小学数学讲义暑假四年级超常第4讲相遇问题.pdf

1、1第 7 级上超常体系教师版第 4 讲漫画释义三年级春季路程、速度与时间四年级暑假相遇问题四年级暑假追及问题四年级秋季环形跑道四年级秋季火车过桥掌握行程问题的基本公式以及简单相遇问题的解题思路和方法，并会运用所学知识解决一些实际问题知识站牌第四讲相遇问题2第 7 级上超常体系教师版1掌握“路程和速度和相遇时间”2学会画线段图解行程问题3培养学生解决问题的能力我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题,总称为行程问题.在对小学数学的学习中,我们已经接触过一些简单的行程应用题,并且已经了解到上述三个量之间存在这样的基本关系：路程速度时间.因此,在这一讲中,我们将在前面学习的基础上,主要

2、来研究行程问题中较为复杂的一类问题反向运动问题,即在同一道路上的两个运动物体做方向相反的运动的问题.它又包括相遇问题和相背问题：相遇问题：指的就是上述两个物体以不同的点作为起点做相向运动的问题；相背问题：指的就是这两个运动物体以同一点作为起点做背向运动的问题.主要数量关系是：速度和相遇时间=路程路程速度和=相遇时间路程相遇时间=速度和（一个速度另一个速度）某天,小明放学回家,打开书包正准备做作业,发现不小心将同桌小红的作业本带回了家,怎么办呢？同学们请你想一想如果步行的话,有几种办法可以让小明把作业本还给小红？哪种方法更快？【分析】1、小红到小明家取；2、小明送到小红家；3、两人同时从家出发,

3、向对方走去,在途中相遇,交给小红.模块一:基本的相遇问题例1、2：直线上的相遇问题例题思路课堂引入经典精讲教学目标3第 7 级上超常体系教师版第 4 讲模块二:相遇问题的拓展例:3：不同时出发的相遇问题例4、5：相距问题模块三:相遇问题运用例6：两个全程的相遇例7：多人相遇例8：二次相遇A、B 两地相距 4800 米,甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发,相向而行,如果甲每分钟走 60 米,乙每分钟走 100 米,请问：(1)甲从 A 走到 B 需要多长时间？(2)两个人从出发到相遇需要多长时间？【分析】（1）480060=80（分钟）（2）4800（60+100）=30（分钟）甲乙两人分别

4、以每小时 6 千米,每小时 4 千米的速度从相距 30 千米的两地沿相反方向同时出发(1)相向而行,几小时相遇？(2)相背而行 3 小时,两人相距多远？(3)经过多久两人第一次相距 10 千米？(4)经过多久两人第二次相距 10 千米？(5)当两人从面对面相距 10 千米到背对背相距 10 千米,他们走了几小时？(6)两人经过多久相距 100 千米？【分析】(1)3064=3（小时）(2)6433060（千米）(3)甲乙两人一共走了301020(千米),30 10642（）（）(小时)(4)甲乙两人一共走了 301040(千米),3010644（）（）(小时)(5)101046=2（）（小时）

5、(6)由于题目没有给出方向,所以这里有两种情况：1、相向而行,相遇后继续前进相距 100 米,则甲乙两人走了 130 千米,100306413（小时）2、相背而行,两人再合走 70 千米即可,10030647（小时）甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两地出发相对而行,甲车每小时行 48 千米,乙车每小时行50 千米,(1)5 小时相遇,求 A、B 两地间的距离例 3例 2例 14第 7 级上超常体系教师版(2)若甲先出发 1 小时,再经过 5 小时相遇,求 A、B 两地间的距离(3)若乙在行驶途中因故停留 1 小时,再继续行驶,5 小时后相遇,求 A、B 两地间的距离(4)若在途中两车先后各停车

