小学数学讲义暑假五年级第7讲牛吃草优秀A版.pdf

1、1第 9 级上优秀 A 版教师版第 7 讲三年级春季年龄问题四年级秋季平均数进阶五年级暑假牛吃草五年级秋季分数应用题五年级秋季工程问题经典的牛吃草问题；牛吃草问题的变形漫画释义知识站牌第七讲 牛吃草2第 9 级上优秀 A 版教师版牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。1.熟练掌握经典牛吃草问题的处理方式；2.掌握牛吃草问题的本质，会处理变形的牛吃草问题牛

2、吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给 10 头牛吃，可以吃22 天，或者供给 16 头牛吃，可以吃 10 天，如果供给 25 头牛吃，可以吃几天？这就是经典的“牛吃草问题”，这道题的关键在于，草的总量是变化的（草要不停地长哦）。同学们，今天我们就来学习这个非常有趣的数学题目。“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有三步：1、求出草的生长速度2、求出牧场原有草量3、最后求出可吃天数或牛的头数相关公式草的生长速度 （对应的牛头数 吃的较多天数 相应的牛头数

3、吃的较少天数）（吃的较多天数 吃的较少天数）；原有草量 牛头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数；吃的天数 原有草量 （牛头数 草的生长速度）；牛头数 原有草量 吃的天数 草的生长速度。课堂引入经典精讲教学目标3第 9 级上优秀 A 版教师版第 7 讲模块 1：1-3,经典牛吃草问题模块 2：4-5,变形的牛吃草.有一块匀速生长的草场，27 头牛 6 个星期可以吃完，或者 23 头牛 9 个星期可以吃完。若是 21 头牛，要几个星期才可以吃完？(学案对应：学案 1)【分析】设 1 头牛 1 周的吃草量为“1”，27 头牛吃 6 周共吃了 276162份；23 头牛吃 9 周共吃了23 9207

4、份第二种吃法比第一种吃法多吃了 20716245份草，这 45 份草是牧场的草 963周生长出来的，所以每周生长的草量为 45315，那么原有草量为：1626 1572供 21 头牛吃，若有 15 头牛去吃每周生长的草，剩下 6 头牛需要72612(周)可将原有牧草吃完，即它可供 21 头牛吃 12 周3个星期21头牛？个星期23头牛9个星期27头牛6个星期【巩固】有一块匀速生长的草场，30 头牛 5 天可以吃完，或者 35 头牛 4 天可以吃完。若是 20 头牛，要_天才可以吃完。【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，则每天草的生长量为(305354)(54)10，原有草量为(301

5、0)5100，需要天数为100(2010)10天【巩固】有一块匀速生长的草场，12 头牛 10 天可以吃完，或者 15 头牛 6 天可以吃完。若是 9 头牛，要_天才可以吃完。【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，则每天草的生长量为(12 10156)(106)7.5，原有草量为(127.5)1045，需要天数为45(97.5)30天有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 25 天，或可供 24 头牛吃 10 天那么它可供几头牛吃 20天？(学案对应：学案 2)【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么 251015天生长的草量为122524 1060，所以例题思路例 2例

6、14第 9 级上优秀 A 版教师版每天生长的草量为 60154；原有草量为：2441020020 天里，草场共提供草 200420280，可以让2802014头牛吃 20 天想想练练：有一块匀速生长的草场，8 头牛 9 天可以吃完，或者 10 头牛 6 天可以吃完。若是_头牛，要 12 天就可以吃完。【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，则每天的生长量为(89126)(96)4，原有草量为(84)936，需要牛数为361247头.有一片草场，草每天的生长速度相同。若 14 头牛 30 天可将草吃完，70 只羊 16 天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量)。那么

7、，17 头牛和 20 只羊多少天可将草吃完?【分析】法 1：“4 只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么 14 头牛 30 天吃了144301680 单位草量，而 70 只羊 16 天吃了16701120单位草量，所以草场在每天内增加了(16801120)(3016)40草量，原来的草量为112040 16480草量，所以如果安排 17 头牛和 20 只羊，即每天吃草 88 草量，经过480(8840)10天，可将草吃完。法 2：也可以把题目中的“牛”全部换成羊。这样，题目变为“若 56 只羊 30 天可将草吃完，70 只羊 16 天也可将草吃完。

8、那么，1742088 只羊多少天可将草吃完?”仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用 4 辆汽车，则 9 天恰好运完；如果每天用 5 辆汽车，则 6 天恰好运完。若用 3 辆汽车运则需要多少天运完？牛顿的故事牛顿非常勤奋，他一生中的绝大部分时间是在实验室度过的，他常通宵达旦地做实验，有时一连六个星期都在实验室工作，不分白天和黑夜，直到把实验做完为止。有一天，他请一个朋友吃饭。可是朋友来了，他却还在实验室里工作。吃饭的时间早过了，还不见牛顿从实验室里出来。朋友饿急了，就自己到餐厅里把一只鸡吃了，鸡骨头留在了碗里。过了一会儿，牛顿来到餐厅，看到

