【八年级上册】13.1 轴对称（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题13.1 轴对称（知识讲解）【学习目标】1理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形2理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形【要点梳理】要点一、轴对称图形轴对称图形的定义一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.特别说明轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定. 要点二、轴对称1.轴对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说

2、这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点特别说明 轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.要点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称、轴对称图形的性质轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一

3、对对应点所连线段的垂直平分线； 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线【典型例题】类型一、判断轴对称图形及对称轴条数1、第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办，本届冬奥会的主题是“纯洁的冰雪，激情的约会”下列会标中不是轴对称图形的是（）ABCD【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两旁能够重合的图形是轴对称图形，据此分别判断得出即可得答案解：A.不是轴对称图形，故该选项符合题意，B.是轴对称图形，故该选项不符合题意，C.是轴对称图形，故该选项不符合题意，D.是轴对称图形，故该选项不符合题意，故选：A【点拨】本题考查轴对称

4、图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿着对称轴折叠，两边能够重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键举一反三：【变式1】下面的轴对称图形中,只能画出一条对称轴的是()A长方形B等腰直角三角形C等边三角形D圆【答案】B【分析】直接利用基本几何图形的性质分析得出答案解：A、长方形有两条对称轴，不合题意；B、等腰直角三角形，有1条对称轴，符合题意C、等边三角形有3条对称轴，不合题意；D、圆有无数条对称轴，不合题意.故选B.【点拨】此题主要考查了轴对称图形的性质，正确把握轴对称图形的定义是解题关键【变式2】下列说法中，错误的是（）A线段是轴对称图形B等边三角形有3条对称轴C角只有一条对称轴，是

5、这个角的角平分线D底与腰不相等的等腰三角形只有一条对称轴【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解解：A、线段是轴对称图形，正确，故本选项不符合题意；B、等边三角形有3条对称轴，正确，故本选项不符合题意；C、角只有一条对称轴，是这个角的角平分线，错误，应该是这个角的平分线所在的直线，故本选项符合题意；D、底与腰不相等的等腰三角形只有一条对称轴，正确，故本选项不符合题意故选C【点拨】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合类型二、成轴对称的两个图形的识别2、如图，线段AB与（）不关于直线l成轴对称的是（）ABCD【答案】B【分析】根据轴

6、对称的性质仔细观察各选项图形即可得解解：观察可知，B选项中，线段AB与AB（AB=AB）不关于直线l成轴对称，A、C、D选项线段AB与AB（AB=AB）都关于直线l成轴对称故选：B【点拨】此题考查轴对称的性质，熟记轴对称的性质并准确识图是解题的关键举一反三：【变式1】在下列说法中，正确的是（）A如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形B如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形C等腰三角形的对称轴是底边中线.D一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形【答案】B【分析】根据图形成轴对称和轴对称图形的定义逐一判断即可，全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三

7、角形一定是全等的解：A、全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的；故A错误B、成轴对称的两个三角形一定是全等的；故B正确C、等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形或者说等腰三角形被中线所在直线分成的两个三角形成轴对称；故C错误D、成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形；故D错误故选B【变式2】下列说法中正确的是（）A点A和点B位于直线l的两侧，如果A、B到l的距离相等，那么它们关于直线l对称B两个全等的图形一定关于某条直线对称C如果三角形中有一边的长度是另一边长度的一半，则这条边所对的角是30D等腰三角形一定是轴对称图形，对称轴有1条或者3条【答

8、案】D【分析】A、通过画图发现，A和B不一定关于直线l对称；B、两个全等形的位置不确定，所以不一定关于某条直线对称；C、画图说明，符合条件的三角形不唯一；D、如果这个等腰三角形是特殊的等边三角形，则对称轴有3条，否则是1条解：A、如图， 点A和点B位于直线l的两侧，如果A、B到l的距离相等，但A、B不关于直线l对称；故A不正确；B、两个图形全等，这两个图形不一定关于某条直线对称；故B不正确；C、如图所示，D为AB的中点，以A为圆心，以AD为半径画圆，A到圆上各点的距离都是AB的一半，即AC=AB，所以如果三角形中有一边的长度是另一边长度的一半，可以有无数种情况，即这条边所对的角不确定，故C不正

9、确；D、等腰三角形一定是轴对称图形，对称轴有1条或者3条；故D正确；故选D【点拨】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形和全等图形的定义，解题的关键是熟练掌握对称轴的性质，学会利用轴对称解决问题.类型三、据成轴对称图形的特征进行识别3、如图，与关于直线对称，与的交点在直线上（1）指出与的对称点；（2）指出与中相等的线段和角；（3）在不添加字母和线段的情况下，图中还有能形成轴对称的三角形吗？【答案】（1）点A与点A是对称点，点与点是对称点，点与点是对称点；（2），；（3）有，分别是与，与【分析】（1）(2)根据对应点，对应线段及对应角的定义即可.（3）根据ABC与ADE关于直线MN对称确定对称点，从

