小学数学讲义秋季六年级秋季超常讲义第8讲从极端考虑.pdf

1、1第 11 级下超常体系教师版第 8 讲漫画释义六年级暑期归纳与递推六年级暑期从整体考虑六年级秋季数形结合六年级秋季从极端考虑六年级秋季算两次极端思想在各模块中的运用；验证极端思想的正确性知识站牌第八讲从极端考虑第 11 级下超常体系21.掌握极端思想在各模块典型题中的运用2.学会分析什么类型的问题可以使用极端思想3.学会如何验证极端思想是否正确老师们上课可以先给同学们总结一下小学数学中一些重要的思想 正难则反思想例：各位数字不全相同的三位数共有多少个 分类思想例：试找出最大的不能写成一个 递推思想例：有 8 阶台阶，小明从下向上走 对应思想例：下图中有多少个三角形 数形结合思想例：平方差公式

2、22()()abab ab 整体思想例：21239123911239239()()(1)()23410234102234103410 极端思想极端思想是指把问题的某一条件引向极端来加以考察的一种数学思想考虑极端情况的事物：长江大桥在设计建造的时候要考虑最大能抗住多大的风能承受多大重量）；三峡大坝在建设的时候要考虑能挡得住千年一遇的洪水的地质条件，最大可能有多少级的地震内陆地区强；还有像桥梁限行高度课堂引入教学目标教师版掌握极端思想在各模块典型题中的运用；学会分析什么类型的问题可以使用极端思想（难点重点）；学会如何验证极端思想是否正确（重点）。老师们上课可以先给同学们总结一下小学数学中一些重要的

3、思想：各位数字不全相同的三位数共有多少个？试找出最大的不能写成一个 3 的倍数与一个合数和的数。小明从下向上走，若每次只能跨过 1 级或 2 级，他走上去共有多少种方法下图中有多少个三角形？()()abab ab的证明1239123911239239()()(1)()23410234102234103410极端思想是指把问题的某一条件引向极端来加以考察的一种数学思想。我们身边经常会遇到要长江大桥在设计建造的时候要考虑最大能抗住多大的风，三峡大坝在建设的时候要考虑能挡得住千年一遇的洪水；摩天大厦要考虑当地最大可能有多少级的地震，像日本多地震，他们高楼的抗震能力就比中国很少地震的还有像桥梁限行高度

4、，汽车载重他走上去共有多少种方法？1239123911239239()()(1)()23410234102234103410我们身边经常会遇到要，要考虑荷载（最大摩天大厦要考虑当地他们高楼的抗震能力就比中国很少地震的3第 11 级下超常体系教师版第 8 讲数学中也有很多问题，如果对极端状态的研究，可以有效避开复杂的计算，优化解题的方法，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而使问题迅速得到解决。极端思想根据问题类型的不同，方法也有所不同：对于数值类问题来说，极端思想一般是指取最特殊的值（最常见的是取最大或最小值）；对于几何中有关动点的问题来说，极端思想一般是取边界点（一般取顶点或者中心位置的点）

5、；还有一类问题是通过假设极端的情况来确定边界范围，再逐步调整。1.如图，已知四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点，连接 DF、BE 四边形BEDF的面积为 6,则四边形 ABCD 的面积为【分析】连接 BD,根据题意有12AEBABDSS,12CDFCDBSS,所以12ABECDFABCDSSS四边形,进而有12BFDEABCDSS四边形四边形,2612ABCDS四边形2.图中的 E、F、G 分别是正方形 ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是_；【分析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3 个边就都被分成了相等的三段.把H 和这些分点以及

6、正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了 9 个形状各不相同的三角形.这9 个三角形的底边分别是在正方形的 3 个边上，它们的长度都是正方形边长FEDCBAFEDCBA知识点回顾经典精讲EDGCFBA6543 21HABFCGDE第 11 级下超常体系教师版4的三分之一.阴影部分被分割成了 3个三角形，右边三角形的面积和第1第2 个三角形相等：中间三角形的面积和第 3第 4 个三角形相等；左边三角形的面积和第5 个第6 个三角形相等.因此这3个阴影三角形的面积分别是 ABH、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一.正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48

