小学数学讲义秋季六年级秋季超常讲义第1讲数形结合.pdf

1、1第 11 级下超常体系教师版第一讲漫画释义六年级暑期归纳与递推六年级暑期从整体考虑六年级秋季数形结合六年级秋季从极端考虑六年级秋季算两次利用图形的技巧推导相关计算公式，并在理解公式的基础上解决相关问题知识站牌第一讲 数形结合2第 11 级下超常体系教师版大家都听说过数形结合这个词吧，我国著名数学家华罗庚就曾写过这么一首诗：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞数缺形时少直觉，形少数时难入微数形结合百般好，隔离分家万事非几何代数统一体，永远联系莫分离”可见数形结合的重要性，其实在以前的课程中，我们你已经不知不觉中用过了，比如解行程问题中用过的柳卡图、证明勾股定理的相关方法，这些都是用几何图形解决相关

2、问题，今天我们再来认识用相关图形解决相关代数公式问题和应用题1.理解用图形法推导代数公式的过程2.会用图形法解决相关应用题一、看图说明勾股定理的证明过程abcabcab-ab-a【分析】22()2cbaab，即222cabcbbaaaaabbbba【分析】左右两幅图阴影面积应该相同，即222cab知识点回顾教学目标课堂引入3第 11 级下超常体系教师版第一讲【分析】这个梯形的面积为222()()22aabbSab ab，也可以用左右个三角形和中间大三角形的和来表示2222ababcS 所以有22222222aabbababc，即222abc二、看图说明第一次迎面相遇点和第三次迎面相遇点间距离0

3、08412963BA140米【分析】64140()4077一、数形结合的意义数和形是数学的两个基本概念，全部数学大体上就是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而逐步展开的而数形结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使相对的复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法在我们的小学数学教学中，如果教师能有意识地运用数形结合思想来设计教学，那将非常有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将

4、实际问题转化为数学问题的能力“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略，对学生来说是一种学习方法，如果长期渗透，运用恰当，则使学生形成良好的数学意识和思想，长期稳固地作用于学生的数学学习生涯中二、相关公式的推导（具体推导见例题）1.等差数列求和公式：和=(首项 末项)项数2经典精讲4第 11 级下超常体系教师版2.平方和：2222(1)(21)1236n nnn3.立方和：2233332(1)123(123)4nnnn4.平方差：22()()abab ab三、阶梯型标数法（一）阶梯型标数指的是求图中从点 A 走到点 B 的最短路线的条数（图中虚线不能走）（二）阶梯型标数特征1走到图中任意一

5、点的所有路线中，单位竖线段个数不多于单位横线段的个数。2走到虚线边上任意一点的路线条数，恰好是卡塔兰数（1,，2，5，14，4，,13，,429，）模块一：相关数列公式的推导例 1：等差数列求和公式的推导例 2：平方和公式的推导例 3：立方和公式的推导例 4：等比数列求和公式的推导模块二：相关代数公式推导例 5：平方差公式的推导例 6：多项式乘法的推导模块三：数形结合的应用例 7：矩形图法的应用例 8：卡塔兰数的应用试用图解法说明：1123(1)2nn n【分析】图二图一1111111111111111111111111111111第n行第n-1行第三行第二行第一行将图一中所有 1 相加即是1

6、23n，将图一旋转180度后得图二，两图合起来看最后发现每行都有1n 个 1，恰有 n 行，因此得到1123(1)2nn n例 1例题思路5第 11 级下超常体系教师版第一讲根据例 1 思路尝试探索：22221123(1)(21)6nn nn推导过程（学案对应：超常 1，带号 1）【分析】图三nnn-1nnnn-1n-1n-1n-232n-2321123n-223n-2n-1n-1n-1nnnn-1nnnnnnnn-1n-1n-133第一行第二行第三行第n-1行第n行1223n-1n图一图二将图一中所有数相加即是2222123n，将图一顺时针旋转120度后得图二，再顺时针旋转120 度后得图三