6、4 次,每次停车 15 分钟,经过 5 小时两车相遇,求 A、B 两地间的距离【分析】1.48505=490（千米）2.4848505=538（千米）3.先走一小时和中间多走一小时,实际是一样,故答案同上.4.停 4 次共停 1 小时,等于行驶了 4 小时,所以,48505 1=392（千米）甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发,相向而行如果乙每分钟行 20 米,甲、乙两人 5 分钟后相遇；如果乙每分钟比原来快 4 米,甲、乙两人在 A、B 两地中点相遇那么,A、B 两地相距_米【分析】第二次走路,两人相遇在中点,说明两人速度相同,为20424米每分；故在第一次走路时,甲速为 24 米每分,

7、乙速为 20 米每分,两人 5 分钟后相遇,故全长为(2024)5220 米.动物园里有 30 米高的大树.两只猴子进行爬树比赛,一只稍大的猴子每秒钟向上爬 2 米,另一只猴子每秒钟才向上爬了 1 米.稍大的猴子先爬到树顶再返回.(1)经过多久两只猴子第一次相遇？(2)若稍大的猴子爬到树顶后,下来的速度是它爬上速度的 2 倍,两只猴子在距地面多少米的地方相遇？【分析】1.返回后相遇相当于 2 人和走两个全程：3022120（秒）2.当大猴子到达树顶的时候,小猴子走了30215米,还剩下 15 米,这时大猴子调头与小猴子相遇,故相遇时间为15(41)3（秒）,所以在距离地面151 318 米处.

8、甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行.已知甲每分钟走 50 米,乙走完全程要 18 分钟.出发 3分钟后,甲、乙还相距 450 米.问：还要过多少分钟,甲、乙两人才能相遇？【分析】根据题意,把全程等分成 6 份,则乙 3 分钟走了其中的 1 份,还剩 5 份,对应的路程是150+450=600 米,解之得：60056720S （米）；所以乙车速度为：120340（米/分钟）.72040508t（分钟）,所以还需要经过 5 分钟,甲、乙两人才能相遇.例 6例 5例 45第 7 级上超常体系教师版第 4 讲苏步青教授是我国著名的数学家.有一次在外国,他在电车上碰到一位有名的德国数学家,这位

9、德国数学家出了一道有趣的数学题让他做,这道题是：“两地相距 50 千米,甲、乙二人同时从两地出发相向而行.甲每小时走 3 千米,乙每小时走 2 千米甲带着一只狗,狗每小时走 5 千米.这只狗同甲一起出发,碰到乙的时候它就掉转头来往甲这边走,碰到甲时又往乙这边走,直到两人碰头.问这只狗一共走了多少千米路？”苏步青略加思索,未等下电车就把正确答案告诉了这位德国数学家.同学们,你们也来试一试,会解吗？例 7苏步青的故事9 岁那年，苏步青的父亲挑上一担米当学费，走了 50 公里山路，送苏步青到平阳县城，当了一名高小的插班生。从山里到县城，苏步青大开眼界，什么东西都新奇。他第一次看到馒头里有肉末，常用饭

10、票换成钱买“肉馒头”吃。一个月的饭票提早用完了，只好饿肚子。他见到烧开水的老虎灶，也觉得好玩，把家里带来的鸡蛋掷进锅里，一锅开水变成一锅蛋花汤，烧水工看到气极了，揪住他打了一顿。苏步青整天玩呀、闹呀，考试时常坐“红交椅”，到期末考试，他在班里得了倒数第一名。可是，他的作文写得还不错，私塾里的“偷听”，激发了他学习语文的兴趣，为作文打了一点基础。然而，语文老师越看越不相信，总认为苏步青的作文是抄来的。因此还是批给他一个很低的分数。这样，更激发了他的牛脾气，老师越说他不好，他越不好好学，一连三个学期，都是倒数第一名。同学和老师都说他是“笨蛋”。有一次，地理老师陈玉峰把苏步青叫到办公室，给他讲一个小