9、碗里有很多鸡骨头，不觉惊奇地说：“原来我已经吃过饭了。”于是又回到了实验室工作。又有一次牛顿一边思考问题,一边准备煮鸡蛋。不知不觉地把自己的怀表扔进锅里煮了起来。牛顿就是这样忘我，这样孜孜不倦地钻研学问的。牛顿虽然是位伟大的科学家，却从来没有骄傲自满过，他谦虚地说：在科学的道路上，我们只是一个在海边玩耍的孩子，偶然拾到一块美丽的石子。至于真理的大海，我还没有发现呢！例 4例 35第 9 级上优秀 A 版教师版第 7 讲(学案对应：学案 3)【分析】设1 辆汽车1天运货为“1”，进货速度为(9456)(96)2 ，原有存货为(42)918，若用 3 辆汽车运则需要18(32)18（天）想想练练：

10、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 10 人淘水，3 小时淘完；如 5 人淘水,8 小时淘完.如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？【分析】设 1 人 1 小时淘出的水量是“1”，进水 速度是(5 8103)(83)2，原有水量(102)324，要求 2 小时淘完，要安排242214人淘水。某游乐场在开门前有 400 人排队，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入口每分钟可以进入 10个游客，如果开放了 4 个入口，20 分钟后就没有人排队，现在开放 6 个入口，那么开门分钟后没有人排队.(学案对应：学案 4)【分析】我们可以把入场口看成是“牛”，人看成是“草”，每分钟来

11、的人数看成是草的生长速度，那么每分钟来的人是(420 10400)2020（人），由于一个入口每分钟可以进入 10 人，所以要有两个入口专门使新来的人进入游乐场，所以原来排队的人可以理解为从剩下的入口进入，因此过400(62)1010分钟就没有人排队.想想练练：假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供 110 亿人生活 90 年；或供 90 亿人生活 210 年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？【分析】(9021011090)(21090)75亿人。古代印度的许多算术题是很有趣的，比如：一条长80安古拉（古印度长度单位）的强有力的、不可征服的、极好的黑

12、蛇，以 514 天爬17 2 安古拉的速度爬进一个洞；而蛇尾每 14 天长114 安古拉。请你算一算，这条大蛇多少天全部进洞？答案：黑蛇不断往洞里爬，蛇尾也不停地向后长，要求出黑蛇全部爬进洞的时间，可先分别求出黑蛇向洞里爬行的速度和蛇尾生长的速度：黑蛇爬行的速度=15721214；蛇尾生长的速度1111144；二者的速度差=21-11=10全部进洞的时间=8010=8（天）例 56第 9 级上优秀 A 版教师版1.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少经计算，牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 16 头牛吃 6 天那么，可供 11 头牛吃几天？【分析】设 1 头牛 1 天的

13、吃草量为“1”，651 天自然减少的草量为2051664，原有草量为：2045120若有 11 头牛来吃草，每天草减少11415；所以可供 11 头牛吃120158(天)2.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天照此计算，可以供多少头牛吃 10 天？【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：2051566510，原有草量为：20105150；10 天吃完需要牛的头数是：15010105(头)3.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块

14、草地上的草可供 25 头牛吃 4 天，或可供 16 头牛吃 6 天，那么可供多少头牛吃 12 天？【分析】设 1 头牛 1 天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少(254166)(64)2；原来牧场有草(252)4108，12 天吃完需要牛的头数是：1081227(头)或(108122)127（头）。一片草地，可供 5 头牛吃 30 天，也可供 4 头牛吃 40 天，如果 4 头牛吃 30 天，又增加了 2 头牛一起吃，还可以再吃几天？【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为 4405 3040301 ，原有草量为：5130120如果 4 头牛吃 30 天，那么将会

15、吃去 30 天的新生长草量以及 90原有草量，此时原有草量还剩1209030，而牛的头数变为 6，现在就相当于：“原有草量 30，每天生长草量 1，那么 6 头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：30616(天)“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有三步：1、求出草的生长速度2、求出牧场原有草量3、最后求出可吃天数或牛的头数附加题杯赛提高知识点总结7第 9 级上优秀 A 版教师版第 7 讲相关公式草的生长速度 （对应的牛头数 吃的较多天数 相应的牛头数 吃的较少天数）（吃的较多天数 吃的较少天数）；原有草量 牛头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数；吃的天数 原有草量