7、，三图合起来看，最后发现每行对应位置的和为21n ，恰有 n 行，因此得到2222123(21)(123)3nnn，即2222(1)(21)1236n nnn，试用图解法说明：33332123(123)nn（学案对应：超常 2）【分析】方法一：第一步：先将下图各行求和再相加得：2(1234)(24682)(369123)(4812164)(234)nnnnnnnnn (1234)2(1234)3(1234)4(1234)(1234)nnnnnn 2(1234)n 第二步：还可以按下图线所连接的方式求和得21(242)(36963)(4812161284)(2332)nnnnnnn 12(121

8、)3(12321)4(1234321)(123321)nn 333331234n综合第一、二步可知33332123(123)nn例 3例 26第 11 级下超常体系教师版n2n3n4nn24812164n369123n24682nn4321方法二：公元前 1 世纪古希腊数学家尼科梅切斯(Nichomachus)就是采用数形结合的方法图解法，得出了三次方幂求和的公式：333321123(1)2nnn 尼科梅切斯给出的解法是这样的：把求和式中任意一项 k 写成“2kk”的形式，那么3k 就可以理解成 k 个“边长为 k”的正方形面积之和那么，可以构造一个图形，如下图：43214321一方面，图中大

9、正方形的边长为“1+2+3+4”，面积为2(1234)另一方面它又等于全部小正方形的面积之和但是注意在放置两个 22 及 44 的正方形时，两个正方形有重叠部分图中浅色阴影正方形，再把重叠部分补到它的右上方的小正方块图中深色阴影正方形中去，这样一来这些小正方形的面积和正好等于边长为“1+2+3+4”的大正方形面积所以：33332222212341 1223 344(1234)试用图解法说明：22()()abab ab【分析】计算阴影部分面积即是22ab，例 47第 11 级下超常体系教师版第一讲bbaaaabbaabbbbaa但是计算阴影部分面积有如右图三种分割方法试用图解法说明：().a c

10、d()()ab cd()().ab cde(+)()()a b cd ef【分析】(1)、(2)、(3)中各块长方形面积和即为答案例 5完全平方公式的证明22()2abaababb222aabb22()22abaabbbababbaa8第 11 级下超常体系教师版S6S5S4S3S 4S3S 2S1dcabbacdS1S2S2S1dca（4）的答案是各个小长方体的体积之和fedcab试用图解法说明：2341111111222222nn （学案对应：带号 2）【分析】如图，将一个边长为的正方形，平均分成两块，然后再将剩下的平均分成两块，依次类推，分了 n 次以后，只剩下阴影部分了，因此有2341

11、111111222222nn 12n116181412例 69第 11 级下超常体系教师版第一讲某校数学竞赛原定一等奖 10 人，二等奖 20 人；在实际中把一等奖中最后 4 人调整为二等奖这样使二等奖的学生平均分提高了 1 分，使一等奖的学生平均分提高了 3 分，那么原来一等奖的平均分比二等奖的平均分多了几分？（学案对应：超常 3，带号 3）【分析】由总分 总人数 平均分，所以我们自然而然想到了矩形图，我们用矩形的长表示人数，宽表示平均数，那么对应矩形的面积则表示总分依题意，画两个矩形分别表示一等奖和二等奖的情况，如图：20人10人二等奖平均分一等奖平均分?提高1分提高3分4人ACB20人6

12、人二等奖平均分一等奖平均分?根据人数的调整情况与平均分的变化，进一步得到下图：由于调整前后的总分数没有发生变化，反映到矩形图中就意味着总面积不变所以后来增加的面积就等于后来减少的面积：矩形 B 矩形 A 矩形C矩形 A 的面积 6 318；矩形 C 的面积 20 120 那么，矩形 B 的宽 201849.5因此，原来一等奖平均分比二等奖平均分高9.5 1 10.5 分某体育馆，门票价格为 50 元，而且规定每人限购 1 张门票，现有 10 人排队购票其中 5 人均手持50 元面值的钞票，另 5 人均手持 100 元面值的钞票，而售票员只带了门票，没有准备零钱，问共有多少种购票序列是不需要售票