11、故事：“牛顿 12 岁的时候，从农村小学转到城里念书，成绩不好，同学们都瞧不起他。有一次，一个同学蛮横无理地欺负他，一脚踢在他的肚子上。他疼得直打滚。那个同学身体比他棒，功课比他好，牛顿平时很怕他。但这时他忍无可忍，跳起来还击，把那个同学逼到墙角，揿在墙上。那同学见牛顿发起怒来如此勇猛，只好屈服。牛顿从这件事想到做学问的道理也不过如此：只要下定决心，就能把它制服。他发愤图强，努力学习，不久成绩跃居全班第一，后来成了一个伟大的科学家。”苏步青见陈老师不批评他，还给他讲故事，心里很感激。陈老师见他垂着头，摸摸他的头后说：“我看你这个孩子挺聪明嘛，只要肯努力，一定可以考第一名。”又说：“你爸爸、妈妈

12、累死累活，省吃俭用，希望你把书念好。像你现在这样子，将来拿什么来报答他们？”苏步青再也抑制不住心灵的震撼，泪水像断线的珍珠淌在自已的胸前，第一次感到自己做错了事。此后，他完全变成了懂事的孩子，不再贪玩，刻苦读书，到期末考试得了全班第一名。6第 7 级上超常体系教师版【分析】要求狗走的路程,速度已知,关键是求出狗所走的时间.经过认真审题,不难发现狗行走的时间与甲、乙二人的相遇时间是相等的.这就是一道行程问题应用题.甲、乙二人相遇时间为：50（3+2）=10（小时）,狗的速度是 5 千米/时,所以,狗所走的路程一共是：510=50（千米）甲乙两人从相距 60 千米的两地同时相向而行,甲比乙快,6

13、小时后相遇,如果两人的速度每小时各增加1 千米,那么相遇地点距离前一次相遇地点 1 千米,甲每小时行多少千米？乙每小时行多少千米？【分析】第一次：6 小时走了 60 千米,所以速度和60610千米/时；则第二次的速度和为 12 千米/时,由此可推出第二次的相遇时间60125小时,则6511甲（甲）,可知甲=6 千米/时,则乙=4 千米/时.1、甲乙两城相距 90千米.摩托车和自行车各从一城出发,相向而行,摩托车上午9 点出发,自行车上午 8 点出发,在 11 点相遇,摩托车车速是自行车的 3 倍.摩托车和自行车每小时各行多少千米？【分析】根据题意,设自行车每小时 x 千米,则摩托车的速度为 3

14、x 千米,列方程得：119311 890 xx；解得10 x,摩托车每小时行 30 千米.2、甲乙两地相距 3600 米,两条狗从甲乙两地相向奔跑,它们每分钟分别跑 450 米和 350 米,它们相向跑 1 分钟后,同时调头背向跑 2 分钟,又调头相向跑 3 分钟,再调头背向跑 4 分钟这样直到相遇为止,从出发到相遇需多少分钟？【分析】36004503504.5分钟,1234567895分钟,说明在相向跑 9 分钟的过程 中 遇 上 的,123456788.54.5分 钟,从 出 发 到 相 遇 花 费 的 总 时 间 是123456788.544.5分钟附加题遗嘱古时候，一位老者已气息奄奄。

15、临终前，把两个儿子唤到床前，曰：“你们骑马到西山然后回来，谁的马跑得慢，家产就归谁。”两个儿子骑马出去缓缓而行。一路人见状奇怪，问明原因后，对二人说了一句话，二人便快马加鞭，唯恐落后。这位路人说了句什么话答案：“你们把马换过来骑”。注意问题中说的是谁的“马”慢。快与慢是相对的，问谁的马慢与问谁的马快是一回事。例 87第 7 级上超常体系教师版第 4 讲1、相遇问题的特征：同时、反向2、相遇问题的一般公式：速度和相遇时间=路程路程 速度和=相遇时间路程 相遇时间=速度和3、在解题中,可以利用画线段图的方式来帮助分析与思考.4、在求速度或时间的题,可以用解方程的方法来解答.1.妈妈从家出发到学校去