10、而确定对称线段、对称角和对称三角形解：（1）点A与点A是对称点，点，是对称点，点，是对称点（2），（3）有分别是与，与，都关于直线成轴对称【点拨】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是了解轴对称的图形的性质举一反三：【变式1】如图，已知ABM和ACM关于直线AM对称，延长BM、CM，分别交AC、AB于点D、E请找出图中与DM一定相等的线段，并说明理由【答案】EM=DM，理由详见分析/【分析】根据轴对称的性质解答即可解：EM=DM，理由如下：ABM和ACM关于直线AM对称，B=C，BM=CM，在BME与CMD中，BMECMD（ASA），EM=DM【点拨】此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质

11、和全等三角形的判定和性质解答【变式2】如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称(1 线段AD的对称线段是_，CD_，CBA_，ADC_(2) AE与BF平行吗？为什么？(3) 若AE与BF平行，则能说明轴对称图形中对称点的连线一定互相平行吗？【答案】(1)EH，GH，GFE，EHG(2)，原因见分析(3)不一定能说明对称点连线一定互相平行，还有可能共线【分析】（1）根据对称的性质解答即可；（2）对称图形的每对对应点连接成的线段被对称轴垂直平分，据此求解；（3）根据平面内两条直线的位置关系可回答(1)解：由对称的性质可知：线段AD的对称线段是EH，CDGH，故答案为：EH，GH，GF

12、E，EHG；(2)解：理由：因为每对对应点连接成的线段被对称轴垂直平分，即，所以；(3)解：由，不一定能说明对称点连线一定互相平行，还有可能共线【点拨】本题考查的是轴对称图形的性质，掌握其性质是解决此题关键类型四、据成轴对称图形的特征进行求解4、如图，在中，垂足为D，与关于直线对称，点B的对称点是点，求的度数【答案】【分析】利用轴对称的性质先证明再求解结合角的和差运算可得答案解：ADBC，ADB与关于直线AD对称， BAC=90， 【点拨】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，角的和差运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型举一反三：【变式1】如图，和关于直线对称，

13、与的交点在直线上(1) 图中点的对应点是点_，的对应角是_(2) 若，则的长为_(3) 若，求的度数【答案】(1)，；(2)3(3)【分析】（1）由轴对称的性质，即可得到对应顶点、对应角、对应边；（2）由轴对称的性质，得到，即可求出的长度；（3）先求出的度数，然后由轴对称的性质，即可求出答案(1)解：和关于直线对称，点的对应点是点；的对应角是；故答案为：，；(2)解：和关于直线对称，；故答案为：3；(3)解：，和关于直线对称，；【点拨】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质【变式2】如图，P为内一定点，M、N分别是射线OA、OB上的点，（1）当周长最小时，在图中画出（保留作图痕迹

14、）；（2）在（1）的条件下，已知，求的度数 【答案】（1）见分析，（2）35【分析】（1）作P关于OA，OB的对称点P1，P2连接OP1，OP2则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，PMN的周长最短，于是得到结论；（2）根据对称的性质可以证得OPN+OPMOP2N+OP1M110，P1OP22AOB，根据三角形内角和即可求解解：（1）作P关于OA，OB的对称点P1，P2连接OP1，OP2分别交OA、OB于点M、N，PMN的周长为P1 P2长，此时周长最短； （2）连接P1O、P2O，PP1关于OA对称，P1OP2MOP，OP1MOPM，同理，P2OP2NOP，OP2NOPN，P1OP22A

15、OB，OPN+OPMOP2N+OP1M110，P1OP218011070，AOB35【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题，正确作出图形，利用对称得出角之间的关系是解题的关键类型五、折叠问题5、已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路【分析】首先作出点A关于FC的对称点，再连接交FC于点P，连接AP，PB，可得A球的运动路线解：如图所示：运动路线：【点拨】本题主要考查生活中的轴对称现象，关键是掌握轴对称的性质举一反三：【变式1】如图，、分别是的边、上的点，在上求作一点，使的周长最小，并说明你这样作的理由

16、【分析】由于PMN的周长=PM+MN+PN，而PM是定值，故只需在在AC上找一点N，使MN+PN最小即可，作点P关于直线AC的对称点P，连接MP交直线AC于点N，则此时MNP的周长最小解：作点P关于直线AC的对称点P，连接MP交直线AC于点N，则PN=PN，由于PMN的周长=PM+MN+PN，而PM是定值，故只需在在AC上找一点N，使MN+PN最小即可；此时MN+PN=MN+PN=MP，MN+PN最小，此时PMN的周长最小，最小值等于PM+PM【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称