7、.3.六位自然数1082 能被 23 整除，这个六位数最小是【分析】因为1082002347048，最小的六位数是108200(238)1082154.甲、乙两船从相距 64 千米的 A、B 两港同时出发相向而行，水流速度是 2 千米/小时，甲乙两船在静水中航行的速度分别是18 千米/时和14 千米/时则两船小时后相遇，若两船同时同向而行，则甲用小时赶上乙【分析】相遇时间：64(182)(142)2(小时)或64(182)(142)2（小时），追及时间：64(182)(142)16（小时）或64(182)(142)16（小时）.5.A、B 两码头间河流长为 90 千米，甲、乙两船分别从 A、B

8、 码头同时起航如果相向而行3小时相遇，如果同向而行15 小时甲船追上乙船求两船在静水中的速度【分析】相向而行时的速度和等于两船在静水中的速度之和，同向而行时的速度差等于两船在静水中的速度之差，所以，两船在静水中的速度之和为：90330(千米/时)，两船在静水中的速度之差为：90156(千米/时)，甲船在静水中的速度为：(306)218(千米/时)，乙船在静水中的速度为：301812(千米/时)一、几何中的极端考虑例 1例 3二、数论中的极端考虑例 4三、行程中的极端考虑例 5、例 6四、组合中的极端考虑例 7、例 8例题思路5第 11 级下超常体系教师版第 8 讲下图中的正方形面积为 4，阴影

9、部分面积为_下图中的正六边形面积为 6，阴影部分面积为_下图中的正八边形面积为 8，阴影部分面积为_下图中的正十边形面积为 10，阴影部分面积为_下图中的正 2n 边形面积为 12，阴影部分面积为_【分析】考虑极端情况，中间的点取正方形的中心的话，阴影部分面积为总面积的一半例 1第 11 级下超常体系教师版6方法一：中间点是任意的，所以从极端考虑，假设中间点在中心位置，那么图形如下所示：正六边形恰好被分成 6 个完全一样的正三角形，阴影部分占 3 个，所以阴影部分面积为正六边形的一半，所以面积为 6 2=3方法二：延长正六边形不相邻的三条边至相交，形成一个正三角形（如下左图），设六边形边长为

10、a，三角形边长为 b连结中间点和三角形三个顶点，把三角形分成三个小三角形，由等高模型，三个小三角形中的三块阴影都分别占小三角形的 ab，三块阴影的面积和也为大正三角形面积的 ab 延长另外三条边至相交，形成正三角形（如下右图），三角形边长也为 b，可以推出空白部分面积也为三角形面积的 ab，所以阴影部分和空白部分面积相等，阴影部分面积为六边形的一半，即 6 2=3考虑极端情况，中间的点取正八边形的中心的话，阴影部分面积为总面积的一半考虑极端情况，中间的点取正十边形的中心的话，阴影部分面积为总面积的一半考虑极端情况，中间的点取正 2n 边形的中心的话，阴影部分面积为总面积的一半在边长为 6 厘米

11、的正方形 ABCD 内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与 P 点连接,求阴影部分面积PDCBAABCD(P)PDCBA例 27第 11 级下超常体系教师版第 8 讲（学案对应：超常 1，带号 1）【分析】（法 1）特殊点法由于 P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设 P 点与 A 点重合，则阴影部分变为如上右图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的 14 和16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米（法 2）连接 PA、PC 由于PAD与PBC的面积之和等于正方形 ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形 A

12、BCD 面积的 14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面积的 16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米【拓展】ABCD是边长为 12 的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BLDM、5BKDN，那么阴影部分的面积是【分析】（法 1）特殊点法由于 P 是内部任意一点，不妨设P 点与 A 点重合，那么阴影部分就是AMN和ALK 而AMN的 面 积 为(125)4214，ALK的 面 积 为(124)5220，所以阴影部分的面积为142034（法 2）寻找可以利用的条件，连接 AP、BP、CP、DP 可得右图所示：则有:211127222PDCPABAB

