x2，都有1212()()f xf xxx0 成立，所以函数 f(x)是R上的增函数，所以()20121 1aaaa +，解得 322a，只需保证0 x 在(,0)有 2 根，所以02010aaa ，解得1a 第5页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 7.已知函数(),0ln,0 xxexf xx x=，若()()g xf xax=有四个不同的零点，则 a 的取值范围为（）A.10,e B.1,

6、1e C.)1,e D.),e+【答案】A【解析】【分析】讨论0 x、0 x，应用导数研究单调性，要使()0g x=有四个不同的解，即当两个区间均存在两个零点时，求 a 的范围即可.【详解】由题意知：()()g xf xax=有四个不同的零点，,0()ln,0 xxeax xg xxax x=，则()0g x=有四个不同的解，当0 x 时，()()0 xg xx ea=，其零点情况如下：1）当0a 或1a=时，有0 x=；2）当 01a时，0 x=或lnxa=；当0 x 时，1()g xax=，则有如下情况：1）当0a 时()0g x，即()g x 单调递增，不可能出现两个零点，不合题意；2）

7、当0a 时，在10 xa，()g x 单调递增，在1xa上()0g x，得1ae时，()g x 必有两个零点.第6页/共19页 学科网（北京）股份有限公司综上，有10ae上各有两个零点，即共有四个不同的零点.故选：A.【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求在满足零点个数的情况下参数范围.8.已知0.02ea=，b=0.01，c=ln1.01，则（）A.cab B.bac C.abc D.bca【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的性质判断,a b，构造函数()e1xf xx=，由导数确定单调性得(0.01)(0)ff，再由对数性质得,b c 大小，从而得结论【详解】由

8、指数函数的性质得：10.02211ee0.01e3=，设()e1xf xx=，则e()10 xfx=在0 x 时恒成立，所以()f x 在(0,)+上是增函数，()f x 是连续函数，因此()f x 在0,)+上是增函数，所以(0.01)(0)ff，即0.01e1 0.010，即0.01e1.01，所以0.01ln1.01，所以 abc 故选：C 二、多选题（每小题 5 分，共 20 分）9.若 01a，则（）A.1abc B.cacbab C.11aacb D.loglogcbaa，1bc，01a，故 A 错误；对于 B，若 cacbab，则bcabcbca，即()0a cb，这与1bc 矛

9、盾，故 B 错误；第7页/共19页 学科网（北京）股份有限公司对于 C，01a，10a，则11aacb，故 C 错误；对于 D，1bc，loglogcbaa，故 D 正确.故选：AD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式的性质即可，属于基础题 10.下列式子等于cos6x的是（）A.5cos6x B.2sin3x C.3 cossin2xx+D.22cos1122x【答案】CD【解析】【分析】根据诱导公式，即可判断 A，B 不正确；根据三角恒等变换，即可判断 C 正确；根据余弦的二倍角公式，即可判断 D 正确，由此即可得到答案.详解】5coscoscoscos6666xxxx=+=+，

10、故 A 不正确；2sinsincoscos36266xxxx=，故 B 不正确；3 cossin31cossincos2226xxxxx+=+=，故 C 正确；22cos1coscos12266xxx=，故 D 正确.故选：CD.11.定义在 R 上的奇函数()f x 满足(2)()f xf x+=，且当(0,1x时，()1f xx=，则（）A.()f x 是周期函数 B.()f x 在（1，1)上单调递减 C.()f x 的图象关于直线3x=对称 D.()f x 的图象关于点（2，0)对称【答案】ACD【解析】【分析】对于 A，利用周期的定义判断，对于 B，根据题意求出()f x 在 1,0

11、)x 的解析式，然后判断，.【第8页/共19页 学科网（北京）股份有限公司对于 C，利用函数的周期和奇函数的性质可得(3)(3)f xfx+=，从而可求得其对称轴，对于 D，利用函数的周期和奇函数的性质可得()(4)0f xfx+=，从而可求得其对称中心【详解】对于 A，因为定义在 R 上的奇函数()f x 满足(2)()f xf x+=，所以(22)(2)f xf x+=+，(0)0f=，所以(4)()()f xf xf x+=，所以()f x 是周期为 4 的周期函数，所以 A 正确，对于 B，当 1,0)x 时，(0,1x，则()1()1fxxx=+，因为()f x 为奇函数，所以()(

12、)fxf x=，所以()1f xx=+，所以()1f xx=，所以当 1,0)x 时，()1f xx=为减函数，且当0 x 时，()1f x ，当(0,1x时，()1f xx=为减函数，且当0 x 时，()1f x ，所以()f x 在（1，1)上不是单调递减，所以 B 错误，对于 C，因为()f x 是周期为 4 的周期函数，所以(6)(2)()()f xf xf xfx+=+=，所以(36)(3)f xfx+=，即(3)(3)f xfx+=，所以()f x 的图象关于直线3x=对称，所以 C 正确，对于 D，因为(4)()()f xf xfx+=，所以(4)()0f xfx+=，所以(44