17、点【变式2】如图，长方形台球桌上有两个球，（1）请画出一条路径，使得球撞击台球桌边反弹后，正好撞到球；（2）请画出一条路径，使得球撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球 【答案】（1）如图，点M即为所求；（2）如图，点E，点F即为所求【分析】（1）作点P关于AB是对称点P，连接QP交AB于M，点M即为所求（2）作点P关于AB是对称点P，点Q关于BC的对称点Q，连接QP交AB于E，交BC于F，点E，点F即为所求解：（1）如图，点M即为所求（2）如图，点E，点F即为所求【点拨】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题类型六、轴对称特征的应用6、如图，在RtABC中，AB8cm

18、，AC5cm，将ABC折叠，使A、B两点重合，得到折痕DE，再沿BE折叠，点C恰好落到点D上，(1) 求A的度数；(2) 求ADE的周长【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）将 折叠后，由轴对称的性质可得，再根据全等三角形的性质得到，继而可得出；（2）由（1）中的三角形全等可得 ，根据 的周长进行等量代换即可求解解：(1)将 折叠后， 、 两点重合 同理 即 (2)由（1）得， ， 又 的周长 【点拨】本题主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的性质知识点，熟练的掌握和运用这些知识是解题的关键举一反三：【变式1】 已知，点A在射线CE上，把沿AB翻折得，(1) 若，则的度数为

19、_；(2) 设， 如图1，当点D在直线CE左侧时，求y与x的数量关系，并写出x的取值范围； 如图2，当点D在直线CE右侧时出y与x的数量关系是_；(3)过点D作/交CE于点F，当时，求的度数【答案】(1)125(2)y=2x-110，；（）(3)79或115【分析】（1）根据翻折后所得图形与原图形角度相等，所以D=C=90，则可求出BAC=55，则；（2）先求出BAC的度数，利用DAE=180-2BAC列出表达式即可得y与x的数量关系，因为点D在CE左侧，所以BAC90，利用BAC=180-CBA-x可求出x的取值范围；点D在CE右侧，则90BAC180，将BAC的表达式代入即可求出x的范围；

20、（3）根据（2）中两种情况分别进行讨论，利用两直线平行同位角相等和内错角相等，结合条件列出等式，先求出DAE和C，从而可以求出BAD解：(1)沿AB翻折得DBA=CBACBA=BAC=90-35=55(2)根据（1）中所求，CBA=35，BAC=180-35-x=145-xBAD=BACDAE=180-2BACy=180-2(145-x)=2x-110点D在CE左侧即：解得：所以，y=2x-110，当点D在CE右侧时， BAC=145-x点D在CE右侧90145-x180解得：C是三角形的一个内角所以， （）(3)当点D在CE左侧时DAE=2C-110，当点D在CE右侧时C=DFCDAE=11

21、0-2C，EFD=180-DFC180-C=3(110-2C)C=30BAD=BAC=145-30=115所以，的度数为79或115【点拨】本题考查了翻折的性质和平行线的性质，熟练掌握相关知识，利用各角之间的数量关系进行代换是解题的关键【变式2】如图，在三角形纸片ABC中，AB12，BC7，AC9，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求AED的周长【答案】14【分析】根据翻折变换的性质可得DE=CD，BE=BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可解：BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处，DE=CD，BE=BC，AB=12，BC=7，AE=AB-B

22、E=AB-BC=12-7=5，ADE的周长=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=9+5=14【点拨】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键类型七、轴对称图形的作图题7、已知，ABC是等边三角形，请仅使用无刻度的直尺分别画出图1和图2的对称轴(1) 若DEF是等腰三角形，A点是DE的中点，且DEBC(2) 若ADE是等腰三角形，四边形BCGF为等腰梯形【分析】（1）因为图1中的对称轴一定经过等腰三角形的顶点F和底边中点A,所以连接AF，则AF即为所求.（2）因为图2中的对称轴一定经过等腰梯形对角线的交点和等腰三角形的顶点A，所以先连接等腰

23、梯形的对角线得到交点，再与顶点A连接即可.解：如图：【点拨】本题考查了画轴对称图形的对称轴，熟练掌握基本轴对称图形的对称轴位置是解题关键.举一反三：【变式1】如图，三角形ABC与三角形DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.【分析】根据轴对称的性质，对应边所在直线的交点一定在对称轴上，图过点A和BC与EF的交点作直线即为对称轴直线l；图，延长两组对应边得到两个交点，然后过这两点作直线即为对称轴直线l解：图中，过点A和BC，EF的交点作直线l；图中，过BC，EF延长线的交点和AC，DF延长线的交点作直线l.【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图，熟记对应边所在直线的交点一定在对称轴上是解题的关键【变式2】如图，四边形ABCD是一个等腰梯形，请直接在图中仅用直尺，准确画出它的对称轴【分析】根据等腰梯形的对称性，连接AC、BD相交于点O，延长BA、CD相交于点P，然后作直线PO即为对称轴解：如图所示，直线PO为等腰梯形ABCD的对称轴【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图，解题关键是熟练掌握等腰梯形的轴对称性