13、CDSSS同理可得：72PADPBCSS;而:4:121:3PDMPDCSSDM DC,即13PDMPDCSS；同理：13PBLPABSS,512PNDPDASS,512PBKPBCSS;所以：15()()()()312PDMPBLPNDPBKPDCPABPDAPBCSSSSSSSS而()()()()PDMPBLPNDPBKPNMPLKDNMBLKSSSSSSSS阴影面积；145102DNMBLKSS；所以阴影部分的面积是：15()()()312PNMPLKPDCPABPDAPBCDNMBLKSSSSSSSS即为：15727210224302034312PNMLKDCBA(P)ABCDKLMN

14、PNMLKDCBA第 11 级下超常体系教师版8ABC 底 AB 和高 CD 相等，面积为 72，EFGH 为ABC 的内接长方形，求 EFGH 的周长（学案对应：超常 2，带号 2）【分析】ABC 面积等于 AB CD 2=72，可以求出 AB CD=144，而 AB=CD，所以AB=CD=12方法一：EFGH 只要内接就可以，取极端情况，E、F 分别在 B、A 两点上，这时 EF=GH=AB=12，EH=FG=0，EFGH 的周长就等于 12+0+12+0=24方法二：题目没说ABC 是什么三角形，我们可以取极端情况，使 D 点和 A 重合，即ABC是等腰直角三角形，这时BHE、EFC 都

15、是等腰直角三角形，所以 EH=BH，EF=FC，EFGH 的周长=EH+HA+AF+EF=BH+HA+AF+FC=AB+AC=12+12=24方法三：连结 DE、DF，四边形 DECF 对角线相互垂直，所以面积为 EF CD 2，SBDE=EH BD 2，SADF=FG AD 2，三个加起来就是ABC 的面积，SABC=EF CD 2+EH BD 2+FG AD 2，因为 EH=FG，所以SABC=EF CD 2+EH (BD+AD)2=EF CD 2+EH AB 2=(EF+EH)AB 2，而 SABC=CD AB 2，所以 EH+EF=CD=12，EFGH 周长为 12 2=24将 200

16、9 加上一个三位数，使它能被 17 与 19 整除，那么所加的三位数中，最大是多少，最小是多少？（学案对应：超常 3）【分析】采用试除法，17,19=323求最大是多少，那么我们假设加上的是 999，那么（2009+999）323=9101，多了 101，所以加的最大的数是 999 101=898；求最小是多少，那么我们假设加上的是 100，那么（2009+100）323=6171，少了 323 171=152，所以加的最小的数是 100+152=252GHFCABDEHFBACE例 4例 39第 11 级下超常体系教师版第 8 讲船 A 顺流而下，船 B 逆流而上，船 B 静水速度是船 A

17、的 2 倍两船在长江大桥下相遇时发生碰撞，A 船上的救生圈掉入水中，两船都未发现，继续行驶半小时后，B 船距离 A 船 30 千米，开始掉头往回行驶，看到救生圈，捡起后提高 30%速度去追 A 船，问从一开始两船相遇到最后 B 船追上 A船共用多少小时？（学案对应：超常 4）【分析】自始至终过程都是在水中进行，和岸上的参照点无关，所以可以设水速为 0，可以求出两船速度和为 30 0.5=60（千米/时），B 船速度为 40 千米/时，A 船速度为 20 千米/时，B 船从掉头到捡救生圈用了 0.5 小时，这时 A 船距离 B 船(0.5+0.5)20=20（千米），B 船加速后速度变为 52

18、千米/时，追上 A 船用了 20 (52 20)=0.625（小时），所以从两船相遇到最后用了 1+0.625=1.625（小时）有 5 位探险家计划横穿沙漠。他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶 312 千米的汽油。显然，5 个人不可能共同穿越 500 千米以上的沙漠。于是，他们计划在保证其余车完全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠，当然实现这一计划需要几辆车相互借用汽油。问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠？例 6例 5在数学中找出一个问题里特殊的个体，有时能很快使问题得到解决。著名趣味数学大师马丁加德纳出过这么一道题：将一个大的正方体木块切割成 27 个小正方体木