13、)(4)0f xfx+=，所以()(4)0f xfx+=，所以()f x 的图象关于点 4,02对称，即()f x 的图象关于点（2，0)对称，所以 D 正确，故答案为：ACD 12.已知函数()21exxxf x+=，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 存在两个不同的零点 B.函数()f x 既存在极大值又存在极小值 C.当 e0k 时，方程()f xk=有且只有两个实根 D.若),xt+时，()2max5ef x=，则 t 的最小值为 2【答案】ABC 第9页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接

14、判断选项 详解】对于 A，由()0f x=，得210 xx+=，152x=，故 A 正确；对于 B，()()()2122eexxxxxxfx+=，当()(),12,x +时，()0fx，当()1,2x 时，0fx，()f x 在(),1，()2,+上单调递减，在1,2上单调递增，()1f 是函数的极小值，()2f是函数的极大值，故 B 正确；对于 C，当 x +时，0y，根据 B 可知，函数的最小值是(1)ef=，再根据单调性可知，当e0k 时，方程()f xk=有且只有两个实根，所以 C 正确；对于 D：由图象可知，t 的最大值是 2，所以 D 不正确 故选：ABC.【点睛】本题考查了导数分

15、析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+是函数的单调递减区间，但当x +时，0y，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了 三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.已知集合|13Axx=，|21Bxmxm=，若 AB=，则实数m 的取值范围是_.【答案】)0,+【解析】【第10页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据 AB=可讨论 B 是否为空集：B=时，21mm；B 时，212311mmmm 或，解出m 的范围即可【详解】解：AB=；B=时，21mm；13m；B

16、 时，132311mmm或；解得103m；综上得，实数m 的取值范围是)0,+故答案为：)0,+【点睛】考查描述法、区间表示集合的定义，交集的定义及运算，空集的定义，属于基础题 14.已知02，1sincos5+=，则221cossin的值为_【答案】257【解析】【分析】将1sincos5+=的两边同时平方可得242sincos25=，结合角 的范围即可求得7cossin5=，即可计算出22125cossin7=.【详解】由题意1sincos5+=，两边同时平方可得112sincos25+=，即242sincos25=，所以()249cossin12sincos25=，又因为02，所以sin

17、0，所以7cossin5=，第11页/共19页 学科网（北京）股份有限公司可得()()221125cossincossincossin7=+故答案为：257 15.已知函数()12yf x=+为奇函数，()211xg xx=，且()f x 与()g x 图象的交点为()11,xy，()22,xy，()66,xy，则126126xxxyyy+=_【答案】18【解析】【分析】由题意得函数 f（x）与 g（x）的图像都关于点()1,2 对称，结合函数的对称性进行求解即可【详解】函数()12yf x=+为奇函数，函数()yf x=关于点()1,2 对称，()211211xg xxx=+，函数()yg

18、x=关于点()1,2 对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，()f x 与()g x 图像的交点为()11,xy，()22,xy，()66,xy,两两关于点()1,2 对称，126126xxxyyy+3 23 418=+=.故答案为 18【点睛】本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.16.函数2lnyxx=上的点到直线2yx=的最短距离是_【答案】2【解析】【分析】由题意知：平行于2yx=且与2lnyxx=相切直线上的切点，即为要找的点，进而应用点线距离公式求最短距离即可.【详解】要使2()lnf xxx=上的点

19、到直线2yx=的最短，则该点切线平行于2yx=，由1()2fxxx=且0 x，令1()21fxxx=，2210 xx=，解得12x=（舍）或1x=，切点为(1,1)，故最短距离为|2|22=.的第12页/共19页 学科网（北京）股份有限公司故答案为：2四、解答题（共 6 小题，共 70 分）17 已知 x0，y0，且 2x+8y-xy=0，求：（1）xy 的最小值；（2）x+y 的最小值.【答案】（1）64 （2）18【解析】【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果；（2）将28xyxy+=变形为分式型 281yx+=，利用“1”的代换和基本不等式可得结果.【小问 1 详解】0 x，0

20、y ，280 xyxy+=，282 168xyxyxyxy=+=，当且仅当 28xy=时取等号，8xy 64xy，当且仅当416xy=时取等号，故 xy 的最小值为 64.【小问 2 详解】28xyxy+=，则 281yx+=，又0 x，0y ，282828()()1010218xyxyxyxyyxyxyx+=+=+=，当且仅当212xy=时取等号，故 xy+的最小值为 18.18.已知函数()()4sinsin103f xxx=+的最小正周期为 （1）求 及()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 图象的对称中心.第13页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）=1，增区间

