小学数学讲义秋季四年级第14讲超常体系.pdf

1、第 14 讲1第 7 级下超常体系教师版四年级暑假年龄问题进阶四年级秋季列方程解应用题四年级秋季平均数进阶五年级暑假牛吃草五年级暑假列方程组解应用题灵活运用平均数公式来解决复杂的平均数问题漫画释义知识站牌第十四讲平均数进阶第 7 级下超常体系教师版2我们在三年级时就已经对平均数有了一定的认识，相信大家都会发现平均数在生活中也有很多应用，比如老师在考试后要算大家的平均成绩，体育课上老师计算大家的平均身高、平均体重等等今天，就让我再一次深入探秘平均数问题.1、进一步提高学生分析、推理的能力；2、熟练掌握求平均数的数量关系和解题思路以及解答平均数应用题的方法；3、掌握平均数的灵活运用，熟悉平均数在生

2、活中的意义，培养学生的问题意识和发现问题，解决问题的能力平均数问题，就是已知几个不同的数，在总数量不变的条件下，移多补少，使它们成为相等的几份，求其中的一份是多少这一份的数量叫做平均数，这种应用题叫做平均数应用题，简称平均数问题.平均数问题的基本解法是，先求出几个数的总数量以及总的份数，然后再用总数量除以总份数，得到平均数即总数量总份数=平均数.这个基本数量关系式还可以写成另外两种形式，即平均数总份数=总数量总数量平均数=总份数由上面的关系式我们看到，对于平均数、总数量、总份数这三个量，只要知道其中任意两个量，就可以求出第三个量.1.求 13、15、17、19、21 这 5 个数的平均数.【分

3、析】172.求 12、14、16、18、20、22 这 6 个数的平均数.【分析】17课堂引入知识点回顾经典精讲教学目标第 14 讲3第 7 级下超常体系教师版3.甲乙两人合伙买了一个蛋糕，共花去 230 元，平均每人应该出多少钱？【分析】2302=115（元）4.用 4 个同样的杯子装水，水面高度分别是 4 厘米，5 厘米，7 厘米，8 厘米，这 4 个杯子水面平均高度是多少厘米？【分析】求 4 个杯子水面的平均高度，就相当于把 4 个杯子里的水合在一起，再平均倒入 4 个杯子里，看每个杯子里水面的高度即为：457846（）（厘米）5.小叶子这学期前 5 次作业的得分分别是95，87，92，

4、100，96 求小叶子这 5 次作业的平均成绩.【分析】因为本题的“平均成绩=总成绩次数”所以先求总成绩，再求平均成绩即：958792100965（）470594（分）模块一：平均数问题简单的平均数问题（例 1、例 2）较复杂（总量和份数发生变化）的平均数问题（例 3、例 4）模块二：已知平均数求其它（例 5、例 6）模块三：平均数的运用（例 7、例 8）（1）203201 198197204201（2）92979591908793928890（3）求下列 20 个数的平均数：306，312，306，308，314，304，318，311，313，315，314，310，310，320，300

5、，316，320，312，314，315.【分析】（1）此题是比较经典的基准数法，在这里选择 200 作为基准数那么求式可以写成：200200200200200200312341原式200641204（2）此题依然可以采取“基准数法”此题可以选择 90 作为平均数，那么求式可以写成：+275103322090909090-90-9090-909090-原式907317377（）（3）基准数3002061268 14418 11 13 1514101020162012141520311.9甲、乙、丙、丁四个人一起去森林采蘑菇，四个人第一天一共采了 108 个，第二天一共采了 100 个，第三天一

6、共采了 140 个例 2例 1例题思路第 7 级下超常体系教师版4（1）第一天平均每个人采了多少个蘑菇？（2）第二天平均每个人采了多少个蘑菇？（3）第三天平均每个人采了多少个蘑菇？（4）四个人平均每天采多少个蘑菇？（5）平均每个人采了多少个蘑菇？（6）平均每个人每天采多少个蘑菇？【分析】（1）第一天一共采了 108 个蘑菇，而份数是总人数也就是 4因此，第一天平均每个人采了：108427（个）（2）与（1）同理，第二天平均每个人采了：100425（个）（3）第三天平均每个人采了：140435（个）（4）总数是所有的蘑菇数，也就是：108100140348（个）此时份数就是天数也就是 3，那么平