19、块，需要切 6 刀。我们在切东西时，把切开的东西重新堆砌，然后再切一刀，常常可以减少切的次数。对于这个问题，可不可以少于六刀，而切成我们所需要的样子呢？日本著名数学教授矢野健太郎看到这个问题后，觉得很有意思，就思考起来。但是，要从正面解决这个问题是很困难的，因为切了一刀后，重新堆砌的方法太多了，难以一一进行研究。矢野教授苦苦思索之后，终于找到了解决问题的门道。在切割后得到的 27 个小正方体中，有一个是十分特殊的，就是中心的那一个。这个小正方体也有六个面，但没有一个面是现成的，都是用刀切出来的，所以，要得到这个小正方体，至少要切 6 刀。可见，要切成问题所要求的样子，少于 6 刀是不可能成功的

20、。矢野教授发现了这个解法后，竟然如同发现了一条重大定理一样兴奋。他就这个问题写了一篇叫做趣味的解答的短文，发表在 1955 年 8 月的朝日新闻上，一时传为美谈。你看，找到一个特殊的个体，解答问题是多么简捷啊！由于特殊个体常出现在极端的情形，所以，依靠特殊个体的研究，来解决问题的思想方法叫做极端原理。朋友们在思考数学问题的时候，不妨也来试试它。第 11 级下超常体系教师版1【分析】首先得给这 5 辆吉普车设计一套行驶方案，而这个方案的核心就在于：其中的 4 辆车只是燃料供给车，它们的作用就是在保证自己能够返回的前提下，为第 5 辆车提供足够的燃料。如图所示，5 辆车一起从 A 点出发，设第 1

21、 辆车到 B 点时留下足够自己返回 A 点的汽油，剩下的汽油全部转给其余 4 辆车。注意，B 点的最佳选择应该满足刚好使这 4 辆车全部加满汽油。剩下的 4 辆车继续前进，到 C 点时第 2 辆车留下够自己返回 A 点的汽油，剩下的汽油全部转给其余 3 辆车，使它们刚好加满汽油。剩下的 3 辆车继续前进到 E 点时，第 4 辆车留下返回 A 点的汽油，剩下的汽油转给第 5 辆车。此时，第 5 辆车是加满汽油的，还能向前行驶 312 千米。以这种方式，第 5 辆车能走多远呢？我们来算算。5 辆车到达 B 点时，第 1 辆车要把另外 4 辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返 AB 的汽油，所以应把行

22、驶 312 千米的汽油分成 6 份，2 份自己往返 AB，4 份给另外 4 辆车每辆加1 份，刚好使这 4 辆车都加满汽油。因此 AB 的长为：3126=52（千米）。接下来，就把 5 辆车的问题转化为 4 辆车的问题。4 辆车从 B 点继续前进，到达 C 点时，4 辆车共消耗掉 4 份汽油，再加上第 2 辆车从 C 经 B 返回 A，所以第 2 辆车仍然要把汽油分成 6 等份，3 份供自己从 B 到 C，再从 C 返回 A，3 份给另外 3 辆车加满汽油，由此知BC 长也是 52 千米。同样的道理，524+312=520（千米）。总结：如果有n 辆汽车，每辆汽车最多行驶 S 千米，按照上述方

23、法 n 辆车最多可以行驶11SnSn(千米)。阶梯教室座位有 10排，每排有 16 个座位，当有 150个人就座时，某些排坐着的人数就一样多。我们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？（学案对应：带号 3）【分析】法一:如果 10 排人数各不相同，那么最多坐：16151487115人；如果最多有 2 排人数一样，那么最多坐：16 15 14 13 122140人；如果最多有 3 排人数一样，那么最多坐：1615143 13148 人；如果最多有 4 排人数一样，那么最多坐：16 154 14 2152 人。由于148150，152150，所以，只有 3 排人数一样的话将不可能坐下