16、接小红,每分钟走 75米走了3 分钟后,小红从学校出发,每分钟走60米再经过 20 分钟妈妈和小红相遇从小红家到学校有多少米？【分析】75 3(7560)202925（米）2.东、西镇相距 45 千米,甲、乙二人分别从两镇同时出发相向而行,甲比乙每小时多行 1 千米,5小时后两人相遇,问两人的速度各是多少？【分析】（1）甲、乙的速度和 4559（千米/小时）.（2）甲的速度：（91）25（千米/小时）.（3）乙的速度：954（千米/小时）.3.A、B 两地相距 400 千米,甲、乙两车分别从 A、B 同时出发,相向而行.甲车的速度为每小时60 千米,乙车的速度为每小时 40 千米,请问：从出发

17、算起,多久后甲、乙两车相距 100 千米？【分析】根据题意,有两种情况：一：相遇前相距 100 千米,40010060403（小时）；二：相遇后相距 100 千米：40010060405（小时）4.甲、乙两列火车从相距 942千米的两地相向而行,甲车每小时行 45 千米,乙车每小时行 41千米,乙车先出发 2 小时后,甲车才出发甲车行几小时后与乙车相遇？【分析】乙车先行驶路程：41 282(千米),甲、乙两车同时相对而行路程：94282860(千米),甲、乙两车速度和：454186(千米时),甲车行的时间：8608610(小时)5.甲乙两座城市相距530千米,货车和客车从两城同时出发,相向而行

18、货车每小时行50 千米,客车每小时行 70 千米.客车在行驶中因故耽误1小时,然后继续向前行驶与货车相遇问相遇时客车、货车各行驶多少千米？【分析】相 遇 时 间：(53050)(5070)4801204（小 时）相 遇 时 客 车 行 驶 的 路程:704280(千米)相遇时货车行驶的路程：50(41)250（千米）家庭作业知识点总结8第 7 级上超常体系教师版6.夏夏和冬冬同时从两地相向而行,两地相距1100 米,夏夏每分钟行 50米,冬冬每分钟行 60 米,问两人在距两地中点多远处相遇？【分析】根据题意,两人相遇时经过的时间为：1100(5060)10（分钟）,10 分钟夏夏走了50 10

19、500（米）,两地的中点距离夏夏的出发地距离为：11002550（米）,所以两人相遇处距离两地中点55050050（米）远7.两地相距 900米,甲、乙二人同时、同地向同一方向行走,甲每分钟走80 米,乙每分钟走100米,当乙到达目标后,立即返回,与甲相遇.从出发到相遇共经过多少分钟？【分析】9002(80100)10(分钟)8.甲车每小时行 40 千米,乙车每小时行 60 千米两车分别从 A、B 两地同时出发,相向而行,相遇后3 小时,甲车到达 B 地求 A、B 两地的距离？【分析】相遇后甲车行 3小时,甲车走了 403120（千米）这120 千米乙车行了120602（小时）,说明相遇时两车

20、已各行驶了 2 小时,所以 A、B 两地的距离是(4060)2200（千米）【超常班学案1】甲、乙两地相距 350 千米,一辆汽车在早上 8 点从甲地出发,以每小时 40 千米的速度开往乙地.2 小时后另一辆汽车以每小时 50 千米的速度从乙地开往甲地.问：什么时候两车在途中相遇？【分析】根据题意,到上午 10：00 时,甲先走了 80 千米,此时两者相距 270 千米,有：27040503（小时）,所以到下午 1：00 两车在途中相遇.【超常班学案2】甲、乙二人从相距 100 千米的 A、B 两地出发相向而行,甲先出发 1 小时.他们二人在乙出发后的 4 小时相遇,又已知甲比乙每小时快 2