7、均数：3483116（个）（5）相对于（4），份数变成了人数也就是 4，那么平均数：348487（个）（6）这里要求的平均是“每人每天”，因此份数是：3412那么，平均数：3481228（个）也就是平均每人每天采 28 个蘑菇图书馆周一借出 170 本书，周二和周三一共借出 523 本书，周四借出 320 本，周五借出 192 本，周六借出 419 本，周日关门休息没有借出书那么这 7 天图书馆平均每天要借出多少本书？竺可桢算温度竺可桢（18901974），我国近代气象事业和近代地理学的奠基人，曾在建国前任浙江大学校长.他在气象气候学研究中取得了巨大的成就.温度的统计是竺可桢先生研究工作中很重

8、要的一部分，测量每天的温度和计算平均温度是其中必不可少的.在工作中，竺可桢的助手发现，竺可桢在处理每一天不同时刻测出的气温数据时，总能很快地计算出当天气温的平均值.有一天，助手看到竺可桢记录的当天温度数据是13 摄氏度、16 摄氏度、25摄氏度、18 摄氏度，只见竺可桢飞快地在旁边写下了平均温度是18 摄氏度.助手忍不住好奇，就向竺可桢请教道：“你怎么能这么快地算出这天的平均温度呢？”竺可桢告诉他说：“其实计算平均数也是有技巧的，除了直接相加再除以个数之外，还有一种方法，就是利用标准数来计算.所谓标准数法，就是事先指定一个数，以它为基础来计算平均数.举个例子，刚才我算平均数时，就是先以13 为

9、标准数，那么四个数依次跟它相等、比它多3、多12、多5.这几个数字的和是 20，2045，所以在标准数的基础上加上 5，得到的18 就是平均温度.”同学们也可以试着用这种方法来计算几个相差不多的数的平均数，看看能不能提高计算速度！例 3第 14 讲5第 7 级下超常体系教师版【分析】这里的难点是份数判断，这里的易错点是数的个数和份数不相同，因此这里的份数是 7因此，平均每天借出：170+523+320+192+4197=232（）（本）某次“我要上北大”夏令营活动的参加学员中，13 岁的有 3 人，12 岁的有 15 人，11 岁的有 11 人，10 岁的有 21 人.这些学员的平均年龄是多少

10、岁？(学案对应：超常学案 1、123 学案 1)【分析】（133+1215+1111+1021）（3+15+11+21）=11有正整数 A、B、C、D，已知 A、B、C、D 四个数的平均数是 15，B、C、D 三个数的平均数也是15，B、D 两个数的平均数是 12，求 A、B、D 三个数的平均数(学案对应：超常学案 2、3123 学案 2)【分析】A、B、C、D 的平均数是 15，因此15460ABCDB、C、D 三个数的平均数是 15，因此15345BCDB、D 的平均数是 12，因此12224BD由及得：604515A，结合可知，152439ABD，那么 A、B、D 三个数的平均数是：39

11、313【铺垫】某同学期末考试考了语文、数学和外语语文和数学的平均分是 88 分，要使语文、数学和外语三门的平均分是 90 分，外语应该考（）分【分析】此题就是比较典型的“看平均数想总数的问题”，语文和数学的总分是：882176（分），而语文、数学和外语三门的总分是：903270（分），因此外语的分数应该是：27017694（分）有 5 个大小不同的整数，从小到大排列，依次为ABCDE、，这 5 个数的平均数是 62，较小的 4 个数的平均数是 60，较大的 4 个数的平均数是 66，中间数 C 是 3 的倍数，D 是偶数求ABCDE、各是多少.(学案对应：超常学案 4、123 学案 3、4)【

12、分析】这 5 个数的平均数是 62，因此：625310ABCDE有 7、2、8、9 四个数字，只能使用加、减、乘、除、括号，数字任意排列，使其运算结果等于 24（答案不唯一）答案：可以279824（答案不唯一）例 6例 5例 4第 7 级下超常体系教师版6较小的 4 个数的平均数是 60，因此：604240ABCD较大的 4 个数的平均数是 66，因此：664264BCDE那么，首先可以解得：46,70AE并且，将这个结果带到最开始的式子，可得：194BCD首先70DE；而 D 是偶数，BCD，1943642，那么 D 只能等于 66 或者68如果66D，由于 C 是 3 的倍数，那么 C 最

13、大为 63，由194BCD知65B，与 BC矛盾那么，68D，66C 或者63C 如果63C，那么解得63B，与 BC，因此最终只能66C 并且60B ABCDE、分别为 46 60 66 68 70、超市向某食品厂订购一批食品，在付款总数和付款时间都相同的情况下，可以有以下两种付款方法：第一种：第一个月先付款 13 万元，以后每个月付款 3 万元；第二种：前一半时间每月付款 6 万元，后一半时间每月付款 2 万元问超市的付款总数是多少万元？【分析】从第二种方法可以知道：平均每个月付款 4 万元那么第一种方法中平均每个月也要付款4 万元在第一种方法中，第一个月付款 13 万元，多付款：13-4