24、 150 个人，所以至少有 4 排。法二：此题我们也可以反面思考。150 人，只有 160 个座椅，则会空出 10 个空位。如果是按每排空位分别是 1，2，3，4，0，0，0，0，0，0 的情况，说明没有空位的排数是 6排。这样不好，不能使某个数太多。所以要调整下，经过调整会发现，无论如何调整，一定至少有 4 排空位的数目是相同的。所以相同人数的排数最少为 4 排。例 71第 11 级下超常体系教师版第 8 讲有 100 人参加算术测验，从第 1 题到第 5 题共有 5 道题.答对每道题的人数分别是：第 1 题 92 人，第 2 题 86 人，第 3 题 61 人，第 4 题 87 人，第 5

25、 题 57 人.这次测验规定，5 道题只要做对 3 道题就及格.那么最少有多少人及格？（学案对应：带号 4）【分析】答对题数的合计是：9286618757383道.为使及格人数最少，设全员答对的题不少于 2 道，余下的答对题的数量不多于3832 100183道.把这 183 道题尽可能少分给一些人.从 5 道题都答对的最多的人数来考虑，如果答对人数最少的第 5 题的 57 人都是满分的话，余下的答对题数的合计是183525712道.再从答对 4 道题尽可能多的人数来考虑，答对人数第二少的第 3 题的 61 人中，有 57 人得满分，那么答对 4 道题的最多有 61-57=4 人.余下的答对题数

26、是：12(42)44道.答对 3 道题的人数是4324人.根据以上分析，可知及格者的最少人数是：57+4+4=65 人.所以至少有 65 人及格.【铺垫】学而思的一场竞赛选拔考试，试卷一共有 5 道题，规定答对 3 道及 3 道以上的人能通过考试。发卷子时，张老师说：“这次考试一共有 5 个班的 100 位同学参加，答对第 1 题到第 5题的依次有 80、92、86、78、74 人。在公布每位同学的成绩之前，我想问大家一个问题：这次考试最少有多少位同学能通过呢？最多有多少位同学通过呢？”【分析】因为要算至少有多少人能通过考试，所以应该让答对 2 题的尽量多，且答对 5 题的尽量多，然后是答对

27、4 题的也尽量多。因为 80+92+86+78+74=410（道），去掉每人 2 道，还有410-1002=210（道），而2105-2=709.16 千克，由于 6 块岩石重量的最小单位是 0.5 千克，所以最重的包质量最少是 9.5 千克，而 6 快岩石中无法找出重量和为 9.5 千克的几块，所以最少要 10 千克当三个背包分别装 8.5 千克、6 千克与 4 千克，4 千克、3 千克与 2 千克，这时最重的背包装了 l0 千克所以最重的背包里装的岩石标本最少是 10 千克.附加题一个小猴子身边有 100 根香蕉，它要走过 50 米才能到家，每次它最多搬 50 根香蕉，（多了就被压死了），

28、它每走 1 米就要吃掉一根，请问它最多能把多少根香蕉搬到家里。提示：它可以把香蕉放下往返的走，但是必须保证它每走一米都能有香蕉吃。1第 11 级下超常体系教师版第 8 讲3.甲、乙、丙、丁四个人，两两体重和从小到大分别为：91 千克、95 千克、100 千克、110千克、115 千克、119 千克，已知最轻的人和最重的人的重量和比另外两个人重量和大，问：四个人重量从小到大分别为_【分析】假设四人体重甲乙丙丁，可知体重和最小的两个为甲+乙甲+丙，最大的两个为乙+丁丙+丁，根据题目条件知道乙+丙甲+丁，从而得到关系甲+乙甲+丙乙+丙甲+丁乙+丁7，所以必然有一个人同时解出第 6、7、8 题，那么此人与解题最多的人即可满足结论A4 不可能，如果 A4，那么 8 个人最多解出 8 4=32 题，而每道题都至少有 5 人解出，那么 8 人至少解出 5 8=40 题，矛盾了综上所述，结论成立