21、千米,求甲、乙二人的速度.【分析】（1）乙的速度为：1002（41）（421）10（千米/小时）.（2）甲的速度为：10212（千米/小时）.提示：甲比乙每小时快 2 千米,则（41）小时快 2（41）10（千米）,因此,相当于乙走 1001090 千米的路需（421）9（小时）【超常班学案3】小明每天早晨按时从家出发上学,李大爷每天早晨也定时出门散步,两人相向而行,小明每分钟行 60 米,李大爷每分钟行 40 米,他们每天都在同一时刻相遇有一天小明提前出门,因此比平时早 9 分钟与李大爷相遇,这天小明比平时提前多少分钟出门？【分析】因为提前 9 分钟相遇,说明李大爷出门时,小明已经比平时多走

22、了两人 9 分钟合走的路,即多走了(6040)9900（米）,所以小明比平时早出门 9006015（分）【超常班学案4】丁丁、当当、叽里、咕噜分别在 A、B、C、D 四个地方,他们到市中心各有一条道路,距离已标在图上（单位：米）.四个朋友相约在某处（不一定是 O）见面,每人超常班学案9第 7 级上超常体系教师版第 4 讲走路的速度都是每分钟 45 米.他们见面最少需_分钟.ODCBA180240210150【分析】行程操作、最远的两个人相距 240+210=450（米）,他俩见面最少需 450（45+45）=5（分钟）,而其他人都能在 5 分钟内赶到他俩见面点,所以最少需 5 分钟【超常 12

23、3 班学案 1】AB 相距 420 千米,客车和货车同时从 A 出发驶向 B.客车每小时行 60千米,货车每小时行 40 千米,客车到达 B 后停留1 小时,又以原速度返回 A.则两车首次相遇的地点距离 A 多少千米？【分析】由题意可知,当客车走到 B 时,货车走了 4206040280千米,客车停留一小时后,还剩下42028040100,10060401 小时,故相遇地点=420-60=360 千米.【超常 123 班学案 2】早上 8 点,小明和小强从甲、乙两地同时出发,以不变的速度相向而行9 点 20时两人相距 10 千米,10 点时,两人相距还是 10 千米11 点时小明到达乙地,这时

24、小强距甲地千米【分析】依题意可知,两人 40 分钟共走了 20 千米,所以两人速度和为 20406030(千米小时),甲、乙两地距离为30(108)1050（千米）,到 11 点时两人共走了30(118)90（千米）,则小强距甲地5029010（千米）【超常 123 班学案 3】甲、乙两辆汽车同时分别从 A、B 两地相对开出,甲车每小时行 42千米,乙车每小时行 45 千米甲、乙两车第一次相遇后继续前进,甲、乙两车各自到达 B、A 两地后,立即按原路原速返回两车从开始到第二次相遇共用 6 小时求A、B 两地的距离？【分析】甲乙两车从出发到第一次相遇共同行完一个 AB 间的路程,第一次相遇后继续

25、前进,各自到B、A 两地后,又共同行完一个 AB 间的路程当甲、乙两车第二次相遇时,又共同行完一个AB 间的路程因此,甲、乙两车从开始到第二次相遇共行 3 个 AB 间的路程甲、乙速度和：42+45=87(千米/时),3 个 AB 间路程：876=522(千米),A、B 相距：5223=174(千米)【超常 123 班学案 4】甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发,沿同一山道行进.两人的上山速度都是20 米/分,下山的速度都是30 米/分.甲到达山脚立即返回,乙到达山顶休息30 分钟后返回,两人在距山顶 480 米处再次相遇.山道长米.【分析】甲、乙两人再次相遇后如果甲继续行走 4802024（分钟）后可以返回山顶,如果乙不休息,那么这个时候乙应该到达山脚,所以这个时候乙还需要 30分钟到达山脚,也就是距离山脚超常班 123学案10第 7 级上超常体系教师版还有3030900（米）,所以山顶到山脚的距离为90024(2030)90012002100（米）