14、=9（万元）；而之后每个月少付款：321（万元）第一个月多付的 9 万元平均分给后面的每一个月，那么之后付款 3 万元的一共有 9 个月，那么整个付款方案完成需要 10 个月因此，超市的付款总数是：133 940（万元）在某次考试中，原定一等奖 100人、二等奖 200人，现在将一等奖中最后 50人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了 1 分，得一等奖的学生的平均分也提高了 1 分那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？【分析】此题移多补少或者方程思想都可以解决问题方法一：移多补少例 8例 7第 14 讲7第 7 级下超常体系教师版HCBFEDAMNQGPI【分析】如图，用长方形

15、横向的长度表示人数（已经标出），长方形纵向的长度表示平均分以长方形 ABCD 为例，那么100AB，AD 表示的是原一等奖的平均分，而长方形 ABCD 的面积是原一等奖的总分由于所有的人总分是没有变化的，那么两个实线长方形的面积之和等于两个虚线长方形的面积之和，变化可得：XCGHIXNHDMXQFIPS=S+S，而长方形 NHDM 的面积为：100-501=50，长方形 QFIP 的面积为：200501250，那么长方形 CGHI的面积也就是：50250300，而50IG，因此300506CG，也就是原来一等奖和二等奖的分数相差 6 分方法二：方程思想假设原来一等奖的平均分为 x，二等奖的平均

16、分为 y，那么原来的总分为：100200 xy；现在一等奖有1005050（人），一等奖平均分为1x ，因此一等奖总分为501x，现在二等奖有 20050250（人），二等奖平均分为1y ，因此二等奖总分为2001y 由于在调整时，总分并没有发生变化，那么可以得方程：1002005012501xyxy，整理可得：50300 xy，因此6xy也就是原来一等奖比二等奖平均分多 6 分平均数问题的基本解法是，先求出几个数的总数量以及总的份数，然后再用总数量除以总份数，得到平均数.即总数量总份数=平均数.这个基本数量关系式还可以写成另外两种形式，即平均数总份数=总数量知识点总结第 7 级下超常体系教师

17、版8总数量平均数=总份数由上面的关系式我们看到，对于平均数、总数量、总份数这三个量，只要知道其中任意两个量，就可以求出第三个量.1.请求出 103，109，105，101，110，102，106，104 这 8 个数的平均数.【分析】1052.志愿者小组 5 名志愿者每个人的年龄分别是：21 岁、37 岁、28 岁、25 岁、44 岁，求这个志愿者小组的平均年龄【分析】平均年龄为2137282544531（岁）3.（1）全班 18 个男生的平均身高是 144 厘米，那么全班男生的身高之和是多少厘米？（2）全班 22 个女生的平均身高是 142 厘米，那么全班女生的身高之和是多少厘米？全班所有人

18、的身高之和是多少厘米？【分析】（1）男生身高之和18 1442592（cm）（2）女生的身高之和22 1423124（cm）而所有人的身高之和259231245716（cm）4.甲、乙和丙一起参加考试，已知甲和乙的平均分是 85 分，要使三人的平均分正好是 87 分，那么丙应该考多少分？【分析】甲和乙的总分：852170（分），而三个人的总分为：873261（分），因此丙的分数应该是：261 17091（分）5.小强的哥哥骑自行车旅游，第一天行 32 千米，第二天行 41 千米，第三天行 44 千米，第四天行的路程比前三天的平均路程还多 4 千米，(1)第四天行多少千米？(2)四天平均每天行多

19、少千米？【分析】（1）哥哥前三天行的路程平均数是：324144339（）（千米），而第四天比这平均数还多 4 千米，所以第四天行了 39443（千米）（2）32414443440千米6.超市上半年平均每月的销售额是 24000 元，下半年平均每月的销售额是 18156 元，那么全年平均每月的销售额是多少？【分析】可以针对上下半年直接秋平均数：2400018156221078（元）；此题可先求出全年的销售总额再求平均数全年的销售额 240006181566252936（元），那么平均每月的销售额为：292561221078（元）7.A、B、C、D四个数的平均数为 195，A、B两个数的平均数为