13、处另外找零的？（学案对应：超常 4，带号 4）【分析】在下图中从 A 点沿格线走到 B 点，无论到途中哪一点，经过的小横线段都不少于小竖线段；所以用小横线段代表拿 50 元钱的人，小竖线段代表拿 100 元钱的人，在任何一个位置，拿面值 50 元的人数，不少于拿 100 元的人数；所以本题相当于求图中从 A 点到 B 点有多少种不同走法利用标数法，可求出从 A 点到 B 点有 42 种走法但是事实上 10 个人互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿 50 元的人，5 个人共有5!=120种排法；第二步排拿100元的人的方法也是 5！种，因此共有 5!5!=14400种排队方法这样，

14、使售票员能找得开零钱的排队方法共有 4214400=604800(种)例 7例 810第 11 级下超常体系教师版一、踢三角可以解决的问题求自然数列与等差数列中对应项乘积的和二、矩形图法可以解决的问题当两个相关的量存在乘积关系时，可以尝试用矩形图法，其中一个量做为矩形的长，另一个量做为矩形的宽三、阶梯型标数可以解决的问题当两个量存在不多于或不少于时，可以尝试阶梯型标数法，其中较大的量用水平线表示，较小的量用竖直线表示四、相关公式1.平方和：2222(1)(21)1236n nnn2.立方和：2233332(1)123(123)4nnnn3.平方差：22()()abab ab方格乘法方格乘法约于

15、十五世纪传入中国，形如我国古代织出的锦缎因此我国的劳动人民给这种计算格式起了一个很形象的名字“铺地锦”计算方法：先画一个矩形，把它分成 mn 个方格（m，n 分别为两乘数的位数），在方格上边、右边分别写下两乘数再用对角线把方格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数然后这些乘积由右下到左上，沿斜线方向相加，相加满十时向前进一最后得到结果（方格左侧与下方数字依次排列）举例如下图：4675=3450.请你尝试用以上方法计算 789987知识点总结11第 11 级下超常体系教师版第一讲1.试用图解法说明：333321234(1234)【分析】如下图所有数的和为：(1234)(2468)

16、(36912)(481216)(1234)2(1234)3(1234)4(1234)2(1234)也等于1(242)(36963)(4812161284)12(121)3(12321)4(1234321)33331234所以333321234(1234)2.某书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书 100 本以上，就按书价 90%收款某学校到书店购买甲、乙两种书其中乙种书的册数是甲种书册数的 35，只有甲种书得到了 90%的优惠，这时，买甲种书所付的总价钱是买乙种书所付总钱数的 2 倍已知乙种书每本定价是1.5 元，那么优惠前甲种书每本原价是多少元？【分析】如下图，设甲种书有5 份，乙种书有3

17、份，则乙种书总钱数为 3 1.54.5份，则甲种书总钱数为4.529 份，甲种书优惠前总钱数为90.910份，所以优惠前甲种书每本原价为1052元.乙甲1.5353.甲、乙两人从 A、B 两地同时出发，相向而行，按预定速度他们将在下午5 时在途中相遇；如果他们每人每小时都比预定速度快 1千米，则可在下午 4 时相遇；如果他们每人每小时都比预订速度慢1.5 千米，则要在下午 7 时相遇，A、B 两地的距离是千米【分析】设甲、乙两人的预定速度的和为每小时V 千米在预定速度下的相遇时间为 t，由于三次所走的总路程相同，根据矩形图法，所以三个不同线型的长方形面积形同，列方程组得32(3)2(1)1tv