16、（牛头数 草的生长速度）；牛头数 原有草量 吃的天数 草的生长速度。1.牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃10 天那么它可供 25 头牛吃几天？【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，10 头牛吃 20 天共吃了1020200份；15 头牛吃 10 天共吃了15 10150份第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050份草，这 50 份草是牧场的草 201010天生长出来的，所以每天生长的草量为 50105，那么原有草量为：200520100。供 25 头牛吃，若有 5 头牛去吃每天生长的草，剩下 20 头牛需要100205(天)可

17、将原有牧草吃完，即它可供 25 头牛吃 5 天2.有一块匀速生长的草场，10 头牛 7 天可以吃完，或者 12 头牛 5 天可以吃完。若是_头牛，35 天就可以吃完。【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，则每天的生长量为(107125)(75)5，原有草量为(105)735，需要牛数为353556头.3.一块匀速生长的草地，可供 16 头牛吃 20 天或者供 100 只羊吃 12 天如果一头牛一天吃草量等于 5 只羊一天的吃草量，那么这块草地可供 10 头牛和 75 只羊一起吃多少天？【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于 5 只羊一天的吃草量，所以 1

18、00只 羊 吃12天 相 当 于20头 牛 吃12天 那 么 每 天 生 长 的 草 量 为162020 12201210，原有草量为：16102012010 头牛和 75 只羊 1 天一起吃的草量，相当于 25 头牛一天吃的草量；25 头牛中，若有 10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的 15 头牛需要120158 天可以把原有草量吃完，即这块草地可供 10 头牛和 75 只羊一起吃 8 天4.码头仓库原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用 3 辆汽车，则 40 天恰好运完；如果每天用 6 辆汽车，则 16 天恰好运完。若用 5 辆汽车运，则需要

19、多少天运完？【分析】设 1 辆汽车 1 天运货为“1”，进货速度为(3406 16)(4016)1，原有存货为3 14080，仓库里原有的存货若用 5 辆汽车运则需要805120（天）5.一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果 3 人淘水 40 分钟可以淘完；6 人淘水 16 分钟可以把水淘完，那么，5 人淘水几分钟可以把水淘完？【分析】设 1 人 1 分钟淘出的水量是“1”，401624分钟的进水量为3406 1624，所以每分钟 的 进 水 量 为 24241，那 么 原 有 水 量 为：3 14080 5人 淘 水 需 要家庭作业8第 9 级上优秀 A 版教师版805

20、120(分钟)把水淘完6.画展 8:30 开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开 3 个入场口，9 点就不再有人排队；如果开 5 个入场口，8 点 45 分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。【分析】设每分钟 1 个入口进入的人数为 1 个单位。8:30 到 9:00 共 30 分钟，3 个入口共进入3 3090。8:30 到 8:45 共 15 分钟，5 个入口共进入5 1575，15 分钟到来的人数907515，每分钟到来15151。8：30 以前原有人 3 301 3060。所以应排了60160（分钟），即第一个观众在 7：30 来。【学案 1】

21、有一片牧场，草每天都在均匀的生长。如果在牧场上放养 24 头牛，那么 6 天就可以把草吃完；如果放养 21 头牛，8 天可以把草吃完。那么：（1）要让草永远吃不完，最多放养多少头牛？（2）如果放养 36 头牛，多少天可以把草吃完？【分析】(1)设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么862天生长的草量为21 824624，所以，每天生长的草量为 24212。也就是说，每天生长的草量可以供 12 头牛吃 1 天。那么要让草永远也吃不完，最多放养 12 头牛。(2)原有草量(2412)672，可供 36 头牛吃 72(3612)3天。【学案 2】牧场上有一片匀速生长的草地，可供 27 头牛吃 6

22、 周，或供 23 头牛吃 9 周，那么它可供多少头牛吃 18 周？【分析】设 1 头牛 1 周的吃草量为“1”，草的生长速度为(23 9276)(96)15，原有草量为(2715)672，可供牛的头数为72181519（头）【学案 3】有一池水，池底有泉水不断涌出，想要把水池里的水抽干，10 台抽水机需要 8 小时，8台抽水机需要 12 小时，如果要用 6 小时将水抽完，那么需要多少台抽水机？【分析】设 1 根抽水管 1 小时抽水的量为“1”，那么1284小时进水量为8 1210 816，即每小时进水量为1644，原有水量为：104848要用 6 小时将水抽完，需要抽水机的台数为：486412(台)【学案 4】超市的收银台平均每小时有 60 名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付 80 名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始 4 小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了.【分析】我们可以把收银台看成是“牛”，前来排队的顾客看成是“草”，“银台平均每小时有 60 名顾客前来排队付款”，说明草的生长速度是60，所以原来排队的顾客有80460480，所以过80(2 8060)0.8小时就没有人排队了.A 版学案