21、为(),63kkk+Z （2）,0122k+，k Z 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得到()2sin(2)6f xx=，利用函数的最小正周期为 得到，然后再利用正弦函数的基准增区间即可求解；（2）令26xk=，k Z，解之即可求解.【小问 1 详解】()2134sinsincos12sin2 3sincos122f xxxxxxx=+=+1cos23sin 213sin 2cos22sin 26xxxxx=+=最小正周期为 ，22=，1=，()2sin 26f xx=，令2 22 262kxk+，k Z，解得63kxk+，k Z，()f x 的单调递增区间为(),63kkk+Z 【小问

22、 2 详解】令26xk=，k Z，解得122kx=+，k Z，()f x 图象的对称中心为,0122k+，k Z 19.已知定义域为R 函数()()1xxf xaka=（0a 且1a）是奇函数（1）求实数k 的值；（2）若()10f，求实数 m 的取值范围 第14页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）2 （2）在 R 上单调递减，()2,1【解析】【分析】（1）根据题意，利用()00f=，求得2k=，结合函数奇偶性的定义，即可求解；（2）由()10f，求得 01a，结合单调性，列出不等式，即可求解.【小问 1 详解】解：由函数()()1xxf xaka=的定义域为R 的奇函数，

23、可得()()()0001110fakak=，解得2k=，经验证：当2k=时，()xxf xaa=，可得()()()xxxxfxaaaaf x=，则()f x 为奇函数，符合题意，所以2k=【小问 2 详解】解：由（1）知，()xxf xaa=（0a 且1a），因为()10f，即10aa，且1a，所以 01a可化为()()22f mfm，可得22mm，即220mm+，解得 21m ，则52,6，因为()0,，13tan23=，则5,6，则52,23+，所以724+=.【点睛】易错点睛：本题容易得出两个答案，724+=或 34.之所以得出两个答案，是没有分析缩小,的范围，从而得到52,23+.对于

24、求角的大小的问题，一般先求出角的某三角函数值，再求出角的范围，再得到角的大小.21.设()()3211cossin32g xxaxxaxx=+，Ra，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值第16页/共19页 学科网（北京）股份有限公司时求出极值【答案】答案见解析【解析】【分析】求出()g x，因式分解得()()()singxxaxx=，先说明()sinh xxx=的单调性，再分类讨论0a，0a=及 a时，()0h x；当0 x 时，()0h x （1）当 a0 时，()()()singxxaxx=，当(),xa 时，0 xa，()g x 单调递增；当(),0 xa时，0 xa，()0g

25、x，()0gx，()g x 单调递增 所以，当 xa=时，()g x 取到极大值，极大值是()31sin6g aaa=，当0 x=时，()g x 取到极小值，极小值是()0ga=（2）当0a=时，()()singxx xx=，当(),x +时，()0gx，()g x 单调递增；所以()g x 在(),+上单调递增，()g x 无极大值也无极小值（3）当0a 时，()()()singxxaxx=，当(),0 x 时，0 xa，()g x 单调递增；当()0,xa时，0 xa，()0gx，()0gx，()g x 单调递增 第17页/共19页 学科网（北京）股份有限公司所以，当0 x=时，()g x

26、 取到极大值，极大值是()0ga=；当 xa=时，()g x 取到极小值，极小值是()31sin6g aaa=综上，当 a时，()g x 在(),0和(),a+上单调递增，在()0,a 上单调递减，极大值是()0ga=，极小值是()31sin6g aaa=22.已知函数()ln3()f xaxaxaR=(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()yf x=的图象在点()2,(2)f处的切线的倾斜角为 45，对于任意的1,2t，函数32()()2mg xxxfx=+在区间(),3t上总不是单调函数，求m 的取值范围【答案】(1)见解析(2)37,93【解析】【详解】【试题分析】(1)求出

27、函数的定义域,对函数求导后,对 a 分类讨论函数的单调区间.(2)倾斜角为 45 ,斜率为1,根据斜率为1可求得 a 的值.化简()g x 的表达式,求出()g x 的导数,将函数在区间上不是单调函数的问题,转化为函数导数在区间上有变号零点问题来求解.【试题解析】(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x).当 a0 时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，)；当 a0 时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0,1)；当 a0 时，f(x)不是单调函数 (2)由(1)及题意得 f(2)1，即 a2，f(x)2ln x2x3，f(x).第18页/共19页 学科网（北京）股份有

28、限公司g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即 g(x)0 在区间(t,3)上有变号零点由于 g(0)2，当 g(t)0，即 3t2(m4)t20 对任意 t1,2恒成立，由于 g(0)0，故只要 g(1)0 且 g(2)0，即 m5 且 m9，即 m9；由 g(3)0，即 m 373.所以 373m9.即实数 m 的取值范围是37,93.【点睛】本小题主要考查函数导数与单调区间,考查不是单调函数的转化方法,考查了分类讨论的思想方法,和化归与转化的数学思想方法.求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,第19页/共19页 学科网（北京）股份有限公司