18、tv，解得1018tv，所以 A、B 两地的距离为18 10180千米附加题12第 11 级下超常体系教师版V+2V-3Vt+2tt-14.计算：1 43 75 1099 151 【分析】观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为 1，3，5，99，乘数依次为 4，7，10，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为 21n ，乘数可以表示为31n ，所以通项公式为 2213161nnnn 所以，原式 2226 11 16221650501 2226125012505015051 1015051502256225另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与

19、乘数的差是不相等，可以先将这个差变为相等再进行计算原式13 89 1415202973026 13359951515529729756 2222133 59951515529729756 222213915297539152976 2222191359953135996 222235135991359922 而222213599和13599 都是我们非常熟悉的 2222222222221359912310024610011100 101 20145051 10166 1 100 101201 1026199 100 1016166650，213599502500，所以原式35166650250

20、02562252213第 11 级下超常体系教师版第一讲小 结：从 上 面 的 计 算 过 程 中 可 以 看 出，222211359999 100 1016，而11 22399 10099 100 1013 ，所以有 22221359921 22399 100 1.试用图解法说明：2135(21)nn【分析】按图中线路求和，即为135(21)n，按每行求和再相加得2n，所以有2135(21)nn11111111111111111111111112.计算：1 9929739550 1【分析】同平方和公式的推导，踢三角：叠加三个三角，每个位置都是，原式101123503429253.计算：333

21、3333313579111315【分析】原式333333333123414152414223331515181274 22576002784 81284.计算：22222221234200520062007家庭作业14第 11 级下超常体系教师版【分析】原式22222222007200654321(20072006)(20072006)(20052004)(20052004)(32)(32)120072006200520043211200712007201502825.有两组数：A 组为 0.60.91.5B 组为 3.2 4.3 2.5 从每一组数中各选一个数，再相乘会得到多少个积求所有的积

22、的和是多少【分析】共有 3 39个积，将 A、B 组中每个数看成下图每个小长方形的长和宽，求所有积的和，即为图中所有小长方形面积的和，即大长方形的面积，因此所有积的和为：(0.60.91.5)(3.24.32.5)300.62.54.33.21.50.96.有七根竹竿排成一行第一根竹竿长 1 米，其余每根的长都是前一根的一半问：这七根竹竿的总长是几米？【分析】我们这样考虑：取一根 2 米长的竹竿，把它从中截成两半，各长 1 米取其中一根作为第一根竹竿将另外一根从中截成两半，取其中之一作为第二根竹竿如此进行下去，到截下第七根竹竿时，所剩下的一段竹竿长为111111122222264（米）因此，七

23、根竹竿的总长度是 2 米减去剩下一段的长，也就是1632164647.学校举行计算机汉字输入技能竞赛，原计划评选出一等奖 15 人，二等奖 20 人，现将一等奖中的后 5 人调整为二等奖，这样一等奖获得者的平均速度提高了 8 字/分，二等奖获得者平均速度提高了 6 字/分，那么原来一等奖平均速度比二等奖平均速度多多少？【分析】由于总分 总人数 平均分，所以我们自然而然想到了矩形图，我们用矩形的长表示人数，宽表示平均数，那么对应矩形的面积则表示总分与例题类似地，我们画出矩形图：15第 11 级下超常体系教师版第一讲二等奖平均打字数一等奖平均打字数20人5人10人？（设为x）提高 6字/分提高8字

24、/分CBA由于调整前后的总分数没有发生变化，反映到矩形图中就意味着总面积不变所以后来增加的面积就等于后来减少的面积：矩形 B 矩形 A 矩形 C矩形 A 的面积 10 880；矩形 C 的面积 206120；矩形 B 的宽(12080)540所以原来一等奖平均速度比二等奖平均速度多40646字/分8.学学和思思一起洗 5 个已排好顺序且互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法【分析】我们把学学洗 5 个碗的过程看成从起点向右走 5 步（即洗几个碗就代表向右走几步），思思拿 5 个碗的过程看