20、200，又知道180D，求A、B、C 的平均数【分析】A、B、C、D 的平均数为 195，因此1954780ABCD，A、B 两个数的平均数为200，因此2002400AB，那么可以知道780400380CD，而180D，因此380180200C,A、B 的平均数为 200，而200C，因此 A、B、C 的平均数依然是 200家庭作业第 14 讲9第 7 级下超常体系教师版8.在某次考试中，原定一等奖 10 人、二等奖 20 人，现在将一等奖中最后 5 人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了 2 分，得一等奖的学生的平均分也提高了 2 分那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？【

21、分析】假设原来一等奖的平均分为 x分，二等奖的平均分为 y 分，那么总分为：1020 xy，现在一等奖有 5 人，平均分为2x分，二等奖有 25 人，平均分为2y 分，那么总分为：52252xy，利用总分不变可列方程102052252xyxy，整理化简可得：560 xy，那么12xy，也就是原来一等奖的平均分比二等奖的平均分高 12 分【超常班学案 1】一个粮仓，第一天运进大米 83 吨，第二天运进大米 74 吨，第三天运进大米 71 吨，第四天运进大米 64 吨，第五天运进的大米比四天中平均每天运进的还多 32 吨，第五天运进大米多少吨？【分析】前四天运的大米的平均数是：(83747164)

22、473（吨），第五天运进的大米是：7332105（吨）【超常班学案 2】小明参加了五次数学竞赛，前两次的平均成绩是 85 分，后三次的平均成绩是 90分，问：小明前后五次竞赛的平均成绩是多少分？【分析】85290 3(23)88（分）【超常班学案 3】本学期数学一共进行了五次测验，小明的成绩是第二次比第一次多 10 分，第三次比第二次少 5 分，第四次比第三次多 4 分，前四次的平均成绩是 85 分，第五次比第四次少 13 分.那么，小明本学期五次测验的平均成绩是多少分？【分析】第三次比第一次多 10-5=5（分），第四次比第一次多 5+4=9（分），第五次比第一次少 13-9=4分，第一次的

23、得分是 85-（10+5+9）4=79（分），第五次的得分就是 79-4=75（分）因此，全学期五次平均成绩是（854+75）5=83（分）.【超常班学案 4】18 个数（可以有相同的）按从小到大的顺序排成一排前 10 个数的平均数是 28.5，后 10 个数的平均数是 31.2,18 个数的平均数为 30则第 5 个数是【分析】由题意知，前8 个数 中间 2 个数285；后8个数 中间 2 个数312；前8 个数 中间 2个数 后8 个数540，可推出前8 个数和228；中间2 个数和57；后8 个数255，观察得到前 8 个数的平均数2288 中间 2 个数的平均数572，这意味着这10

24、个数均相等，否则不能满足从小到大的排列顺序所以第5 个数57228.5【123 班学案 1】小红测试每分钟跳绳的次数，前四次跳的分别是：180 下，180 下，175 下，185下第五次比全部五次跳的平均数还多 32 下那么全部五次跳的平均数是多少下？第五次跳的是多少下？超常班学案123 班学案第 7 级下超常体系教师版10【分析】188，220【123 班学案 2】从5 开始的一串连续自然数5，6，7，8，17，拿走其中一个数，余下的数的平均数是10.75，那么拿走的数是【分析】原来有 13 个数，总和是 517132143，拿走一个数还有 12 个数，总和为10.75 12129，那么拿走

25、的数是14312914.【123 班学案 3】五个小朋友做游戏，他们每人在卡片上写了一个整数交给老师，老师将卡片上的数四个四个相加，得到 101，103，105，110，121那么五张卡片上写的数中最接近平均数的是.【分析】五个数的总和=（101+103+105+110+121）4=135.五个数的平均数=1355=27，五个整数分别是 135-101=34；135-103=32；135-105=30；135-110=25；135-121=14.所以最接近平均数的是 25.【123 班学案 4】A、B、C、D、E 这五人在一次满分为 100 分的考试中，得分互不相同，并且都是大于 91 的整数

26、如果 A、B、C 三人的平均分为 95 分；B、C、D 三人的平均分为94 分；A 是第一名；E 得 96 分是第三名请问：D 考了多少分？【分析】根据题意，由于 A、B、C 三人的总得分是：95 3285（分）；B、C、D 的得分是：943282分知 A 比 D 多了 3 分.由于 A 是第一，所以 A 要比 96 分要高，且不能为 99分；当 A 得分为 98 分时，D 得分为 95 分，此时：187BC,，由于 B、C 的得分均不可能为97 分.则至少另一个为 90 分，不符合条件；当 A 得分为 100 分时，D 得分为 97 分，所以有：185BC分，、一个为 93 分，一个为 92 分.所以 D 考了 97 分.