25、成是向上走 5 步（即拿几个碗就代表向上走几步），摞好碗的摞法，就代表向右、向上走 5 步到达终点最短路线的方法由于洗的碗要多于拿的碗，所以向右走的路线要多于向上走的路线，所以我们用下面的三角形进行标数，共有 42 种走法，即代表42 种摞法【超常班学案1】计算：222213519【分析】2222135192222222(12319)(2418)2221 19203941296（）1247049 10 196 247011401330或者直接用附加题 4 小结中，总结出的公式，即119202113306超常班学案16第 11 级下超常体系教师版【超常班学案2】计算：（1）222267830;（

26、2）3333101112100【分析】（1）原式22222222212330123459400（2）原式22(123100)(1239)2250504525500475【超常班学案3】小明用 48 元钱按零售价买了若干练习本如果按批发价购买，每本便宜 2 元，恰好多买 4 本问：零售价每本多少元?【分析】见下图，以横线表示本数，纵线表示单价，因为矩形 A 的面积与矩形 B 的面积相等，所以矩形 A 的长是矩形 B 的宽的 2 倍，设批发价为 x 元（图中矩形 B 的宽），因此按批发价买了(24)x 本，则有：(24)48xx，即(2)2446x x BA2元4本所以，4x，零售价为26x（元）

27、【超常班学案4】一个正在行进的 8 人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的 2 列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2 列纵队有种不同排法【分析】如图 8 人排队相当于把 8 个人填入右边 2 列方格中，当 A 的位置确定时，第二列最多可以确定一个位置 D，当确定 A、B 两个位置时，第二列最多可以确定 C、D 两个位置，因此第二列确定的位置个数永远不会多于第一列确定的位置个数，因此我们用横线代表第一列确定的位置，用竖线代表第二列确定的位置画图如下：因此列纵队有共有 14 种排法【123班学案1】计算：1 4

28、293 1440 199【分析】同例题，踢三角的应用，答案为(1991994)(12340)3109880【123班学案2】用图示法说明：1111416643123 班学案17第 11 级下超常体系教师版第一讲【分析】将图 1 分割成形状、大小完全相同的四块，取其中一块，即为 14，如图 2.再把图阴影取 14，即为 116，以此类推，所有面积和变为图 3，如果一直重复操作，最终面积和为一个阴影正方形，因此有 1111416643图 1图 2图 3【123班学案3】六年级（1）班还有班费 m（m 为小于 400 的整数）元，拟为每位同学买 1 本相册.某批发兼零售文具店规定：购相册 50 本起

29、可按批发价出售，少于 50 本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜 2 元，班长若为每位同学买 1 本，刚好用完 m 元；但若多买 12 本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要 m 元.那么该班有名同学.班费 m=元【分析】见下图，以横线表示本数，纵线表示单价，因为矩形 A 的面积与矩形 B 的面积相等，所以矩形 A 的长是矩形 B 的宽的 6 倍，设批发价为 x 元（图中矩形 B 的宽），因此按批发价买了(612)x 本，则有：(612)xxm，即6(2)x xm，根据题意按批发价买了(612)x 本应该大于 50，所以6x，且400m，当7x 时，有679378400m ，当8x 时，

30、6 8 10480400m 。所以7x，因此该班有6742人，班费有 378 元12本2元AB【123班学案4】（2010 年秋季学而思杯试题）在一次小组长选举中，铮铮与昊昊两人作为候选人参加竞选，一共得了 7 张选票在将 7 张选票逐一唱票的过程中，昊昊得的票始终没有超过铮铮那么这样的唱票过程有种不同的情况【分析】我们用横线段代表铮铮得票数，用竖线段代表昊昊得票数，根据题意，铮铮与昊昊得票情况有如下四种情况：A：铮铮 7 票，昊昊 0 票；B：铮铮 6 票，昊昊 1 票；C：铮铮 5 票，昊昊 2 票；D：铮铮 4 票，昊昊 3 票这四种情况恰好是从开始分别到 A、B、C、D 四点的最短路线条数，共有 1+6+14+14=35（条），因此共有 35 种不同唱票情况